云南省保山市文山州2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题

这是一份云南省保山市文山州2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

云南省保山市文山州2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．已知集合，，则（    ）
A． B． C． D．
2．在复平面内，复数对应的点位于（    ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知，则（    ）
A． B． C．3 D．
4．蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物.巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底，由三个相同的菱形组成.巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜.如图是一个蜂巢的正六边形开口，下列说法正确的是（    ）

A． B．
C． D．
5．已知首项为1的等比数列满足成等差数列，则公比（    ）
A． B． C．2 D．
6．在疫情防控期间，某社区开展了“疫情要防住，文明在行动”核酸检测志愿服务活动.活动期间，要安排5名志愿者完成，，三项工作.已知每项工作至少有一人参加，每人只能参加一项工作，则不同的安排方式共有（    ）
A．150种 B．120种 C．90种 D．60种
7．已知双曲线的右焦点为，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线的两个交点为．若，则该双曲线的离心率为（    ）
A． B． C． D．
8．已知函数是定义在上的奇函数，且当时不等式成立，若，，，则，，的大小关系是（    ）
A． B． C． D．

二、多选题
9．下列结论错误的是（    ）
A．若，则
B．若，则
C．若，，则
D．若，的最小值为
10．已知函数，则（    ）
A．的最小正周期为
B．的图象关于点对称
C．的最小值为0
D．的图象关于直线对称
11．为随机事件，已知，，下列结论中正确的是（    ）
A．若为互斥事件，则
B．若为互斥事件，则
C．若相互独立，则
D．若，则相互独立
12．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，在《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥；鳖臑指四个面均为直角三角形的四面体.如图，在堑堵中，，，则下列说法正确的是（    ）
  
A．四棱锥为阳马
B．三棱锥为鳖臑
C．当三棱锥的体积最大时，二面角的余弦值为
D．记四棱锥的体积为，三棱锥的体积为，则

三、填空题
13．设函数，则曲线在点处的切线方程是 .
14．过点，且焦点在轴上的抛物线的标准方程是 .
15．已知三棱锥中，平面，，，则三棱锥的外接球的表面积为 .

四、双空题
16．“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，例如第4行的第3个数6为第3行中两个3的和.记“杨辉三角”第行的第个数为，请用组合数第行写出 ，则 .
  

五、解答题
17．已知数列的前项和为，，.
(1)求的通项公式；
(2)设数列满足：，记的前项和为，求.
18．记的内角，，的对边分别为，，，已知，.
(1)求的大小；
(2)为上一点，从下列条件①、条件②中任选一个作为已知，求线段的最大值.
条件①：为的角平分线；条件②：为边上的中线.
19．民族要复兴，乡村要振兴，合作社助力乡村产业振兴，农民专业合作社已成为新型农业经营主体和现代农业建设的中坚力量，为实施乡村振兴战略作出了巨大的贡献．已知某主要从事手工编织品的农民专业合作社共有100名编织工人，该农民专业合作社为了鼓励工人，决定对“编织巧手”进行奖励，为研究“编织巧手”是否与年龄有关，现从所有编织工人中抽取40周岁以上（含40周岁）的工人24名，40周岁以下的工人16名，得到的数据如表所示．

“编织巧手”
非“编织巧手”
总计
年龄40岁
19


年龄＜40岁

10

总计


40
(1)请完成答题卡上的列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析“编织巧手”与“年龄”是否有关；
(2)为进一步提高编织效率，培养更多的“编织巧手”，该农民专业合作社决定从上表中的非“编织巧手”的工人中采用分层抽样的方法抽取6人参加技能培训，再从这6人中随机抽取2人分享心得，求这2人中恰有1人的年龄在40周岁以下的概率．
参考公式：，其中．
参考数据：

0.100
0.050
0.010
0.005

2.706
3.841
6.635
7.879
20．如图，四棱锥中，底面ABCD为等腰梯形，，，且平面平面ABCD，.

(1)求证：；
(2)与平面所成的角为，求二面角的余弦值.
21．已知椭圆经过点，离心率为，点A为椭圆C的右顶点，直线l与椭圆相交于不同于点A的两个点，.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若以P，Q为直径的圆恒过点A，求证：直线l恒过定点，并求出定点坐标.
22．设函数
(1)讨论函数的单调性
(2)若函数有且只有一个零点时，实数m的取值范围．

参考答案：
1．A
【分析】化简集合，根据补集和交集的概念可求出结果.
【详解】由得或，则或，则，
又，所以.
故选：A
2．C
【分析】先根据复数的除法算出，然后由复数的几何意义选出答案.
【详解】由题意，，根据复数的几何意义，故复数对应的点为在第三象限，
故选：C
3．B
【分析】利用诱导公式求出，再利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，最后代入计算可得.
【详解】因为，
所以
.
故选：B.
4．D
【分析】根据平面向量的运算以及正六边形的性质求得正确答案.
【详解】A选项，，A选项错误.
B选项，设，则是的中点，
则，B选项错误.
C选项，与的夹角为锐角，与的夹角为钝角，
所以，C选项错误.
D选项，设正六边形的中心为，则，
所以，D选项正确.
故选：D

5．C
【分析】利用等差中项公式与等比数列的通项公式求解即可.
【详解】设等比数列的公比为，
因为成等差数列，所以，则，
因为，整理得，解得.
故选：C.
6．A
【分析】先将5名志愿者分成3组，一是1，1，3，二是1，2，2，再分配到三项工作中即可.
【详解】解；先将5名志愿者分成3组，再分配到三项工作中，
故不同的安排方式共有种，
故选：A.
7．D
【分析】结合圆的垂径定理及点到直线距离公式求出焦点到准线的距离，求出离心率即可.
【详解】因为，，所以三角形为正三角形，
所以到直线的距离为，所以，
因为，所以，所以，所以.

故选：D
8．B
【分析】构造函数,利用条件考查的单调性，分析的大小关系，根据函数的单调性即可比较大小.
【详解】构造函数，则由题意可知当时，
所以函数在区间上单调递减，
又因为是定义在上的奇函数，所以是定义在上的偶函数，
所以在区间上单调递增，
又，，，
因为，，所以，
所以，即，正确.
故选：.
9．ABD
【分析】A选项可以举反例来说明，B选项可以作差说明，C选项根据不等式的性质说明，D选项利用基本不等式取等号的条件进行判断说明.
【详解】对于A，若，满足，但不成立，故A错误；
对于B，若，由作差法：，即，故B错误；
对于C，若，由不等式的性质可得，故C正确；
对于D，根据基本不等式，，当时取得等号，
此方程显然无解，取等号条件达不到，故D错误.
故选：ABD.
10．BC
【分析】先根据二倍角公式将降次，然后根据三角函数的性质逐一分析每个选项.
【详解】，故的最小正周期为，故A错误；
当时，，是的对称中心，故的图像关于点对称，B正确；
因为，所以的最小值为，故C正确；
因为，当时，，不是的对称轴，故D错误.
故选：BC
11．ACD
【分析】A选项根据互斥事件的加法公式进行判断，B选项根据类似集合的运算和对立事件进行判断，C选项结合和独立事件乘法公式计算，D选项根据条件概率公式计算.
【详解】A选项，根据互斥事件的加法公式可得，，A选项正确；
B选项，若为互斥事件,故，类似集合的运算：，
由，故B选项不正确；
C选项，由于是相互独立事件，故，
于是，C选项正确；
D选项：，即，于是相互独立，D选项正确.
故选：ACD.
12．ABC
【分析】A.由为直三棱柱，又，得到 平面判断；B.由平面，平面判断；C.易知为二面角的平面角，再由三棱锥的体积最大时，的面积最大求解判断；D.由，判断；
【详解】堑堵为直三棱柱，其中侧棱平面，因为平面，所以，又，，平面，所以平面，所以四棱锥为阳马，故A正确；
三棱锥中，平面，平面，则三棱锥的四个面均为直角三角形，所以三棱锥为鳖臑，故B正确；
易知平面，平面，平面，，为二面角的平面角，设所求二面角的平面角为，三棱锥的体积最大时，由于高，则的面积最大，而，所以，所以，当且仅当时，取等号，此时可求得，故C正确；
，，则，故D错误，
故选：ABC.
13．
【分析】先由导数的几何意义求得斜率，再根据点斜式方程即可求解.
【详解】由题意可知，，
又，所以，
所以曲线在点处的切线方程，即.
故答案为：
14．
【分析】利用待定系数法，设出抛物线方程，把点代入求解即可.
【详解】设方程为，则有，
解得，即有.
故答案为：.
15．
【分析】根据题意将三棱锥补成长方体，则长方体的体对角线就是三棱锥外接球的直径，从而可求出其半径，进而可求出其表面积.
【详解】如图所示，三棱锥可补形为一个长方体，则三棱锥的外接球的半径为，
故三棱锥的外接球的表面积为.
故答案为：
  
16．
【分析】①根据题意，通过观察分析即可.
②当时，则有，结合二项式定理分析可得答案，并验证，即可.
【详解】①根据题意分析可得；
②由题意知，当时，.
当时，，也适合，
综上，.
故答案为：①；②.
17．(1)
(2)

【分析】（1）通过可知，两个式子相减化简后便可得出数列是一个等比数列，通过等比数列通项公式即可求解.
（2）将代入后即可求出数列的通项公式，化简后会发现是一个等比数列与等差数列相加，通过等比数列与等差数列的前项和公式即可求解.
【详解】（1）解：①，
当时，②，   
①−②得：，即，
，数列是以3为首项，3为公比的等比数列，
.
（2），        


            
，
所以的前项和.
18．(1)
(2)3

【分析】（1）根据余弦定理直接求解即可；
（2）若选择条件①，则先由余弦定理结合基本不等式可得，再由可表示出，再结合基本不等式可求出其最大值；若选择条件②：（方法一），由余弦定理结合基本不等式可得，由题意可得，两边平方化简，再结合基本不等式可求出其最大值；（方法二），，两边平方化简，由余弦定理得，代入上式化简再结合基本不等式可求得结果.
【详解】（1）由余弦定理可得：，
所以，，                 
又，故.
（2）选择条件①：
在中，由余弦定理，得，
即，故，
当且仅当时，等号成立，
又因为，
所以，
所以，
所以  

故的最大值为3.
选择条件②：（方法一）
由题，平方得
，
在中，由余弦定理得，
即，所以.
当且仅当时，等号成立，      
故有，
从而，故的最大值为3.
选择条件②：（方法二）
由题，平方得

，     
在中，由余弦定理得，
代入上式得，
由得，
当且仅当时，等号成立，   
故有，
从而，故的最大值为3.
19．(1)填表见解析；认为“编织巧手”与“年龄”有关，此推断犯错的概率不大于0.010
(2)

【分析】（1）根据题意补全列联表，计算，并与临界值对比分析；
（2）先根据分层抽样求各层的人数，结合古典概型分析运算.
【详解】（1）年龄在40周岁以上（含40周岁）的非“编织巧手”有5人，年龄在40周岁以下的“编织巧手”有6人．列联表如下：

“编织巧手”
非“编织巧手”
总计
年龄40岁
19
5
24
年龄<40岁
6
10
16
总计
25
15
40
零假设为：“编织巧手”与“年龄”无关联．
根据列联表中的数据，经计算得到，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为“编织巧手”与“年龄”有关，此推断犯错的概率不大于0.010．
（2）由题意可得这6人中年龄在40周岁以上（含40周岁）的人数是2；年龄在40周岁以下的人数是4．
从这6人中随机抽取2人的情况有种，
其中符合条件的情况有种，
故所求概率．
20．(1)证明见解析
(2).

【分析】（1）由线面垂直的性质证明线线平行，先证平面即可.
（2）用向量法求二面角.
【详解】（1）
证明：取AB的中点，连接，则由题意知为正三角形，
所以，
由等腰梯形知，设，则，，
故，即得，所以，
因为平面平面，，平面平面，平面PAD，
所以平面，又平面，所以，
因为，，平面，所以平面，
因为平面，所以.
（2）由（1）得，，两两垂直，则以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
因为平面，所以平面所成的角为，
设，则，，
则，，，，
则，，，
设平面PAB的法向量为，
则，即   ，
取，则，
设平面PBC的法向量为，
则，即，
取，则，
所以，
所以二面角的余弦值为.
21．(1)
(2)证明见解析；定点

【分析】（1）根据条件直接建立的方程，求出，从而求出结果；
（2）讨论直线斜率存在与不存在两种情况，先求出直线斜率不存在时的直线方程，当斜率存在时，设出直线方程，并与椭圆方程联立，运用韦达定理结合条件得与的关系，从而求出直线过定点.
【详解】（1）由题意知： ，可得： ，
则椭圆的标准方程为.
（2）当直线的斜率不存在时，设，联立，解得，所以，，又，
所以由，解得或（舍去），此时直线方程为，
当直线的斜率存在时，设，
联立，消得到.
由得，，由韦达定理知，，，因为以P，Q为直径的圆恒过点，
由，
将，代入整理得，即，所以或 ，
当时，直线为，此时直线过点，不合题意，舍去，
当时，直线为，此时直线过定点
综上，直线恒过定点.

22．(1)见详解
(2)或

【分析】（1）求导，分和讨论可得；
（2）将问题转化为与有且只有一个交点，利用导数讨论的单调性，结合图象可解.
【详解】（1）的定义域为，，
当时，，在单调递增，
当时，令解得，令解得，
所以，函数在单调递增，在上单调递减，
综上，当时，在单调递增，
当时，函数在单调递增，在上单调递减.
（2）由（1）可得，
令，得，
记，
因为函数有且只有一个零，所以函数与有且只有一个交点，
令，得，函数单调递增，
令，得，函数单调递减，
又，于是可得的图象如图，

由图可知，或，即或，
所以实数m的取值范围为或