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2022-2023学年辽宁省沈阳市法库县七年级（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年辽宁省沈阳市法库县七年级（下）期末数学试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年辽宁省沈阳市法库县七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列运算中，计算结果正确的是( )
A. a3+a2=a5 B. a3⋅a2=a6 C. a2÷a3=a D. (a2)3=a6
2. 在以下“绿色食品、响应环保、可回收物、节水”四个标志图案中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3. 以下列各组长度的线段为边，能构成三角形的是( )
A. 7cm，7cm，16cm B. 6cm，8cm，10cm
C. 5cm，5cm，11cm D. 4cm，10cm，6cm
4. 下列说法正确的是( )
A. “在12名同学中有两人的生日在同一个月”是必然事件
B. “概率为0.0001的事件”是不可能事件
C. “射击运动员射击一次，命中靶心”是随机事件
D. 任意掷一枚质地均匀的硬币20次，正面向上的次数一定是10次
5. 在下列各图的△ABC中，正确画出AC边上的高的图形是( )
A. B.
C. D.
6. 如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD，垂足为O.若∠1=54°，则∠2的度数为( )
A. 26° B. 36° C. 44° D. 54°
7. 如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小方形，将阴影部分剪成两个直角梯形后再拼成一个等腰梯形(如图②)，通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，这个等式是( )
A. a(a+b)=a2+ab B. a(a−b)=a2−ab
C. (a+b)2=a2+2ab+b2 D. a2−b2=(a−b)(a+b)
8. 某数学兴趣小组利用一块长为1米的光滑木板，测量小车从不同高度沿斜放的木板从顶部滑到底部所用的时间，支撑物的高度h(cm)与小车下滑时间t(s)之间的关系如表所示：
支撑物的高度h(cm)
10
20
30
40
50
60
70
小车下滑时间t(s)
4.23
3.00
2.45
2.13
1.89
1.71
1.59
根据表格所提供的信息，下列说法中错误的是( )
A. 支撑物的高度为50cm时，小车下滑的时间为1.89s
B. 支撑物的高度h越大，小车下滑时间越少
C. 若小车下滑的时间为2.5s，则支撑物的高度在20cm至30cm之间
D. 若支撑物的高度每增加10cm，则对应的小车下滑时间的变化情况都相同
9. 如图，小明在以∠A为顶角的等腰三角形ABC中用圆规和直尺作图，作出过点A的射线交BC于点D.然后又作出一条直线与AB交于点E，连接DE，若△DBE的面积为4，则△ABC的面积为( )
A. 8
B. 12
C. 16
D. 20
10. 如图，正方形ABCD的边长为2，动点P从点B出发，在正方形的边上沿B→C→D的方向运动到点D停止，设点P的运动路程为x，在下列图象中，能表示△PAD的面积y关于x的函数关系的图象是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 下列三个日常现象：
其中，可以用“垂线段最短”来解释的是______.(填序号)
12. 在人类的大脑中，有一种神经元的半径约为25微米(1微米=10−6米)，将“25微米”用科学记数法表示为______米．
13. 转动如图所示的转盘，当转盘停止时，指针落在红色区域的概率是______．
14. 比较大小：8131______2741．
15. 将一副三角板如图放置，使点A落在DE上，若BC//DE，则∠AFC的度数为______ ．
16. 三角形中，如果有一个内角是另外一个内角的4倍，我们把这个三角形叫做“四倍角三角形”在一个“四倍角三角形”中有一个内角为40°，则另外两个角分别为______．
三、解答题（本大题共9小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
简算：2542−24621002．
18. (本小题8.0分)
计算：(−12)2023×22022+(π−2020)0÷(−12)−2．
19. (本小题8.0分)
先化简，再求值：[(x−2y)2+(x−2y)(2y+x)]÷2x，其中x=2，y=−1．
20. (本小题8.0分)
作图题(要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
已知：如图，线段a，c，∠α．
求作：△ABC，使得BC=a，AB=c，∠ABC=∠α．
21. (本小题8.0分)
在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的10个小球，其中红球4个，黄球6个．
(1)从袋子里摸出一个球为红球的概率为______；从袋子里摸出一个球为黄球的概率为______；
(2)先从袋子中取出m个红球(m>1且m为正整数)，再从袋子中随机摸一个小球，将“摸出黄球”记为事件A．
①若事件A为必然事件，则m的值为______；
②若事件A为随机事件，则m的值为______．
22. (本小题10.0分)
已知：如图，∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，请说明EF=AC的理由．
理由：过点C作CG//EF交AD的延长线于点G，
可得∠EFD= ______ (两直线平行，内错角相等)．
∵DE=CD，∠FDE=∠CDG，
∴△EFD≌ ______ (______ )；
∴EF= ______ (______ )；
∵EF//AB，
∴∠EFD= ______ (______ )；
∵∠1=∠2，
∴ ______ (______ )；
∴AC=CG(等角对等边)；
∵ ______ (已证)，
∴EF=AC(等量代换)．
23. (本小题10.0分)
如图，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，我们把顶点均在格点上的三角形称为“格点三角形”，如图1，△ABC就是一个格点三角形．
(1)在图1中，作出△ABC关于直线m成轴对称的图形△A′B′C′；并直接写出△A′B′C′的面积为______；
(2)在图2的直线m上求作点D，使得以A、C、D为顶点的格点三角形是以AC为腰的等腰三角形；
(3)在图3的直线m上找出一点E，使得EA+EC的值最小(保留作图痕迹，并标上字母E)；
(4)在图4的直线m上找出一点F，使得|FA−FC|的值最大(保留作图痕迹，并标上字母F)．
24. (本小题12.0分)
在△ABC中，∠B，∠C均为锐角且不相等，线段AD是△ABC中BC边上的高，AE是△ABC的角平分线．
(1)如图1.∠B=70°，∠C=30°，求∠DAE的度数；
(2)若∠B=x°，∠DAE=10°，则∠C= ______ ；
(3)F是射线AE上一动点，G、H分别为线段AB，BC上的点(不与端点重合)，将△BGH沿着GH折叠，使点B落到点F处，如图2所示，请直接写出∠1，∠2与∠B的数量关系．
25. (本小题12.0分)
如图1，A，C两地之间有一条笔直的道路，B地位于A，C两地之间，甲从B地出发驾车驶往C地，乙从A地出发驾车驶向C地．在行驶过程中，乙由于汽车故障，换乘客车(换乘时间忽略不计)继续前行，并与甲同时到达C地，图2中线段MN和折线段PQN分别表示甲、乙两人与A地的距离y(km)与甲行驶的时间x(h)的变化关系，其中MN与PQ交于点E．
(1)在图2中表示的自变量是______，因变量是______；
(2)乙比甲晚出发______h，B，C两地相距______km；
(3)请直接写出甲的速度为______；
(4)m=______，n=______；
(5)在图2中点E表示的含义是______；
(6)请直接写出当x=______h时，甲，乙相距30km．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、a3与a2不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、a3⋅a2=a5，故B不符合题意；
C、a2÷a3=1a，故C不符合题意；
D、(a2)3=a6，故D符合题意；
故选：D．
利用合并同类项的法则，同底灵敏幂的除法的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
2.【答案】A
【解析】解：A、是轴对称图形，符合题意；
B、不是轴对称图形，不符合题意；
C、不是轴对称图形，不符合题意；
D、不是轴对称图形，不符合题意；
故选：A．
根据轴对称图形的定义即可判断．
本题考查轴对称图形，解题的关键是理解轴对称图形的定义，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴)对称．
3.【答案】B
【解析】解：A、∵7+7<16，
∴长度为7cm，7cm，16cm的三条线段不能组成三角形，不符合题意；
B、∵6+8>10，
∴长度为6cm，8cm，10cm的三条线段能组成三角形，符合题意；
C、∵5+5<11，
∴长度为5cm，5cm，11cm的三条线段不能组成三角形，不符合题意；
D、∵4+6=10，
∴长度为4cm，10cm，6cm的三条线段不能组成三角形，不符合题意；
故选：B．
根据三角形的三边关系判断即可．
本题考查的是三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：A.“在12名同学中有两人的生日在同一个月”是随机事件，因此选项A不符合题意；
B.“概率为0.0001的事件”是可能事件，只是发生的可能性非常小，因此选项B不符合题意；
C.“射击运动员射击一次，命中靶心”是随机事件，因此选项C符合题意；
D.任意掷一枚质地均匀的硬币20次，正面向上的次数不一定是10次，因此选项D不符合题意；
故选：C．
根据必然事件、随机事件、不可能事件的意义以及概率的定逐项进行判断即可．
本题考查随机事件、必然事件、不可能事件以及概率公式，理解随机事件、必然事件、不可能事件的意义是正确判断的前提．
5.【答案】C
【解析】解：AC边上的高就是过B作垂线垂直AC交AC的延长线于D点，因此只有C符合条件，
故选：C．
根据三角形的高的概念判断．
本题考查了三角形的角平分线、中线和高，关键是利用基本作图作三角形高的方法解答．
6.【答案】B
【解析】解：∵EO⊥CD，
∴∠COE=90°，
∵∠1+∠COE+∠2=180°，
∴∠2=180°−∠1−∠COE=180°−54°−90°=36°．
故选：B．
首先利用垂直的定义得到∠COE=90°，然后利用平角的定义即可求解．
本题主要考查了垂直的定义和平角的定义，要注意领会由垂直得直角这一要点．
7.【答案】D
【解析】解：阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即a2−b2，拼成的是上底为2b，下底为2a，高为(a−b)，因此面积为12(2a+2b)(a−b)=(a+b)(a−b)，
所以a2−b2=(a+b(a−b),
故选：D．
用代数式分别表示图中阴影部分的面积即可．
本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的前提．
8.【答案】D
【解析】解：A.由表格可知，当h=50cm时，t=1.89s，故A正确，不符合题意；
B.通过观察表格可得，支撑物的高度h越大，小车下滑时间越小，故B正确，不符合题意；
C.若小车下滑时间为2.5s，通过表格容易判断出支撑物的高度在20cm～30cm之间，故D正确，不符合题意；
D.通过观察表格，当支撑物的高度每增加10cm，对应小车下滑时间的变化情况不相同，故C错误，符合题意；
故选：D．
运用表格的数据，对选项进行逐一判断和推测，运用排除法得到正确选项．
本题考查了变量与函数之间的问题，关键在于能够通过表格分析各个选项，得出正确答案．
9.【答案】C
【解析】解：由作图可知，AD平分∠BAC，点E是AB的中点，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
∴S△BDE=S△ADE=4，
∴S△ABD=S△ADC=8，
∴S△ABC=16．
故选：C．
由作图可知，AD平分∠BAC，点E是AB的中点，利用等腰三角形的性质，三角形的中线的性质求解即可．
本题考查作图−复杂作图，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
10.【答案】D
【解析】解：当0≤x≤2时，如题干图，
则y=12AD⋅AB=12×2×2=2，为常数；
当2
则y=12AD×PD=12×2×(2+2−x)=4−x，为一次函数；
故选：D．
分0≤x≤2、2
11.【答案】①
【解析】解：可以用“垂线段最短”来解释的是①，
故答案为：①．
根据垂线的性质：垂线段最短即可得到结论．
本题考查了垂线段最短，熟练掌握垂线的性质是解题的关键．
12.【答案】2.5×10−5
【解析】解：25微米=25×10−6米=2.5×10−5米．
故答案为：2.5×10−5．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
13.【答案】13
【解析】本题考查了几何概率：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是利用长度比，面积比，体积比等．
用红色区域的面积除以圆的面积可得到指针落在红色区域的概率．
120°÷360°=13
14.【答案】>
【解析】解：8131=(34)31=3124，
2741=(33)41=3123，
∵124>123，
∴8131>2741．
故答案为：>．
根据幂的乘方，底数不变指数相乘整理成以3为底数的幂，再根据指数的大小比较即可．
本题考查了幂的乘方的性质，熟记性质并转换成以3为底数的幂是解题的关键．
15.【答案】75°
【解析】解：∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠CBA=∠ACB=45°，
在Rt△CDE中，∠DEC=30°，∠EDC=60°，
∵BC//DE，∠CBA=45°，
∴∠EAB=∠CBA=45°．
∵∠AFC为△EFA的外角，
∴∠AFC=∠AEF+∠EAF．
∵∠AEF=30°，∠EAF=45°，∠AFC=∠AEF+∠EAF，
∴∠AFC=30°+45°=75°．
故答案为：75°．
根据三角板的特点我们可以得到∠CBA、∠DEC的度数，要求∠AFC的度数，我们发现∠AFC为△EFA的一个外角，由此可得∠AFC=∠AEF+∠EAF，此时问题就转化为求∠EAF．
本题主要考查平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质定理．
16.【答案】130°，10°或112°，28°
【解析】解：在△ABC中，不妨设∠A=40°．
①若∠A=4∠C，则∠C=10°，∠B=130°．
②若∠C=4∠A，则∠A=160°(不合题意)．
③若∠B=4∠C，则∠B=112°，∠C=28°，
综上所述，另外两个角的度数为130°，10°或112°，28°．
故答案为：130°，10°或112°，28°．
分三种情形讨论求解即可解决问题．
本题考查了三角形的内角和定理的运用，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
17.【答案】解：原式=(254+246)(254−246)1002
=500×8100×100
=400010000
=25．
【解析】根据平方差公式将原式化为=(254+246)(254−246)1002即可．
本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的前提．
18.【答案】解：(−12)2023×22022+(π−2020)0÷(−12)−2
=(−12)×(−12)2022×22022+1÷4
=(−12)×[(−12)×2]2022+14
=(−12)×(−1)2022+14
=(−12)×1+14
=−12+14
=−14．
【解析】根据零指数幂，负整数指数幂，幂的乘方与积的乘方法则进行计算，即可解答．
本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，幂的乘方与积的乘方，准确熟练地进行计算是解题的关键．
19.【答案】解：[(x−2y)2+(x−2y)(2y+x)]÷2x
=(x2−4xy+4y2+x2−4y2)÷2x
=(2x2−4xy)÷2x
=x−2y，
当x=2，y=−1时，原式=2−2×(−1)=2+2=4．
【解析】先利用完全平方公式，平方差公式计算括号里，再算括号外，然后把x，y的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
本题考查了整式的混合运算−化简求值，完全平方公式，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20.【答案】解：如图：
△ABC即为所求．
【解析】先作∠MBN=∠α，再在BN上取BC=a，在BM上取BA=c，连接AC即得所求△ABC．
本题考查了作图−复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
21.【答案】25 35 4 2或3
【解析】解：(1)P(摸到红球)=410=25；
P(摸到黄球)=610=35．
故答案为：25；35；
(2)①若事件A为必然事件，则袋子中全部为黄球，
∴m=4．
故答案为：4；
②若事件A为随机事件，则袋子中还有红球，
∵m>1且m为正整数，
∴m=2或3．
故答案为：2或3．
(1)直接利用概率公式求解即可；
(2)①必然事件发生的概率为1，据此求得m的值即可；
②根据随机事件发生的概率大于0且小于1，据此求得m的值即可．
本题考查了概率公式的知识，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
22.【答案】∠G △CGD AAS CG 全等三角形对应边相等 ∠1 两直线平行，同位角相等 ∠G=∠2 等量代换 EF=CG
【解析】解：过点C作CG//EF交AD的延长线于点G．
可得∠EFD=∠G.(两直线平行，内错角相等)
∵DE=DC.∠FDE=∠GDC，
∴△EFD≌△CGD(AAS)．
∴EF=CG(全等三角形对应边相等)．
∵EF//AB(已知)，
∴∠EFD=∠1(两直线平行，同位角相等)．
∵∠1=∠2(已知)，
∴∠G=∠2(等量代换)．
∴AC=CG(等角对等边)．
∵EF=CG(已证)，
∴EF=AC(等量代换)．
故答案为：∠G；△CGD，AAS；CG，全等三角形对应边相等；∠1，两直线平行，同位角相等；∠G=∠2，等量代换；EF=CG．
根据全等三角形的判定与性质和平行线的性质即可完成填空．
本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．
23.【答案】5.5
【解析】解：(1)如图，△A′B′C′即为所求；
△A′B′C′的面积=3×4−12×2×3−12×1×4−12×1×3=5.5；
故答案为：5.5；
(2)如图，点D即为所求；
(3)如图，点E即为所求；
(4)如图，点F即为所求．
(1)在图1中，作出△ABC关于直线m成轴对称的图形△A′B′C′；出△A′B′C′的面积；
(2)在图2的直线m上求作点D，使得以A、C、D为顶点的格点三角形是以AC为腰的等腰三角形；
(3)在图3的直线m上找出一点E，使得EA+EC的值最小；
(4)在图4的直线m上找出一点F，使得|FA−FC|的值最大．
本题考查了作图−轴对称变换，等腰三角形的判定与性质，轴对称−最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
24.【答案】(x−20)°或(x+20)°
【解析】解：(1)在△ABC中，∠B=70°，∠C=30°，
∠BAC=180°−∠B−∠C=180°−70°−30°=80°，
∵AE是△ABC的角平分线．
∠BAE=12∠BAC−12×80°−40°
∵线段AD是△ABC中BC边上的高，
∠ADB=90°
∠BAD=180°−∠B−∠ADB−180°−70°−90°=20°，
∴∠DAE=∠BAE−∠BAD=40°−20°=20°，
(2)当AE在AD右侧时，如图1(a)，
∵∠B=x°，∠ADB=90°，
∴∠BAD=90°−x，
∵∠DAE=10°，
∴∠BAE=∠BAD+∠DAE=100°−x，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAC=200°−2x，
∴∠C=180°−∠B−∠BAC=180°−x−200°+2x=(x−20)°；
当AE在AD左侧时，如图1(b)，
∵∠B=x°，∠ADB=90°，
∴∠BAD=90°−x，
∵∠DAE=10°，
∴∠BAE=∠BAD−∠DAE=80°−x，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAC=160°−2x，
∴∠C=180°−∠B−∠BAC=180°−x−160°+2x=(x+20)°，
综上∠C的度数为(x−20)°或(x+20)°，
故答案为：(x−20)°或(x+20)°；
(3)∠1+∠2=2∠B．
理由：由折叠知，∠BGH=12∠BGF，∠BHG=12∠BHF，
∵∠BGF=180°−∠1，∠BHF=180°−∠2，
∴∠BGH=90°−12∠1，∠BHG=90°−12∠2，
∴∠B=180°−∠BGH−∠BHG=12∠1+12∠2，
即∠1+∠2=2∠B．
(1)三角形根据三角形内角和定理求出∠BAC，再由角平分线性质求得∠BAE，再根据三角形的高和直角三角形的性质求得∠BAD，进而由角的和差关系求得结果；
(2)分两种情况，根据直角三角形的性质求得∠BAD，再由角的和差关系求得∠BAE，由角平分线的定义求得∠BAC，最后根据三角形内角和定理求得结果；
(3)根据邻补角性质和角平分线定义用∠1、∠2分别表示∠BGH和∠BHG，再由三角形内角和定理得结果．
本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的高和角平分线的定义，折叠性质，邻补角的性质，关键是熟练运用这些知识解决问题．
25.【答案】甲行驶的时间 甲、乙两人与A地的距离 2 960 60km/h 16 720 乙出发4h后(或甲出发6h后)两人相遇，相遇地点距A地480km 5.5或6.5或14
【解析】解：(1)在图2中表示的自变量是甲行驶的时间，因变量是甲、乙两人与A地的距离；
故答案为：甲行驶的时间；甲、乙两人与A地的距离；
(2)由图象可知，乙比甲晚出发2 h，B，C两地相距1080−120=960(千米)；
故答案为：2；960；
(3)甲的驾车速度为：(240−60)÷3=60(km/h)；
故答案为：60km/h；
(4)由题意可得，m=960÷60=16，
乙的驾车速度为：240÷(3−1)=120(km/h)，
所以n=120×(8−2)=720，
故答案为：16；720；
(5)在图2中点E表示的含义是乙出发4h后(或甲出发6h后)两人相遇，相遇地点距A地480km；
故答案为：乙出发4h后(或甲出发6h后)两人相遇，相遇地点距A地480km；
(6)分两种情况，①2
解得：x1=5.5，x2=6.5，
②8
∴45(x−6)+720−(60x+120)=30，
∴x3=14，
综上，当x=5.5或6.5或14时，甲，乙相距30km．
故答案为：5.5或6.5或14．
(1)根据函数的定义解答即可；
(2)由图象可得乙比甲晚出发2 h，B，C两地相距1080−120=960(千米)；
(3)根据点E的坐标可求出甲，乙两人的驾车速度；
(4)根据两车的速度可得答案；
(5)根据点E的坐标解答即可；
(6)分两种情况，①2
2022-2023学年辽宁省沈阳市法库县七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列运算中，计算结果正确的是( )
A. a3+a2=a5 B. a3⋅a2=a6 C. a2÷a3=a D. (a2)3=a6
2. 在以下“绿色食品、响应环保、可回收物、节水”四个标志图案中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
3. 以下列各组长度的线段为边，能构成三角形的是( )
A. 7cm，7cm，16cm B. 6cm，8cm，10cm
C. 5cm，5cm，11cm D. 4cm，10cm，6cm
4. 下列说法正确的是( )
A. “在12名同学中有两人的生日在同一个月”是必然事件
B. “概率为0.0001的事件”是不可能事件
C. “射击运动员射击一次，命中靶心”是随机事件
D. 任意掷一枚质地均匀的硬币20次，正面向上的次数一定是10次
5. 在下列各图的△ABC中，正确画出AC边上的高的图形是( )
A. B.
C. D.
6. 如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD，垂足为O.若∠1=54°，则∠2的度数为( )
A. 26° B. 36° C. 44° D. 54°
7. 如图①，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小方形，将阴影部分剪成两个直角梯形后再拼成一个等腰梯形(如图②)，通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，这个等式是( )
A. a(a+b)=a2+ab B. a(a−b)=a2−ab
C. (a+b)2=a2+2ab+b2 D. a2−b2=(a−b)(a+b)
8. 某数学兴趣小组利用一块长为1米的光滑木板，测量小车从不同高度沿斜放的木板从顶部滑到底部所用的时间，支撑物的高度h(cm)与小车下滑时间t(s)之间的关系如表所示：
支撑物的高度h(cm)
10
20
30
40
50
60
70
小车下滑时间t(s)
4.23
3.00
2.45
2.13
1.89
1.71
1.59
根据表格所提供的信息，下列说法中错误的是( )
A. 支撑物的高度为50cm时，小车下滑的时间为1.89s
B. 支撑物的高度h越大，小车下滑时间越少
C. 若小车下滑的时间为2.5s，则支撑物的高度在20cm至30cm之间
D. 若支撑物的高度每增加10cm，则对应的小车下滑时间的变化情况都相同
9. 如图，小明在以∠A为顶角的等腰三角形ABC中用圆规和直尺作图，作出过点A的射线交BC于点D.然后又作出一条直线与AB交于点E，连接DE，若△DBE的面积为4，则△ABC的面积为( )
A. 8
B. 12
C. 16
D. 20
10. 如图，正方形ABCD的边长为2，动点P从点B出发，在正方形的边上沿B→C→D的方向运动到点D停止，设点P的运动路程为x，在下列图象中，能表示△PAD的面积y关于x的函数关系的图象是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 下列三个日常现象：
其中，可以用“垂线段最短”来解释的是______.(填序号)
12. 在人类的大脑中，有一种神经元的半径约为25微米(1微米=10−6米)，将“25微米”用科学记数法表示为______米．
13. 转动如图所示的转盘，当转盘停止时，指针落在红色区域的概率是______．
14. 比较大小：8131______2741．
15. 将一副三角板如图放置，使点A落在DE上，若BC//DE，则∠AFC的度数为______ ．
16. 三角形中，如果有一个内角是另外一个内角的4倍，我们把这个三角形叫做“四倍角三角形”在一个“四倍角三角形”中有一个内角为40°，则另外两个角分别为______．
三、解答题（本大题共9小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
简算：2542−24621002．
18. (本小题8.0分)
计算：(−12)2023×22022+(π−2020)0÷(−12)−2．
19. (本小题8.0分)
先化简，再求值：[(x−2y)2+(x−2y)(2y+x)]÷2x，其中x=2，y=−1．
20. (本小题8.0分)
作图题(要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)
已知：如图，线段a，c，∠α．
求作：△ABC，使得BC=a，AB=c，∠ABC=∠α．
21. (本小题8.0分)
在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的10个小球，其中红球4个，黄球6个．
(1)从袋子里摸出一个球为红球的概率为______；从袋子里摸出一个球为黄球的概率为______；
(2)先从袋子中取出m个红球(m>1且m为正整数)，再从袋子中随机摸一个小球，将“摸出黄球”记为事件A．
①若事件A为必然事件，则m的值为______；
②若事件A为随机事件，则m的值为______．
22. (本小题10.0分)
已知：如图，∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，请说明EF=AC的理由．
理由：过点C作CG//EF交AD的延长线于点G，
可得∠EFD= ______ (两直线平行，内错角相等)．
∵DE=CD，∠FDE=∠CDG，
∴△EFD≌ ______ (______ )；
∴EF= ______ (______ )；
∵EF//AB，
∴∠EFD= ______ (______ )；
∵∠1=∠2，
∴ ______ (______ )；
∴AC=CG(等角对等边)；
∵ ______ (已证)，
∴EF=AC(等量代换)．
23. (本小题10.0分)
如图，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，我们把顶点均在格点上的三角形称为“格点三角形”，如图1，△ABC就是一个格点三角形．
(1)在图1中，作出△ABC关于直线m成轴对称的图形△A′B′C′；并直接写出△A′B′C′的面积为______；
(2)在图2的直线m上求作点D，使得以A、C、D为顶点的格点三角形是以AC为腰的等腰三角形；
(3)在图3的直线m上找出一点E，使得EA+EC的值最小(保留作图痕迹，并标上字母E)；
(4)在图4的直线m上找出一点F，使得|FA−FC|的值最大(保留作图痕迹，并标上字母F)．
24. (本小题12.0分)
在△ABC中，∠B，∠C均为锐角且不相等，线段AD是△ABC中BC边上的高，AE是△ABC的角平分线．
(1)如图1.∠B=70°，∠C=30°，求∠DAE的度数；
(2)若∠B=x°，∠DAE=10°，则∠C= ______ ；
(3)F是射线AE上一动点，G、H分别为线段AB，BC上的点(不与端点重合)，将△BGH沿着GH折叠，使点B落到点F处，如图2所示，请直接写出∠1，∠2与∠B的数量关系．
25. (本小题12.0分)
如图1，A，C两地之间有一条笔直的道路，B地位于A，C两地之间，甲从B地出发驾车驶往C地，乙从A地出发驾车驶向C地．在行驶过程中，乙由于汽车故障，换乘客车(换乘时间忽略不计)继续前行，并与甲同时到达C地，图2中线段MN和折线段PQN分别表示甲、乙两人与A地的距离y(km)与甲行驶的时间x(h)的变化关系，其中MN与PQ交于点E．
(1)在图2中表示的自变量是______，因变量是______；
(2)乙比甲晚出发______h，B，C两地相距______km；
(3)请直接写出甲的速度为______；
(4)m=______，n=______；
(5)在图2中点E表示的含义是______；
(6)请直接写出当x=______h时，甲，乙相距30km．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A、a3与a2不属于同类项，不能合并，故A不符合题意；
B、a3⋅a2=a5，故B不符合题意；
C、a2÷a3=1a，故C不符合题意；
D、(a2)3=a6，故D符合题意；
故选：D．
利用合并同类项的法则，同底灵敏幂的除法的法则，同底数幂的乘法的法则，幂的乘方的法则对各项进行运算即可．
本题主要考查合并同类项，幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
2.【答案】A
【解析】解：A、是轴对称图形，符合题意；
B、不是轴对称图形，不符合题意；
C、不是轴对称图形，不符合题意；
D、不是轴对称图形，不符合题意；
故选：A．
根据轴对称图形的定义即可判断．
本题考查轴对称图形，解题的关键是理解轴对称图形的定义，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴)对称．
3.【答案】B
【解析】解：A、∵7+7<16，
∴长度为7cm，7cm，16cm的三条线段不能组成三角形，不符合题意；
B、∵6+8>10，
∴长度为6cm，8cm，10cm的三条线段能组成三角形，符合题意；
C、∵5+5<11，
∴长度为5cm，5cm，11cm的三条线段不能组成三角形，不符合题意；
D、∵4+6=10，
∴长度为4cm，10cm，6cm的三条线段不能组成三角形，不符合题意；
故选：B．
根据三角形的三边关系判断即可．
本题考查的是三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边是解题的关键．
4.【答案】C
【解析】解：A.“在12名同学中有两人的生日在同一个月”是随机事件，因此选项A不符合题意；
B.“概率为0.0001的事件”是可能事件，只是发生的可能性非常小，因此选项B不符合题意；
C.“射击运动员射击一次，命中靶心”是随机事件，因此选项C符合题意；
D.任意掷一枚质地均匀的硬币20次，正面向上的次数不一定是10次，因此选项D不符合题意；
故选：C．
根据必然事件、随机事件、不可能事件的意义以及概率的定逐项进行判断即可．
本题考查随机事件、必然事件、不可能事件以及概率公式，理解随机事件、必然事件、不可能事件的意义是正确判断的前提．
5.【答案】C
【解析】解：AC边上的高就是过B作垂线垂直AC交AC的延长线于D点，因此只有C符合条件，
故选：C．
根据三角形的高的概念判断．
本题考查了三角形的角平分线、中线和高，关键是利用基本作图作三角形高的方法解答．
6.【答案】B
【解析】解：∵EO⊥CD，
∴∠COE=90°，
∵∠1+∠COE+∠2=180°，
∴∠2=180°−∠1−∠COE=180°−54°−90°=36°．
故选：B．
首先利用垂直的定义得到∠COE=90°，然后利用平角的定义即可求解．
本题主要考查了垂直的定义和平角的定义，要注意领会由垂直得直角这一要点．
7.【答案】D
【解析】解：阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即a2−b2，拼成的是上底为2b，下底为2a，高为(a−b)，因此面积为12(2a+2b)(a−b)=(a+b)(a−b)，
所以a2−b2=(a+b(a−b),
故选：D．
用代数式分别表示图中阴影部分的面积即可．
本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的前提．
8.【答案】D
【解析】解：A.由表格可知，当h=50cm时，t=1.89s，故A正确，不符合题意；
B.通过观察表格可得，支撑物的高度h越大，小车下滑时间越小，故B正确，不符合题意；
C.若小车下滑时间为2.5s，通过表格容易判断出支撑物的高度在20cm～30cm之间，故D正确，不符合题意；
D.通过观察表格，当支撑物的高度每增加10cm，对应小车下滑时间的变化情况不相同，故C错误，符合题意；
故选：D．
运用表格的数据，对选项进行逐一判断和推测，运用排除法得到正确选项．
本题考查了变量与函数之间的问题，关键在于能够通过表格分析各个选项，得出正确答案．
9.【答案】C
【解析】解：由作图可知，AD平分∠BAC，点E是AB的中点，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
∴S△BDE=S△ADE=4，
∴S△ABD=S△ADC=8，
∴S△ABC=16．
故选：C．
由作图可知，AD平分∠BAC，点E是AB的中点，利用等腰三角形的性质，三角形的中线的性质求解即可．
本题考查作图−复杂作图，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．
10.【答案】D
【解析】解：当0≤x≤2时，如题干图，
则y=12AD⋅AB=12×2×2=2，为常数；
当2
则y=12AD×PD=12×2×(2+2−x)=4−x，为一次函数；
故选：D．
分0≤x≤2、2
11.【答案】①
【解析】解：可以用“垂线段最短”来解释的是①，
故答案为：①．
根据垂线的性质：垂线段最短即可得到结论．
本题考查了垂线段最短，熟练掌握垂线的性质是解题的关键．
12.【答案】2.5×10−5
【解析】解：25微米=25×10−6米=2.5×10−5米．
故答案为：2.5×10−5．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
13.【答案】13
【解析】本题考查了几何概率：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是利用长度比，面积比，体积比等．
用红色区域的面积除以圆的面积可得到指针落在红色区域的概率．
120°÷360°=13
14.【答案】>
【解析】解：8131=(34)31=3124，
2741=(33)41=3123，
∵124>123，
∴8131>2741．
故答案为：>．
根据幂的乘方，底数不变指数相乘整理成以3为底数的幂，再根据指数的大小比较即可．
本题考查了幂的乘方的性质，熟记性质并转换成以3为底数的幂是解题的关键．
15.【答案】75°
【解析】解：∵△ABC为等腰直角三角形，
∴∠CBA=∠ACB=45°，
在Rt△CDE中，∠DEC=30°，∠EDC=60°，
∵BC//DE，∠CBA=45°，
∴∠EAB=∠CBA=45°．
∵∠AFC为△EFA的外角，
∴∠AFC=∠AEF+∠EAF．
∵∠AEF=30°，∠EAF=45°，∠AFC=∠AEF+∠EAF，
∴∠AFC=30°+45°=75°．
故答案为：75°．
根据三角板的特点我们可以得到∠CBA、∠DEC的度数，要求∠AFC的度数，我们发现∠AFC为△EFA的一个外角，由此可得∠AFC=∠AEF+∠EAF，此时问题就转化为求∠EAF．
本题主要考查平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质定理．
16.【答案】130°，10°或112°，28°
【解析】解：在△ABC中，不妨设∠A=40°．
①若∠A=4∠C，则∠C=10°，∠B=130°．
②若∠C=4∠A，则∠A=160°(不合题意)．
③若∠B=4∠C，则∠B=112°，∠C=28°，
综上所述，另外两个角的度数为130°，10°或112°，28°．
故答案为：130°，10°或112°，28°．
分三种情形讨论求解即可解决问题．
本题考查了三角形的内角和定理的运用，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．
17.【答案】解：原式=(254+246)(254−246)1002
=500×8100×100
=400010000
=25．
【解析】根据平方差公式将原式化为=(254+246)(254−246)1002即可．
本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的前提．
18.【答案】解：(−12)2023×22022+(π−2020)0÷(−12)−2
=(−12)×(−12)2022×22022+1÷4
=(−12)×[(−12)×2]2022+14
=(−12)×(−1)2022+14
=(−12)×1+14
=−12+14
=−14．
【解析】根据零指数幂，负整数指数幂，幂的乘方与积的乘方法则进行计算，即可解答．
本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，幂的乘方与积的乘方，准确熟练地进行计算是解题的关键．
19.【答案】解：[(x−2y)2+(x−2y)(2y+x)]÷2x
=(x2−4xy+4y2+x2−4y2)÷2x
=(2x2−4xy)÷2x
=x−2y，
当x=2，y=−1时，原式=2−2×(−1)=2+2=4．
【解析】先利用完全平方公式，平方差公式计算括号里，再算括号外，然后把x，y的值代入化简后的式子进行计算，即可解答．
本题考查了整式的混合运算−化简求值，完全平方公式，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
20.【答案】解：如图：
△ABC即为所求．
【解析】先作∠MBN=∠α，再在BN上取BC=a，在BM上取BA=c，连接AC即得所求△ABC．
本题考查了作图−复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
21.【答案】25 35 4 2或3
【解析】解：(1)P(摸到红球)=410=25；
P(摸到黄球)=610=35．
故答案为：25；35；
(2)①若事件A为必然事件，则袋子中全部为黄球，
∴m=4．
故答案为：4；
②若事件A为随机事件，则袋子中还有红球，
∵m>1且m为正整数，
∴m=2或3．
故答案为：2或3．
(1)直接利用概率公式求解即可；
(2)①必然事件发生的概率为1，据此求得m的值即可；
②根据随机事件发生的概率大于0且小于1，据此求得m的值即可．
本题考查了概率公式的知识，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
22.【答案】∠G △CGD AAS CG 全等三角形对应边相等 ∠1 两直线平行，同位角相等 ∠G=∠2 等量代换 EF=CG
【解析】解：过点C作CG//EF交AD的延长线于点G．
可得∠EFD=∠G.(两直线平行，内错角相等)
∵DE=DC.∠FDE=∠GDC，
∴△EFD≌△CGD(AAS)．
∴EF=CG(全等三角形对应边相等)．
∵EF//AB(已知)，
∴∠EFD=∠1(两直线平行，同位角相等)．
∵∠1=∠2(已知)，
∴∠G=∠2(等量代换)．
∴AC=CG(等角对等边)．
∵EF=CG(已证)，
∴EF=AC(等量代换)．
故答案为：∠G；△CGD，AAS；CG，全等三角形对应边相等；∠1，两直线平行，同位角相等；∠G=∠2，等量代换；EF=CG．
根据全等三角形的判定与性质和平行线的性质即可完成填空．
本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．
23.【答案】5.5
【解析】解：(1)如图，△A′B′C′即为所求；
△A′B′C′的面积=3×4−12×2×3−12×1×4−12×1×3=5.5；
故答案为：5.5；
(2)如图，点D即为所求；
(3)如图，点E即为所求；
(4)如图，点F即为所求．
(1)在图1中，作出△ABC关于直线m成轴对称的图形△A′B′C′；出△A′B′C′的面积；
(2)在图2的直线m上求作点D，使得以A、C、D为顶点的格点三角形是以AC为腰的等腰三角形；
(3)在图3的直线m上找出一点E，使得EA+EC的值最小；
(4)在图4的直线m上找出一点F，使得|FA−FC|的值最大．
本题考查了作图−轴对称变换，等腰三角形的判定与性质，轴对称−最短路线问题，解决本题的关键是掌握轴对称的性质．
24.【答案】(x−20)°或(x+20)°
【解析】解：(1)在△ABC中，∠B=70°，∠C=30°，
∠BAC=180°−∠B−∠C=180°−70°−30°=80°，
∵AE是△ABC的角平分线．
∠BAE=12∠BAC−12×80°−40°
∵线段AD是△ABC中BC边上的高，
∠ADB=90°
∠BAD=180°−∠B−∠ADB−180°−70°−90°=20°，
∴∠DAE=∠BAE−∠BAD=40°−20°=20°，
(2)当AE在AD右侧时，如图1(a)，
∵∠B=x°，∠ADB=90°，
∴∠BAD=90°−x，
∵∠DAE=10°，
∴∠BAE=∠BAD+∠DAE=100°−x，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAC=200°−2x，
∴∠C=180°−∠B−∠BAC=180°−x−200°+2x=(x−20)°；
当AE在AD左侧时，如图1(b)，
∵∠B=x°，∠ADB=90°，
∴∠BAD=90°−x，
∵∠DAE=10°，
∴∠BAE=∠BAD−∠DAE=80°−x，
∵AE平分∠BAC，
∴∠BAC=160°−2x，
∴∠C=180°−∠B−∠BAC=180°−x−160°+2x=(x+20)°，
综上∠C的度数为(x−20)°或(x+20)°，
故答案为：(x−20)°或(x+20)°；
(3)∠1+∠2=2∠B．
理由：由折叠知，∠BGH=12∠BGF，∠BHG=12∠BHF，
∵∠BGF=180°−∠1，∠BHF=180°−∠2，
∴∠BGH=90°−12∠1，∠BHG=90°−12∠2，
∴∠B=180°−∠BGH−∠BHG=12∠1+12∠2，
即∠1+∠2=2∠B．
(1)三角形根据三角形内角和定理求出∠BAC，再由角平分线性质求得∠BAE，再根据三角形的高和直角三角形的性质求得∠BAD，进而由角的和差关系求得结果；
(2)分两种情况，根据直角三角形的性质求得∠BAD，再由角的和差关系求得∠BAE，由角平分线的定义求得∠BAC，最后根据三角形内角和定理求得结果；
(3)根据邻补角性质和角平分线定义用∠1、∠2分别表示∠BGH和∠BHG，再由三角形内角和定理得结果．
本题主要考查了三角形的内角和定理，三角形的高和角平分线的定义，折叠性质，邻补角的性质，关键是熟练运用这些知识解决问题．
25.【答案】甲行驶的时间 甲、乙两人与A地的距离 2 960 60km/h 16 720 乙出发4h后(或甲出发6h后)两人相遇，相遇地点距A地480km 5.5或6.5或14
【解析】解：(1)在图2中表示的自变量是甲行驶的时间，因变量是甲、乙两人与A地的距离；
故答案为：甲行驶的时间；甲、乙两人与A地的距离；
(2)由图象可知，乙比甲晚出发2 h，B，C两地相距1080−120=960(千米)；
故答案为：2；960；
(3)甲的驾车速度为：(240−60)÷3=60(km/h)；
故答案为：60km/h；
(4)由题意可得，m=960÷60=16，
乙的驾车速度为：240÷(3−1)=120(km/h)，
所以n=120×(8−2)=720，
故答案为：16；720；
(5)在图2中点E表示的含义是乙出发4h后(或甲出发6h后)两人相遇，相遇地点距A地480km；
故答案为：乙出发4h后(或甲出发6h后)两人相遇，相遇地点距A地480km；
(6)分两种情况，①2
解得：x1=5.5，x2=6.5，
②8
∴45(x−6)+720−(60x+120)=30，
∴x3=14，
综上，当x=5.5或6.5或14时，甲，乙相距30km．
故答案为：5.5或6.5或14．
(1)根据函数的定义解答即可；
(2)由图象可得乙比甲晚出发2 h，B，C两地相距1080−120=960(千米)；
(3)根据点E的坐标可求出甲，乙两人的驾车速度；
(4)根据两车的速度可得答案；
(5)根据点E的坐标解答即可；
(6)分两种情况，①2
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