2023年江苏省扬州市邗江区梅苑双语学校中考数学四模试卷（含解析）

这是一份2023年江苏省扬州市邗江区梅苑双语学校中考数学四模试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年江苏省扬州市邗江区梅苑双语学校中考数学四模试卷
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列四个数中，是负数的是(    )
A. |−3| B. −(−3) C. (−3)2 D. − 3
2. 下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是(    )
A. B.
C. D.
3. 下列计算正确的是(    )
A. a2+a5=a7 B. a3⋅a2=a5 C. (a2)4=a6 D. a6÷a−1=a5
4. 工人砌墙时，先在两个墙脚的位置分别插一根木桩，再拉一条直的参照线，就能使砌的砖在一条直线上，这样做应用的数学知识是(    )
A. 两点确定一条直线 B. 垂线段最短
C. 两点之间，线段最短 D. 三角形两边之和大于第三边
5. 对于数据：2、2、5、3、7、5、5.下列统计量不能在原数据中找出的是(    )
A. 极差 B. 平均数 C. 中位数 D. 众数
6. 由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图如图，则搭成该几何体的小正方体的个数最少是(    )

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
7. 若直角三角形两直角边长分别为6和7，则其斜边长度的整数部分为(    )
A. 10 B. 9 C. 8 D. 7
8. 如图，⊙A半径为1，圆心A(0,3)，点B是⊙A上动点，点C在二次函数y=x2−1图象上运动，则线段BC的最小值为(    )
A. 152−1
B. 1
C. 32
D. 5−12


二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
9. 2023年5月6日，“五一”消费数据出炉，国内旅游收入约148000000000元，将数据148000000000用科学记数法表示为______ ．
10. 多项式xy2−9x因式分解的结果为______ ．
11. 函数y=2− x1−x的自变量x的取值范围是______．
12. 小于10的正整数中任取一个，恰好大于6的概率为______ ．
13. 已知甲、乙两个圆锥侧面展开图的面积相等，母线长分别为l甲、l乙，底面半径分别为r甲、r乙，若l甲：l乙=3：2，则r甲：r乙= ______ ．
14. 当3(x+m)−2n=6，2(x−n)+m=3时，代数式3x−4n的值为______ ．
15. 如图，点A，B，C在圆O上，∠ACB=54°，则∠ABO的度数是______ ．


16. 若点P(a,2a−1)在一、三象限角平分线的下方，则a的取值范围是______ ．
17. 如图，在x轴上有一点A(3,0)，点D是点A关于y轴的对称点，点B在反比例函数y=kx(x<0)的图象上，连接BD，交反比例函数图象于点C，若OC//AB，△ABD的面积是24.则k的值是______．


18. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB=25，AC=2，点D为BC边上动点，过点D作AD垂线交AB于点E.当点D由点C运动至点B时，点E运动路径长______ ．


三、解答题（本大题共10小题，共96.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题8.0分)
(1)计算：−327+(−12)−1+(π−3.14)0；
(2)化简：a2−4a−3⋅(1−1a−2)．
20. (本小题8.0分)
解不等式组：x−3(x−2)≥42x−15>x−13，并把解集在数轴上表示出来．


21. (本小题8.0分)
一个不透明的盒子中放有四张分别写有数字1，2，3，4的红色卡片和三张分别写有数字1，2，3的蓝色卡片，卡片除颜色和数字外完全相同．
(1)从中任意抽取一张卡片，该卡片上写有数字1的概率为______ ；
(2)将3张蓝色卡片取出后放入另外一个不透明的盒子内，然后在两个盒子内各任意抽取一张卡片，以红色卡片上的数字作为十位数，蓝色卡片上的数字作为个位数组成一个两位数，求这个两位数不大于32的概率．
22. (本小题8.0分)
青少年的健康素质是全民族健康素质的基础.某校为了解学生寒假参加体育锻炼的
情况，从七、八、九年级学生中各随机抽取了该年级学生人数的5%，调查了他们平均每周参加体育锻炼的时长，并对这些数据进行整理、描述和分析，下面给出部分信息．
a.七，八年级学生平均每周参加体育锻炼时长数据的折线图如下：

b.九年级学生平均每周参加体育锻炼的时长：
7，8，8，11，9，7，6，8；
c.七、八、九年级学生平均每周参加体育锻炼时长的平均数、中位数、众数：
年级
平均数
中位数
众数
七年级
7.1
7
6，10
八年级
7
m
n
九年级
p
8
8
根据所给信息，回答下列问题：
(1)表中m的值是______ ，n的值是______ ，p的值是______ ；
(2)设七、八、九三个年级学生参加体育锻炼时长的方差分别是S12，S22，S32，直接写出S12，S22，S32之间的大小关系(用“<”连接)；
(3)估计全校九年级所有学生中，共有______ 名学生参加体育锻炼的时长不少于9小时．
23. (本小题10.0分)
如图，在四边形ABCD中，AB//DC，AB=AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE．
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若AB= 5，BD=2，求OE的长．

24. (本小题10.0分)
山地自行车越来越受年轻人的喜爱.某车行经营的A型山地自行车去年销售总额为30万元，今年每辆车售价比去年降低了200元.若卖出的数量相同，销售总额将比去年减少10%，今年A型车每辆售价多少元？
25. (本小题10.0分)
如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点O在AB上，以点O为圆心，OA为半径的圆恰好经过点D，分别交AC、AB于点E、F．

(1)试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若BD=2 3，AB=6，求阴影部分的面积(结果保留π)．
26. (本小题10.0分)
尺规作图：保留作图痕迹，不要求写作法．

(1)过点A作一条直线，使其平分△ABC的面积．
(2)在BC上求作一点E，使△ACE与△ACD面积相等．
(3)过点D作一条直线，使其平分△ABC的面积．
27. (本小题12.0分)
某商场销售一种成本为20元/kg的商品，市场调研反映：在某个月的第x天(1≤x≤30)的销售价格为(40+x)元/kg，日销售量y(kg)与x的函数关系如图所示．
(1)求y与x的函数解析式；
(2)销售该商品第几天时，日销售利润最大？
(3)结合函数图象回答，在当月有多少天的日销售利润大于2250元？

28. (本小题12.0分)
【问题情境】：如图1，在△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于D，BD=3，DC=2，求AD的长．
【问题解决】小明同学是这样分析的：将△ABD沿着AB翻折得到△ABE，将△ACD沿着AC翻折得到△ACF，延长EB、FC相交于点G，设AD为x，在Rt△GBC中运用勾股定理，可以求出AD的长．
(1)说明四边形AEGF是正方形；
(2)求出AD的长．
【方法提炼】请用小明的方法解决以下问题：
(3)如图2，四边形ABCD中，∠BAD=45°，BC=6，CD=8，BD=10，求AC的最大值．
(4)如图3，四边形ABCD中，BC=6，AD=2，点E是AB上一点，且∠DEC=135°，AE=3，BE=4，则CD的最大值为______ .(直接写出结果)


答案和解析

1.【答案】D 
【解析】解：|−3|=3，−(−3)=3，(−3)2=9，
∴四个数中，负数是− 3．
故选：D．
根据小于0的是负数即可求解．
此题主要考查了正数和负数，判断一个数是正数还是负数，关键是看它比0大还是比0小．

2.【答案】C 
【解析】解：A、原图不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、原图不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；
D、原图不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：C．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．

3.【答案】B 
【解析】解：因为a2，a5不是同类项，不能合并，所以A不正确，不符合题意；
因为a3⋅a2=a3+2=a5，所以B正确，符合题意；
因为(a2)4=a2×4=a8，所以C不正确，不符合题意；
因为a6÷a−1=a6−(−1)=a7，所以D不正确，不符合题意．
故选：B．
由同类项的定义判断A，再根据同底数幂相乘法则计算判断B，然后根据幂的乘方法则计算判断C，最后根据同底数幂相除法则判断D．
本题主要考查了幂的运算和同类项，掌握运算法则是解题的关键．

4.【答案】A 
【解析】解：这样做应用的数学知识是两点确定一条直线，
故选：A．
根据两点确定一条直线判断即可．
本题考查的是两点确定一条直线、垂线段最短，熟练掌握直线的性质是解题的关键．

5.【答案】B 
【解析】解：A、极差为7−2=5，此选项不符合题意；
B、平均数是(2+2+5+3+7+5+5)÷7=297，此选项符合题意；
C、把数据从小到大排列为2、2、3、5、5、5、7，处于中间位置的数据是5，则中位数是5，此选项不符合题意；
D、众数为5，此选项不符合题意；
故选：B．
分别计算出极差、平均数、中位数和众数即可得出答案．
本题考查了统计中的极差、平均数、众数、中位数的计算．解题的关键是掌握计算公式或方法．注意：众数是指出现次数最多的数，在一组数据中有时出现次数最多的会有多个，所以其众数也会有多个．

6.【答案】B 
【解析】解：根据左视图和主视图，这个几何体的底层最少有1+1+1=3个小正方体，
第二层最少有1个小正方体，
因此组成这个几何体的小正方体最少有3+1=4个．
故选：B．
根据三视图的知识，主视图是由4个小正方形组成，而左视图是由4个小正方形组成，故这个几何体的底层最少有3个小正方体，第2层最少有1个小正方体．
本题考查了由几何体判断三视图，意在考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就容易得到答案．

7.【答案】B 
【解析】解：∵直角三角形两直角边长分别为6和7，
∴斜边= 62+72= 36+49= 85≈9.2，
即斜边长度的整数部分为9．
故选：B．
直接根据勾股定理可得答案．
此题考查的是勾股定理，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．

8.【答案】A 
【解析】解：设点C(m,m2−1)，
∵A(0,3)，
∴AC2=(m−0)2+(m2−1−3)2
=m4−7m2+16
=(m2−72)2+154，
∵a=1>0，
∴AC2有最小值为154，
∴AC最小值为 152，
∵⊙A半径为1，
∴BC的最小值为 152−1．
故选：A．
设出点C坐标，求出AC长度的最小值，就能求出BC长的最小值．
本题考查了二次函数图象及性质的应用，两点间线段长的求法是解题关键．

9.【答案】1.48×1011 
【解析】解：148000000000=1.48×1011，
故答案为：1.48×1011．
将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，这种表示数的方法叫做科学记数法，据此即可得出答案．
本题考查科学记数法表示较大的数，科学记数法是基础且重要知识点，必须熟练掌握．

10.【答案】x(y+3)(y−3) 
【解析】解：xy2−9x
=x(y2−9)
=x(y+3)(y−3)，
故答案为：x(y+3)(y−3)．
先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答．
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．

11.【答案】x≥0且x≠1 
【解析】解：根据题意得：x≥0且1−x≠0，
解得：x≥0且x≠1．
故答案为：x≥0且x≠1．
根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围．
考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．

12.【答案】13 
【解析】解：由题意可得，
小于10的正整数中任取一个，恰好大于6的概率为39=13，
故答案为：13．
根据题意可知：小于10的正整数有9个数字，其中大于6的正整数有7，8，9三个，然后即可求出相应的概率．
本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率．

13.【答案】2：3 
【解析】解：∵甲、乙两个圆锥侧面展开图的面积相等，母线长分别为l甲、l乙，底面半径分别为r甲、r乙，
∴12⋅l甲⋅2πr甲=12⋅l乙⋅2πr乙，
∴l甲⋅r甲=l乙⋅r乙，
∵l甲：l乙=3：2，
∴r甲：r乙=l乙：l甲=2：3．
故答案为：2：3．
根据扇形的面积=弧长与半径的积的一半得出12⋅l甲⋅2πr甲=12⋅l乙⋅2πr乙，求出l甲⋅r甲=l乙⋅r乙，根据l甲：l乙=3：2求出r甲：r乙即可．
本题考查了圆锥的计算，能熟记扇形的面积公式是解此题的关键，注意：扇形的面积=弧长与半径的积的一半．

14.【答案】3 
【解析】解：∵3(x+m)−2n=6，整理得3x+3m−2n=6①，
2(x−n)+m=3，整理得2x−2n+m=3②，
②×3得6x−6n+3m=9③，
③−①得3x−4n=3，
故答案为：3．
利用加减消元法消去m即可求解．
本题考查了加减消元法，利用了消元的思想，利用加减消元法消去m是解题的关键．

15.【答案】36° 
【解析】解：根据题意得∠AOB=2∠ACB=2×54°=108°，
∵OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO，
∴∠ABO=12(180°−∠AOB)=12(180°−108°)=36°．
故答案为36°．
先利用圆周角定理得到∠AOB=2∠ACB=108°，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算∠ABO的度数．
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．

16.【答案】a<1 
【解析】解：由题意知a>2a−1，
解得a<1，
故答案为：a<1．
根据一、三象限的角平分线下方点的坐标特点列出关于a的不等式，解之即可．
本题主要考查点的坐标与解一元一次不等式，解题的关键是根据一、三象限的角平分线上点的横纵坐标相等列出方程．

17.【答案】−8 
【解析】解：作BE⊥x轴于点E，CF⊥x轴于点F，

∵点D为点A关于y轴对称点，
∴D坐标为(−3,0)，
∴AD=6，
∵S△ABD=12BE⋅AD=24，
∴BE=8，
∵OC//AB，
∴△DCO∽△DBA，
∴OCAB=DOAD=12，
∵△OCF∽△ABE，
∴CFBE=OCAB=OFAE=12，
∴CF=12BE=4，
∵B，C在图象上，
∴B(k8,8)，C(k4,4)，
∵AE=3−k8，OF=−k4，
∴−k43−k8=12，
解得k=−8．
故答案为：−8．
作BE⊥x轴于点E，CF⊥x轴于点F，由S△ABD=12BE⋅AD=24可得BE长度，根据△DCO∽△DBA，△OCF∽△ABE可得CF=12BE=4，OFAE=12，用含k代数式表示OF，AE，进而求解．
本题考查反比例函数与三角形的综合应用，解题关键是掌握反比例函数的性质，掌握相似三角形的判定与性质，通过添加辅助线求解．

18.【答案】307 
【解析】解：以AB为直径的圆与CB交于两点，说明点E进行的往复运动，当圆O与CB相切时，BE最大，此时，连接OD，则OD⊥CB，
∵∠C=90°，sinB=25，AC=2，
∴AB=5，设圆的半径为r，
在Rt△ODB中，sinB=ODOB=r5−r=25，
∴r=107，
∴BE=5−2r=157，
∵点E进行的往复运动，
∴路径长为307，
故答案为：307．
E点从B出发进行的往复运动，只要求出BE的最大值即可，∠ADE=90°，所以想到作以AB为直径的圆，当圆与BC相切时，BE最大．
本题考查了隐圆、直线与圆的位置关系、解直角三角形，关键是搞清BE什么时候最大．

19.【答案】解：(1)−327+(−12)−1+(π−3.14)0
=−3+(−2)+1
=−4；
(2)a2−4a−3⋅(1−1a−2)
=(a+2)(a−2)a−3⋅a−2−1a−2
=(a+2)(a−2)a−3⋅a−3a−2
=a+2． 
【解析】(1)先化简各式，然后再进行计算即可解答；
(2)先利用异分母分式加减法法则计算括号里，再算括号外，即可解答．
本题考查了分式的混合运算，实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．

20.【答案】解：x−3(x−2)≥4①2x−15>x−13②，
解不等式①得：x≤1，
解不等式②得：x>−2，
∴原不等式组的解集为：−2 ∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示：
 
【解析】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答．
本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．

21.【答案】27 
【解析】解：(1)∵在7张卡片中共有两张卡片写有数字1，
∴从中任意抽取一张卡片从中任意抽取一张卡片，卡片上写有数字1的概率为27；
(2)画树状图如图：

共有12个等可能的结果，两位数不大于32的结果有8个，
∴两位数不大于32的概率为812=23．
(1)在7张卡片中共有两张卡片写有数字1，利用概率公式求解即可求得答案；
(2)画出树状图，共有12个等可能的结果，两位数不大于32的结果有8个，由概率公式即可得出答案．
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率=所求情况数与总情况数之比．

22.【答案】6  6  8  40 
【解析】解：(1)把被抽取的八年级的8名学生平均每周参加体育锻炼的时长从小到大排列，排在中间的两个数分别是6、6，故中位数m=6+62=6；
被抽取的八年级的8名学生平均每周参加体育锻炼的时长中，6出现的次数最多，故众数n=6；
被抽取的九年级学生平均每周参加体育锻炼的时长的平均数p=18×(7+8+8+11+9+7+6+8)=8．
故答案为：6；6；8；
(2)由题意可知，七年级8名学生平均每周参加体育锻炼的时长在2到12之间波动，波动幅度最大，故方差最大；九年级8名学生平均每周参加体育锻炼的时长在7到11之间波动，波动幅度最小，故方差最小；
∴S32 (3)8÷5%×28=40(名)，
即估计全校九年级所有学生中，共有40名学生参加体育锻炼的时长不少于9小时．
故答案为：40．
(1)分别根据中位数、众数和算术平均数的定义解答即可；
(2)根据数据的波动情况判断即可；
(3)用样本估计总体即可．
本题考查折线统计图、中位数、众数、平均数、方差以及用样本估计总体，掌握中位数、众数的计算方法是正确解答的关键．

23.【答案】(1)证明：∵AB//DC，
∴∠OAB=∠DCA，
∵AC为∠DAB的平分线，
∴∠OAB=∠DAC，
∴∠DCA=∠DAC，
∴CD=AD=AB，
∵AB//DC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD=AB，
∴平行四边形ABCD是菱形；
(2)解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC，BD⊥AC，
∵CE⊥AB，
∴OE=OA=OC，
∵BD=2，
∴OB=12BD=1，
在Rt△AOB中，AB= 5，OB=1，
∴OA= AB2−OB2= 5−1=2，
∴OE=OA=2． 
【解析】(1)先判断出∠OAB=∠DCA，进而判断出∠DCA=∠DAC，得出CD=AD=AB，即可得出结论；
(2)先判断出OE=OA=OC，再求出OB=1，利用勾股定理求出OA，即可得出结论．
此题主要考查了菱形的判定和性质，掌握平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，勾股定理，判断出CD=AD=AB是解答本题的关键．

24.【答案】解：设今年A型车每辆售价x元，则去年A型车每辆售价为(x+200)元，
由题意得：300000x+200=300000(1−10%)x，
解得：x=1800．
经检验，x=1800是原方程的解，且符合题意，
答：今年A型车每辆售价1800元． 
【解析】设今年A型车每辆售价x元，则去年A型车每辆售价为(x+200)元，根据卖出的数量相同，列出分式方程，解方程即可．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．

25.【答案】(1)直线BC是⊙O的切线
证明：连接OD，如图：
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∵AD平分∠CAB，
∴∠OAD=∠CAD，
∴∠CAD=∠ODA，
∴AC//OD，
∴∠ODB=∠C=90°，
即BC⊥OD，
又∵OD为⊙O的半径，
∴直线BC是⊙O的切线；
(2)解：设OA=OD=r，则OB=6−r，
在Rt△ODB中，由勾股定理得：OD2+BD2=OB2，
∴r2+(2 3)2=(6−r)2，
解得：r=2，
∴OB=4，
∴OD= OB2−BD2= 42−(2 3)2=2，
∴OD=12OB，
∴∠B=30°，
∴∠DOB=180°−∠B−∠ODB=60°，
∴阴影部分的面积S=S△ODB−S扇形DOF=12×2 3×2−60π×22360=2 3−2π3． 
【解析】(1)连接OD，求出OD//AC，求出OD⊥BC，根据切线的判定得出即可；
(2)根据勾股定理求出OD=2，求出OB=4，得出∠B=30°，再分别求出△ODB和扇形DOF的面积即可．
本题考查了切线的判定，平行线的性质和判定，等腰三角形的性质，扇形的面积计算、含30°角的直角三角形的性质，勾股定理等知识点；熟练掌握切线的判定与性质和勾股定理是解此题的关键．

26.【答案】解：(1)如图直线AT即为所求；
(2)如图，点E即为所求；
(3)如图，直线DF即为所求．
 
【解析】(1)作出线段BC的垂直平分线，垂足为T，作直线AT即可；
(2)作∠BDE=∠A，DE交BC与点E，点E即为所求；
(3)作出中线AT，连接DT，作AF//DT，AF交BC与点F，作直线DF即可．
本题考查作图−复杂作图，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

27.【答案】解：(1)设y=kx+b(k≠0)，
把(5,90)，(10,80)代入上式得，
5k+b=9010k+b=80，
解得，k=−2b=100，
∴y与x的函数解析式为：y=−2x+100．
(2)设日销售利润为w元，
由题意得：w=(40+x−20)(−2x+100)
=−2x²+60x+2000
=−2(x−15)²+2450，
∵−2<0，1≤x≤30，
∴当x=15时，w最大，
答：销售该商品第15天时，日销售利润最大．
(3)令w=2250，
则−2(x−15)²+2450=2250，
解得，x1=5，x2=25，
结合二次函数图象可知，
当52250，
∴有19天的日销售利润大于2250元． 
【解析】(1)设y=kx+b(k≠0)，根据图象取两个点坐标代入，求出k，b的值即可．
(2)设日销售利润为w元，列出w关于x的函数关系式，求最大值即可．
(3)令w=2250，求出一元二次方程的两个解，结合二次函数的草图求出x的范围，从而得到结果．
本题主要考查了一次函数的应用，二次函数的应用，读懂题意，正确列出函数关系式是解题的关键．

28.【答案】13 
【解析】解：(1)∵将△ABD沿着AB翻折得到△ABE，将△ACD沿着AC翻折得到△ACF，
∴AE=AD=AF，BD=BE=3，DC=CF=2，∠BAD=∠BAE，∠CAD=∠CAF，∠E=∠ADB=90°，∠F=∠ADC=90°，
∵∠BAC=45°，
∴∠EAF=∠BAD+∠BAE+∠CAD+∠CAF=90°，
∴四边形AEGF是矩形，
∵AE=AF，
∴四边形AEGF是正方形；
(2)设AD=x=AE=AF，
∵四边形AEGF是正方形，
∴AE=EG=GF=AF，∠G=90°，
∴BG=x−3，CG=x−2，
在Rt△GBC中，BC2=BG2+CG2，
∴(3+2)2=(x−3)2+(x−2)2，
∴x=6(负值舍去)，
∴AD=6；
(3)如图2，将△ABC沿着AB翻折得到△ABE，将△ACD沿着AD翻折得到△ADF，连接EF，
∴AE=AC=AF，∠BAC=∠BAE，∠CAD=∠DAF，BE=BC=6，CD=DF=8，
∵∠BAD=45°，
∴∠EAF=90°，
∴EF= 2AE= 2AC，
∵BC=6，CD=8，BD=10，
∴∠BCD=90°，
当BE，BD，DF三条线段共线时，EF有最大值=6+8+10=24，
则AC的最大值=24 2=12 2；

(4)如图3，将△ADE沿着DE翻折得到△NDE，将△BCE沿着CE翻折得到△MCE，连接MN，

∴AD=DN=2，BC=CM=6，AE=NE=3，ME=BE=4，∠AED=∠DEN，∠CEB=∠CEM，
∵∠DEC=135°，
∴∠AED+∠CEB=45°，
∴∠NEM=∠DEC−(∠DEN+∠CEM)=90°，
∴MN= ME2+NE2= 42+32=5，
当DN，MN，MC三条线段共线时，CD有最大值=2+5+6=13，
故答案为：13．
(1)由折叠的性质可得AE=AD=AF，BD=BE=3，DC=CF=2，∠BAD=∠BAE，∠CAD=∠CAF，∠E=∠ADB=90°，∠F=∠ADC=90°，可证四边形AEGF是正方形；
(2)由正方形的性质可得AE=EG=GF=AF，∠G=90°，由勾股定理可求解；
(3)将△ABC沿着AB翻折得到△ABE，将△ACD沿着AD翻折得到△ADF，由折叠的性质可求EF=AC，当BE，BD，DF三条线段共线时，EF有最大值=6+8+10=24，即可求解；
(4)由折叠的性质可得AD=DN=2，BC=CM=6，AE=EN=3，EB=EM=4，∠AED=∠DEN，∠CEB=∠CEM，可求MN=5，当DN，MN，MC三条线段共线时，CD有最大值．
本题是四边形综合题，考查了折叠的性质，正方形的判定和性质，勾股定理等知识，利用折叠的性质添加辅助线是解题的关键．