【小升初奥数竞赛培优专题】六年级下册数学-组合模块综合

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组合模块综合

一、知识点

1、必胜策略
取火柴棒类
逆推法找胜负点类

2、容斥原理
三个对象的复杂容斥

3、抽屉原理
“抽屉”与“苹果”未知
构造“抽屉”

4、最值问题
和同近积大
极端思考

5、构造与论证
染色构造

6、抽杀问题




二、学习自标

1. 我能够掌握必胜策略中的思想并解决实际问题。

2.我能够理解容斥原理和抽屉原理，并运用它们解决复杂问题。

3.我能够运用和同近积大的原则解决最值问题。


三、课前练习
1.在一副扑克牌中，最少要拿多少张，才能保证在拿出的牌中四种花色都出现？
【答案】：42

2.全班50名同学，会骑自行车的有23人，会滑旱冰的有35人，两样都会的有16人，则两样都不会的有多少人？
【答案】：8
【解析】：
23＋35－16＝42（人）50－42＝8（人）


四、典型例题
例题1
有100枚棋子，修远和思琪两个人轮流取，规定每次至少取1枚，至多取4枚。
（1）规定取走最后一枚棋子获胜，如果修远先取，那么谁有必胜策略？
（2）规定取走最后一枚棋子失败，仍然让修远先取，那么谁有必胜策略？
【答案】：思琪；修远
【解析】：
（1）100÷（1＋4）＝20，所以修远开始无论取几枚，思琪只要每回合和他凑5即可获胜。
（2）留下最后一枚，（100－1）÷（1＋4）＝19……4，修远只要开局先取走4枚，后面每回合和思琪凑5即可保证获胜。

例题2
如图，方格A中放有一枚棋子，按照甲先乙后的顺序轮流移动这枚棋子，只能向上、向右或向右上方沿45°角走1步，最终将棋子走到方格B的人获胜。请问谁有必胜策略，怎么走？如果每次允许往同一方向（上、右或右上）走任意多步，谁有必胜策略？

【答案】：甲、甲
【解析】：
分为必胜点和必败点，终点是必胜点，从终点逆推，将相邻的格子依次标记（必胜点标记为“√”，必败点标记为“×”）每次只能走1步的话，标记如下图：


可知甲有必胜策略，每一步把棋子移到"√"即可。
每次可以走任意多步的话，按照刚才的方法进行标记，标记如下图：

可知甲有必胜策略，第一步把棋子移到"√"即可。
例题3
六年三班有学生46人，在调查家中是否有电子琴和小提琴时发现，有电子琴的有22人，两种琴都没有的有14人，只有小提琴的与两种琴都有的人数之比是5：3。请问：只有电子琴的有多少人？
【答案】：16
【解析】：
至少有一种琴的有46－14＝32（人）
此时，只有小提琴的人即为没有电子琴的人，有32－22＝10（人）
可得，两种琴都有的人有10÷5×3＝6（人）
只有电子琴的有22－6＝16（人）

例题4
某年级60人中有的同学爱打乒乓球，的同学爱踢足球，的同学爱打篮球，这三项运动都爱好的有22人。请问：这个年级最多有多少人这三项运动都不爱好？
【答案】：4
【解析】：
易知爱好乒乓球、足球、篮球的同学分别有40、45、48人。
去掉三项都爱好的，分别还有18、23、26人。
（18＋23＋26）÷2＝3……1
至少爱好一项运动的有22＋33＋1＝56（人）
三项运动都不爱好的有60－56＝4（人）







例题5
10名运动员进行羽毛球比赛，每2名运动员都要比赛一场，每场比赛三局两胜。如果在所有各局比赛中，最高得分为23比21，那么至少有多少局的比分相同？
【答案】：5
【解析】：
一共要赛＝45（场），每场比赛至少2局，最少要赛45×2＝90（局）
比赛的得分包含了若干种可能，从21比0到21比19，还有22比20和23比21，共22 种情况。
90÷22＝4……2，所以至少有5局的比分相同。

例题6
证明：从八个连续自然数中任意选出五个，其中必有两个数的差等于4。
【答案】：见解析
【解析】：
设八个连续自然数为a、a十1、a＋2、……、a＋7
其中差为4的有a和a＋4、a＋1和a＋5、a＋2和a＋6、a＋3和a＋7，将其分为4组，即4个抽屉。
当选出5个数时，一定会有两个数在同一个抽屉里，则差必为4。

例题7
把1~9这9个数字填入下列算式中的九个方格中（每个数字只用一次），分别写出使乘积最大或最小的填法。


【答案】：7631×852×94； 3689×257×14
【解析】：
先把每个数都统一成四位数，数位不够的填0，即□□□□×□□□0×□□00 考虑乘积最大，高位数字必须保证大，同时依照和同近积大，三个数的首位应为7、8、9，且末尾含0的数首位应该尽量大，百位十位个位依次填写即可。考虑乘积最小，高位数字越小越好，同时依照和同远积小，三个数的首位应为1、2、3，且末尾含0的数首位应该尽量小，其他数位依次填写即可。

例题8
将1~50依次写成一排：123……4950，形成一个多位数。从这个多位数中划掉50个数字使得剩下的数最小，最小为多少？
【答案】：
【解析】：
要想数字尽量小，那么就得从首位开始数字尽量小，且首位不能是0，只能为1。首先划掉2~9；然后划掉10十位的1，保留个位的0；接下来划掉11~19和20 十位的2；以此类推划掉21~29和 30十位的3，现在的数字为10003132……
此时已经划掉了47个数字，只剩下3个数位需要划掉，接下来的数为31323334 所以需要划掉的分别是3、3、4，保证接下来的数字最小。


例题9
有2020名学生站成一圈，按顺时针方向依次编号为1，2，3，……，2020。从第1号开始1至2报数，凡是报到2的学生离开圈子，这样循环进行到最后只剩下一名学生为止。最后剩下的这名学生的编号是多少？
【答案】：1993
【解析】：
通过找规律易知，当有2n个学生时，按照留1去2的原则，最后留下的一定是第1号。
在2020个学生中，2"最大可取到1024，多出了2020－1024＝996个学生。所以在去掉 996个学生后，剩下的1024 个学生又符合了2"的规律，此时剩下的第997个学生作为排头，最后一定会留下。第997个学生的编号为996×2＋1＝1993

选讲题
能否用11个1×4的长方形和5个2×2的正方形覆盖住一个8×8的正方形？
【答案】：不能
【解析】：

如图，一共16个绿色小正方形，48个白色小正方形。每个2×2的正方形必定是1绿3白；每个1×4的长方形必定是2绿2白或0绿4白。
从绿色小正方形数量上来看是满足题意的，但实际覆盖的时候，先覆盖2×2正方形，剩下 48－3×5＝33 （（个）白色正方形。33为奇数，无论1×4的长方形如何覆盖，盖住的一定是偶数个白色正方形，因此无法完成。




五、课后作业
1.有2016根火柴，修远和思琪两个人轮流取，规定每次至少取1根，至多取3根。
（1）规定取走最后一根火柴获胜，如果修远先取，那么谁有必胜策略？
（2）规定取走最后一根火柴失败，仍然让修远先取，那么谁有必胜策略？
【答案】：思琪；修远
【解析】：
（1）2016÷（1＋3）＝504，所以修远开始无论取几根，思琪只要每回合和他凑4 即可获胜。
（2）留下最后一根，（2016－1）÷（1＋3）＝503……3，修远只要开局先取走3根，后面每回合和思琪凑 4 即可保证获胜。

2.如图，方格A中放有一枚棋子，按照甲先乙后的顺序轮流移动这枚棋子，只能向上、向右或向右上方沿45°角走1步，最终将棋子走到方格B的人获胜。请问谁有必胜策略，怎么走？如果每次允许往同一方向（上、右或右上）走任意多步，谁有必胜策略？

【答案】：甲；甲
【解析】：
分为必胜点和必败点，终点是必胜点，从终点逆推，将相邻的格子依次标记（必胜点标记为“√”，必败点标记为“×”）每次只能走1步的话，标记如下图：

可知甲有必胜策略，每一步把棋子移到"√"即可。
每次可以走任意多步的话，按照刚才的方法进行标记，标记如下图：

可知甲有必胜策略，第一步把棋子移到“√”即可。

3.48个人中无弟弟的有38人，有弟弟无妹妹的有8人，无弟弟有妹妹的人数是有弟弟有妹妹人数的2倍。这 48人中独生子女有多少人？
【答案】：34
【解析】：

无弟弟的有38人，所以有弟弟的有48－38＝10（人）
有弟弟无妹妹的有8人，则即有弟弟又有妹妹的有10－8＝2（人））
所以无弟弟有妹妹的人数是2×2＝4（人）
独生子女一共有48－8－2－4＝34（人）

4.一次数学测试，思思答错了题目总数的，乐乐答错了3道题，两人都答错的题目是题目总数的，求思思、乐乐都答对的题目数。
【答案】：8
【解析】：

如图，图中各部分分别设为 a、b、c、d，题目总数设为N。
根据题意可得：

易知N一定为4和6的公倍数，且b不超过3
经尝试得N＝12所以a＝1，b＝2，c＝1。
d＝12－1－2－1＝8


5.从1，2，3，……，2019，2020这些数中最多可以选出多少个数，使其中任意两个数的差都不等于4？
【答案】：1012
【解析】：
将1~2020分成4 组：
1，5，9，……，2017
2，6，10，……，2018
3，7，11，……，2019
4，8，12，……，2020
每组中相邻两项的差都是4，因此，要使取出的数中，任意两个数的差不等于4，则不能取相邻的项。每组中取出一半多1个，最多可取出253×4＝1012个数。
法2：8个数为一个周期，2020÷8＝252……4，每个周期取4个数，252×4＋4＝1012（个）





6.从1~11这11个自然数中任意取出6个，证明：其中必有2个数互质。
【答案】：见解析
【解析】：
将11个自然数分为5组（1，2，3，5，7，11）、（4，9）、（6）、（8）、（10），作为5个抽屉。任取6个数，则必有两个数出现在同一个抽屉中，即互质。


7.请将数字5、6、7、8、9填入下面算式的方格中（每个数字只能使用一次），使得算式的结果最大。

【答案】：875×96
【解析】：
把乘数统一为三位数，用0补全末位。按照和同近积大的原则，易得875×96。


8.将1~50依次写成一排：123……4950，形成一个多位数。从这个多位数中划掉 50个数字使得剩下的数最大，最大为多少？
【答案】：9993333343536……4950
【解析】：
要想数最大，那么从首位开始数字应该尽量保证都是9。于是首先划掉1~8，留下一位数的9：然后划掉10~18和19十位上的1，留下19个位的9；然后划掉20~28和 29十位上的2，留下 29个位的9。
此时已经划掉了8＋19＋19＝46个数字了，只剩下4个需要划掉的数字。接下来的数为3031323334，所以需要划掉的分别是0、1、2、3。综上所述，最后的答案为9993333343536……4950

9.如图，用1×2和1×3两种规格的小长方形地板砖铺满5×8的地面，至少需要多少块地板砖？

【答案】：14
【解析】：
设需要用 a块1×2的和b块1×3的地板砖。
2a＋3b＝40
可以解得，，，，，，
其中最少的是2＋12＝14块。通过染色进行验证
易知每个1×2占了1绿1白，每个1×3占了2绿1白或1绿2白，一共20绿20白，可以构造出来。



10.将1~2020这2020个自然数按顺时针方向依次排列在一个圆圈上。从1开始按顺时针方向，擦去1，保留2，擦去3，保留4，……这样每隔一个数擦去一个数，转圈擦下去，直到最后剩下一个数。最后剩下的数是多少？
【答案】：1992
【解析】：
通过找规律易知，当有2n个数时，按照去1留2的原则，最后留下的一定是第2n个数。
在 2020个数中，2n最大可取到1024，需要先擦去2020－1024＝996个数。所以在去掉 996个数后，下一个该去掉的数是996×2＋1＝1993，所以 1993作为开头，则1992作为末尾，最后剩下的数就是1992。