





【小升初奥数竞赛培优专题】六年级下学期数学-关于9的数论特点讲义
展开关于9的数论特点(解析版)
一、知识点
1、9的倍数的特征
一个数的各个数位上的数字之和是9的倍数,则这个数就是9的倍数。
2、9的余数的特性
一个数除以9的余数等于它的各个数位上的数字之和除以9的余数。
3、弃九法
将和为9或9的倍数的数字划掉,用剩下的数字之和求除以9的余数的方法
应用
计算一个数除以9的余数
检验四则运算的正确性
4、进位和借位
加法进位的数字和变化
无进位时,各个加数的数字之和的和等于和的数字之和
有进位时,每进位一次,和的数字之和就比各个加数的数字之和减少9
减法借位的数字和变化
无借位时,被减数与减数的数字之和的差等于差的数字之和
有借位时,每借位一次,差的数字之和就比被减数与减数的数字之和的差多9
二、学习目标
1.我能够了解数字求和法在9的整除特征与9的特性求余中的应用。
2.我能够掌握弃九法,并能用弃九法求算式除以9的余数。
3.我能够掌握乱切法,并能用乱切法求多位数除以9的余数。
4.我能够运用加减法的进位与借位解决数字和的变化规律问题。
三、课前练习
1. 判断下列各数能否被9整除。
18762 475326 6354711 49865576
【解答】
1+8+7+6+2=24,24不能被9整除,故18762不能被9整除。4+7+5+3+2+6=27,27能被9整除,故475326 能被9整除。6+3+5+4+7+1+1=27,27能被9整除,故6354711能被9整除。4+9+8+6+5+5+7+6=50,50不能被9整除,故49865576不能被9整除。
2. 求下列各数除以9的余数。
642517 1096823 19962017 123234345
【解答】
6+4+2+5+1+7=25,25除以9的余数为7,故642517除以9的余数为7。1+0+9+6+8+2+3=29,29除以9的余数为2,故1096823除以9的余数为2。1+9+9+6+2+0+1+7=35,35除以9的余数为8,故 19962017除以9的余数为8。1+2+3+2+3+4+3+4+5=27,27除以9的余数为0,故123234345除以9 的余数为0。
四、典型例题
思路点拨
两个因数的九余数相乘,所得的数的九余数应当等于两个因数的乘积的九余数。
例题1
(1)用弃九法计算下列算式的结果除以9的余数。
228×222 334×336
【解答】
228的九余数为3,222的九余数为6,3×6=18,18除以9余0,则228×222的结果除以9的余数为0。334的九余数为1,336的九余数为3,1×3=3,3除以9余3,则334×336的结果除以9的余数为3。
(2)用弃九法计算680×680+192×192-464×464的结果除以9的余数。
【解答】
680的九余数为5,192的九余数为3,464的九余数为5,5×5+3×3-5×5=9,9除以9余0,则算式680×680+192×192-464×464的结果除以9余数为0。
练习1
(1)计算算式3145×92653的结果除以9的余数。
【解答】
3145的九余数为4,92653的九余数为7,4×7=28,28除以9余1,则3145×92653的结果除以9的余数为1。
(2)用弃九法计算173×173×173-162×162×162的结果除以9的余数。
【解答】
173的九余数为2,162的九余数为0,2×2×2-0=8,8除以9余8,则算式173×173×173-162×162×162的结果除以9余数为8。
思路点拨
乱切法:把一个数随意切成几段,再求和,然后看和能否被3或9整除。使用时,一般先找规律再切。
例题2:将1至2020这2020个自然数依次写下来得到一个多位数:123456789101112┈20192020,这个多位数除以9的余数是 ( )
【解答】
此题数位太多,没有办法用弃九法,可用乱切法,按照数字规律切成1,2,3,4,5……2018,2019,2020,利用连续9个数的和一定是9的倍数这个特点进行分组,求出剩余几个数,再进行特性求余即可。2020÷9=224(组)……4(个)
(1+2+3+4)÷9=1……1
或(2017+2018+2019+2020)÷9=897……1
(此处可从前面开始分组切,也可以从后面开始分组切。为计算方便,可选数小的计算余数。)
综上所述,原多位数除以9的余数是1。
练习2:将1至2035这2035个自然数依次写下来得到一个多位数:123456789101112┈20342035,这个多位数除以9的余数是 ( )
【解答】
按照数字规律切成1,2,3,4,5……2034,2035。
2035÷9=226(组)……1(个)
1÷9=0……1
综上所述,原多位数除以9的余数是1。
加法减法进位的数字和变化:
1.可列举一下两位数加两位数的加法,并从中总结一下两个加数的数字和与和的数字和的关系。
2. 可以借助竖式谜的形式。
例题3
(1)有A、B两个整数,A的各位数字之和为25,B的各位数字之和为16,两数相加时进位3次,那么A+B的和的各位数字之和是 。
【解答】
在加法中,有进位时,每进位一次,和的数字之和就比各个加数的数字之和的和减少9。此题进位3次,因此要减去9×3,因此A+B的和的各位数字之和是:25+16-9×3=14。
(2)有A、B两个整数,A的各位数字之和为25,B的各位数字之和为16,两数相减时借位2次,那么A-B的差的各位数字之和是 。
【解答】
在减法中,有借位时,每借位一次,差的数字之和就比被减数与减数的数字之和的差多9。此题借位2次,因此要加上9×2,因此A-B的差的各位数字之和是:25-16+9×2=27。
练习3
(1)有C、D两个整数,C的各位数字之和为35,D的各位数字之和为12,两数相加时进位4次,那么C+D的和的各位数字之和是 。
【解答】35+12-9×4=11
(2)有A、B两个整数,A的各位数字之和为7,B的各位数字之和为19,两数相减时借位3次,那么A-B的差的各位数字之和是 。
【解答】7-19+9×3=15
思路点拨
加法减法进位的数字和变化规律的逆运用:
方法一:利用填竖式谜的方法去解答。
方法二:利用数字和变化规律,要先分析进位和借位情况。
例题4
从1~9中选出6个不同的数字填入下面加法竖式的方框中,使竖式成立,则方框中的6个数字之和为 。
【解答】1+2+8+2×9=29
第一种方法:利用填竖式谜的方法可得:492+536=1028或681+347=1028。数字之和为:4+9+2+5+3+6=29或6+8+1+3+4+7=29。
第二种方法:由加法的运算性质可知,这个竖式中,十位、百位均进位了,因此进位了2次,可知,方框中的6个数字之和为:1+0+2+8+2×9=29。
练习4
从1~9中选出7个不同的数字填入下面加法竖式的方框中,使竖式成立,则方框中的7个数字之和为 。
【解答】进位2次,2+8+2×9=28
选讲题
将一个数的各位数字相加得到一个新的数称为一次操作,经连续若干次操作后可以
变为6的数称为“好数”,那么不超过2020的“好数”的个数为 ,这些数的最大公因数是 。
【解答】
题意中的"好数"实际是指小于或等于2020中除以9余6的数有多少个,即数列6、15、24、…、2004、2013。求出(2013-6)里面有几个9,再加上1,就是所有的“好数”;6和15的最大公因数就是这组数列的最大公因数。其个数为:(2013-6)÷9+1=224(个)
(6,15)=3,故所有好数的最大公因数为3。
五、课后作业
1. 用弃九法计算下列算式的结果除以9的余数。
624×376 13468×259
【解答】
624的九余数为3,376的九余数为7,3×7=21,21除以9余3,则 624×376的结果除以9的余数为3。
13468的九余数为4,259的九余数为7,4×7=28,28除以9余1,则13468×259的结果除以9的余数为1。
2. 用弃九法计算183×183+253×253-243×243的结果除以9的余数。
【解答】
183的九余数为3,253的九余数为1,243的九余数为0,3×3+1×1-0=10,10除以9余1,则算式183×183+253×253-243×243的结果除以9余数为1。
3.将1至2028这2028个自然数依次写下来得到一个多位数:123456789101112┈20272028,这个多位数除以9的余数是 ( )
【解答】
2028÷9=225(组)……3(个)
(1+2+3)÷9=0……6
综上所述,原多位数除以9的余数是6。
4.(1)有A、B两个整数,A的各位数字之和为21,B的各位数字之和为15,两数相加时进位3次,那么A+B的和的各位数字之和是 。
【解答】21+15-3×9=9
(2)有A、B两个整数,A的各位数字之和为21,B的各位数字之和为35,两数相减时借位3次,那么A-B的差的各位数字之和是 。
【解答】21-35+3×9=13
5. 从1~9中选出6个不同的数字填入下式的方框中,使竖式成立,则方框中的6个数字之和是 。
【解答】(1+6+1+9)+2×9=35
选做题
一个自然数,把它的各位数字加起来得到一个新数,称为一次变换,例如自然数5636,
各位数字之和为5+6+3+6=20,对20再作这样的变换得2+0= 。
【解答】
单看从1到9就有三组:
①123456789,,,
1+2+3+4+5+6+7+8+9=45,45×3=135
两位数的十位之和为1×10+2×10=30
一次变化后,得数为135+30=165;
二次变化后,得数为1+6+5=12。
最终得数1+2=3最终得到的一位数是3。
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