【小升初奥数竞赛培优专题】六年级下学期数学位值原理讲义

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位值原理

一、知识点

1、定义认识
位值原理是一种将数字和数位结合起来表示数的记数法则

2、表达形式
完全拆分：
部分拆分：

3、组数求和
用完全拆分证明用数字组成的所有数之和一定是某个数的倍数
例如：用数字、和组成的６个无重复数字的三个数之和一定是222的倍数

4、解题方法
竖式谜法
方程法


二、学习目标

1、我能够了解位值原理的定义，并能清楚表述数字与数位之间的关系。

2、我能够灵活运用竖式谜法和方程法解决位值原理的基本类型题。


三、课前练习

1. 489＝ ×100＋ ×10＋ ×1；
【解答】4，8，9

2. 235813＝ ×10000＋ ×100＋ ×1；
【解答】23，58，13

3. ＝ ×10000＋ ×100＋ ×1；
【解答】，68，

4. ＝ ×1000000＋ ×10000＋ ×100＋ ×1；
【解答】，34，，


四、典型例题

思路点拨
1. 位值原理是一种将数字与数位结合起来表示数的记数法则。它规定每一个数都是由数字与数位两部分共同组成的，记数时，同一个数字由于所在的数位不同，表示的数也不同。如在十进制中“3”记在个位上表示3个1，在百位上就表示3个100。

2. 也可以利用加减法竖式谜的方式来解题。




例题1
（1）将一个小数的小数点向右移动两位之后得到一个四位整数，这个四位整数比原来的小数大1999.8。原来的小数是 。
【解答】
因为小数点向右移动了两位，即扩大到原来的100倍，多了99倍。
则有：1999.8÷（100－1）＝20.20。故原来的小数是20.20。

（2）把6写在某个四位数的左端得到一个五位数，把6写在这个数的右端也得到一个五位数，已知这两个五位数的差是32157。这个四位数是 。
【解答】利用竖式谜的方式解题。
设这个四位数为，由题意可得：－＝32157，解得＝3093。故这个四位数为3093。

练习1
（1）将一个小数的小数点向右移动两位之后得到一个四位整数，这个四位整数与原来的小数的和是2904.76。原来的小数是 。
【解答】
因为小数点向右移动了两位，即扩大到原来的100 倍，因此：
2904.76÷（100＋1）＝28.76 故原来的小数是28.76。

（2）把8写在某个四位数的左端得到一个五位数，把8写在这个数的右端也得到一个五位数，已知这两个五位数的差是45369。这个四位数是 。
【解答】利用竖式谜的方式解题。
设这个四位数为为原数，由题意可得：－＝45369，解得＝3847。故这个四位数为3847。



思路点拨
很多关于倍数的位值原理问题都可以转化为一个不太复杂的乘法竖式谜。


例题2
在一个两位数的两个数字中间加一个9，所得的三位数是原数的13倍，这个两位数是 。
【解答】利用竖式谜的方式解题。
设为原数，由题意可得：×13＝，解得a＝1，b＝5或a＝3，b＝0。故这个两位数是15或30。

练习2
在一个两位数的两个数字中间加一个0，所得的三位数是原数的9倍，这个两位数是 。
【解答】利用竖式谜的方式解题。
设为原数，由题意可得：×9＝，解得 a＝4，b＝5。故这个两位数是45。

思路点拨
一道题可能会有多种结果，有的时候会让你求最小的结果或者最大的结果，这时要非常注意：求最小时：首位越小越好；求最大时：首位尽可能的大。


例题3
将一个各位数字互不相同的四位数的数字顺序颠倒过来，得到一个新的四位数（这个数也叫原数的反序数），如果新数比原数大2268，则原来的四位数最大是 。
【解答】
设为原数，新数为利用竖式谜的方式解题，＋2268＝进行求解即可，可推理出 a＝7，b＝5，c＝8，d＝9。故原来的四位数最大是 7589。
练习3
四位数比四位数小1998，若a，b，c，d彼此不同，则的最小值是 。
【解答】
利用竖式谜的方式解题，＋1998＝进行求解即可，要求最小值，因此首位越小越好，但不能为0，因此首位为1，b＝0可推理出a＝1，b＝0，c＝2，d＝3。则的最小值是 1023。


思路点拨
方程法：有些题型不能转换为竖式谜的形式，此时我们可以根据位值原理进行拆分，并列出一个含有多个未知数的方程，然后再利用整除特性或枚举法来解决问题。


例题4
一个两位数等于它的数字和的8倍，这个两位数是 。
【解答】
利用方程的方式解题，设为原数，可得＝8×（a＋b），得到：
10a＋b＝8×（a＋b），解得：a＝7，b＝2，即＝72。故这个两位数是72。


练习4
一个两位数等于它的数字和的9倍，这个两位数是 。
【解答】
利用方程的方式解题，设为原数，可得＝9×（a＋b），得到：
10a＋b＝9×（a＋b），解得： a＝8，b＝1，即＝81。故这个两位数是81。


选讲题
灰、黄、绿和蓝色卡片各一张，每张上写有一个数字。陈博士将这4张卡片如下图放置，使它们构成一个四位数，并计算这个四位数与它的数字之和的10倍的差。结果小明发现，无论绿色卡片上是什么数字，计算结果都是1998。那么灰、黄、蓝3张卡片上的数字分别是 、 、 。

【解答】
利用方程的方式解题。
设为原数，可得：－10×（a＋b＋c＋d）＝1998
简化得：990a十90b－9d＝1998
则有：110a＋10b－d＝222
解得：a＝2，b＝1，d＝8。

五、课后作业
1. 填空。
（1）567＝ ×100＋ ×10＋ ×1；
【解答】5，6，7

（2）325689＝ ×10000＋ ×100＋ ×1；
【解答】32，56，89

（3）＝ ×10000＋ ×100＋ ×1；
【解答】，45，

（4）＝ ×1000000＋ ×10000＋ ×100＋ ×1；
【解答】，8，，

2. 将一个小数的小数点向右移动两位之后得到一个四位整数，这个四位整数比原来的小数大1982.97。原来的小数是 。
【解答】
因为小数点向右移动了2位，数扩大到原来的100倍，因此可得到：
1982.97÷（100－1）＝20.03
故原来的小数是 20.03。

3. 三位数比三位数小495，若a，b，c彼此不同，则最小是 。
【解答】
由题意可得： －＝495，解得： 最小是106。


4. 在一个两位数的两个数字中间加一个0，所得的三位数是原数的6倍，这个两位数是 。
【解答】
设为原数，由题意可得：×6＝，解得：b＝1，a＝8。
故这个两位数是18。


5. 一个两位数等于它的数字和的6倍，这个两位数是 。
【解答】
设为原数，由题意可得：＝6×（a＋b），得到：10a＋b＝6×（a＋b）。
解得： a＝5，b＝4，＝54。
故这个两位数是54。


选做题
已知＋＋＋＝1370，则＝ 。
【解答】
根据原式可得：111la＋111b＋11c＋d＝1370
解得：a＝1，b＝2，c＝3，d＝4。
故＝1234。