数学八年级下暑假培优专题复习（8）

这是一份数学八年级下暑假培优专题复习（8），共39页。试卷主要包含了 三角形的中位线等内容，欢迎下载使用。
数学八年级下暑假培优专题训练
专题八、 三角形的中位线（二）
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目录
【考点6 与三角形中位线有关的规律探究】..................................................................1
【考点7 与三角形中位线有关的格点作图】..................................................................3
【考点8 三角形中位线的实际应用】.............................................................................5
【考点9 与三角形中位线有关的证明】.........................................................................7
【典例剖析】
【考点6 与三角形中位线有关的规律探究】
【典例6-1】如图，依次连接周长为1的小等边三角形各边的中点，得到第二个小等边三角形，再依次连接第二个小等边三角形各边的中点，得到第三个小等边三角形……按这样的规律，第2023个小等边三角形的周长为（    ）
  
A． B． C． D．
【典例6-2】如图，的周长为a，以它的各边的中点为顶点作，再以各边的中点为顶点作，如此下去，则的周长为（    ）

A． B． C． D．
【典例6-3】如图，的周长为64，．．分别为．．的中点，．．分别为．．的中点，的周长为16．如果．．分别为第1个．第2个．第3个三角形，按照上述方法继续作三角形，那么第个三角形的周长是______．
  
针对训练6
【变式6-1】如图，是边长为1的等边三角形，取边中点，作，得到四边形，它的周长记作；取中点，作，得到四边形，它的周长记作．照此规律作下去，则______．

【变式6-2】如图，在边长为1的正中，分别取三边的中点，，，得到正，用同样的方法，得到正，…，以此类推，正的面积为______．

【变式6-3】在平面直角坐标系中，点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，O为坐标原点，，过点O作于点；过点作于点；过点作于点；过点作于点…以此类推，点的坐标为_____________．

【考点7 与三角形中位线有关的格点作图】
【典例7-1】在平面直角坐标系中，已知点，．对于点给出如下定义：将点先向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点，点关于点的对称点为，称点为点的“欢乐点”．
  
(1)如图，点，点在线段的延长线上．若点，点为点的“欢乐点”．
①在图中画出点与点；
②连接，交线段于点，求证：＝；
(2)⊙O的半径为1，是⊙O上一点，点在线段上，且＝（＜＜1），若 为⊙O外一点，点为点P的“欢乐点”，连接．当点在⊙O上运动时，直接写出长的最大值与最小值的差（用含的式子表示）．
【典例7-2】如图，在网格图中，的三个顶点都在格点上，点P为三角形内一点，请只用无刻度直尺作图；

(1)请画出中边对应的中位线；
(2)请过点P作线段，与交于点M，与交于点N，且满足点P是的中点．
【典例7-3】如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点．的顶点均在格点，点D为上一格点，点E为上任一点，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹．

(1)在图①中画的中位线，使点F在边上．
(2)在图②中画以为对角线的．
(3)在图③中作射线，在其上找到一点H，使．
针对训练7
【变式7-1】如图，每个小正方形的边长为1的网格中，三角形的顶点A，C均落在格点上，点B在网格线上．

(1)线段的长等于______．
(2)以为直径的半圆的圆心为，作平行于交圆于D点．请用无刻度的直尺，在网格中画出点D．
【变式7-2】在的菱形网格中，点A，B，C都在格点上，仅用无刻度的直尺，按要求画图：

(1)在图1中找一个格点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形；
(2)在图2中作中平行于边的中位线．（保留画图痕迹，不写画法）
【考点8 三角形中位线的实际应用】
【典例8-1】如图所示，某居民小区为了美化居住环境，要在一块等边三角形空地上围一个四边形花坛．已知四边形的顶点E，F分别是边，的中点，量得米，，则四边形花坛的周长是_____．

【典例8-2】某地为了更好地保护红军历史博物馆，经过精心的筹备规划，决定把原来博物馆的平面图扩大．如图，已知原来博物馆的平面图是▱ABCD，规划后博物馆的平面图是四边形EFGH，其中点A，B，C，D分别是边EF,FG,GH,HE的中点．如果原来博物馆的平面图▱ABCD的面积为300m2，则规划后博物馆的平面图EFGH占地面积为________m2．

【典例8-3】如图（1），要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？

聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确方法．她把管道l看成一条直线（图2），问题就转化为：要在直线l上找一点P，使AP与BP的和最小，她的做法是这样的：
①作点B关于直线l的对称点B′；
②连接AB′交直线l于点P，则点P即为所求．
请你参照小华的做法解决 下列问题，如图（3），在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点，BC＝6，BC边上的高为4，请你在BC边上确定一点P，使△PDE的周长最小．
(1)在图中作出点P（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)求△PDE周长的最小值．
针对训练8
【变式8-1】如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小峰想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，小红同学帮他想了一个主意，先在地上取一个可以直接到达A，B的点C，找到，的中点D，E，并且测出的长为，则A，B两点的距离为（    ）

A． B． C． D．
【变式8-2】图1表示一双开门关闭时的状态图，图2表示打开双门过程中，某一时刻的示意图，其中为门槛宽度．

(1)当时，双门间隙与门槛宽度的比值为____________．
(2)若双门间隙的距离为寸，点和点距离都为尺(尺寸)，则门槛宽度是____________寸．
【考点9 与三角形中位线有关的证明】
【典例9-1】如图1，在等腰直角三角形中，，，点、分别在边、上，，连接，点、、分别为、、的中点．
  
(1)观察猜想：
图1中，线段与的数量关系是__________，的大小是__________；
(2)探究证明：
把绕点顺时针方向旋转到图2的位置，连接、、，判断的形状，试说明理由；
(3)拓展延伸：
把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值．
【典例9-2】综合与实践
老师让同学们以“两个大小不等的等腰直角三角板的直角顶点重合，并让一个三角板固定，另一个绕直角顶点旋转”为主题开展数学活动．如图1，和都是等腰直角三角形，，点D，E分别在边，上，连接，点M，P，N分别为，，的中点．试判断线段与的数量关系和位置关系．
甲小组发现：．并进行了证明，下面的两个片段是截取的部分证明过程（片段前后证明过程已省略）：
  
【片段1】∵点P，M分别是，的中点，
∴．（理由1）
【片段2】∵，∴．（理由2）
反思交流
(1)①填空：理由1： ；理由2： ；
②图1中，与的位置关系是 ．
(2)乙小组受到甲小组的启发，继续进行探究，把绕点C逆时针方向旋转到如图2的位置，请判断的形状并证明；
(3)丙小组的同学继续探究：把绕点C在平面内自由旋转，当时，直接写出线段长度的最大值．
【典例9-3】下面是证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．
已知：如图，在中，点，分别是，边的中点．求证：，且．

方法一：
证明：如图，延长到点，使，连接，，．

方法二：
证明：如图，取中点，连接并延长到点，使，连接．


针对训练9
【变式9-1】如图，在中，点D是边的中点，点F、G在边上，交于E，．

(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，求的长．
【变式9-2】如图1所示：在中，点D、E分别是的中点，

(1)直接写出与的之间的关系：__________．
(2)如图2，点D、E、F分别是三边中点，图中有________个平行四边形；
(3)如图3，点P、Q、R、S分别是四边形的中点，问图中是否有平行四边形，请指出并证明你所指出的四边形是平行四边形．







数学八年级下暑假培优专题训练
专题八、 三角形的中位线（二）（解析版）
【典例剖析】
【考点6 与三角形中位线有关的规律探究】
【典例6-1】如图，依次连接周长为1的小等边三角形各边的中点，得到第二个小等边三角形，再依次连接第二个小等边三角形各边的中点，得到第三个小等边三角形……按这样的规律，第2023个小等边三角形的周长为（    ）
  
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意可得第二个三角形的周长为，同理可得，第三个三角形的周长是，即可得到规律，从而可得第2023个小等边三角形的周长．
【详解】解：如图所示：
  ，
分别为的中点，
分别为的中位线，
，
的周长，
第二个三角形的周长为，
同理可得，第三个三角形的周长是，
……
第2023个小等边三角形的周长为，
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理及应用，熟练掌握三角形中位线定理，得出相应的规律是解题的关键．
【典例6-2】如图，的周长为a，以它的各边的中点为顶点作，再以各边的中点为顶点作，如此下去，则的周长为（    ）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据三角形中位线定理得到的周长，的周长，总结规律，根据规律解答即可．
【详解】解：点、、分别为、、的中点，
，，，
的周长，
同理，的周长，

则的周长，
故选：A．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，正确找出三角形的周长的变化规律是解题的关键．
【典例6-3】如图，的周长为64，．．分别为．．的中点，．．分别为．．的中点，的周长为16．如果．．分别为第1个．第2个．第3个三角形，按照上述方法继续作三角形，那么第个三角形的周长是______．
  
【答案】或
【分析】根据三角形中位线定理分别求出第个三角形的周长、第个三角形的周长，总结规律，根据规律解答即可．
【详解】解：、、分别为、、的中点，
、、都是的中位线，
，，，
的周长= ，即第个三角形的周长是 ，
同理可得，第个三角形的周长是，，
则第个三角形的周长是，
故答案为：或．
【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、图形的变化规律，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．
针对训练6
【变式6-1】4．如图，是边长为1的等边三角形，取边中点，作，得到四边形，它的周长记作；取中点，作，得到四边形，它的周长记作．照此规律作下去，则______．

【答案】
【分析】根据三角形的中位线求解，找规律可得，据此规律可求解．
【详解】解：∵是等边三角形，
∴，
∵E是的中点，，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴四边形是菱形，
∴，…，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查三角形形的中位线，平行线的性质，找规律，找出计算周长的规律是解题的关键．
【变式6-2】如图，在边长为1的正中，分别取三边的中点，，，得到正，用同样的方法，得到正，…，以此类推，正的面积为______．

【答案】
【分析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，分别求出各三角形的边长，再根据等边三角形的面积的变换规律求解即可．
【详解】解：由题意得，的边长为，面积为，
的边长为 ，面积为，
△A4B4C4的边长为，面积为，
…，
∴的边长为，面积为，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，根据规律求出第n个等边三角形的边长是解题的关键．
【变式6-3】在平面直角坐标系中，点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上，O为坐标原点，，过点O作于点；过点作于点；过点作于点；过点作于点…以此类推，点的坐标为_____________．

【答案】
【分析】根据等腰直角三角形的性质得到点是的中点，是的中点，根据中位线的性质定理，求出点的坐标，总结规律，根据规律解答即可．
【详解】解：∵在中，，，
∴点是的中点，，
∵，
∴是的中点，，
即是的中位线，
∴点的坐标为，
同理，点的坐标为 ，点的坐标为，
……，
点的坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质，中位线的性质以及点的坐标，掌握等腰三角形三线合一以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是解题的关键。
【考点7 与三角形中位线有关的格点作图】
【典例7-1】在平面直角坐标系中，已知点，．对于点给出如下定义：将点先向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点，点关于点的对称点为，称点为点的“欢乐点”．
  
(1)如图，点，点在线段的延长线上．若点，点为点的“欢乐点”．
①在图中画出点与点；
②连接，交线段于点，求证：＝；
(2)⊙O的半径为1，是⊙O上一点，点在线段上，且＝（＜＜1），若 为⊙O外一点，点为点P的“欢乐点”，连接．当点在⊙O上运动时，直接写出长的最大值与最小值的差（用含的式子表示）．
【答案】(1)①见解析；②见解析
(2)PQ长的最大值与最小值的差为
【分析】（1）①先根据 “欢乐点”的定义和求出点的坐标，再根据点关于点的对称点为求出点Q的坐标，据此画图即可；②延长至点，连接，利用证明，得到，再计算出OA，OM，ON即可求出；
（2）连接PO并延长至S，使，延长SQ至T，使，结合对称的性质得出NM为的中位线，推出，得出，则．
【详解】（1）解：①点Q如下图所示．
  
∵点，
∴点向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到点，
∴，
∵点关于点的对称点为，，
∴点的横坐标为：，纵坐标为：，
∴点，在坐标系内找出该点即可；
②证明：如图延长至点，连接，
∵ ，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
∵ ，，，
∴，，，
∴，
∴，
∴．
（2）解：如图所示：连接并延长至S，使，延长至T，使，
  
∵，点向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点，
∴，
∵点关于点的对称点为，
∴，
又∵，
∴，
∴为的中位线，
∴，，
∵，
∴，
∴，  
在中，，
根据题意可得：，，
∴，
即长的最大值与最小值的差为．
【点睛】本题主要考查了点的平移、对称的性质、全等三角形的判定、两点间距离、中位线的性质及线段的最值问题等知识点，掌握平移、画出点Q和点的轨迹是解题的关键．
【典例7-2】如图，在网格图中，的三个顶点都在格点上，点P为三角形内一点，请只用无刻度直尺作图；

(1)请画出中边对应的中位线；
(2)请过点P作线段，与交于点M，与交于点N，且满足点P是的中点．
【答案】(1)见解析
(2)见解析

【分析】（1）取与格线的交点D，的中点E，连接即可；
（2）作点B关于点P的对称点F，过点F的格线与边交于点M，连接并延长交交于点N，则线段即为所作．由作图知，，可证，则，即点P是的中点．
【详解】（1）解：如图，中边对应的中位线即为所作；
；
（2）解：如图，线段即为所作．
【点睛】本题考查了作图的应用和设计，掌握网格线的特点及三角形的中位线、全等三角形的判定和性质是解题的关键．
【典例7-3】如图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点．的顶点均在格点，点D为上一格点，点E为上任一点，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹．

(1)在图①中画的中位线，使点F在边上．
(2)在图②中画以为对角线的．
(3)在图③中作射线，在其上找到一点H，使．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)见解析
【分析】（1）利用格点找出的中点，即为点F；
（2）由图可知，因此将点A向右移动两格即为点G，连接可得；
（3）连接并延长，与的交点即为点H．
【详解】（1）解：如下图所示；

（2）解：如下图所示；

理由如下：由图可知，，
四边形以为对角线的平行四边形；
（3）解：点H如下图所示．

理由如下：由（2）知四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
，
．
【点睛】本题考查格点作图，解题的关键是掌握格点作图的特点、平行四边形的判定和性质，以及全等三角形的判定和性质．

针对训练7
【变式7-1】如图，每个小正方形的边长为1的网格中，三角形的顶点A，C均落在格点上，点B在网格线上．

(1)线段的长等于______．
(2)以为直径的半圆的圆心为，作平行于交圆于D点．请用无刻度的直尺，在网格中画出点D．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】（1）利用勾股定理求解；
（2）利用网格的特点作出的中点E，连接，交于点F，则F为的重心，连接并延长交于点G，则点G为的中点，连接并延长交半圆于点D，根据中位线的性质可知．
【详解】（1）解：由勾股定理可知，
故答案为：；
（2）解：如图，利用网格作出的中点E，连接，交于点F，连接并延长交于点G，连接并延长交半圆于点D，点D即为所求的点．

【点睛】本题考查勾股定理、无刻度直尺作图，涉及三角形的重心、三角形中位线的性质等知识点，解题的关键是利用三角形重心的定义找出边的中点．

【变式7-2】在的菱形网格中，点A，B，C都在格点上，仅用无刻度的直尺，按要求画图：

(1)在图1中找一个格点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形；
(2)在图2中作中平行于边的中位线．（保留画图痕迹，不写画法）
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）利用平行四边形的判定作出点D即可；
（2）利用格点特征作出AB、AC的中点E、F，线段EF即为所求．
（1）
解：如图，点D即为所求．

（2）
解：如图，线段EF即为所求．

【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，平行四边形的判定和性质，三角形中位线的定义等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题.
【考点8 三角形中位线的实际应用】
【典例8-1】如图所示，某居民小区为了美化居住环境，要在一块等边三角形空地上围一个四边形花坛．已知四边形的顶点E，F分别是边，的中点，量得米，，则四边形花坛的周长是_____．

【答案】40米
【分析】根据三角形的中位线的性质求出米，再利用等边三角形的性质求出米，即可算出四边形的周长．
【详解】∵E，F分别是边，的中点，米，
∴米，
∵是等边三角形，
∴米，
∴米，米，
∴四边形花坛的周长是米．
故答案为：40米．
【典例8-2】某地为了更好地保护红军历史博物馆，经过精心的筹备规划，决定把原来博物馆的平面图扩大．如图，已知原来博物馆的平面图是▱ABCD，规划后博物馆的平面图是四边形EFGH，其中点A，B，C，D分别是边EF,FG,GH,HE的中点．如果原来博物馆的平面图▱ABCD的面积为300m2，则规划后博物馆的平面图EFGH占地面积为________m2．

【答案】600
【分析】连接FH、EG、OD，设CD与FH交于点M，AD与EG交于点N，根据中位线的判定和性质可以得到S△HDM=S△ODM，同理得到S△DEN=S△ODN，从而得到S四边形DNOM= 12S△EOH，最终得到S四边形ABCD=12S四边形EFGH，即可求解.
【详解】解：连接FH、EG、OD，
设CD与FH交于点M，AD与EG交于点N，
∵点C、D分别是HG、EH的中点，
∴CD是△EHG的中位线，
∴CD∥EG，
∴点M是OH的中点，
∴S△HDM=S△ODM，
同理可得S△DEN=S△ODN，
∴S四边形DNOM=12S△EOH，
同理可得：S四边形ABCD=12S四边形EFGH，
∵平行四边形ABCD的面积为300m2，
∴四边形EFGH的面积为600m2．故答案为：600．

【点睛】本题考查了中点四边形的知识，通过连接四边形的对角线，将四边形转化为三角形，充分利用三角形的中位线的判定与性质，是解题的关键．
【典例8-3】如图（1），要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？

聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确方法．她把管道l看成一条直线（图2），问题就转化为：要在直线l上找一点P，使AP与BP的和最小，她的做法是这样的：
①作点B关于直线l的对称点B′；
②连接AB′交直线l于点P，则点P即为所求．
请你参照小华的做法解决 下列问题，如图（3），在△ABC中，点D、E分别是AB、AC边的中点，BC＝6，BC边上的高为4，请你在BC边上确定一点P，使△PDE的周长最小．
(1)在图中作出点P（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)求△PDE周长的最小值．
【答案】(1)见解析；
(2)8
【分析】（1）作点D关于BC的对称点T，连接ET交BC于P，连接PD，点P即为所求作．
（2）过点A作AH⊥BC于H，连接DE，设DT交BC于F．利用三角形中位线定理求出DE，DF，再利用勾股定理求出ET，可得结论．
（1）
解：如图，点P即为所求．

（2）
解：过点A作AH⊥BC于H，连接DE，设DT交BC于F．
∵AD＝DB，AE＝EC，
∴DE＝12BC＝3，
∵DF⊥BC，AH⊥BC，
∴DF∥AH，AD＝DB，
∴BF＝FH，
∴DF＝12AH＝2，
∵DT⊥BC，DE∥BC，
∴DE⊥DT，
在Rt△DET中，DE＝3．DT＝2DF＝4，
∴ET＝DE2+DT2=32+42 ＝5，
∴PE+PD+DE＝DE+PE+PT＝DE+ET＝3+5＝8，
∴△DEP的周长的最小值为8．
【点睛】本题考查作图﹣应用与设计作图，轴对称最短问题，勾股定理，三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最值问题，属于中考常考题型．
针对训练8
【变式8-1】如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小峰想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，小红同学帮他想了一个主意，先在地上取一个可以直接到达A，B的点C，找到，的中点D，E，并且测出的长为，则A，B两点的距离为（    ）

A． B． C． D．
【答案】．B
【分析】根据三角形的中位线定理即可得到结果．
【详解】解：∵D，E分别为，的中点，
∴，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题考查的是三角形的中位线，解答本题的关键是熟练掌握三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
【变式8-2】图1表示一双开门关闭时的状态图，图2表示打开双门过程中，某一时刻的示意图，其中为门槛宽度．

(1)当时，双门间隙与门槛宽度的比值为____________．
(2)若双门间隙的距离为寸，点和点距离都为尺(尺寸)，则门槛宽度是____________寸．
【答案】．
【分析】（1）如图所示，延长交于点，则是等边三角形，进而证明是的中位线，即可求解；
（2）取的中点，过作于，在中，，建立方程，解方程即可求解．
【详解】解：（1）如图所示，延长交于点，


∵，
∴是等边三角形，
∵，，
∴，
∴是的中位线，
∴,
故答案为：；
（2）取的中点，过作于，如图所示：

由题意得：，
设寸，
则寸，寸，寸，寸，
在中，，
即，
解得：，
寸，
寸，
故答案为：．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，等边三角形的性质，中位线的性质，综合运用以上知识是解题的关键．
【考点9 与三角形中位线有关的证明】
【典例9-1】如图1，在等腰直角三角形中，，，点、分别在边、上，，连接，点、、分别为、、的中点．
  
(1)观察猜想：
图1中，线段与的数量关系是__________，的大小是__________；
(2)探究证明：
把绕点顺时针方向旋转到图2的位置，连接、、，判断的形状，试说明理由；
(3)拓展延伸：
把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值．
【答案】(1)；
(2)为等腰直角三角形，理由见解析
(3)面积的最大值为2
【分析】（1）由，可推出，又因点，，分别为，，的中点，所以且，同理，且，于是可推得；，，，故，得；
（2）由旋转性质得出，又因，，可证得与全等，参考（1）中的解题思路即可证出，，从而推出为等腰直角三角形；
（3）在旋转的过程中，由（2）中的结论知为等腰直角三角形，，当有最大值时，须有的值最大，由三角形三边关系可推断出当B、A、D三点共线时，BD的值最大．
【详解】（1）解：∵等腰直角三角形中，，，，
∴，
∵点、、分别为、、的中点，
∴分别是的中位线，
∴，
∴，
∵，
∴


，
故答案为：；；
（2）为等腰直角三角形，理由如下：
由旋转可知：，
又∵，，
，
，，
又、分别是、的中点，
是的中位线，
∴且，
同理，且，
，
，．
，，
，
为等腰直角三角形；
（3）由（1）（2）得，，
且为等腰直角三角形，
∵，即，
∴，
∴，
∴面积的最大值为2．
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，中位线的性质等知识点，熟练掌握手拉手模型证明全等是解本题的关键．
【典例9-2】综合与实践
老师让同学们以“两个大小不等的等腰直角三角板的直角顶点重合，并让一个三角板固定，另一个绕直角顶点旋转”为主题开展数学活动．如图1，和都是等腰直角三角形，，点D，E分别在边，上，连接，点M，P，N分别为，，的中点．试判断线段与的数量关系和位置关系．
甲小组发现：．并进行了证明，下面的两个片段是截取的部分证明过程（片段前后证明过程已省略）：
  
【片段1】∵点P，M分别是，的中点，
∴．（理由1）
【片段2】∵，∴．（理由2）
反思交流
(1)①填空：理由1： ；理由2： ；
②图1中，与的位置关系是 ．
(2)乙小组受到甲小组的启发，继续进行探究，把绕点C逆时针方向旋转到如图2的位置，请判断的形状并证明；
(3)丙小组的同学继续探究：把绕点C在平面内自由旋转，当时，直接写出线段长度的最大值．
【答案】(1)①三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半；直角三角形的两锐角互余；②或垂直平分
(2)等腰直角三角形，证明见解析
(3)
【分析】（1）①利用三角形中位线定理，直角三角形的性质解决问题即可；
②结论：或垂直平分．利用等腰直角三角形的性质以及平行线的性质证明即可；
（2）根据证明．推出，，再利用三角形的中位线定理，平行线的性质证明即可；
（3）由（2）知，是等腰直角三角形，，，推出点D在的延长线上时，有最大值．此时，由此即可解决问题．
【详解】（1）①片段1：∵点P，M分别是，的中点，
∴．（三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半）
片段2：∵，
∴．（直角三角形的两锐角互余）
故答案为：三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半；直角三角形的两锐角互余．
②∵，，
∴，
∵，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
故答案为：或垂直平分；
（2）是等腰直角三角形．
如图2中，连接AE，BD，由旋转知，
  
∵，，
∴，
∴，．
∵点P，M，N分别是，，的中点，
∴，，
∴．
又∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形．
（3）由（2）知，是等腰直角三角形，，，
∴点D在的延长线上时，有最大值，
∴，∴，
∴．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，平行线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题．
【典例9-3】下面是证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．
已知：如图，在中，点，分别是，边的中点．求证：，且．

方法一：
证明：如图，延长到点，使，连接，，．

方法二：
证明：如图，取中点，连接并延长到点，使，连接．


【答案】证明见解析
【分析】方法一：先证明得到，得到，再证明四边形是平行四边形，得到，则，即可证明，且．
方法二：同理可证得到，再证明四边形是平行四边形，得到，进一步证明四边形是平行四边形，得到，即可证明且．
【详解】方法一：证明：如图，延长到点，使，连接，，，
∵E是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∵D是的中点，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴，且．
方法二：证明：如图，取中点，连接并延长到点，使，连接．
同理可证，
∴，
∴，
∵G是中点，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵分别是的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴且．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，正确理解题意是解题的关键．
针对训练9
【变式9-1】如图，在中，点D是边的中点，点F、G在边上，交于E，．

(1)求证：四边形是平行四边形；
(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)2
【分析】（1）根据等腰三角形三线合一得到，再利用三角形的中位线定理证明，再加上条件可证出结论；
（2）先证明，再证明，可得到．
【详解】（1）解：证明：，，
．
D是边的中点，
，
为的中位线，
．
，
四边形是平行四边形．
（2）四边形是平行四边形，
．
、分别是、的中点，
．
，
．
【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，三角形中位线定理，题目综合性较强，证明，再利用三角形中位线定理证明是解决问题的关键．

【变式9-2】如图1所示：在中，点D、E分别是的中点，

(1)直接写出与的之间的关系：__________．
(2)如图2，点D、E、F分别是三边中点，图中有________个平行四边形；
(3)如图3，点P、Q、R、S分别是四边形的中点，问图中是否有平行四边形，请指出并证明你所指出的四边形是平行四边形．
【答案】(1)；；
(2)3；
(3)有1个平行四边形，证明见解析；

【分析】（1）根据三角形中位线定理解答即可；
（2）根据平行四边形的判定解答即可；
（3）根据平行四边形的判定和三角形中位线定理解答即可．
【详解】（1）为的中位线，
，，
故答案为：；；
（2）点，，分别是三角形三边的中点，
，，，
四边形和四边形和四边形是平行四边形，
故答案为：3；
（3）证明：图中只有1个平行四边形，
连接，

点，，，分别是四边形四边的中点，
，，，，
，，
四边形是平行四边形．
【点睛】此题考查四边形的综合题，关键是根据三角形中位线定理和平行四边形的判定解答．