数学八年级下暑假培优专题训练（15）

这是一份数学八年级下暑假培优专题训练（15），共46页。试卷主要包含了一次函数图像的性质等内容，欢迎下载使用。
数学八年级下暑假培优专题训练
专题十五、一次函数图像的性质
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目录
【考点一 一次函数图像与坐标轴交点】......................................1
【考点二 一次函数图像性质】..............................................2
【考点三 一次函数的平移】................................................5
【考点四 一次函数的规律探究】............................................6
【考点五 一次函数的含参问题】............................................8
【聚焦考点1】
一次函数的图象是一条直线，这个函数Y轴、X轴的交点坐标是，
【典例剖析1】
【考点一 一次函数图像与坐标轴交点】
【典例1-1】已知、，且．
(1)直接写出点A、B的坐标；
(2)点C为轴负半轴上一点满足．
  
①如图1，平移直线经过点C，交轴于点E，求点E的坐标；
②如图2，若点满足，求．
【典例1-2】已知一次函数
  
(1)求图像与x轴、y轴的交点A、B的坐标．
(2)求点O到直线的距离．
(3)点P在x轴，四边形A、B、P、Q是菱形，求出Q点的坐标
针对训练1
【变式1-1】在同一平面直角坐标系中，直线与直线的交点不可能在第______象限．
【变式1-2】若一次函数不经过第四象限，则一次函数的图象不经过________．
【变式1-3】直线交x轴于A、y轴于M，P是线段上一动点，将分成面积比是的两部分，则点P坐标为__________．
  
【聚焦考点2】
字母k，b的作用：k决定函数趋势，b决定直线与y轴交点位置，也称为截距.
倾斜度：|k|越大，越接近y轴；|k|越小，越接近x轴
【典例剖析2】
【考点二 一次函数图像性质】
【典例2-1】一次函数的图象如图所示，化简_______．

【典例2-2】在平面直角坐标系中，坐标原点O到一次函数的图像的距离的最大值为________．
【典例2-3】如图所示的是一个“函数求值机”的示意图，其中是的函数，当输入不同的值时，将输出对应的值．

(1)当输入的值分别为和时，输出的值分别是多少？
(2)下列图象中，可以是“函数求值机”中函数的对应图象的是______．

(3)求要使输出结果为，应输入的值．
针对训练2
【变式2-1】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象直线经过点，且与x轴、y轴分别相交于点B、D，与正比例函数的图象直线交于点C，点C的横坐标为1．

(1)求k、b的值；
(2)直线与直线，分别相交于点E、F，且点E与F关于x轴对称．求a的值；
(3)若一次函数的图象直线与线段有交点，直接写出m的取值范围．
【变式2-2】已知一次函数．

（1）试判断点与点，是否在这个函数的图象上；
（2）在如图所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象并回答：通过平移这个函数的图象，能否得到正比例函数的图象？如果能，请直接写出平移方法，如果不能，请说明理由．
【变式2-3】已知一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，是坐标原点．
（1）求交点、的坐标，并画出该一次函数的图象；
（2）求的面积；
（3）根据图象直接写出：当时，的取值范围．
【聚焦考点3】
图像的平移：
b＞0时，将直线y＝kx的图象向上平移b个单位，对应解析式为：y＝kx＋b
b＜0时，将直线y＝kx的图象向下平移个单位，对应解析式为：y＝kx－b
口诀：“上＋下－”
将直线y＝kx的图象向左平移m个单位，对应解析式为：y＝k（x＋m）
将直线y＝kx的图象向右平移m个单位，对应解析式为：y＝k（x－m）
口诀：“左＋右－”
【典例剖析3】
【考点三 一次函数的平移】
【典例3-1】如图，在平面直角坐标系中，直线经过点A，点A的横坐标为3，点A与点B关于y轴对称．
  
(1)求点B的坐标；
(2)将直线l沿y轴向下平移得到直线，与y轴交于点C，若的面积为3，求平移后的直线的函数表达式．
【典例3-2】已知直线，根据下列条件，分别求m的值．
(1)直线经过点；
(2)将直线向右平移个单位，再向下平移个单位后，所得直线经过点
【典例3-3】已知一次函数的图象经过点．
(1)求一次函数的解析式；
(2)若一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，求的长；
(3)将一次函数的图象向上平移个单位后恰好经过，则m的值为______．
针对训练3
【变式3-1】已知正比例函数的图像如图所示．
  
(1)求此正比例函数的解析式；
(2)若一次函数图像是由（1）中的正比例函数的图像平移得到的，且经过点，求此一次函数的解析式．
【变式3-2】已知一次函数（，是常数，且）的图像过与两点．
(1)求一次函数的解析式．
(2)若点在该一次函数图像上，求的值．
(3)把的图像向下平移个单位后得到新的一次函数图像，直接写出新函数图像对应的解析式．
【变式3-3】已知与成正比例，且当时
(1)求与之间的函数解析式；
(2)当该直线向左平移个单位，则平移后直线的解析式为______
【聚焦考点4】
方法技巧：从简单图形入手，抓住随着“序号”或“编号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加情况的变化，找出点的变化规律
【典例剖析4】
【考点四 一次函数的规律探究】
【典例4-1】正方形，，，…按如图的方式放置，其中点和点分别在直线和x轴上，则点的坐标是（    ）
  
A． B． C． D．
【典例4-2】如图，在平面直角坐标系中，点，，…都在轴上，点，，…都在直线上，，，，，…都是等腰直角三角形，且，则点的坐标是（    ）
  
A． B． C． D．
针对训练4
【变式4-1】如图，在平面直角坐标系中直线l：与x轴交于点，以为边长作第一个等边三角形，过点作平行于x轴，交直线l于点，以为边长作第二个等边三角形，过点作平行于x轴，交直线l于点，以为边长作第三个等边三角形，…，则点的横坐标是_______．
  
【变式4-2】在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点D，与y轴交于点A，如图所示依次作正方形，正方形，正方形……正方形，使得点，，，…在直线上，点C，，，，…在x轴正半轴上，则点的纵坐标是__________．
  
【变式4-3】如图，在平面直角坐标系中，和的图象分别为直线，，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，过点做x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，......，依次进行下去，则点的坐标为___________.
 
【聚焦考点5】
把一次函数中的参数问题转化为方程不等式问题.
【典例剖析5】

【考点五 一次函数的含参问题】
【典例5-1】在平面直角坐标系中，已知直线（是常数，且）上不点，和，则下列结论：
①若，则；
②直线向左平移1个单位的解析式为，
③若直线不经过第三象限，则；
④若原点到直线的距离最大时，则直线的解析式为．
其中正确的是________（填写正确结论的序号）．
【典例5-2】已知一次函数，函数值y随自变量x的值增大而减小，则m的取值范围是__________．
【典例5-3】在平面直角坐标系中，已知一次函数．
(1)若，当时，函数最高点的纵坐标为______；函数最低点的纵坐标为______；
(2)当时，函数的最高点与最低点的纵坐标相差5，求该一次函数的解析式；
(3)已知平面直角坐标系内有两点，，当函数的图象与线段有交点时，k的取值范围是______．
【典例5-4】已知关于x的函数．
(1)若图像与y轴的交点的纵坐标为5，求k的值．
(2)若y随x增大而增大，求k的取值范围．
(3)若将图像向下平移2个单位长度后，经过点，求k的值．
针对训练5
【变式5-1】已知函数（m为常数）．
(1)当m满足条件__________时，变量y是变量x的一次函数；
(2)当m满足条件__________时，函数图象经过点；
(3)当m满足条件__________时，y随x的增大而减小．
(4)当m满足条件__________时，函数图象与y轴的交点在x轴的上方；
【变式5-2】已知：一次函数的图像经过点与
(1)求出该直线的解析式，并画出图像；
(2)所求的函数值在范围内，求相应的x取值范围；
(3)作函数的图像经过二，三，四象限，且图像与两坐标轴围成的直角三角形中有一锐角为30°，若这个三角形的面积是△AOB的面积的倍，试求m，n．
【变式5-3】已知关于x的一次函数．
(1)当时，点和在该函数的图象上，试比较与的大小；
(2)当n为何值时，该函数的图象与y轴的交点在直线的下方？
(3)若该函数的图象经过，两点．
①求的值；
②求这个一次函数的解析式．
【变式5-4】已知y关于x的一次函数，当时，；当时，．
(1)求k、b的值；
(2)若，是该一次函数图象上的两点，求证：．


















数学八年级下暑假培优专题训练
专题十五、一次函数图像的性质（解析版）
【考点一 一次函数图像与坐标轴交点】
【典例1-1】已知、，且．
(1)直接写出点A、B的坐标；
(2)点C为轴负半轴上一点满足．
  
①如图1，平移直线经过点C，交轴于点E，求点E的坐标；
②如图2，若点满足，求．
【答案】(1)；
(2)①；②或6．
【分析】（1）根据二次根式和偶次幂的非负性得出a，b解答即可；
（2）①根据三角形的面积公式得出点C的坐标，根据平行线的性质解答即可；
②延长交直线l于点，过点H作轴于点M，根据三角形面积公式解答即可．
【详解】（1）解：∵，且，，
∴，
解得：，
∴；
（2）解：①连接，如图1，
  
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②∵，
∴点F在过点且平行于x轴的直线l上，
  
延长交直线l于点，过点H作轴于点M，则，如图2，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴或，
∴或6．
【点睛】本题主要考查图形与坐标及平移的性质，熟练掌握图形与坐标及平移的性质是解题的关键．
【典例1-2】已知一次函数
  
(1)求图像与x轴、y轴的交点A、B的坐标．
(2)求点O到直线的距离．
(3)点P在x轴，四边形A、B、P、Q是菱形，求出Q点的坐标
【答案】(1)
(2)
(3)或或或
【分析】（1）先求出当时，y的值，时，x的值即可得到答案；
（2）利用等面积法求解即可；
（3）分当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，三种情况利用菱形的性质讨论求解即可．
【详解】（1）解：在中，令，则，令，则，
∴；
（2）解：设点O到直线的距离为h，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
（3）解：设点P的坐标为，
当为对角线时，则，即轴，
∴点Q在y轴上，且被轴垂直平分，
∴；
当为对角线时，则，即轴，
∴点Q的坐标为或；
当为对角线时，则，
∴，
解得，
∴，
∴点Q的坐标为；
综上所述，点Q的坐标为或或或．
【点睛】本题主要考查了求一次函数与坐标轴的交点，菱形的性质，勾股定理，三角形面积，灵活运用所学知识是解题的关键．
针对训练1
【变式1-1】在同一平面直角坐标系中，直线与直线的交点不可能在第______象限．
【答案】四
【分析】根据一次函数的性质确定两条直线所经过的象限可得结果．
【详解】解：直线过第一、二、三象限；
当时，直线过第一、二、四象限，
两直线交点可能在第一或第二象限；
当时，直线过第二、三、四象限，
两直线交点可能在第二或第三象限；
综上所述，直线与直线的交点不可能在第四象限，
故答案为：四．
【点睛】本题主要考查了两直线相交问题，熟记一次函数图象与系数的关系是解答此题的关键．
【变式1-2】若一次函数不经过第四象限，则一次函数的图象不经过________．
【答案】第四象限
【分析】先根据一次函数不经过第四象限，得出，求出，再根据的取值范围确定一次函数的图象在坐标平面内的位置关系，从而求解．
【详解】解：一次函数不经过第四象限，
，
解得，
，，
一次函数的一次项系数，
随的增大而增大，经过一、三象限，
又常数项，
函数与轴正半轴相交，
一定经过一、二、三象限，即不经过第四象限．
故答案为：第四象限．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与系数的关系：函数值随的增大而减小；函数值随的增大而增大；一次函数的图象与轴的正半轴相交；一次函数图象与轴的负半轴相交；一次函数图象过原点．
【变式1-3】直线交x轴于A、y轴于M，P是线段上一动点，将分成面积比是的两部分，则点P坐标为__________．
  
【答案】或
【分析】根据一次函数表达式求出A，M的坐标，根据面积之比推出或，设，根据坐标，利用勾股定理列出方程，解之即可．
【详解】解：在中，
令，则，
令，则，
∴，，
∵将分成面积比是的两部分，
∴或，
设，
则
或，
解得：（舍）或或（舍）或，
∴或，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，两点之间的距离，勾股定理，解题的关键是将三角形的面积之比转化为底边之比．
【考点二 一次函数图像性质】
【典例2-1】一次函数的图象如图所示，化简_______．

【答案】/
【分析】先根据一次函数经过第一、二、三象限，且交于y轴的正半轴，可得，，再由图可知，当时，一次函数的值大于0，即有当时，有，据此化简即可．
【详解】∵一次函数经过第一、二、三象限，且交于y轴的正半轴，
∴，，
由图可知，当时，一次函数的值大于0，
∴将代入中有，
即：


，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，二次根式的化简以及绝对值的化简等知识，根据一次函数的图象与性质得出，，是解答本题的关键．
【典例2-2】在平面直角坐标系中，坐标原点O到一次函数的图像的距离的最大值为________．
【答案】
【分析】先由函数解析式求得一次函数过定点A（2，3），然后求得原点O到直线的距离最大值即为OA的长．
【详解】解：∵，
∴一次函数过定点A（2，3），
∵直线外一点到直线上任意点之间的距离，垂线段最短，
∴原点O到直线的距离的最大值为OA=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是会灵活应用垂线段最短求得原点O到一次函数图象上的距离最大值．
【典例2-3】如图所示的是一个“函数求值机”的示意图，其中是的函数，当输入不同的值时，将输出对应的值．

(1)当输入的值分别为和时，输出的值分别是多少？
(2)下列图象中，可以是“函数求值机”中函数的对应图象的是______．

(3)求要使输出结果为，应输入的值．
【答案】(1)和
(2)A
(3)或
【分析】（1）把，分别代入“函数求值机”可得其值；
（2）根据函数图像的特点，即可找出对应的图像；
（3）分类讨论：①当时，，求出符合题意的值；②当时，，求出符合题意的值．
【详解】（1）解：，
；
，
；
∴输出的值分别是和；
（2）解：当时，，，，图像下降，交于轴的正半轴；
当时，，，，图像上升，
且时，，
综上所述，符合对应的图像是A选项．
故答案为：A；
（3）解：①当时，，
即，解得：，
，符合题意；
②当时，，
即，解得：，
，符合题意；
∴应输入的值为或．
【点睛】本题考查了函数的图像以及函数的值，读懂“函数求值机”的示意图，并用分类讨论思想分析问题是解本题的关键．

针对训练2
【变式2-1】如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象直线经过点，且与x轴、y轴分别相交于点B、D，与正比例函数的图象直线交于点C，点C的横坐标为1．

(1)求k、b的值；
(2)直线与直线，分别相交于点E、F，且点E与F关于x轴对称．求a的值；
(3)若一次函数的图象直线与线段有交点，直接写出m的取值范围．
【答案】(1)
(2)-2
(3)
【分析】（1）用待定系数法求一次函数的解析式即可；
（2）将x=a分别代入一次函数与正比例函数的解析式中，得到相应的坐标，再根据关于x轴对称的点的坐标特征，代入计算即可；
（3）分别计算出C，D，点坐标再将其代入求出相应的m的值，即可求出m的取值范围．
（1）
解：∵当时，，
∴
∵图象，过，
∴，
解得；
（2）
解：当时，
，
当时，
，
∵与关于x轴对称，
∴，
，
，
；
（3）
解：若一次函数的图象直线与线段有交点，
将x=0，代入中可得，y=4，
将x=1，代入中可得，y=3，
将（0，4）代入可得，m=4，
将（1，3）代入可得，m=1.5，
故m的取值范围为．
【点睛】本题考查一次函数与分比例函数的解析式，图象，能够掌握数形结合思想是解决本题的关键．
【变式2-2】已知一次函数．

（1）试判断点与点，是否在这个函数的图象上；
（2）在如图所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象并回答：通过平移这个函数的图象，能否得到正比例函数的图象？如果能，请直接写出平移方法，如果不能，请说明理由．
【答案】（1）点不在这个函数的图象上，点在这个函数的图象上，见解析；（2）能，向下平移个单位长度（或向左平移个单位长度），见解析
【分析】（1）把点的坐标分别代入函数的解析式，看看两边是否相等即可；
（2）根据列表、描点、连线画出图象，观察图象即可求解．
【详解】解：（1）当时，，
点不在这个函数的图象上，
当时，，
点在这个函数的图象上．
（2）1．列表










2．描点
3．连线

能，向下平移个单位长度（或向左平移个单位长度）．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，能理解函数图象上点的坐标的特点是解题的关键，代入函数解析式，左边=右边．
【变式2-3】已知一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，是坐标原点．
（1）求交点、的坐标，并画出该一次函数的图象；
（2）求的面积；
（3）根据图象直接写出：当时，的取值范围．
【答案】（1）A(−2,0)，B(0,4)；图象见解析;（2）4;（3）
【分析】（1）在解析式中分别令y=0和x=0，则可求得A、B的坐标，利用两点法可画出函数图象；（2）由A、B的坐标可求得OA、OB的长，则可求得△AOB的面积；
（3）由图象可求得答案．
【详解】（1）当x=0时y=4，当y=0时，x=−2，则图象如图所示
由上题可知A(−2，0)，B(0，4)
作出一次函数图象，如图所示：

（2）∵A(−2，0)，B(0，4)
∴OA=2，OB=4
∴S△AOB=×2×4=4
故答案：4
（3）根据图象可知：
当时，．
故答案：
【点睛】本题考查了已知一次函数解析式求与x轴，y轴交点坐标的方法，由此便可画出一次函数图象，并会根据图象掌握一次函数性质．
【考点三 一次函数的平移】
【典例3-1】如图，在平面直角坐标系中，直线经过点A，点A的横坐标为3，点A与点B关于y轴对称．
  
(1)求点B的坐标；
(2)将直线l沿y轴向下平移得到直线，与y轴交于点C，若的面积为3，求平移后的直线的函数表达式．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）把代入直线的解析式求得A的坐标，然后根据轴对称的性质求得点B的坐标；
（2）由的面积为3，求得，从而求得点C的坐标，然后利用待定系数法即可求得直线的函数表达式．
【详解】（1）解：把代入直线：，得：，
∴点，
∵点A与点B关于y轴对称，
∴点B的坐标为；
（2）解：由，可知．
如图，设与轴的交点为D，
  
∵，
∴，
∴，
∴，
∵直线是由直线l平移得到，
∴可设直线的函数表达式为，
①当点C在上方时，点C的坐标为，将代入，得，
∴直线的函数表达式为；
②当点在下方时，点的坐标为，
将代入，得，
∴直线的函数表达式为，
综上，平移后的直线的函数表达式为或．
【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，轴对称的性质，三角形的面积，正确把握变换规律是解题关键．
【典例3-2】已知直线，根据下列条件，分别求m的值．
(1)直线经过点；
(2)将直线向右平移个单位，再向下平移个单位后，所得直线经过点
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）把代入进行计算即可；
（2）根据直线平移的性质可得平移后的直线解析式，再把点代入解析式进行计算即可．
【详解】（1）解：∵直线经过点，
把代入得：，解得：；
（2）解：将直线向右平移个单位，再向下平移个单位后，直线的解析式为：即，
∵直线经过点，
把点代入得，，解得：．
【点睛】本题考查图形的平移变换和函数解析式之间的关系，熟练掌握平移后解析式的规律是：“左加右减，上加下减”是解题的关键．
【典例3-3】已知一次函数的图象经过点．
(1)求一次函数的解析式；
(2)若一次函数的图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，求的长；
(3)将一次函数的图象向上平移个单位后恰好经过，则m的值为______．
【答案】(1)一次函数解析式为；
(2)；
(3)4
【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解；
（2）分别令，，求出点A，B的坐标，即可求解；
（3）根据一次函数的图象平移的性质可得平移后的解析式为，再把代入，即可求解．
【详解】（1）解：设一次函数解析式为，
将代入，得
，
解得 ，  
所以一次函数表达式为；
（2）解：当时，，
解得，
∴，
当时，，
∴，
∴；
（3）解：根据题意得：将一次函数的图象向上平移个单位后为，
∵平移后经过，
∴，
解得∶．
故答案为：4．
【点睛】本题主要考查了求一次函数的解析式，一次函数的图象和性质，熟练掌握利用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的图象和性质是解题的关键．
针对训练3
【变式3-1】已知正比例函数的图像如图所示．
  
(1)求此正比例函数的解析式；
(2)若一次函数图像是由（1）中的正比例函数的图像平移得到的，且经过点，求此一次函数的解析式．
【答案】(1)正比例函数的解析式为：，
(2)一次函数的解析式为：．
【分析】（1）设正比例函数的解析式为：，把代入，即可；
（2）根据函数图像平移的规律，即可．
【详解】（1）设正比例函数的解析式为：，
∵点经过正比例函数，
∴，
∴，
∴正比例函数的解析式为：．
（2）∵一次函数图像是由（1）中的正比例函数的图像平移得到，经过点，
∴一次函数图像是由正比例函数的图像向右平移两个单位长度得到，
∴，
∴，
∴一次函数的解析式为：．
【点睛】本题考查一次函数的知识，解题的关键是掌握正比例函数的图像和性质，正比例函数图像平移的规律，待定系数法求解析式．
【变式3-2】已知一次函数（，是常数，且）的图像过与两点．
(1)求一次函数的解析式．
(2)若点在该一次函数图像上，求的值．
(3)把的图像向下平移个单位后得到新的一次函数图像，直接写出新函数图像对应的解析式．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）将，代入得到关于k、b的二元一次方程组，然后求解即可；
（2）把点代入（1）求得的一次函数解析式，求得的值即可；
（3）根据图像平移规律，可知向下平移3个单位，应该是原解析式减3，据此确定平移后的解析式即可．
【详解】（1）解：∵一次函数（是常数，）的图像过，两点，
∴，得，
∴该一次函数的表达式是．
（2）解：∵点在该一次函数的图像上，
∴，解得，．
∴的值是．
（3）解：把向下平移3个单位，则：，即．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、点在一次函数上的性质、平移的性质等知识点，掌握图形平移性质及一次函数的性质是解答本题的关键．

【变式3-3】已知与成正比例，且当时
(1)求与之间的函数解析式；
(2)当该直线向左平移个单位，则平移后直线的解析式为______
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，设，将，代入即可求解；
（2）根据一次函数平移的规律即可求解．
【详解】（1）解：依题意，设，将，代入得

解得：，
∴解析式为
（2）将向左平移个单位，则平移后直线的解析式为：，
即，
故答案为：．
【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数图象的平移，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
【考点四 一次函数的规律探究】
【典例4-1】正方形，，，…按如图的方式放置，其中点和点分别在直线和x轴上，则点的坐标是（    ）
  
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设直线与轴交于点，根据直线解析式求出，从而得出点的坐标是，然后再推出点的坐标是，点的坐标是，……点的坐标是，即可得出答案．
【详解】如图，设直线与轴交于点，
  
∵直线，当时，，当时，，
∴．
∴．
∵四边形是正方形，
∴，．
∴点的坐标是，．
∴，，即点的坐标是．
同理可得：，，即点的坐标是，
，，即点的坐标是，……
∴点的坐标是．
∴点的纵坐标是．
故选A．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，通过求出的坐标，找出规律是解题的关键．

【典例4-2】如图，在平面直角坐标系中，点，，…都在轴上，点，，…都在直线上，，，，，…都是等腰直角三角形，且，则点的坐标是（    ）
  
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由，得到点的坐标，然后利用等腰直角三角形的性质得到点的坐标，进而得到点的坐标，然后再依次类推得到点的坐标．
【详解】解：，
点的坐标为，
是等腰直角三角形，
，
，
是等腰直角三角形，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
同理可得：，，…，
，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质，解题的关键是通过等腰直角三角形的性质依次求出系列点的坐标找出规律．
针对训练4
【变式4-1】如图，在平面直角坐标系中直线l：与x轴交于点，以为边长作第一个等边三角形，过点作平行于x轴，交直线l于点，以为边长作第二个等边三角形，过点作平行于x轴，交直线l于点，以为边长作第三个等边三角形，…，则点的横坐标是_______．
  
【答案】
【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点的坐标，根据等边三角形的性质可求出点的坐标，同理可得出点的坐标，根据点坐标的变化即可得出结论．
【详解】解：由直线l：与x轴交于点，
可得，，
∴，，
如图所示，过作于A，则，
  
即的横坐标为，
由题可得，，
∴，
∴，
过作于B，
则，
即的横坐标为，
过作于C，
同理可得，，，
即的横坐标为，
同理可得，的横坐标为，
由此可得，的横坐标为，
∴点的横坐标是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等边三角形的性质以及规律型中点的坐标，根据一次函数图象上点的坐标特征结合等边三角形的性质找出点A横坐标的变化是解题的关键．
【变式4-2】在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点D，与y轴交于点A，如图所示依次作正方形，正方形，正方形……正方形，使得点，，，…在直线上，点C，，，，…在x轴正半轴上，则点的纵坐标是__________．
  
【答案】
【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征，结合正方形的性质，可得出的坐标，同理可得以及的坐标，找出点的纵坐标的变化规律：即可得出答案．
【详解】∵直线与y轴交于点A，
∴，．
∵四边形是正方形，
∴．
∴，，．
∵四边形是正方形，
∴，．
∴，，．
同理可得：，，
可以发现：点的纵坐标是：，
点的纵坐标是：，
点的纵坐标是：，
∴点的纵坐标是：．
∴点的纵坐标是：．
故答案是．
【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，正方形的性质以及点的坐标规律，根据已知条件总结点的纵坐标的变化规律是解题的关键．
【变式4-3】如图，在平面直角坐标系中，和的图象分别为直线，，过点作x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，过点做x轴的垂线交于点，过点作y轴的垂线交于点，......，依次进行下去，则点的坐标为___________.
 
【答案】．
【分析】根据图形结合函数得到点的坐标规律，即可得到答案.
【详解】解：根据图形及函数可得，
，，，，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：；
【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征以及规律型中坐标的变化，解题的关键是找出变化规律“”
【考点五 一次函数的含参问题】
【典例5-1】在平面直角坐标系中，已知直线（是常数，且）上不点，和，则下列结论：
①若，则；
②直线向左平移1个单位的解析式为，
③若直线不经过第三象限，则；
④若原点到直线的距离最大时，则直线的解析式为．
其中正确的是________（填写正确结论的序号）．
【答案】①③④
【分析】利用一次函数的性质判断①；利用一次函数的平移规律即可判断②；根据函数过点，求得过原点时的k值，由题意判断③；求得过点的正比例函数解析式，由题意有与该直线垂直，由此即可判断．
【详解】解：①，，则函数图象是递减的，则，故①正确．
②直线向左平移1个单位的解析式为，故②不正确．
③直线，
则此直线经过点，
当该直线经过原点时，，
，
若直线不经过第三象限，则，故③正确．
④当原点与点的连线垂直于直线时，此时直线为所求，
过点的正比例函数解析式为，即二、四象限的角平分线，
∵原点与点的连线垂直于直线，
∴直线平行于一、三象限的角平分线，
，
的解析式为：，故④正确．
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查一次函数的性质，一次函数图象上的点的坐标特点，能利用一次函数的性质是解题的关键．
【典例5-2】已知一次函数，函数值y随自变量x的值增大而减小，则m的取值范围是__________．
【答案】
【分析】根据一次函数的增减性列出不等式，通过解该不等式即可求得的取值范围．
【详解】解：由题意得，，
解得，；
故答案为：．
【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系．在直线中，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．
【典例5-3】在平面直角坐标系中，已知一次函数．
(1)若，当时，函数最高点的纵坐标为______；函数最低点的纵坐标为______；
(2)当时，函数的最高点与最低点的纵坐标相差5，求该一次函数的解析式；
(3)已知平面直角坐标系内有两点，，当函数的图象与线段有交点时，k的取值范围是______．
【答案】(1)0；
(2)或
(3)或

【分析】（1）根据一次函数的增减性进行判断即可；
（2）分或两种情况，根据一次函数的增减性，结合最高点与最低点的纵坐标相差5，列出关于k的方程，解方程即可得出答案；
（3）先根据函数关系式得出，一次函数经过定点，分别求出直线经过点A、B时k的值，即可得出k的取值范围．
【详解】（1）解：当时，一次函数的解析式为，
∵，
∴y随x的增大而增大，
∴当时，函数值最大，且最大值为，
即函数最高点的纵坐标为0，
当时，函数值最小，且最小值为，
即函数最低点的纵坐标为，
故答案为：0；．
（2）解：当时，y随x的增大而增大，函数最高点的纵坐标为，最低点的纵坐标为，
∵函数的最高点与最低点的纵坐标相差5，
∴，
解得：；
当时，y随x的增大而减小，函数最高点的纵坐标为，最低点的纵坐标为，
∵函数的最高点与最低点的纵坐标相差5，
∴，
解得：；
综上分析可知，或．
（3）解：一次函数经过定点，
当直线经过点A时，，解得：，
当直线经过点B时，，解得：，
∵函数的图象与线段有交点，
∴或．

【点睛】本题主要考查了一次函数的增减性，求一次函数解析式，解题的关键是熟练掌握一次函数的增减性，一次函数，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小．
【典例5-4】已知关于x的函数．
(1)若图像与y轴的交点的纵坐标为5，求k的值．
(2)若y随x增大而增大，求k的取值范围．
(3)若将图像向下平移2个单位长度后，经过点，求k的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意可得，进行计算即可得；
（2）根据题意和一次函数的性质得，进行计算即可得；
（3）根据图像的平移可得向下平移2个单位长度后，函数，再将点代入中，进行计算即可得．
（1）
解：∵函数的图像与y轴的交点的纵坐标为5，
∴


解得，．
（2）
解：∵y随x增大而增大，
∴

解得，．
（3）
解：将图像向下平移2个单位长度后，函数，
∵过点，
∴



．
【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，一次函数的性质，解题的关键是掌握理解题意，掌握一次函数的性质．
针对训练5
【变式5-1】已知函数（m为常数）．
(1)当m满足条件__________时，变量y是变量x的一次函数；
(2)当m满足条件__________时，函数图象经过点；
(3)当m满足条件__________时，y随x的增大而减小．
(4)当m满足条件__________时，函数图象与y轴的交点在x轴的上方；
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）根据一次函数的定义即可求解；
（2）将代入即可；
（3）根据一次函数的增减性，当k>0时，y随x的增大而增大；当k3；
故答案为：m>3．
【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，熟练地掌握一次函数的增减性以及一次函数与坐标轴的交点坐标是解题的关键
【变式5-2】已知：一次函数的图像经过点与
(1)求出该直线的解析式，并画出图像；
(2)所求的函数值在范围内，求相应的x取值范围；
(3)作函数的图像经过二，三，四象限，且图像与两坐标轴围成的直角三角形中有一锐角为30°，若这个三角形的面积是△AOB的面积的倍，试求m，n．
【答案】(1)y=-2x+4，图像见解析
(2)-4≤x≤0
(3)，n=-6或，n=-．
【分析】（1）先根据待定系数法求出一次函数的解析式，然后过A、B两点做直线即可；
（2）根据（1）所得的解析式，然后根据一次函数的增减性即可解答；
（3）根据函数图像经过二，三，四象限可得m