河南省鹤壁市高中2022-2023学年高三上学期第三次模拟考试理数试题及参考答案

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 鹤壁市高中2023届第三次模拟考试理数试卷
命题人： 校对人：
一、选择题（本题共12小题，每题5分）
1．设a，b，c是空间的三条直线，有下列四个命题：
①若，，则；
②若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则，c也是异面直线；
③若a和b相交，b和c相交，则a和c也相交；
④若a和b共面，b和c共面，则a和c也共面.
其中真命题的个数是（    ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．如图所示，圆柱形玻璃杯中水的液面呈椭圆形状，则该椭圆的离心率为（    ）

A． B． C． D．
3．已知三棱锥P-ABC中，底面ABC，PA＝AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为（    ）
A． B． C． D．
4．已知点是圆的动点，直线上存在两点，，对于任意P使得恒成立，则线段长度的最小值是（    ）
A． B． C． D．
5．已知四棱锥中，平面底面ABCD，是等边三角形，底面ABCD是菱形，且，M为棱PD的中点，则下列结论不正确的有（    ）
A．平面AMC B．
C． D．PB与AM所成角的余弦值为
6．已知是椭圆的左､右焦点，点为抛物线准线上一点，若是底角为的等腰三角形，则椭圆的离心率为（    ）
A． B． C． D．
7．已知函数，若不等式对任意均成立，则的取值范围为（    ）
A． B．
C． D．
8．已知F为抛物线的焦点，点A，B在该抛物线上且位于x轴的两侧，（其中O为坐标原点），则与面积之和的最小值是（    ）
A． B．3 C． D．
9．已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，P是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则的最小值为（    ）
A． B． C．1 D．
10．已知椭圆的左焦点为，离心率为．过点作直线与椭圆交于，两点，与直线交于点，若恰好是的中点，则直线l的斜率为（    ）
A． B． C． D．
11．已知双曲线的右焦点到其一条渐近线的距离等于，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线上一动点M到直线和的距离之和的最小值为（    ）
A． B． C． D．
12．已知椭圆C方程为：，左右焦点是，圆，动圆P的圆心P在椭圆C上并且与圆外切，直线l是圆P和圆的外公切线，直线l与椭圆C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，则三角形的面积为（    ）
A． B． C． D．
二、填空题（本题共4小题，每题5分）
13．已知椭圆左､右焦点分别为、，过且倾斜角为的直线与过的直线交于点，点在椭圆上，且.则椭圆的离心率__________.
14．《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.在堑堵中，，M是的中点，，N，G分别在棱，上，且，，平面与交于点H，则=__________.
15.已知的外接圆直径为是的中点，且，则_________
16．已知圆与圆，在下列说法中：
①对于任意的，圆与圆始终相切；
②对于任意的，圆与圆始终有四条公切线；
③时，圆被直线截得的弦长为；
④分别为圆与圆上的动点，则的最大值为4；
其中正确命题的序号为___________.
三、解答题（本题共6小题）
17．（10分）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=CB=1，∠ABC=60°，四边形ACFE为矩形，平面ACFE⊥平面ABCD，CF=1.
(1)求证:BC⊥平面ACFE.
(2)在线段EF上是否存在点M，使得平面MAB与平面FCB所成锐二面角的平面角为θ，且满足cosθ=，若不存在，请说明理由;若存在，求出FM的长度.

18．（12分）已知椭圆，，是椭圆上的两个不同的点.
(1)若点满足，求直线的方程；
(2)若，的坐标满足，动点满足（其中为坐标原点），求动点的轨迹方程，并说明轨迹的形状；




19．（12分）已知圆：，点是直线：上一动点，过点作圆的切线，，切点分别是和．
(1)试问直线是否恒过定点，若是求出这个定点，若否说明理由；
(2)直线与圆交于，两点，求的取值范围（为坐标原点）．




20．（12分）在平面直角坐标系中，已知等轴双曲线过点
(1)求双曲线的方程；
(2)已知点，斜率为的直线与双曲线交于两点（不同于点），且，求证直线过定点.






21．（12分）已知函数.
(1)当时，求在点处的切线方程；
(2)若在上有两个不同的零点，求实数a的取值范围.






22．（12分）已知双曲线的右焦点为，过右焦点作斜率为正的直线，直线交双曲线的右支于，两点，分别交两条渐近线于两点，点在第一象限，为原点．
(1)求直线斜率的取值范围；
(2)设，，的面积分别是，，，求的范围
鹤壁市高中2023届第三次模拟考试理数答案
一、选择题
1-5 ACCAC 6-10 AADBB 11-12 DC
二、填空题
29．3−1 14．12 15.18 16．①③④
三、解答题
17（1）证明:如图所示的等腰梯形ABCD中,经过点C,D分别作CP⊥AB,DQ⊥AB,垂足为P,Q,则CDQP为矩形,PQ=1..在Rt∆BCP中,∠B=π3,则BP=12BC=12,
同理可得.
在中,AC2=12+22−2×1×2cosπ3=3,∴AC2+BC2=AB2,∠ACB=π2,
又平面平面,平面平面平面,平面.
（2）如图所示,建立空间直角坐标系.

设,
,
设平面的法向量,则，令，
则，取平面的法向量，
由题意假设:,.解得.因此在线段上存在点,使得平面与平面所成锐二面角的平面角为,且满足，.
18．（1）由已知可得，是线段中点，，，
由已知，，两式相减化简整理得：，
所以，直线的方程是；
（2）设，，由，可得由②
结合①②可得，
又，是椭圆上的点，故，，所以，即，
所以动点的轨迹方程为，根据椭圆的标准方程可知，轨迹是以，为左右焦点，长轴长为的椭圆.
19.（1）直线恒过定点，设，由题意知，在以为直径的圆上，又，则以为直径的圆的方程为，，
又圆，即，
两式相减，故直线的方程为，即，
由，解得，，即直线恒过定点，
（2）由，消去，得，
直线与圆交于，两点，，
解得，设，，
由韦达定理，有，，

设，由二次函数的性质可知，的图像抛物线开口向上，对称轴方程为，在上单调递减，在上单调递增，，
的取值范围为.
20．（1）由等轴双曲线知，又过点，所以，  解之得，
所以双曲线的方程为.
（2） 设，,联立得,
当时，,又因为，即,
即，
化简得解得或,
当,直线方程为,过定点,与重合，不成立，舍去；
当，直线方程为，恒过点.
21．（1）时，，，，
所以切线方程为，即
（2）当时，∵，
∴函数在上单调递增，从而至多有一个零点，不符合题意.
当时，∵，∴当时，，单调递增，
当时，，单调递减，∴在上单调递增，在上单调递减.因为，所以在上有两个不同的零点需要满足：

解得，∴a的取值范围是.

22.（1）因为双曲线的右焦点为，故，
由得，所以双曲线的方程为，，
设直线的方程为，联立双曲线方程得，
，解得，
即直线的斜率范围为；
（2）设，渐近线方程为，则到两条渐近线的距离，满足，

而，，
，
所以
由，
，
所以，，∵，∴.