高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.5 空间直线、平面的平行教学设计及反思

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授课主题
空间直线、平面的平行
教学目标
1.会判断空间两直线的位置关系.
2.掌握直线与平面平行的判定定理，并能初步利用定理解决问题.
3.掌握直线与平面平行的性质定理，明确由线面平行可推出线线平行.
4.理解并掌握平面与平面平行的判定定理.
5.理解并掌握平面与平面平行的性质定理.
教学重难点
重点：空间直线、平面平行的判定及其性质定理
教学内容
空间直线、平面的平行

爱思课堂——有趣


知识点一　基本事实4
文字语言
平行于同一条直线的两条直线平行
图形语言

符号语言
直线a，b，c，a∥b，b∥c⇒a∥c
作用
证明两条直线平行
说明
基本事实4表述的性质通常叫做平行线的传递性

知识点二　空间等角定理
1.定理
文字语言
如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补
符号语言
OA∥O′A′，OB∥O′B′⇒∠AOB＝∠A′O′B′或∠AOB＋∠A′O′B′＝180°
图形语言


作用
判断或证明两个角相等或互补

2.推广
如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等.
思考　如果两条直线和第三条直线成等角，那么这两条直线平行吗？

知识点三　直线与平面平行的判定定理
文字语言
如果平面外一条直线与此平面内一条直线平行，那么该直线与此平面平行
符号语言
⇒a∥α
图形语言


思考　(1)若一直线与平面内的一条直线平行，一定有直线与平面平行吗？

(2)如果一条直线与平面内无数条直线都平行，那么该直线和平面之间具有什么关系？

知识点四　直线与平面平行的性质定理
文字语言
一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行
符号语言
a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b
图形语言

知识点五　平面与平面平行的判定定理
文字语言
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行
符号语言
⇒α∥β
图形语言


思考　应用面面平行判定定理应具备哪些条件？

知识点六　两个平面平行的性质定理
文字语言
两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行
符号语言
α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b
图形语言


思考　(1)若两个平面平行，那么两个平面内的所有直线都相互平行吗？
(2)若两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面吗？

一、基本事实4的应用
例1　(1)如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F，E′，F′分别是AB，BC，A′B′，B′C′的中点，求证：EE′∥FF′.





(2)已知正方体ABCD－A1B1C1D1，E，F分别为AA1，CC1的中点，求证：BFD1E是平行四边形.





反思感悟　基本事实4表述的性质通常叫做空间直线平行的传递性，解题时首先找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行.
跟踪训练1　如图，在三棱锥P－ABC中，G，H分别为PB，PC的中点，M，N分别为△PAB，△PAC的重心，且△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝90°，求证：GH∥MN.





二、等角定理的应用
例2　如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是棱CC1，BB1，DD1的中点.

求证：∠BGC＝∠FD1E.









反思感悟　等角定理的结论是相等或互补，在实际应用时一般是借助于图形判断是相等还是互补，还是两种情况都有可能.
跟踪训练2　如图，已知在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点.求证：

(1)四边形MNA1C1是梯形；
(2)∠DNM＝∠D1A1C1.










三、直线与平面平行的判定定理的应用
例3　(1)如果两直线a∥b，且a∥α，则b与α的位置关系是(　　)
A.相交 B.b∥α
C.b⊂α D.b∥α或b⊂α

(2)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是BC，CC1，BB1的中点，求证：EF∥平面AD1G.









反思感悟　利用直线和平面平行的判定定理证明线面平行的关键是在平面内找一条直线与已知直线平行，常利用平行四边形、三角形中位线、基本事实4等.
跟踪训练3　如图，四边形ABCD是平行四边形，P是平面ABCD外一点，M，N分别是AB，PC的中点.求证：MN∥平面PAD.










四、直线与平面平行的性质定理的应用
例4　如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.













反思感悟　线面平行的性质和判定经常交替使用，也就是通过线线平行得到线面平行，再通过线面平行得线线平行.
跟踪训练4　如图，在五面体EFABCD中，已知四边形ABCD为梯形，AD∥BC，求证：AD∥EF.










五、平面与平面平行的判定定理的应用
例5　如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点.











反思感悟　两个平面平行的判定定理是确定面面平行的重要方法.解答问题时一定要寻求好判定定理所需要的条件，特别是相交的条件，即与已知平面平行的两条直线必须相交，才能确定面面平行.

跟踪训练5　如图，在四棱锥P－ABCD中，E，F，G分别是PC，PD，BC的中点，DC∥AB，求证：平面PAB∥平面EFG.











六、平面与平面平行的性质定理的应用
例6　如图，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点，M是AB上一点，连接MC，N是PM与DE的交点，连接NF，求证：NF∥CM.











反思感悟　利用面面平行的性质定理判断两直线平行的步骤
(1)先找两个平面，使这两个平面分别经过这两条直线中的一条.
(2)判定这两个平面平行(此条件有时题目会直接给出).
(3)再找一个平面，使这两条直线都在这个平面上.
(4)由定理得出结论.
跟踪训练6　如图，已知平面α∥β，P∉α且P∉β，过点P的直线m与α，β分别交于A，C，过点P的直线n与α，β分别交于B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，求BD的长.










几何中的计算问题
典例　如图，平面α∥平面β∥平面γ，两条异面直线a，b分别与平面α，β，γ相交于点A，B，C和点D，E，F.已知AC＝15 cm，DE＝5 cm，AB∶BC＝1∶3，求AB，BC，EF的长.








[素养提升]　利用平面与平面平行的性质定理，借助于学生比较熟悉的异面直线，平面与平面平行，直线与平面平行，经过论证，表述，得出结论，培养了逻辑推理的数学核心素养.


1.空间两条互相平行的直线指的是(　　)
A.在空间没有公共点的两条直线
B.分别在两个平面内的两条直线
C.在两个不同的平面内且没有公共点的两条直线
D.在同一平面内且没有公共点的两条直线

2.不平行的两条直线的位置关系是(　　)
A.相交 B.异面
C.平行 D.相交或异面


3.如图所示，在长方体木块AC1中，E，F分别是B1O和C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有(　　)

A.3条 B.4条 C.5条 D.6条


4.直线a，b为异面直线，过直线a与直线b平行的平面(　　)
A.有且只有一个
B.有无数多个
C.有且只有一个或不存在
D.不存在

5.下列条件中能得出直线m与平面α平行的是(　　)
A.直线m与平面α内所有直线平行
B.直线m与平面α内无数条直线平行
C.直线m与平面α没有公共点
D.直线m与平面α内的一条直线平行

6.过直线l外两点，作与l平行的平面，则这样的平面(　　)
A.不可能作出 B.只能作出一个
C.能作出无数个 D.上述三种情况都存在

7.如果a，b是两条异面直线，且a∥α，那么b与α的位置关系是(　　)
A.b∥α B.b与α相交
C.b⊂α D.不确定

8.在梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊂平面α，CD⊄平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是(　　)
A.平行 B.平行或异面
C.平行或相交 D.异面或相交

9.已知α，β是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面α与平面β平行的是(　　)
A.平面α内有一条直线与平面β平行
B.平面α内有两条直线与平面β平行
C.平面α内有一条直线与平面β内的一条直线平行
D.平面α与平面β不相交

10.下列四个说法中正确的是(　　)
A.平面α内有无数个点到平面β的距离相等，则α∥β
B.α∩γ＝a，α∩β＝b，且a∥b(α，β，γ分别表示平面，a，b表示直线)，则γ∥β
C.平面α内一个三角形三边分别平行于平面β内的一个三角形的三条边，则α∥β
D.平面α内的一个平行四边形的两边与平面β内的一个平行四边形的两边对应平行，则α∥β

11.如图所示的三棱柱ABC－A1B1C1，过A1B1的平面与平面ABC交于直线DE，则DE与AB的位置关系是(　　)

A.异面 B.平行
C.相交 D.以上均有可能


12.若直线a，b与直线l所成的角相等，则a，b的位置关系是(　　)
A.异面 B.平行
C.相交 D.相交、平行、异面均可能

13.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是侧面AA1D1D，侧面CC1D1D的中心，G，H分别是线段AB，BC的中点，则直线EF与直线GH的位置关系是(　　)
A.相交 B.异面 C.平行 D.垂直

14.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若过A，C，B1三点的平面与底面A1B1C1D1的交线为l，则l与A1C1的位置关系是________.






15.如图所示，ABCD—A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M，N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________.



16.如图所示，已知三棱锥A－BCD中，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是(　　)

A.MN≥(AC＋BD) B.MN≤(AC＋BD)
C.MN＝(AC＋BD) D.MN<(AC＋BD)

17.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH上及其内部运动，则M满足__________时，有MN∥平面B1BDD1.


18.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，EC＝2FB＝2，若MB∥平面AEF，试判断点M在何位置.



1. 我需要努力的地方（错题）是：




2. 本章内容我学到了什么？