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人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.5 直线与圆、圆与圆的位置教案
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这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第一册2.5 直线与圆、圆与圆的位置教案，共4页。教案主要包含了教学内容，教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。
第二章 直线和圆的方程
2．5．1 直线与圆的位置关系
【教学内容】
1．能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系．
2．能用直线和圆的方程解决一些简单的实际问题．
【教学目标】
1．理解并掌握直线与圆的位置关系的判定方法，培养和提高数学直观想象、数学运算能力；
2．能用直线和圆的方程解决直线与圆的弦长及切线问题，体会用代数方法处理几何问题的思想，培养和提高直观想象、逻辑推理素养；
3．借助圆的知识解决实际问题，培养数学建模素养．
【教学重难点】
教学重点：运用直线和圆的方程判断直线与圆的位置关系；
教学难点：运用直线与圆的方程解决简单的问题．
【教学过程】
（一）直线与圆的位置关系
1．我们知道，直线与圆有三种位置关系，它们分别是什么？
【答案】（1）直线与圆相交，有两个公共点；（2）直线与圆相切，有一个公共点；（3）直线与圆相离，没有公共点．
2．怎样判断直线与圆的位置关系？
【答案】在初中，我们是利用圆心到直线的距离与半径的关系，从而得到直线与圆的位置关系．到了高中，我们可以利用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系．
3．下面，我们通过具体例子进行研究．
（二）典型例题
例1．已知直线和圆心为C的圆，判断直线与圆C的位置关系；如果相交，求直线被圆C所截得的弦长．
解法1：联立直线与圆C的方程，得 ①
消去y，得，解得
所以，直线与圆C相交，有两个公共点．
把分别代入方程①，得
所以，直线与圆C的两个交点是A(2,0)，B(1,3)，因此．
解法2：圆C的方程可化为，
因此圆心C的坐标为（0，1），半径为，
圆心C（0，1）到直线的距离．
所以，直线与圆C相交，有两个公共点．
如图2．5-1，由垂径定理，得．
归纳总结
1．（代数法）要判断直线和圆C:的位置关系，可以联立它们的方程，通过判定方程组的解的个数，得出直线与圆的公共点的个数，进而判断直线与圆的位置关系．若相交，可以由方程组解得两交点坐标，利用两点间的距离公式求得弦长．
2．（综合法d-r）我们还可以根据圆的方程求得圆心坐标与半径r，从而求得圆心到直线的距离d，通过比较d与r的大小，判断直线与圆的位置关系．若相交，则可利用垂径定理和勾股定理求弦长．
直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系的判断
位置关系
相交
相切
相离
公共点个数
2个
1个
0个
判定
方法
综合法：设圆心到直线的距离
d＝
d＜r
d＝r
d＞r
代数法：由
消元得到一元二次方程根的判别式Δ
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
例2．过点P（2,1）作圆的切线，求切线的方程．
解法1：设切线的斜率为k，则切线的方程为，即
由圆心（0,0）到切线的距离等于圆的半径1，得
解得．因此，所求切线的方程为．
解法2：设切线的斜率为k，则切线的方程为．
因为直线与圆相切，所以方程组只有一组解．
消去y，得①
因为方程①只有一个解，所以
解得．因此，所求切线的方程为．
归纳总结
1．（综合法d-r）根据图2．5-2容易知道，点P（2,1）位于圆外，经过圆外一点有两条直线与这个圆相切．我们设切线方程为，通过圆心（0,0）到切线的距离d等于圆的半径1，可求出k的值．
2．（代数法）直线和圆C:的相切，可以联立它们的方程，通过方程组消元后，得出一元二次方程只有一个解，由，可求出k的值．
（三）实际问题
例3．图2．5-3是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图．圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，建造时每隔4m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度（精确到0．01m）．
解：建立如图2．5-4所示的直角坐标系，使线段AB所在直线为x轴，O为坐标原点，圆心在y轴上．由题意，点P，B的坐标分别为（0,4）,（10,0）．设圆心坐标是（0，b），圆的半径是r,
那么圆的方程是．
因为P，B两点都在圆上，所以它们的坐标（0,4）,（10,0）都满足方程
于是，得到方程组
解得．所以，圆的方程是
把点P2的横坐标x=-2代入圆的方程，得（P2的纵坐标大于0，平方根取正值）．所以．
答：支柱A2P2的高度约为3．86m．
归纳总结
本例使用坐标法，建立平面直角坐标系，把几何问题转化为代数问题，利用点坐标求得圆的方程，进而求出点P2的纵坐标即支柱高度．
例4．一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20km的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西40km处，港口位于小岛中心正北30km处．如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险？
解：以小岛的中心为原点O，东西方向为x轴，建立如图2．5-5所示的直角坐标系．为了运算的简便，我们取10km为单位长度，则港口所在位置的坐标为（0,3），轮船所在位置的坐标为（4,0）．
这样，受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程为
轮船航线所在直线的方程为
联立直线与圆O的方程，得
消去y，得
由，可知方程组无解．
所以直线与圆O相离，轮船沿直线返航不会有触礁危险．
归纳总结
1．坐标法解决平面几何问题的“三步曲”：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何要素，如点、直线、圆，把平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：把代数运算的结果“翻译”成几何结论．
2．思考：你还能用其他方法解决上述问题吗？
（四）课堂总结
1．本节课，我们先通过具体例子，学习如何判断直线与圆的位置关系，总结了两种方法，分别是代数法和综合法．
2．再利用直线和圆的方程解决一些简单的实际问题，体会用坐标法解决平面几何问题．
第二章 直线和圆的方程
2．5．1 直线与圆的位置关系
【教学内容】
1．能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系．
2．能用直线和圆的方程解决一些简单的实际问题．
【教学目标】
1．理解并掌握直线与圆的位置关系的判定方法，培养和提高数学直观想象、数学运算能力；
2．能用直线和圆的方程解决直线与圆的弦长及切线问题，体会用代数方法处理几何问题的思想，培养和提高直观想象、逻辑推理素养；
3．借助圆的知识解决实际问题，培养数学建模素养．
【教学重难点】
教学重点：运用直线和圆的方程判断直线与圆的位置关系；
教学难点：运用直线与圆的方程解决简单的问题．
【教学过程】
（一）直线与圆的位置关系
1．我们知道，直线与圆有三种位置关系，它们分别是什么？
【答案】（1）直线与圆相交，有两个公共点；（2）直线与圆相切，有一个公共点；（3）直线与圆相离，没有公共点．
2．怎样判断直线与圆的位置关系？
【答案】在初中，我们是利用圆心到直线的距离与半径的关系，从而得到直线与圆的位置关系．到了高中，我们可以利用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系．
3．下面，我们通过具体例子进行研究．
（二）典型例题
例1．已知直线和圆心为C的圆，判断直线与圆C的位置关系；如果相交，求直线被圆C所截得的弦长．
解法1：联立直线与圆C的方程，得 ①
消去y，得，解得
所以，直线与圆C相交，有两个公共点．
把分别代入方程①，得
所以，直线与圆C的两个交点是A(2,0)，B(1,3)，因此．
解法2：圆C的方程可化为，
因此圆心C的坐标为（0，1），半径为，
圆心C（0，1）到直线的距离．
所以，直线与圆C相交，有两个公共点．
如图2．5-1，由垂径定理，得．
归纳总结
1．（代数法）要判断直线和圆C:的位置关系，可以联立它们的方程，通过判定方程组的解的个数，得出直线与圆的公共点的个数，进而判断直线与圆的位置关系．若相交，可以由方程组解得两交点坐标，利用两点间的距离公式求得弦长．
2．（综合法d-r）我们还可以根据圆的方程求得圆心坐标与半径r，从而求得圆心到直线的距离d，通过比较d与r的大小，判断直线与圆的位置关系．若相交，则可利用垂径定理和勾股定理求弦长．
直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系的判断
位置关系
相交
相切
相离
公共点个数
2个
1个
0个
判定
方法
综合法：设圆心到直线的距离
d＝
d＜r
d＝r
d＞r
代数法：由
消元得到一元二次方程根的判别式Δ
Δ＞0
Δ＝0
Δ＜0
例2．过点P（2,1）作圆的切线，求切线的方程．
解法1：设切线的斜率为k，则切线的方程为，即
由圆心（0,0）到切线的距离等于圆的半径1，得
解得．因此，所求切线的方程为．
解法2：设切线的斜率为k，则切线的方程为．
因为直线与圆相切，所以方程组只有一组解．
消去y，得①
因为方程①只有一个解，所以
解得．因此，所求切线的方程为．
归纳总结
1．（综合法d-r）根据图2．5-2容易知道，点P（2,1）位于圆外，经过圆外一点有两条直线与这个圆相切．我们设切线方程为，通过圆心（0,0）到切线的距离d等于圆的半径1，可求出k的值．
2．（代数法）直线和圆C:的相切，可以联立它们的方程，通过方程组消元后，得出一元二次方程只有一个解，由，可求出k的值．
（三）实际问题
例3．图2．5-3是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图．圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，建造时每隔4m需要用一根支柱支撑，求支柱A2P2的高度（精确到0．01m）．
解：建立如图2．5-4所示的直角坐标系，使线段AB所在直线为x轴，O为坐标原点，圆心在y轴上．由题意，点P，B的坐标分别为（0,4）,（10,0）．设圆心坐标是（0，b），圆的半径是r,
那么圆的方程是．
因为P，B两点都在圆上，所以它们的坐标（0,4）,（10,0）都满足方程
于是，得到方程组
解得．所以，圆的方程是
把点P2的横坐标x=-2代入圆的方程，得（P2的纵坐标大于0，平方根取正值）．所以．
答：支柱A2P2的高度约为3．86m．
归纳总结
本例使用坐标法，建立平面直角坐标系，把几何问题转化为代数问题，利用点坐标求得圆的方程，进而求出点P2的纵坐标即支柱高度．
例4．一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20km的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西40km处，港口位于小岛中心正北30km处．如果轮船沿直线返港，那么它是否会有触礁危险？
解：以小岛的中心为原点O，东西方向为x轴，建立如图2．5-5所示的直角坐标系．为了运算的简便，我们取10km为单位长度，则港口所在位置的坐标为（0,3），轮船所在位置的坐标为（4,0）．
这样，受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程为
轮船航线所在直线的方程为
联立直线与圆O的方程，得
消去y，得
由，可知方程组无解．
所以直线与圆O相离，轮船沿直线返航不会有触礁危险．
归纳总结
1．坐标法解决平面几何问题的“三步曲”：第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何要素，如点、直线、圆，把平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：把代数运算的结果“翻译”成几何结论．
2．思考：你还能用其他方法解决上述问题吗？
（四）课堂总结
1．本节课，我们先通过具体例子，学习如何判断直线与圆的位置关系，总结了两种方法，分别是代数法和综合法．
2．再利用直线和圆的方程解决一些简单的实际问题，体会用坐标法解决平面几何问题．
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