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人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列第1课时教案及反思
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这是一份人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.2 等差数列第1课时教案及反思，共12页。教案主要包含了单元内容及其解析，单元目标及其解析，教学问题诊断分析，教学支持条件分析，课时教学设计等内容，欢迎下载使用。
《等差数列的前n项和公式---第1课时》教学设计
一、单元内容及其解析
1.内容
等差数列前n项和公式的推导与应用.
本单元的知识结构：
本单元建议用2课时：第1课时，等差数列前n项和公式的推导；第2课时，等差数列前n项和公式的应用.
2.内容解析
本单元内容具有承上启下的作用.等差数列的前项和公式不仅是等差数列的定义、通项公式和有关性质的延续，而且为后面类比地学习等比数列前项和公式提供学习内容、思维方法的基础，更是今后研究级数的预备知识.
等差数列的前项和公式是等差数列的又一重要性质，是进一步认识等差数列的函数特性的又一重要角度，是感受等差数列与一次函数、等差数列的前项和公式与一元二次函数之间的联系，体会数学的整体性的又一重要载体.
等差数列的前项和公式是等差数列的定义、通项公式和相关性质的直接应用.寻找合适的算理、算法是研究等差数列前项和的基本线索，将不同数的求和转化为相同数的求和是算理、算法的逻辑起点，是引导学生学习等差数列求和方法的基础，是学生领悟化归与转化思想的合适素材.
等差数列的前项和公式是数列单元的重点内容.在公式的推导过程中，“倒序相加法”是历史上遗留下来的经典方法，因此，等差数列的前项和公式的建立，可以数学文化为背景，构建一个从简单到复杂、从特殊到一般、历史与现实有机结合、算法与性质交融并进的研究过程，使学生从对等差数列求和的简单情形的算法分析和推广中，逐步认识到“倒序相加法”所蕴含的算理和本质，并最终能用这种方法推导出等差数列的前项和公式，这一过程也体现了内容与数学文化的融合.
基于以上分析，确定本单元的教学重点：等差数列的前项和公式的推导及其应用.
二、单元目标及其解析
1.目标
（1）了解等差数列前项和公式发现的背景；
（2）推导并掌握等差数列的前项和公式；
（3）在具体问题情境中，能运用等差数列的前项和公式解决一些简单的数学问题和实际问题，提升数学建模素养.
2.目标解析
达成上述目标的标志是：
（1）学生通过课前自主查阅数学史料，课堂演绎历史短剧，了解等差数列的前项和公式的来龙去脉，感悟特殊与一般的思想，感受前人严谨的治学精神和数学文化的熏陶.
（2）学生通过研究性学习和小组合作探究的方式，在经历“类比推理探公式---归纳推理猜公式---演绎推理证公式”的推导过程中，明确基本公式的学习套路，掌握等差数列的前项和公式的“倒序相加法”以及其他推导方法，能分析等差数列的通项公式与前项和公式的关系，描述等差数列的前项和公式的特征，以及它与相应二次函数的关系，领悟等差数列的性质是导出求和公式的关键.
（3）学生能在具体的问题情境中，特别是在具有数学史料和实际应用的问题情境下，运用等差数列的前项和公式解决相应的问题.
三、教学问题诊断分析
从学生已有的数学思维特点来看，等差数列的前项和公式的学习，其认知基础是等差数列的定义与性质、数列求和的一般观念，以及学生对特殊数列求和的研究经验等.这些认知准备，对于分析等差数列项的变化规律，利用等差数列的性质减少项数，发现倒序相加的运算特点，从而达到简化的目的，并最终能够顺利地导出求和公式等，都能起到思路引领的作用.
从学生积累的数学活动经验来看，学生很容易把高斯的“首尾配对法”过渡到“倒序相加法”.尽管这两种方法的共性本质都是如何“减项化简”（即如何把不同数的求和化归为相同数的求和），但两者的推导方法又有着形式上的差异（即首尾配对要分奇偶，而倒序相加则可一步到位）.正是这种差异导致了等差数列的前项和公式推导过程中的一个“老大难”问题：怎么想到用倒序相加的？因此，怎样让等差数列的前项和公式的推导能够相对自然地呈现，成为学生理解公式推导过程的合理性的关键.
为了有效突破这一难点，在推导过程中，既要在从特殊到一般的问题情境中，通过归纳推理，分类讨论公式的结构特征；又要在遵循“倒序相加法”产生的数学背景中，通过推理再次获得公式；还要在数形结合的过程中，通过类比推理直观感知公式的几何意义，在求和公式的教学中，让学生经历等差数列的前项和公式的再创造过程，从而培养学生的逻辑推理素养，提升学的思维品质.
四、教学支持条件分析
为了加强学生对等差数列的前项和公式的整体感受，采取素养导航、推理定位、文化引领、应用落实的“四位一体”的单元教学设计，教学情境围绕等差数列求和的发展历程和应用过程展开，采用历史线索和问题串驱动法.一是，借助多媒体引入古希腊毕达哥拉斯学派的经典算题，演绎德国伟大的数学家高斯“神速求和”的历史短剧，让学生经历“首尾配对法---分类讨论法---倒序相加法”的认知过程，体验把不同数的求和转化为相同数的求和的思维过程，实现化简求和的终极目标.二是，借助信息技术类比梯形的面积公式，动态演示等差数列的前项和公式的几何意义，揭示求和公式的结构特征和其中蕴含的数学思想方法，提升学生的直观想象素养.三是，借助实物投影仪展示学生的小组合作学习成果，让学生经历化归与转化、探索与尝试、总结与提炼以及应用与深化四个阶段，加深学生对求和公式的认知，对推导和应用过程的理解，完成本单元的教学目标.
五、课时教学设计
（一）教学内容
等差数列的前项和公式的推导.
（二）教学目标
1.了解等差数列的前项和公式发现的背景；
2.推导并掌握等差数列的前项和公式，提升逻辑推理和数学运算素养.
（三）教学重点、难点
重点：等差数列的前项和公式的推导.
难点：等差数列的前项和公式的推导.
（四）教学过程设计
1.重温经典算法，归纳“探”公式
引导语：在前面的学习中，我们已经学习了等差数列的通项公式，以及与等差数列有关的一些基本性质，这节课我们来探讨一下等差数列的前项和公式.
问题情境：古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数.他们研究过三角形数：1，3，6，10，15，…，如图1所示，这个图案中有层.
图 1
设计意图：通过介绍古希腊毕达哥拉斯学派的三角形数，展现数学知识生成的文化背景，使学生了解数学史的知识，感受数学文化，体会其中蕴含的趣味性、文化性和思想性.
问题1：如果图1中的石子有100层，那么第1层到100层一共用了多少粒石子？
师生活动：教师引导学生将问题转化为学生熟悉的求等差数列前100项的和，即求1+2+3+…+100.让学生表演历史短剧再现高斯求和的算法故事，教师追问如下问题：
（1）高斯采用的是什么算法？（答案：首尾配对法.）
（2）高斯在求和过程中利用了数列1，2，…，，…的什么性质？（答案：，即上一小节例5中的性质的一个特殊情形.）
（3）高斯求和法的实质是什么？（答案：高斯算法的实质，就是通过配对凑成相同的数，变“多步求和”为“一步相乘”，即将“不同数的求和”化归为“相同数的求和”.）
设计意图：重温高斯算法，让知识生成更自然.高斯算法蕴含着等差数列的特殊性质（即上小节例5中的性质的一个特殊情形），教学时要让学生自己去观察、探索、发现数列的这一性质.同时，引导学生提炼高斯算法的实质---将“不同数的求和”化归为“相同数的求和”，体会转化与化归的思想方法，这也是推导等差数列求和公式的精髓.
问题2：如果图1中的石子有101层，那么第1层到第101层一共用了多少粒石子？
师生活动：教师引导学生将问题转化为计算1+2+3+…+101.学生再经过合作学习、讨论，形成以下思路：
思路1（拿出中间项，再首尾配对）：原式=（1+101）+（2+100）+…+（50+52）+51.
思路2（拿出末项，再首尾配对）：原式=（1+2+3+…+100）+101.
思路3（先凑成偶数项，再配对）：原式=1+2+3+…+101=（1+2+3+…+101+102）-102.
思路4（先凑成偶数项，再配对）：原式=0+1+2+3+…+101.
设计意图：这是求奇数个项的和的问题，若简单地模仿高斯算法，将出现不能全部配对的问题，这时教师要引导学生进一步探求解题思路.思路1和思路2是先拿出一项，将剩余项配对；思路3和思路4是增加一项，凑成偶数项再配对.总体上都体现了化归思想，将奇数个项和的问题转化为偶数个项和的问题.
问题3：如果图1中的石子有层，那么第1层到第层一共用了多少粒石子？
师生活动：教师同样引导学生将问题转化为计算.学生仿照问题2的解法，从奇偶分析法入手探求.
方法1：当是偶数时，有
当为奇数时，有.
综上，对任意正整数，都有.
方法2：当是偶数时，同理有.
当为奇数时，有.
综上，对任意正整数，都.
方法3：当是偶数时，同理有.
当为奇数时，有Tn=1+2+3+⋯+n=n-12(1+n)+n+12=n(n+1)2.
综上，对任意正整数，都有.
教师总结：将分为偶数和奇数两类情况进行处理，当为偶数时，直接运用高斯算法求解；当为奇数时，如方法3，先拿出中间一项，剩余的配对，从而将问题转化为个与的和.这种方法体现了分类整合以及转化与化归的思想方法.
追问：是否一定要分类讨论？怎样避开分类讨论实现“配对”，将“不同数的求和”化归为相同数的求和”呢？
设计意图：推广前面求1+2+3+…+101的方法，展现分奇、偶两种情况求1+2+3+…+的过程，同时提出如何避免分类的问题.
2.探索求和规律，演绎“推”公式
问题4：能否借助梯形面积公式的推导方法研究“石子堆”问题？
师生活动：教师借助信息技术工具，让学生明确梯形面积公式是如何推导的.教师追问如下问题：
（1）为什么要“倒置”一个全等梯形？（答案：补成平行四边形.）
（2）梯形面积公式的推导体现了什么研究策略？（答案：将不规则的或不熟悉的图形转化为规则的或熟悉的图形.）
3）能否借助这样的策略研究“石子堆”问题？（答案：可以.平行四边形行中的每行石子的粒数均为，共有n(n+1)粒石子，所以原图案共有粒石子，）
教师介绍：如图2，利用拼平行四边形的方法，求从1开始的连续正整数之和，即.
图 2
设计意图：通过呈现梯形面积公式的推导情境，将认知起点贴近学生思维的最近发展区，使学生更容易理解这种“平行倒置”的做法.
问题5：你能用数学符号来表示图2中的求解过程吗？
师生活动：教师先从“运算”的角度，引导学生对公式作变形，得到.它相当于两个相加，而结果变成个相加；再从“形”的角度，结合梯形面积公式的推导所受到的启发，自然而然地得到如下推理:
， ①
， ②
由①+②，可得，从而.
教师总结：这种推导方法叫做倒序相加法.通过倒序相加，将复杂的求和问题转化为简单求和，即转化为个的和.
教师引导学生从中体会：
（1）所求的和可以用首项、末项和项数来表示；
（2）数列中任意的第项与倒数第项的和都等于首项与末项的和.
设计意图：通过从“式”的角度的联想，和从“形”的角度的类比，探求新的解决方法.
问题6：如何将这种“倒序相加法”推广到求公差为的等差数列的前项和呢？
师生活动：首先，教师引导学生利用的定义，通过“观察---归纳---推测”获得猜想：
，
，
，
，
由此归纳猜想.
然后，教师引导学生运用“倒序相加法”再次得到猜想结论，即利用等差数列的性质，将转化为个的和，从而得到求和公式.
， ③
. ④
因为，由③+④，可得.所以得到公式（1）：.
最后，利用通项公式，用，，表示数列的各项，再把各项重构分组，运用公式（1）进行求和，导出等差数列前项和公式的另一种形式.
.
也可直接将通项公式代入公式（1），得到公式（2）：.经整理得到公式（3）： .
设计意图：从不同角度推导等差数列的前项和公式，既让学生经历“观察---归纳---猜想”的过程，获得发现公式的体验，又让学生用“倒序相加法”推导公式，体会数学方法的美妙.
3.挖掘几何意义，比较“释”公式
问题7：根据前面的类比推导过程，你能说出等差数列的前项和公式与梯形的面积公式有什么联系吗？
师生活动：教师引导学生建立起公式与图形之间的联系：公式（1）的几何意义如图3所示，上底为，下底为，高为，梯形的面积即为数列之和；公式（2）的几何意义如图4所示，这里的梯形由一个三角形和一个平形四边形组成，梯形的下底为.教师总结，梯形的面积公式可以帮助我们记忆等差数列的前项和公式.
图 3 图 4
追问：等差数列的前项和公式（3）与一元二次函数有什么联系？
师生活动：通过小组合作讨论，教师引导学生发现公式（3）是二次式.当时，可以看成二次函数当时的函数值，其几何意义是一条过坐标原点的抛物线上的均匀分布的点；当时，的图象是一条直线上的均匀分布的点（图5）；当时，的图象是一条开口向上的过坐标原点的抛物线上的均匀分布的点（图6）；当时，的图象是一条开口向下的过坐标原点的抛物线上的均匀分布的点（图7）.
图 5 图 6 图 7
设计意图：通过从形的角度解释等差数列的前项和公式，探究公式与二次函数的关系，使学生深入理解公式，从而培养学生思维的灵活性、发散性和深刻性.
4.课堂小结
问题：请总结一下本节课的主要内容和思想方法.
师生活动：教师引导学生自行总结本节课的主要内容和思想方法，在此基础上，结合学生总结的情况及时补充完善.教师重点概括等差数列的前项和公式的推导过程以及过程中体现的思想方法，总结等差数列前项和公式的3种形式（公式（1）、公式（2）和公式（3）），以及它们的几何意义.
5.布置作业
教科书第22~23页练习第1~4题.
（五）目标检测设计
1.教科书第21页例6.
设计意图：考查学生对等差数列的前项和公式的应用能力.
2.已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261.求此数列中间一项的值以及项数.
没计意图：考查学生对等差数列的性质和前项和公式的应用能力.
《等差数列的前n项和公式---第1课时》教学设计
一、单元内容及其解析
1.内容
等差数列前n项和公式的推导与应用.
本单元的知识结构：
本单元建议用2课时：第1课时，等差数列前n项和公式的推导；第2课时，等差数列前n项和公式的应用.
2.内容解析
本单元内容具有承上启下的作用.等差数列的前项和公式不仅是等差数列的定义、通项公式和有关性质的延续，而且为后面类比地学习等比数列前项和公式提供学习内容、思维方法的基础，更是今后研究级数的预备知识.
等差数列的前项和公式是等差数列的又一重要性质，是进一步认识等差数列的函数特性的又一重要角度，是感受等差数列与一次函数、等差数列的前项和公式与一元二次函数之间的联系，体会数学的整体性的又一重要载体.
等差数列的前项和公式是等差数列的定义、通项公式和相关性质的直接应用.寻找合适的算理、算法是研究等差数列前项和的基本线索，将不同数的求和转化为相同数的求和是算理、算法的逻辑起点，是引导学生学习等差数列求和方法的基础，是学生领悟化归与转化思想的合适素材.
等差数列的前项和公式是数列单元的重点内容.在公式的推导过程中，“倒序相加法”是历史上遗留下来的经典方法，因此，等差数列的前项和公式的建立，可以数学文化为背景，构建一个从简单到复杂、从特殊到一般、历史与现实有机结合、算法与性质交融并进的研究过程，使学生从对等差数列求和的简单情形的算法分析和推广中，逐步认识到“倒序相加法”所蕴含的算理和本质，并最终能用这种方法推导出等差数列的前项和公式，这一过程也体现了内容与数学文化的融合.
基于以上分析，确定本单元的教学重点：等差数列的前项和公式的推导及其应用.
二、单元目标及其解析
1.目标
（1）了解等差数列前项和公式发现的背景；
（2）推导并掌握等差数列的前项和公式；
（3）在具体问题情境中，能运用等差数列的前项和公式解决一些简单的数学问题和实际问题，提升数学建模素养.
2.目标解析
达成上述目标的标志是：
（1）学生通过课前自主查阅数学史料，课堂演绎历史短剧，了解等差数列的前项和公式的来龙去脉，感悟特殊与一般的思想，感受前人严谨的治学精神和数学文化的熏陶.
（2）学生通过研究性学习和小组合作探究的方式，在经历“类比推理探公式---归纳推理猜公式---演绎推理证公式”的推导过程中，明确基本公式的学习套路，掌握等差数列的前项和公式的“倒序相加法”以及其他推导方法，能分析等差数列的通项公式与前项和公式的关系，描述等差数列的前项和公式的特征，以及它与相应二次函数的关系，领悟等差数列的性质是导出求和公式的关键.
（3）学生能在具体的问题情境中，特别是在具有数学史料和实际应用的问题情境下，运用等差数列的前项和公式解决相应的问题.
三、教学问题诊断分析
从学生已有的数学思维特点来看，等差数列的前项和公式的学习，其认知基础是等差数列的定义与性质、数列求和的一般观念，以及学生对特殊数列求和的研究经验等.这些认知准备，对于分析等差数列项的变化规律，利用等差数列的性质减少项数，发现倒序相加的运算特点，从而达到简化的目的，并最终能够顺利地导出求和公式等，都能起到思路引领的作用.
从学生积累的数学活动经验来看，学生很容易把高斯的“首尾配对法”过渡到“倒序相加法”.尽管这两种方法的共性本质都是如何“减项化简”（即如何把不同数的求和化归为相同数的求和），但两者的推导方法又有着形式上的差异（即首尾配对要分奇偶，而倒序相加则可一步到位）.正是这种差异导致了等差数列的前项和公式推导过程中的一个“老大难”问题：怎么想到用倒序相加的？因此，怎样让等差数列的前项和公式的推导能够相对自然地呈现，成为学生理解公式推导过程的合理性的关键.
为了有效突破这一难点，在推导过程中，既要在从特殊到一般的问题情境中，通过归纳推理，分类讨论公式的结构特征；又要在遵循“倒序相加法”产生的数学背景中，通过推理再次获得公式；还要在数形结合的过程中，通过类比推理直观感知公式的几何意义，在求和公式的教学中，让学生经历等差数列的前项和公式的再创造过程，从而培养学生的逻辑推理素养，提升学的思维品质.
四、教学支持条件分析
为了加强学生对等差数列的前项和公式的整体感受，采取素养导航、推理定位、文化引领、应用落实的“四位一体”的单元教学设计，教学情境围绕等差数列求和的发展历程和应用过程展开，采用历史线索和问题串驱动法.一是，借助多媒体引入古希腊毕达哥拉斯学派的经典算题，演绎德国伟大的数学家高斯“神速求和”的历史短剧，让学生经历“首尾配对法---分类讨论法---倒序相加法”的认知过程，体验把不同数的求和转化为相同数的求和的思维过程，实现化简求和的终极目标.二是，借助信息技术类比梯形的面积公式，动态演示等差数列的前项和公式的几何意义，揭示求和公式的结构特征和其中蕴含的数学思想方法，提升学生的直观想象素养.三是，借助实物投影仪展示学生的小组合作学习成果，让学生经历化归与转化、探索与尝试、总结与提炼以及应用与深化四个阶段，加深学生对求和公式的认知，对推导和应用过程的理解，完成本单元的教学目标.
五、课时教学设计
（一）教学内容
等差数列的前项和公式的推导.
（二）教学目标
1.了解等差数列的前项和公式发现的背景；
2.推导并掌握等差数列的前项和公式，提升逻辑推理和数学运算素养.
（三）教学重点、难点
重点：等差数列的前项和公式的推导.
难点：等差数列的前项和公式的推导.
（四）教学过程设计
1.重温经典算法，归纳“探”公式
引导语：在前面的学习中，我们已经学习了等差数列的通项公式，以及与等差数列有关的一些基本性质，这节课我们来探讨一下等差数列的前项和公式.
问题情境：古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数.他们研究过三角形数：1，3，6，10，15，…，如图1所示，这个图案中有层.
图 1
设计意图：通过介绍古希腊毕达哥拉斯学派的三角形数，展现数学知识生成的文化背景，使学生了解数学史的知识，感受数学文化，体会其中蕴含的趣味性、文化性和思想性.
问题1：如果图1中的石子有100层，那么第1层到100层一共用了多少粒石子？
师生活动：教师引导学生将问题转化为学生熟悉的求等差数列前100项的和，即求1+2+3+…+100.让学生表演历史短剧再现高斯求和的算法故事，教师追问如下问题：
（1）高斯采用的是什么算法？（答案：首尾配对法.）
（2）高斯在求和过程中利用了数列1，2，…，，…的什么性质？（答案：，即上一小节例5中的性质的一个特殊情形.）
（3）高斯求和法的实质是什么？（答案：高斯算法的实质，就是通过配对凑成相同的数，变“多步求和”为“一步相乘”，即将“不同数的求和”化归为“相同数的求和”.）
设计意图：重温高斯算法，让知识生成更自然.高斯算法蕴含着等差数列的特殊性质（即上小节例5中的性质的一个特殊情形），教学时要让学生自己去观察、探索、发现数列的这一性质.同时，引导学生提炼高斯算法的实质---将“不同数的求和”化归为“相同数的求和”，体会转化与化归的思想方法，这也是推导等差数列求和公式的精髓.
问题2：如果图1中的石子有101层，那么第1层到第101层一共用了多少粒石子？
师生活动：教师引导学生将问题转化为计算1+2+3+…+101.学生再经过合作学习、讨论，形成以下思路：
思路1（拿出中间项，再首尾配对）：原式=（1+101）+（2+100）+…+（50+52）+51.
思路2（拿出末项，再首尾配对）：原式=（1+2+3+…+100）+101.
思路3（先凑成偶数项，再配对）：原式=1+2+3+…+101=（1+2+3+…+101+102）-102.
思路4（先凑成偶数项，再配对）：原式=0+1+2+3+…+101.
设计意图：这是求奇数个项的和的问题，若简单地模仿高斯算法，将出现不能全部配对的问题，这时教师要引导学生进一步探求解题思路.思路1和思路2是先拿出一项，将剩余项配对；思路3和思路4是增加一项，凑成偶数项再配对.总体上都体现了化归思想，将奇数个项和的问题转化为偶数个项和的问题.
问题3：如果图1中的石子有层，那么第1层到第层一共用了多少粒石子？
师生活动：教师同样引导学生将问题转化为计算.学生仿照问题2的解法，从奇偶分析法入手探求.
方法1：当是偶数时，有
当为奇数时，有.
综上，对任意正整数，都有.
方法2：当是偶数时，同理有.
当为奇数时，有.
综上，对任意正整数，都.
方法3：当是偶数时，同理有.
当为奇数时，有Tn=1+2+3+⋯+n=n-12(1+n)+n+12=n(n+1)2.
综上，对任意正整数，都有.
教师总结：将分为偶数和奇数两类情况进行处理，当为偶数时，直接运用高斯算法求解；当为奇数时，如方法3，先拿出中间一项，剩余的配对，从而将问题转化为个与的和.这种方法体现了分类整合以及转化与化归的思想方法.
追问：是否一定要分类讨论？怎样避开分类讨论实现“配对”，将“不同数的求和”化归为相同数的求和”呢？
设计意图：推广前面求1+2+3+…+101的方法，展现分奇、偶两种情况求1+2+3+…+的过程，同时提出如何避免分类的问题.
2.探索求和规律，演绎“推”公式
问题4：能否借助梯形面积公式的推导方法研究“石子堆”问题？
师生活动：教师借助信息技术工具，让学生明确梯形面积公式是如何推导的.教师追问如下问题：
（1）为什么要“倒置”一个全等梯形？（答案：补成平行四边形.）
（2）梯形面积公式的推导体现了什么研究策略？（答案：将不规则的或不熟悉的图形转化为规则的或熟悉的图形.）
3）能否借助这样的策略研究“石子堆”问题？（答案：可以.平行四边形行中的每行石子的粒数均为，共有n(n+1)粒石子，所以原图案共有粒石子，）
教师介绍：如图2，利用拼平行四边形的方法，求从1开始的连续正整数之和，即.
图 2
设计意图：通过呈现梯形面积公式的推导情境，将认知起点贴近学生思维的最近发展区，使学生更容易理解这种“平行倒置”的做法.
问题5：你能用数学符号来表示图2中的求解过程吗？
师生活动：教师先从“运算”的角度，引导学生对公式作变形，得到.它相当于两个相加，而结果变成个相加；再从“形”的角度，结合梯形面积公式的推导所受到的启发，自然而然地得到如下推理:
， ①
， ②
由①+②，可得，从而.
教师总结：这种推导方法叫做倒序相加法.通过倒序相加，将复杂的求和问题转化为简单求和，即转化为个的和.
教师引导学生从中体会：
（1）所求的和可以用首项、末项和项数来表示；
（2）数列中任意的第项与倒数第项的和都等于首项与末项的和.
设计意图：通过从“式”的角度的联想，和从“形”的角度的类比，探求新的解决方法.
问题6：如何将这种“倒序相加法”推广到求公差为的等差数列的前项和呢？
师生活动：首先，教师引导学生利用的定义，通过“观察---归纳---推测”获得猜想：
，
，
，
，
由此归纳猜想.
然后，教师引导学生运用“倒序相加法”再次得到猜想结论，即利用等差数列的性质，将转化为个的和，从而得到求和公式.
， ③
. ④
因为，由③+④，可得.所以得到公式（1）：.
最后，利用通项公式，用，，表示数列的各项，再把各项重构分组，运用公式（1）进行求和，导出等差数列前项和公式的另一种形式.
.
也可直接将通项公式代入公式（1），得到公式（2）：.经整理得到公式（3）： .
设计意图：从不同角度推导等差数列的前项和公式，既让学生经历“观察---归纳---猜想”的过程，获得发现公式的体验，又让学生用“倒序相加法”推导公式，体会数学方法的美妙.
3.挖掘几何意义，比较“释”公式
问题7：根据前面的类比推导过程，你能说出等差数列的前项和公式与梯形的面积公式有什么联系吗？
师生活动：教师引导学生建立起公式与图形之间的联系：公式（1）的几何意义如图3所示，上底为，下底为，高为，梯形的面积即为数列之和；公式（2）的几何意义如图4所示，这里的梯形由一个三角形和一个平形四边形组成，梯形的下底为.教师总结，梯形的面积公式可以帮助我们记忆等差数列的前项和公式.
图 3 图 4
追问：等差数列的前项和公式（3）与一元二次函数有什么联系？
师生活动：通过小组合作讨论，教师引导学生发现公式（3）是二次式.当时，可以看成二次函数当时的函数值，其几何意义是一条过坐标原点的抛物线上的均匀分布的点；当时，的图象是一条直线上的均匀分布的点（图5）；当时，的图象是一条开口向上的过坐标原点的抛物线上的均匀分布的点（图6）；当时，的图象是一条开口向下的过坐标原点的抛物线上的均匀分布的点（图7）.
图 5 图 6 图 7
设计意图：通过从形的角度解释等差数列的前项和公式，探究公式与二次函数的关系，使学生深入理解公式，从而培养学生思维的灵活性、发散性和深刻性.
4.课堂小结
问题：请总结一下本节课的主要内容和思想方法.
师生活动：教师引导学生自行总结本节课的主要内容和思想方法，在此基础上，结合学生总结的情况及时补充完善.教师重点概括等差数列的前项和公式的推导过程以及过程中体现的思想方法，总结等差数列前项和公式的3种形式（公式（1）、公式（2）和公式（3）），以及它们的几何意义.
5.布置作业
教科书第22~23页练习第1~4题.
（五）目标检测设计
1.教科书第21页例6.
设计意图：考查学生对等差数列的前项和公式的应用能力.
2.已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261.求此数列中间一项的值以及项数.
没计意图：考查学生对等差数列的性质和前项和公式的应用能力.
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