还剩19页未读，
继续阅读
2022-2023学年湖南省长沙市雅礼教育集团七年级（下）期末数学试卷（含解析）
展开
这是一份2022-2023学年湖南省长沙市雅礼教育集团七年级（下）期末数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖南省长沙市雅礼教育集团七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列各数为无理数的是( )
A. 0.618 B. 227 C. 5 D. 3−27
2. 下列点的坐标在第四象限的是( )
A. (5,2) B. (−6,3) C. (−4,−6) D. (3,−4)
3. 若x=−1y=2是关于x、y的方程2x−y+2a=0的一个解，则常数a为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. 若m>n>0，下列不等式不成立的是( )
A. m−2>n−2 B. 2m+1>2n+1
C. −m2>−n2 D. m> n
5. 下列调查方式合适的是( )
A. 为了解全国中学生的视力状况，采用普查的方式
B. 为了解某款新型笔记本电脑的使用寿命，采用普查的方式
C. 调查全省七年级学生对消防安全知识的知晓率，采用抽样调查的方式
D. 对“天问一号”火星探测器零部件的检查，采用抽样调查的方式
6. 如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是( )
A. 三角形的稳定性
B. 两点之间线段最短
C. 两点确定一条直线
D. 垂线段最短
7. 如图，点E、点F在BC上，BE=CF，∠B=∠C，添加一个条件，不能证明△ABF≌△DCE的是( )
A. ∠A=∠D
B. ∠AFB=∠DEC
C. AB=DC
D. AF=DE
8. 《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸：屈绳量之，不足一尺．木长几何？“意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺：将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？设木长为x尺，绳子长为y尺，则下列符合题意的方程组是( )
A. y=x+4.512y=x+1 B. y=x+4.512y=x−1 C. y=4.5−x12y=x+1 D. y=x−4.512y=x−1
9. 如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，且外角∠ABD=130°，则外角∠ACE的度数是( )
A. 110° B. 120° C. 130° D. 140°
10. 以关于x、y的方程组2x+y=m+7x+2y=8−m的解为横纵坐标的点P(x,y)在第一象限，那么m的取值范围在数轴上应表示为( )
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 在0，(−13)2，−π，−2四个数中，最小的实数是______ ．
12. 点P(−2,2)先向左平移3个单位，再向下平移3个单位得到点Q，则点Q的坐标为______ ．
13. 一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为______．
14. 如图，已知a//b，∠1=55°，∠A=25°，则∠2的度数为______ ．
15. 若三角形的两边长是a和b，且满足2a+b=10a+2b=11，则这个三角形的第三边c的取值范围是______ ．
16. 如图，已知P(3,3)，点B、A分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，∠APB=90°，则OA+OB=______．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
计算：(−1)2023+3−8+ 25+ 3−2．
18. (本小题6.0分)
解不等式组：x−3(x−2)≥42x+25>x+12，并在数轴上表示此不等式组的解集．
19. (本小题6.0分)
工人师傅常用角尺平分一个任意角，具体做法如下：
如图，已知∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB角平分线.请完成下列问题：
(1)这种做法的依据是______ (填序号)．
①ASA ②SAS ③AAS ④SSS
(2)请证明OC平分∠AOB．
20. (本小题8.0分)
智能手机等高科技产品正越来越严重地伤害青少年的眼睛，保护视力，刻不容缓.长沙市某校为了解学生的视力状况，培养学生保护视力的意识，对该校部分学生做了一次主题为“保护视力爱眼护眼”的调查活动，根据近视程度的不同将学生分为A、B、C、D、E五类，其中A表示视力良好、B表示轻度近视(300度以下)、C表示中度近视(300度～600度)、D表示高度近视(600度～900度)、E表示超高度近视(900度以上).学校根据调查情况进行了统计，并绘制了如下两幅不完整的统计图：
请你结合图中信息，解答下列问题：
(1)参与本次调查活动的学生有______ 人；
(2)补全条形统计图；
(3)求“视力良好”对应扇形的圆心角度数；
(4)该校共有2900名学生，请你估计该校“高度近视”和“超高度近视”的学生总人数．
21. (本小题8.0分)
如图，△ABC中，AD是△ABC的中线，AE是△ABC的角平分线，AH是△ABC的高．
(1)若△ABD的面积为8，AH=4，求BC的长；
(2)若∠B=30°，∠EAH=20°，求∠C的度数．
22. (本小题9.0分)
在一次高速铁路建设中，某渣土运输公司承包了某标段的土方运输任务，拟派出大、小两种型号的渣土运输车运输土方.已知2辆大型渣土运输车与3辆小型渣土运输车一次共运输土方31吨，5辆大型渣土运输车与6辆小型土运输车一次共运输土方70吨．
(1)一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次各运输土方多少吨？
(2)该渣土运输公司决定派出大、小两种型号渣土运输车共20辆参与运输土方，若每次运输土方总量不小于148吨，且小型渣土运输车至少派出2辆，则有哪几种派车方案？
23. (本小题9.0分)
如图，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AE=AC，CE经过点D．
(1)求证：△ABC≌△ADE；
(2)BC和DE有何数量和位置关系？请说明理由；
(3)若AC=6，求四边形ABCD的面积．
24. (本小题10.0分)
我们约定：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“美美与共方程”，例如：方程x−2=2的解为x=4，而不等式组x−1>2x−2<3的解集为32x−2<3的“美美与共方程”．
(1)在一元一次方程①6x−7=4x−5；②2x+5=3(x−1)；③x−3−5=3x+415中，不等式组5x+2>3(x−1)12x−1≤7−32x的“美美与共方程”是______ ；(填序号)
(2)若关于x的方程x−12−k=0是不等式组5x−3(x−2)>1x+16≥2x−54+1的“美美与共方程”，求k的取值范围；
(3)若关于x的方程x−56=m3−1是关于x的不等式组2(x+1)>m−1x−12≥2x+13−2的“美美与共方程”，且此时该不等式组有7个整数解，若M=2m+3n−p，3m−n+p=4，m+n+p=6，求M的取值范围．
25. (本小题10.0分)
如图，四边形ABCD在平面直角坐标系中，A(0,3)，B(−2,0)，D(3,0)，AB⊥BC，AB=BC，在x轴正半轴上有一点P，过点P作PQ⊥AP，交CD延长线于点Q．
(1)求点C的坐标；
(2)当CP⊥OD时，求证：PA=PQ；
(3)当点P在点D右侧时，连接BQ，在DA的延长线上存在一点F，使得∠QBF=45°，求QF、QC、AF之间的数量关系，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵3−27=−3，
∴0.618；227；3−27均为有理数， 5是无理数．
故选：C．
明确无理数是无限不循环小数；有理数分为整数和分数．
本题考查实数的分类，明确无理数是无限不循环小数；有理数分为整数和分数．题目难度较小，多为考卷中第一题．
2.【答案】D
【解析】解：∵第四象限内的点的横坐标为正数，纵坐标为负数，
∴A，B，C均不符合题意，D符合题意，
故选：D．
第四象限内的点的横坐标为正数，纵坐标为负数，据此即可求得答案．
本题考查各象限内点的坐标特征，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
3.【答案】B
【解析】
【分析】
此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程成立的未知数的值．
将x=−1，y=2代入方程中计算，即可求出a的值．
【解答】
解：将x=−1，y=2代入方程2x−y+2a=0得：−2−2+2a=0，
解得：a=2．
故选B．
4.【答案】C
【解析】解：A、∵m>n，
∴m−2>n−2，
故A不符合题意；
B、∵m>n，
∴2m>2n，
∴2m+1>2n+1，
故B不符合题意；
C、∵m>n，
∴−m2<−n2，
故C符合题意；
D、∵m>n>0，
∴ m> n，
故D不符合题意；
故选：C．
根据不等式的性质进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了不等式的性质，实数大小比较．熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：A、为了解全国中学生的视力状况，适合采用抽样调查的方式，本选项说法不合适，不符合题意；
B、为了解某款新型笔记本电脑的使用寿命，适合采用抽样调查的方式，本选项说法不合适，不符合题意；
C、调查全省七年级学生对消防安全知识的知晓率，采用抽样调查的方式，本选项说法合适，符合题意；
D、对“天问一号”火星探测器零部件的检查，适合采用全面调查的方式，本选项说法不合适，不符合题意；
故选：C．
普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
6.【答案】A
【解析】解：根据三角形的稳定性可固定窗户．
故选：A．
根据三角形的稳定性即可解决问题．
本题考查了三角形的稳定性，熟练掌握三角形的稳定性是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF，
即BF=CE，
∴当∠A=∠D时，利用AAS可得△ABF≌△DCE，故A不符合题意；
当∠AFB=∠DEC时，利用ASA可得△ABF≌△DCE，故B不符合题意；
当AB=DC时，利用SAS可得△ABF≌△DCE，故C不符合题意；
当AF=DE时，无法证明△ABF≌△DCE，故D符合题意；
故选：D．
根据BE=CF求出BF=CE，再根据全等三角形的判定定理进行分析即可．
本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL等．
8.【答案】B
【解析】解：由题意可得，y=x+4.512y=x−1，
故选：B．
根据用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，可得x+4.5=y；根据将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，可得x−1=12y，然后即可写出相应的方程组．
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，找到等量关系，列出相应的方程组．
9.【答案】D
【解析】解：∵，∠A=90°，∠ABD=130°，
∴∠ACB=130°−90°=40°，
∴∠ACE=180°−∠ACB=180°−40°=140°．
故选：D．
先根据三角形外角的性质求出∠ACB的度数，再由平角的定义即可得出结论．
本题考查的是三角形外角的性质即直角三角形的性质，熟知角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：2x+y=m+7①x+2y=8−m②，
①×2−②得：3x=3m+6，即x=m+2，
把x=m+2代入②得：y=3−m，
由x>0，y>0，得到m+2>03−m>0，
解得−2
，
故选：D．
把m看作已知数表示出方程组的解，根据x>0，y>0求出m的范围，表示在数轴上即可．
此题考查了解一元一次不等式组，二元一次方程组的解，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
11.【答案】−π
【解析】解：(−13)2=19，
∵−π<−2<0<19，
即−π<−2<0<(−13)2，
∴最小的实数是−π，
故答案为：−π．
先计算(−13)2，然后根据实数的大小比较法则比较各个实数即可得出最小的实数．
本题考查了实数的大小比较．熟知：正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小．
12.【答案】(−5,−1)
【解析】解：点P(−2,2)先向左平移3个单位，再向下平移3个单位得到点Q，则点Q的坐标为(−2−3,2−3)，
即(−5,−1)．
故答案为：(−5,−1)．
根据平移的方法结合平移中点的坐标变换规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，可以直接算出平移后点的坐标．
此题主要考查了坐标与图形变化−平移，关键是掌握平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
13.【答案】6
【解析】解：设多边形的边数为n，
根据题意得(n−2)×180°=360°×2，
解得n=6，
所以这个多边形是六边形．
故答案为：6．
本题主要考查了多边形的内角和定理与外角和定理，熟练掌握定理是解题的关键．
利用多边形的外角和以及多边形的内角和定理即可解决问题．
14.【答案】80°
【解析】解：∵a//b，∠1=55°，
∴∠ACB=∠1=55°，
∵∠A=25°，
∴∠2=∠A+∠ACB=25°+55°=80°．
故答案为：80°．
先根据平行线的性质求出∠ACB的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论．
本题考查的是平行线的性质和三角形外角的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．
15.【答案】1
得：a=3b=4，
∴这个三角形的第三边c的取值范围是4−3
本题考查三角形的三边关系，二元一次方程组的解，关键是掌握三角形的三边关系定理，二元一次方程组的解法．
16.【答案】6
【解析】解：
过P作PM⊥y轴于M，PN⊥x轴于N，
∵P(3,3)，
∴PN=PM=3，
∵x轴⊥y轴，
∴∠MON=∠PNO=∠PMO=90°，
∴∠MPN=360°−90°−90°−90°=90°，
则四边形MONP是正方形，
∴OM=ON=PN=PM=3，
∵∠APB=90°，
∴∠APB=∠MON，
∴∠MPA=90°−∠APN，∠BPN=90°−∠APN，
∴∠APM=∠BPN，
在△APM和△BPN中
∠APM=∠BPNPM=PN∠PMA=∠PNB
∴△APM≌△BPN(ASA)，
∴AM=BN，
∴OA+OB
=OA+0N+BN
=OA+ON+AM
=ON+OM
=3+3
=6，
故答案为：6．
过P作PM⊥y轴于M，PN⊥x轴于N，得出四边形PMON是正方形，推出OM=OM=ON=PN=3，证△APM≌△BPN，推出AM=BN，求出OA+OB=ON+OM，代入求出即可．
本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，坐标与图形性质，正方形的性质的应用，关键是推出AM=BN和推出OA+OB=OM+ON．
17.【答案】解：(−1)2023+3−8+ 25+ 3−2
=−1+(−2)+5+2− 3
=4− 3．
【解析】先计算二次根式、乘方、立方根和绝对值，再计算加减．
此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确理解运算顺序，并能进行正确地计算．
18.【答案】解：x−3(x−2)≥4①2x+25>x+12②，
解不等式①，得：x≤1，
解不等式②，得：x<−1，
则不等式组的解集为x<−1，
在数轴上表示：．
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19.【答案】④
【解析】(1)解：这种做法的依据是SSS．
故答案为：④；
(2)证明：由题意可得：OM=ON，CM=CN．
在△OCM和△OCN中，
OM=ONOC=OCCM=CN，
∴△OCM≌△OCN(SSS)，
∴∠COM=∠CON，
即OC平分∠AOB．
(1)根据全等三角形的判定即可作答；
(2)由作图过程可得MO=NO，NC=MC，再加上公共边CO=CO可利用SSS定理判定△MOC≌△NOC，再根据全等三角形对应角相等即可证明OC平分∠AOB．
本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目．
20.【答案】800
【解析】解：(1)由题可知：参与本次调查活动的学生有280÷35%=800(人)，
故答案为：800；
(2)C类学生的人数为：800×25%=200(人)，
补全条形统计图如下：
(3)360°×160800=72°，
答：“视力良好”对应扇形的圆心角度数为72°．
(4)4200×120+40800=840(人)．
答：该校“高度近视”和“超高度近视”的学生总人数约为840人．
(1)根据条形统计图和扇形统计图由B类别的人数和所占比即可求出总人数；
(2)用总人数乘以C类别的所占比即可得出C类别的人数，补全条形统计图即可；
(3)直接用360°乘以等级为“良好”所占的比例；
(4)用我校共有学生数乘以“高度近视”和“超高度近视”占比即可得到答案．
本题考查条形统计图，掌握用样本估计总体的方法是解题关键．
21.【答案】解：(1)∵S△ABD=12 BD⋅AH，
∴8=12 BD⋅4，
∴BD=4，
∵AD为△ABC的中线，
∴BC=2BD=8；
(2)∵AH是△ABC的高，
∴∠AHE=90°，
∵∠EAH=20°，
∴∠AEH=90°−∠EAH=70°，
∵∠AEH=∠BAE+∠B，∠B=30°，
∴∠BAE=40°，
∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠BAC=2∠EAB=80°，
∴∠C=180°−∠BAC−∠B=70°．
【解析】(1)由三角形面积公式求出BD长，由三角形中线的定义即可得到BC=2BD；
(2)由直角三角形的性质求出∠AEH的度数，由三角形外角的性质求出∠BAE的度数，由角平分线定义得到∠BAC的度数，由三角形内角和定理即可求出∠C的度数．
本题考查三角形角平分线、中线，高线，直角三角形的性质，三角形的面积，三角形外角的性质，关键是由三角形外角的性质，角平分线定义，直角三角形的性质求出∠BAC=80°．
22.【答案】解：(1)设一辆大型渣土运输车一次运输x吨，一辆小型渣土运输车一次运输y吨，
由题意得：2x+3y=315x+6y=70，
解得：x=8y=5，
答：一辆大型渣土运输车一次运输8吨，一辆小型渣土运输车一次运输5吨；
(2)设该渣土运输公司决定派出大、小两种型号的渣土运输车分别为a辆、(20−a)辆，
由题意可得：8a+5(20−a)≥14820−a≥2，
解得：16≤a≤18，
故有三种派车方案，
第一种方案：大型运输车18辆，小型运输车2辆；
第二种方案：大型运输车17辆，小型运输车3辆；
第三种方案：大型运输车16辆，小型运输车4辆．
答：有三种派车方案，第一种方案：大型运输车18辆，小型运输车2辆；第二种方案：大型运输车17辆，小型运输车3辆；第三种方案：大型运输车16辆，小型运输车4辆．
【解析】(1)设一辆大型渣土运输车一次运输x吨，一辆小型渣土运输车一次运输y吨，根据题意列出关于x、y的二元一次方程组，从而可以求得一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次各运输土方多少吨；
(2)设该渣土运输公司决定派出大、小两种型号的渣土运输车分别为a辆、(20−a)辆，根据题意可以列出不等式组，求出从a的取值范围，从而可以求得有几种方案．
本题考查一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
23.【答案】(1)证明：∵∠BAD=∠CAE=90°，
∴∠BAD−∠CAD=∠CAE−∠CAD，
∴∠BAC=∠EAD，
在△ABC和△ADE中，
AB=AD∠BAC=∠DAEAC=AE，
∴△ABC≌△ADE(SAS)；
(2)解：BC=DE，BC⊥DE，理由如下：
∵△ABC≌△ADE，
∴BC=DE，∠ACB=∠E，
∵∠CAE=90°，
∴∠E+∠ACE=90°，
∴∠ACB+∠ACE=90°，
∴∠BCE=90°，
∴BC⊥DE；
(3)解：∵△ABC≌△ADE，
∴S△ABC=S△ADE，
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=S△ADE+S△ACD=S△ACE=12AC2=12×62=18．
【解析】(1)求出∠BAC=∠EAD，根据SAS推出△ABC≌△ADE即可；
(2)由△ABC≌△ADE，得BC=DE，∠ACB=∠E，证明∠BCE=90°，即可解决问题；
(3)由△ABC≌△ADE，推出四边形ABCD的面积=三角形ACE的面积，即可得出答案．
本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，并利用割补法求四边形ABCD的面积是解此题的关键．
24.【答案】①③
【解析】解：(1)①6x−7=4x−5，
解得x=1，
②2x+5=3(x−1)，
解得x=8，
③x−3−5=3x+415，
解得x=56，
解不等式组5x+2>3(x−1)12x−1≤7−32x，得−52
故答案为：①③；
(2)解关于x的方程x−12−k=0，得x=2k+1，
解不等式组5x−3(x−2)>1x+16≥2x−54+1，得−52
解得：−74
解不等式组2(x+1)>m−1x−12≥2x+13−2，得m−32
且0≤m−32<1 ②，
解不等式①得：−13
∴3≤m≤4；
2m+3n−p=M3m−n+p=4m+n+p=6，
解得n=1+mp=5−2mm=M+27，
∴3≤M+27≤4，
解得：19≤M≤26．
故M的取值范围是19≤M≤26．
(1)先分别求出3个一元一次方程的解以及不等式组的解集，再根据“美美与共方程”的定义即可判断；
(2)解方程得x=2k+1，解不等式组得−52
本题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式组，解一元一次方程，解三元一次方程组，以及新定义，理解新定义并掌握解不等式组以及解方程组的一般步骤是解题的关键．
25.【答案】(1)解：如图1，
过点C作CH⊥x轴于点H，
∴∠BHC=90°，
∴∠CBH+∠BCH=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABO+∠CBH=90°，
∴∠ABO=∠BCH，
∵∠AOB=∠BHC=90°，AB=AC，
∴△AOB≌△BHC(AAS)
∴AO=BH=3，BO=CH=2，
∴OH=1，
∴C(1,−2)；
(2)证明：如图2，
在OA上截取OG=OP，连接PG，
∴∠PGO=∠OPG=45°，
∴∠AGP=135°，
由(1)知：OA=OD=3，∠CDP=45°，
∴∠PDQ=135°，AG=PD，
∴∠PDQ=∠AGP，
∵∠APQ=90°，
∴∠DPQ+∠APO=90°，
∵∠AOP=90°，
∴∠APO+∠PAO=90°，
∴∠DPO=∠PAO，
∴△AGP≌△PDQ(ASA)，
∴PA=PQ；
(3)如图3，
QC=QF+AF，理由如下：
在CQ上截取CFT=AF，连接BT，
由上可知：∠ADO=45°，∠CDO=45°，
∵∠ADC=∠ODA+∠ODC=45°+45°=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠BAD+∠C=360°−∠ABC−∠ADC=180°，
又∵∠BAD+∠BAF=180°，
∴∠BAF=∠C，
∵AB=AC，
∴△BAF≌△BAT(SAS)，
∴BF=BT，∠ABF=∠CBT，
∴∠ABF+∠ABT=∠CBT+∠ABT=∠ABC=90°，
∴∠FBT=90°，
∵∠FBQ=45°，
∴∠QBT=∠FBT−∠QBF=45°，
∴∠QBF=∠QBT，
∵BQ=BQ，
∴△QBF≌△QBFT(SAS)，
∴QF=QT，
∴QC=QF+CT=QF+AF．
【解析】(1)过点C作CH⊥x轴于点H，证明△AOB≌△BHC，进一步得出结果；
(2)在OA上截取OG=OP，连接PG，证明△AGP≌△PDQ，进一步得出结论；
(3)在CQ上截取CFT=AF，连接BT，可证明△BAF≌△BAT，从而得出BF=BT，∠ABF=∠CBT，可证得∠FBT=90°，结合∠FBQ=45°得出∠QBT=∠FBFT−∠QBF=45°，进而得出∠QBF=∠QBFT，△QBF≌△QBFT，从而QF=QT，进一步得出结果．
本题考查了等腰直角三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
2022-2023学年湖南省长沙市雅礼教育集团七年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列各数为无理数的是( )
A. 0.618 B. 227 C. 5 D. 3−27
2. 下列点的坐标在第四象限的是( )
A. (5,2) B. (−6,3) C. (−4,−6) D. (3,−4)
3. 若x=−1y=2是关于x、y的方程2x−y+2a=0的一个解，则常数a为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4. 若m>n>0，下列不等式不成立的是( )
A. m−2>n−2 B. 2m+1>2n+1
C. −m2>−n2 D. m> n
5. 下列调查方式合适的是( )
A. 为了解全国中学生的视力状况，采用普查的方式
B. 为了解某款新型笔记本电脑的使用寿命，采用普查的方式
C. 调查全省七年级学生对消防安全知识的知晓率，采用抽样调查的方式
D. 对“天问一号”火星探测器零部件的检查，采用抽样调查的方式
6. 如图，一扇窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，这里所运用的几何原理是( )
A. 三角形的稳定性
B. 两点之间线段最短
C. 两点确定一条直线
D. 垂线段最短
7. 如图，点E、点F在BC上，BE=CF，∠B=∠C，添加一个条件，不能证明△ABF≌△DCE的是( )
A. ∠A=∠D
B. ∠AFB=∠DEC
C. AB=DC
D. AF=DE
8. 《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸：屈绳量之，不足一尺．木长几何？“意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺：将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺？设木长为x尺，绳子长为y尺，则下列符合题意的方程组是( )
A. y=x+4.512y=x+1 B. y=x+4.512y=x−1 C. y=4.5−x12y=x+1 D. y=x−4.512y=x−1
9. 如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，且外角∠ABD=130°，则外角∠ACE的度数是( )
A. 110° B. 120° C. 130° D. 140°
10. 以关于x、y的方程组2x+y=m+7x+2y=8−m的解为横纵坐标的点P(x,y)在第一象限，那么m的取值范围在数轴上应表示为( )
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 在0，(−13)2，−π，−2四个数中，最小的实数是______ ．
12. 点P(−2,2)先向左平移3个单位，再向下平移3个单位得到点Q，则点Q的坐标为______ ．
13. 一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数为______．
14. 如图，已知a//b，∠1=55°，∠A=25°，则∠2的度数为______ ．
15. 若三角形的两边长是a和b，且满足2a+b=10a+2b=11，则这个三角形的第三边c的取值范围是______ ．
16. 如图，已知P(3,3)，点B、A分别在x轴正半轴和y轴正半轴上，∠APB=90°，则OA+OB=______．
三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
计算：(−1)2023+3−8+ 25+ 3−2．
18. (本小题6.0分)
解不等式组：x−3(x−2)≥42x+25>x+12，并在数轴上表示此不等式组的解集．
19. (本小题6.0分)
工人师傅常用角尺平分一个任意角，具体做法如下：
如图，已知∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，则过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB角平分线.请完成下列问题：
(1)这种做法的依据是______ (填序号)．
①ASA ②SAS ③AAS ④SSS
(2)请证明OC平分∠AOB．
20. (本小题8.0分)
智能手机等高科技产品正越来越严重地伤害青少年的眼睛，保护视力，刻不容缓.长沙市某校为了解学生的视力状况，培养学生保护视力的意识，对该校部分学生做了一次主题为“保护视力爱眼护眼”的调查活动，根据近视程度的不同将学生分为A、B、C、D、E五类，其中A表示视力良好、B表示轻度近视(300度以下)、C表示中度近视(300度～600度)、D表示高度近视(600度～900度)、E表示超高度近视(900度以上).学校根据调查情况进行了统计，并绘制了如下两幅不完整的统计图：
请你结合图中信息，解答下列问题：
(1)参与本次调查活动的学生有______ 人；
(2)补全条形统计图；
(3)求“视力良好”对应扇形的圆心角度数；
(4)该校共有2900名学生，请你估计该校“高度近视”和“超高度近视”的学生总人数．
21. (本小题8.0分)
如图，△ABC中，AD是△ABC的中线，AE是△ABC的角平分线，AH是△ABC的高．
(1)若△ABD的面积为8，AH=4，求BC的长；
(2)若∠B=30°，∠EAH=20°，求∠C的度数．
22. (本小题9.0分)
在一次高速铁路建设中，某渣土运输公司承包了某标段的土方运输任务，拟派出大、小两种型号的渣土运输车运输土方.已知2辆大型渣土运输车与3辆小型渣土运输车一次共运输土方31吨，5辆大型渣土运输车与6辆小型土运输车一次共运输土方70吨．
(1)一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次各运输土方多少吨？
(2)该渣土运输公司决定派出大、小两种型号渣土运输车共20辆参与运输土方，若每次运输土方总量不小于148吨，且小型渣土运输车至少派出2辆，则有哪几种派车方案？
23. (本小题9.0分)
如图，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD，AE=AC，CE经过点D．
(1)求证：△ABC≌△ADE；
(2)BC和DE有何数量和位置关系？请说明理由；
(3)若AC=6，求四边形ABCD的面积．
24. (本小题10.0分)
我们约定：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“美美与共方程”，例如：方程x−2=2的解为x=4，而不等式组x−1>2x−2<3的解集为3
(1)在一元一次方程①6x−7=4x−5；②2x+5=3(x−1)；③x−3−5=3x+415中，不等式组5x+2>3(x−1)12x−1≤7−32x的“美美与共方程”是______ ；(填序号)
(2)若关于x的方程x−12−k=0是不等式组5x−3(x−2)>1x+16≥2x−54+1的“美美与共方程”，求k的取值范围；
(3)若关于x的方程x−56=m3−1是关于x的不等式组2(x+1)>m−1x−12≥2x+13−2的“美美与共方程”，且此时该不等式组有7个整数解，若M=2m+3n−p，3m−n+p=4，m+n+p=6，求M的取值范围．
25. (本小题10.0分)
如图，四边形ABCD在平面直角坐标系中，A(0,3)，B(−2,0)，D(3,0)，AB⊥BC，AB=BC，在x轴正半轴上有一点P，过点P作PQ⊥AP，交CD延长线于点Q．
(1)求点C的坐标；
(2)当CP⊥OD时，求证：PA=PQ；
(3)当点P在点D右侧时，连接BQ，在DA的延长线上存在一点F，使得∠QBF=45°，求QF、QC、AF之间的数量关系，并说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵3−27=−3，
∴0.618；227；3−27均为有理数， 5是无理数．
故选：C．
明确无理数是无限不循环小数；有理数分为整数和分数．
本题考查实数的分类，明确无理数是无限不循环小数；有理数分为整数和分数．题目难度较小，多为考卷中第一题．
2.【答案】D
【解析】解：∵第四象限内的点的横坐标为正数，纵坐标为负数，
∴A，B，C均不符合题意，D符合题意，
故选：D．
第四象限内的点的横坐标为正数，纵坐标为负数，据此即可求得答案．
本题考查各象限内点的坐标特征，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
3.【答案】B
【解析】
【分析】
此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程成立的未知数的值．
将x=−1，y=2代入方程中计算，即可求出a的值．
【解答】
解：将x=−1，y=2代入方程2x−y+2a=0得：−2−2+2a=0，
解得：a=2．
故选B．
4.【答案】C
【解析】解：A、∵m>n，
∴m−2>n−2，
故A不符合题意；
B、∵m>n，
∴2m>2n，
∴2m+1>2n+1，
故B不符合题意；
C、∵m>n，
∴−m2<−n2，
故C符合题意；
D、∵m>n>0，
∴ m> n，
故D不符合题意；
故选：C．
根据不等式的性质进行计算，逐一判断即可解答．
本题考查了不等式的性质，实数大小比较．熟练掌握不等式的性质是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：A、为了解全国中学生的视力状况，适合采用抽样调查的方式，本选项说法不合适，不符合题意；
B、为了解某款新型笔记本电脑的使用寿命，适合采用抽样调查的方式，本选项说法不合适，不符合题意；
C、调查全省七年级学生对消防安全知识的知晓率，采用抽样调查的方式，本选项说法合适，符合题意；
D、对“天问一号”火星探测器零部件的检查，适合采用全面调查的方式，本选项说法不合适，不符合题意；
故选：C．
普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
6.【答案】A
【解析】解：根据三角形的稳定性可固定窗户．
故选：A．
根据三角形的稳定性即可解决问题．
本题考查了三角形的稳定性，熟练掌握三角形的稳定性是解题的关键．
7.【答案】D
【解析】解：∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF，
即BF=CE，
∴当∠A=∠D时，利用AAS可得△ABF≌△DCE，故A不符合题意；
当∠AFB=∠DEC时，利用ASA可得△ABF≌△DCE，故B不符合题意；
当AB=DC时，利用SAS可得△ABF≌△DCE，故C不符合题意；
当AF=DE时，无法证明△ABF≌△DCE，故D符合题意；
故选：D．
根据BE=CF求出BF=CE，再根据全等三角形的判定定理进行分析即可．
本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL等．
8.【答案】B
【解析】解：由题意可得，y=x+4.512y=x−1，
故选：B．
根据用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺，可得x+4.5=y；根据将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，可得x−1=12y，然后即可写出相应的方程组．
本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，找到等量关系，列出相应的方程组．
9.【答案】D
【解析】解：∵，∠A=90°，∠ABD=130°，
∴∠ACB=130°−90°=40°，
∴∠ACE=180°−∠ACB=180°−40°=140°．
故选：D．
先根据三角形外角的性质求出∠ACB的度数，再由平角的定义即可得出结论．
本题考查的是三角形外角的性质即直角三角形的性质，熟知角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：2x+y=m+7①x+2y=8−m②，
①×2−②得：3x=3m+6，即x=m+2，
把x=m+2代入②得：y=3−m，
由x>0，y>0，得到m+2>03−m>0，
解得−2
，
故选：D．
把m看作已知数表示出方程组的解，根据x>0，y>0求出m的范围，表示在数轴上即可．
此题考查了解一元一次不等式组，二元一次方程组的解，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
11.【答案】−π
【解析】解：(−13)2=19，
∵−π<−2<0<19，
即−π<−2<0<(−13)2，
∴最小的实数是−π，
故答案为：−π．
先计算(−13)2，然后根据实数的大小比较法则比较各个实数即可得出最小的实数．
本题考查了实数的大小比较．熟知：正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小．
12.【答案】(−5,−1)
【解析】解：点P(−2,2)先向左平移3个单位，再向下平移3个单位得到点Q，则点Q的坐标为(−2−3,2−3)，
即(−5,−1)．
故答案为：(−5,−1)．
根据平移的方法结合平移中点的坐标变换规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减，可以直接算出平移后点的坐标．
此题主要考查了坐标与图形变化−平移，关键是掌握平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
13.【答案】6
【解析】解：设多边形的边数为n，
根据题意得(n−2)×180°=360°×2，
解得n=6，
所以这个多边形是六边形．
故答案为：6．
本题主要考查了多边形的内角和定理与外角和定理，熟练掌握定理是解题的关键．
利用多边形的外角和以及多边形的内角和定理即可解决问题．
14.【答案】80°
【解析】解：∵a//b，∠1=55°，
∴∠ACB=∠1=55°，
∵∠A=25°，
∴∠2=∠A+∠ACB=25°+55°=80°．
故答案为：80°．
先根据平行线的性质求出∠ACB的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论．
本题考查的是平行线的性质和三角形外角的性质，熟知两直线平行，内错角相等是解题的关键．
15.【答案】1
得：a=3b=4，
∴这个三角形的第三边c的取值范围是4−3
本题考查三角形的三边关系，二元一次方程组的解，关键是掌握三角形的三边关系定理，二元一次方程组的解法．
16.【答案】6
【解析】解：
过P作PM⊥y轴于M，PN⊥x轴于N，
∵P(3,3)，
∴PN=PM=3，
∵x轴⊥y轴，
∴∠MON=∠PNO=∠PMO=90°，
∴∠MPN=360°−90°−90°−90°=90°，
则四边形MONP是正方形，
∴OM=ON=PN=PM=3，
∵∠APB=90°，
∴∠APB=∠MON，
∴∠MPA=90°−∠APN，∠BPN=90°−∠APN，
∴∠APM=∠BPN，
在△APM和△BPN中
∠APM=∠BPNPM=PN∠PMA=∠PNB
∴△APM≌△BPN(ASA)，
∴AM=BN，
∴OA+OB
=OA+0N+BN
=OA+ON+AM
=ON+OM
=3+3
=6，
故答案为：6．
过P作PM⊥y轴于M，PN⊥x轴于N，得出四边形PMON是正方形，推出OM=OM=ON=PN=3，证△APM≌△BPN，推出AM=BN，求出OA+OB=ON+OM，代入求出即可．
本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，坐标与图形性质，正方形的性质的应用，关键是推出AM=BN和推出OA+OB=OM+ON．
17.【答案】解：(−1)2023+3−8+ 25+ 3−2
=−1+(−2)+5+2− 3
=4− 3．
【解析】先计算二次根式、乘方、立方根和绝对值，再计算加减．
此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确理解运算顺序，并能进行正确地计算．
18.【答案】解：x−3(x−2)≥4①2x+25>x+12②，
解不等式①，得：x≤1，
解不等式②，得：x<−1，
则不等式组的解集为x<−1，
在数轴上表示：．
【解析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
19.【答案】④
【解析】(1)解：这种做法的依据是SSS．
故答案为：④；
(2)证明：由题意可得：OM=ON，CM=CN．
在△OCM和△OCN中，
OM=ONOC=OCCM=CN，
∴△OCM≌△OCN(SSS)，
∴∠COM=∠CON，
即OC平分∠AOB．
(1)根据全等三角形的判定即可作答；
(2)由作图过程可得MO=NO，NC=MC，再加上公共边CO=CO可利用SSS定理判定△MOC≌△NOC，再根据全等三角形对应角相等即可证明OC平分∠AOB．
本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目．
20.【答案】800
【解析】解：(1)由题可知：参与本次调查活动的学生有280÷35%=800(人)，
故答案为：800；
(2)C类学生的人数为：800×25%=200(人)，
补全条形统计图如下：
(3)360°×160800=72°，
答：“视力良好”对应扇形的圆心角度数为72°．
(4)4200×120+40800=840(人)．
答：该校“高度近视”和“超高度近视”的学生总人数约为840人．
(1)根据条形统计图和扇形统计图由B类别的人数和所占比即可求出总人数；
(2)用总人数乘以C类别的所占比即可得出C类别的人数，补全条形统计图即可；
(3)直接用360°乘以等级为“良好”所占的比例；
(4)用我校共有学生数乘以“高度近视”和“超高度近视”占比即可得到答案．
本题考查条形统计图，掌握用样本估计总体的方法是解题关键．
21.【答案】解：(1)∵S△ABD=12 BD⋅AH，
∴8=12 BD⋅4，
∴BD=4，
∵AD为△ABC的中线，
∴BC=2BD=8；
(2)∵AH是△ABC的高，
∴∠AHE=90°，
∵∠EAH=20°，
∴∠AEH=90°−∠EAH=70°，
∵∠AEH=∠BAE+∠B，∠B=30°，
∴∠BAE=40°，
∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠BAC=2∠EAB=80°，
∴∠C=180°−∠BAC−∠B=70°．
【解析】(1)由三角形面积公式求出BD长，由三角形中线的定义即可得到BC=2BD；
(2)由直角三角形的性质求出∠AEH的度数，由三角形外角的性质求出∠BAE的度数，由角平分线定义得到∠BAC的度数，由三角形内角和定理即可求出∠C的度数．
本题考查三角形角平分线、中线，高线，直角三角形的性质，三角形的面积，三角形外角的性质，关键是由三角形外角的性质，角平分线定义，直角三角形的性质求出∠BAC=80°．
22.【答案】解：(1)设一辆大型渣土运输车一次运输x吨，一辆小型渣土运输车一次运输y吨，
由题意得：2x+3y=315x+6y=70，
解得：x=8y=5，
答：一辆大型渣土运输车一次运输8吨，一辆小型渣土运输车一次运输5吨；
(2)设该渣土运输公司决定派出大、小两种型号的渣土运输车分别为a辆、(20−a)辆，
由题意可得：8a+5(20−a)≥14820−a≥2，
解得：16≤a≤18，
故有三种派车方案，
第一种方案：大型运输车18辆，小型运输车2辆；
第二种方案：大型运输车17辆，小型运输车3辆；
第三种方案：大型运输车16辆，小型运输车4辆．
答：有三种派车方案，第一种方案：大型运输车18辆，小型运输车2辆；第二种方案：大型运输车17辆，小型运输车3辆；第三种方案：大型运输车16辆，小型运输车4辆．
【解析】(1)设一辆大型渣土运输车一次运输x吨，一辆小型渣土运输车一次运输y吨，根据题意列出关于x、y的二元一次方程组，从而可以求得一辆大型渣土运输车和一辆小型渣土运输车一次各运输土方多少吨；
(2)设该渣土运输公司决定派出大、小两种型号的渣土运输车分别为a辆、(20−a)辆，根据题意可以列出不等式组，求出从a的取值范围，从而可以求得有几种方案．
本题考查一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
23.【答案】(1)证明：∵∠BAD=∠CAE=90°，
∴∠BAD−∠CAD=∠CAE−∠CAD，
∴∠BAC=∠EAD，
在△ABC和△ADE中，
AB=AD∠BAC=∠DAEAC=AE，
∴△ABC≌△ADE(SAS)；
(2)解：BC=DE，BC⊥DE，理由如下：
∵△ABC≌△ADE，
∴BC=DE，∠ACB=∠E，
∵∠CAE=90°，
∴∠E+∠ACE=90°，
∴∠ACB+∠ACE=90°，
∴∠BCE=90°，
∴BC⊥DE；
(3)解：∵△ABC≌△ADE，
∴S△ABC=S△ADE，
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=S△ADE+S△ACD=S△ACE=12AC2=12×62=18．
【解析】(1)求出∠BAC=∠EAD，根据SAS推出△ABC≌△ADE即可；
(2)由△ABC≌△ADE，得BC=DE，∠ACB=∠E，证明∠BCE=90°，即可解决问题；
(3)由△ABC≌△ADE，推出四边形ABCD的面积=三角形ACE的面积，即可得出答案．
本题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质和判定，并利用割补法求四边形ABCD的面积是解此题的关键．
24.【答案】①③
【解析】解：(1)①6x−7=4x−5，
解得x=1，
②2x+5=3(x−1)，
解得x=8，
③x−3−5=3x+415，
解得x=56，
解不等式组5x+2>3(x−1)12x−1≤7−32x，得−52
故答案为：①③；
(2)解关于x的方程x−12−k=0，得x=2k+1，
解不等式组5x−3(x−2)>1x+16≥2x−54+1，得−52
解得：−74
解不等式组2(x+1)>m−1x−12≥2x+13−2，得m−32
且0≤m−32<1 ②，
解不等式①得：−13
∴3≤m≤4；
2m+3n−p=M3m−n+p=4m+n+p=6，
解得n=1+mp=5−2mm=M+27，
∴3≤M+27≤4，
解得：19≤M≤26．
故M的取值范围是19≤M≤26．
(1)先分别求出3个一元一次方程的解以及不等式组的解集，再根据“美美与共方程”的定义即可判断；
(2)解方程得x=2k+1，解不等式组得−52
本题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式组，解一元一次方程，解三元一次方程组，以及新定义，理解新定义并掌握解不等式组以及解方程组的一般步骤是解题的关键．
25.【答案】(1)解：如图1，
过点C作CH⊥x轴于点H，
∴∠BHC=90°，
∴∠CBH+∠BCH=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABO+∠CBH=90°，
∴∠ABO=∠BCH，
∵∠AOB=∠BHC=90°，AB=AC，
∴△AOB≌△BHC(AAS)
∴AO=BH=3，BO=CH=2，
∴OH=1，
∴C(1,−2)；
(2)证明：如图2，
在OA上截取OG=OP，连接PG，
∴∠PGO=∠OPG=45°，
∴∠AGP=135°，
由(1)知：OA=OD=3，∠CDP=45°，
∴∠PDQ=135°，AG=PD，
∴∠PDQ=∠AGP，
∵∠APQ=90°，
∴∠DPQ+∠APO=90°，
∵∠AOP=90°，
∴∠APO+∠PAO=90°，
∴∠DPO=∠PAO，
∴△AGP≌△PDQ(ASA)，
∴PA=PQ；
(3)如图3，
QC=QF+AF，理由如下：
在CQ上截取CFT=AF，连接BT，
由上可知：∠ADO=45°，∠CDO=45°，
∵∠ADC=∠ODA+∠ODC=45°+45°=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠BAD+∠C=360°−∠ABC−∠ADC=180°，
又∵∠BAD+∠BAF=180°，
∴∠BAF=∠C，
∵AB=AC，
∴△BAF≌△BAT(SAS)，
∴BF=BT，∠ABF=∠CBT，
∴∠ABF+∠ABT=∠CBT+∠ABT=∠ABC=90°，
∴∠FBT=90°，
∵∠FBQ=45°，
∴∠QBT=∠FBT−∠QBF=45°，
∴∠QBF=∠QBT，
∵BQ=BQ，
∴△QBF≌△QBFT(SAS)，
∴QF=QT，
∴QC=QF+CT=QF+AF．
【解析】(1)过点C作CH⊥x轴于点H，证明△AOB≌△BHC，进一步得出结果；
(2)在OA上截取OG=OP，连接PG，证明△AGP≌△PDQ，进一步得出结论；
(3)在CQ上截取CFT=AF，连接BT，可证明△BAF≌△BAT，从而得出BF=BT，∠ABF=∠CBT，可证得∠FBT=90°，结合∠FBQ=45°得出∠QBT=∠FBFT−∠QBF=45°，进而得出∠QBF=∠QBFT，△QBF≌△QBFT，从而QF=QT，进一步得出结果．
本题考查了等腰直角三角形判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
相关试卷
2023-2024学年湖南省长沙市雅礼教育集团七年级（上）期末数学试卷（含解析）： 这是一份2023-2024学年湖南省长沙市雅礼教育集团七年级（上）期末数学试卷（含解析），共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖南省长沙市雅礼教育集团七年级（下）期末数学试卷（含解析）： 这是一份2022-2023学年湖南省长沙市雅礼教育集团七年级（下）期末数学试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年湖南省长沙市雅礼教育集团八年级（下）期末数学试卷（含解析）： 这是一份2022-2023学年湖南省长沙市雅礼教育集团八年级（下）期末数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
