2022-2023学年安徽省亳州市涡阳二中等校联考高一(下)期末数学试卷(含解析)
展开2022-2023学年安徽省亳州市涡阳二中等校联考高一(下)期末数学试卷
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.某数学兴趣小组有10名同学,在一次数学竞赛中成绩的名次由小到大排列分别是2,4,5,x,11,14,15,39,41,50.若该小组成绩名次的40%分位数是9.5,则x=( )
A.9 B.8 C.7 D.6
2.已知,则=( )
A. B. C. D.
3.在△ABC中,“A=B”是“sin2A=sin2B”的( )
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.现有10名北京冬奥会志愿者,其中2名女志愿者和8名男志愿者,从中随机地接连抽取3名(每次取一个),派往参与花样滑冰项目的志愿者服务.则“恰有一名女志愿者”的概率是( )
A. B. C. D.
5.已知正实数m,n满足m+n=1,则的最大值是( )
A.2 B. C. D.
6.黄鹤楼,位于湖北省武汉市武昌区,地处蛇山之巅,濒临万里长江,为武汉市地标建筑.某同学为了估算黄鹤楼的高度,在大楼的一侧找到一座高为的建筑物AB,在它们之间的地面上的点M(B,M,D三点共线)处测得楼顶A、楼顶C的仰角分别是15°和60°,在楼顶A处测得楼顶C的仰角为15°,则估算黄鹤楼的高度CD为( )
A. B. C. D.
7.一个圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆,则此圆锥内切球的体积是( )
A. B. C.3π D.
8.在锐角△ABC中,三内角A,B,C对应的边分别为a,b,c,且.则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,选对但不全的得2分,有选错的得0分。
(多选)9.对于函数f(x)=sinx+有如下四个判断,其中判断正确的是( )
A.f(x)的定义域是{x|x≠kπ,k∈Z}
B.f(x)的最小值是2
C.π是f(x)的最小正周期
D.f(x)的图象关于直线x=对称
(多选)10.设z1,z2是复数,,是其共轭复数,则下列命题中正确的是( )
A.若,则z1=z2=0
B.若z1+z2=z1﹣z2,则z1•z2=0
C.若,则z1=z2
D.若为实数,则z1为实数
(多选)11.在四棱锥S﹣ABCD中,SD⊥平面ABCD,底面ABCD是正方形,则下列结论中正确的是( )
A.BC∥平面SAD
B.AC与SB所成的角为60°
C.平面SDC⊥平面ABCD
D.BD与平面SCD所成角为45°
(多选)12.某校开展数理化竞赛,甲组有10位选手,其中数学5人,物理2人,化学3人;乙组也有10位选手,其中数学4人,物理3人,化学3人.先从甲组中随机选出一人放到乙组,分别以A1,A2和A3表示由甲组选出的是数学、物理和化学的事件;再从乙组中随机选出一人,以B表示由乙组选出的人是数学选手的事件,则下列结论中正确的是( )
A.
B.A1,A2,A3是两两互斥的事件
C.事件B与事件A1相互独立
D.
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.计算的值是 .
14.已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长是4,P是棱BC的中点,过点A、P、C1的平面截该正方体得到的多边形为α,则α的面积是 .
15.定义在R上的函数f(x)满足f(x+3)+f(x+1)=f(2),则f(2024)的值是 .
16.已知向量,的夹角为θ,||=1,||=2,且对任意的λ<0,|﹣λ|的最小值是,则θ的大小为 .
四、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.已知函数,a∈R.
(1)若f(x)为偶函数,求a的值;
(2)令g(x)=f(x)﹣(a+1).若函数g(x)在[﹣1,1]上有两个不同的零点,求a的取值范围.
18.设a是实数,复数(a﹣i)(2i+1)(i是虚数单位)在复平面内对应的点在第四象限.
(1)求a的取值范围;
(2)若a取负整数,复数z满足2z﹣|z|=a﹣3i3,求z.
19.如图,在△ABC中,三内角A,B,C对应的边分别为a,b,c,点E是边AB的中点,点D是边AC上一点,BD,CE相交于点P,且.
(1)若,求实数λ的值;
(2)若,证明:a2+3b2=3c2.
20.如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧棱AA1⊥平面ABC,∠BAC=90°,AB=AC,E是棱BB1上的动点,D是棱BC的中点.
(1)证明:AD⊥C1E;
(2)若四棱锥D﹣AA1B1B的体积是,且AA1=2,求△ABC的面积.
21.在△ABC中,三内角A,B,C对应的边分别为a,b,c,.
(1)求角C的大小;
(2)若E是边AB上的点,且BE=CE=3EA,求tanB的值.
22.“以任意三角形的三条边为边,向外作三个等边三角形,则这三个等边三角形的外接圆的圆心组成一个等边三角形”,这就是著名的拿破仑定理,在△ABC中,∠A=120°,以AB,BC,AC为边向外作三个等边三角形,其外接圆圆心依次是O1,O2,O3.已知△O1O2O3的面积是,建立如图所示的直角坐标系,请利用拿破仑定理、坐标法和解三角形等相关知识解决以下两个问题:
(1)求AB+AC的值;
(2)求△ABC周长的取值范围.
参考答案
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.某数学兴趣小组有10名同学,在一次数学竞赛中成绩的名次由小到大排列分别是2,4,5,x,11,14,15,39,41,50.若该小组成绩名次的40%分位数是9.5,则x=( )
A.9 B.8 C.7 D.6
【分析】根据百分位数的定义,计算即可.
解:40%×10=4,
故40%分位数是第4、第5个名次数的平均值,即9.5,
因此,解得x=8.
故选:B.
【点评】本题考查百分位数的应用,属于基础题.
2.已知,则=( )
A. B. C. D.
【分析】由已知函数解析式代入即可直接求解.
解:因为,
所以.
故选:C.
【点评】本题主要考查了函数值的求解,属于基础题.
3.在△ABC中,“A=B”是“sin2A=sin2B”的( )
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【分析】根据充分必要条件的定义判断.
解:A=B时,sin2A=sin2B,充分性满足,
当时,,必要性不满足,
所以“A=B”是“sin2A=sin2B”的充分不必要条件.
故选:B.
【点评】本题主要考查了充分条件和必要条件的定义,属于基础题.
4.现有10名北京冬奥会志愿者,其中2名女志愿者和8名男志愿者,从中随机地接连抽取3名(每次取一个),派往参与花样滑冰项目的志愿者服务.则“恰有一名女志愿者”的概率是( )
A. B. C. D.
【分析】随机地接连抽取3名志愿者(每次取一个),恰有一名女志愿者”可分3类:仅第一次、仅第二次、仅第三次取到女志愿者,由此计算即可.
解:设C1,C2,C3分别为仅第一次、仅第二次、仅第三次取到女志愿者的事件,
且事件C1,C2,C3互斥,
则;;;
则“恰有一名女志愿者”的概率为.
故选:C.
【点评】本题考查互斥时间的概率公式,属于基础题.
5.已知正实数m,n满足m+n=1,则的最大值是( )
A.2 B. C. D.
【分析】由已知结合基本不等式即可直接求解.
解:由基本不等式可知,,
即,当且仅当时等号成立.
故选:B.
【点评】本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用,属于基础题.
6.黄鹤楼,位于湖北省武汉市武昌区,地处蛇山之巅,濒临万里长江,为武汉市地标建筑.某同学为了估算黄鹤楼的高度,在大楼的一侧找到一座高为的建筑物AB,在它们之间的地面上的点M(B,M,D三点共线)处测得楼顶A、楼顶C的仰角分别是15°和60°,在楼顶A处测得楼顶C的仰角为15°,则估算黄鹤楼的高度CD为( )
A. B. C. D.
【分析】Rt△ABM中求得AM,在△ACM中运用正弦定理求得CM,解Rt△CDM求得CD的值.
解:在Rt△ABM中,AM=,
在△ACM中,∠CAM=15°+15°=30°,∠AMC=180°﹣15°﹣60°=105°,
所以∠ACM=180°﹣30°﹣105°=45°,
由正弦定理,=,
故CM===60,
在Rt△CDM中,CD=CMsin60°=60×=30(m).
所以估算黄鹤楼的高度CD为30m.
故选:C.
【点评】本题考查了三角形的正弦定理和解三角形的应用问题,也考查了方程思想和运算求解能力,是中档题.
7.一个圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆,则此圆锥内切球的体积是( )
A. B. C.3π D.
【分析】求解圆锥的底面半径与高,然后求解内切球的半径,即可求解球的体积
解:设圆锥的底面半径是r,母线为l,圆锥的侧面展开图是半径为2的半圆,
则l=2,2πr=2π,r=1.圆锥的高.如图:SO=h,O′为内切球的球心,
设圆锥内切球的半径是R,则,即,解得.
因此圆锥内切球的体积是.
故选:D.
【点评】本题考查几何体内切球的体积的求法,考查空间想象能力,转化思想以及计算能力,是中档题.
8.在锐角△ABC中,三内角A,B,C对应的边分别为a,b,c,且.则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【分析】由题意利用正弦定理可得,进而可求A的值,可求,利用正弦定理以及正弦函数的性质即可求解的取值范围.
解:因为,可得sinA=,
又,
所以利用正弦定理可得,
因为,,
所以,
而,
所以,
即B+C=5A,
因此6A=π,可得,
由和得到,,
因此,,
于是.
故选:C.
【点评】本题考查了正弦定理以及正弦函数的性质的综合应用,考查了转化思想和函数思想的应用,属于中档题.
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,选对但不全的得2分,有选错的得0分。
(多选)9.对于函数f(x)=sinx+有如下四个判断,其中判断正确的是( )
A.f(x)的定义域是{x|x≠kπ,k∈Z}
B.f(x)的最小值是2
C.π是f(x)的最小正周期
D.f(x)的图象关于直线x=对称
【分析】直接利用函数的性质及函数的性质的应用判断A、B、C、D的结论.
解:函数f(x)=sinx+,
对于A:定义域是{x|x≠kπ,k∈Z},故A正确,
对于B:当sinx=﹣1时,函数的值为﹣2,故B错误;
对于C:函数满足f(x+2π)=f(x),故函数的最小正周期为2π,故C错误.
对于D:函数f(x)满足f(π﹣x)=f(x),故函数的图象关于直线x=对称,故D正确.
故选:AD.
【点评】本题考查的知识要点:三角函数的性质,函数的对称性和定义域及值域的应用,主要考查学生的运算能力和数学思维能力,属于基础题.
(多选)10.设z1,z2是复数,,是其共轭复数,则下列命题中正确的是( )
A.若,则z1=z2=0
B.若z1+z2=z1﹣z2,则z1•z2=0
C.若,则z1=z2
D.若为实数,则z1为实数
【分析】对于AC,结合特例,即可判断;
对于B,结合复数的四则运算,即可求解;
对于D,结合复数的四则运算,以及共轭复数的定义,即可求解.
解:对A,取z1=1,z2=i,则,但z1≠0,z2≠0,故A错误;
对B,z1+z2=z1﹣z2,解得z2=0,
则z1⋅z2=0,故B正确;
对C,,则|z1|=|z2|,
显然|i|=|﹣i|,但i≠﹣i,故C错误;
对D,设z1=a+bi,
则,因此,b=0,则z1为实数,故D正确.
故选:BD.
【点评】本题主要考查复数的四则运算,考查转化能力,属于基础题.
(多选)11.在四棱锥S﹣ABCD中,SD⊥平面ABCD,底面ABCD是正方形,则下列结论中正确的是( )
A.BC∥平面SAD
B.AC与SB所成的角为60°
C.平面SDC⊥平面ABCD
D.BD与平面SCD所成角为45°
【分析】选项A,由线面平行的判定定理,可判断;
选项B,由AC⊥SD,AC⊥BD,可证AC⊥平面SBD,知AC⊥SB;
选项C,由面面垂直的判定定理,可判断;
选项D,由SD⊥BC,CD⊥BC,知BC⊥平面SCD,从而有∠BDC即为所求,得解.
解:对于选项A,因为底面ABCD是正方形,所以BC∥AD,
又BC⊄平面SAD,AD⊂平面SAD,所以BC∥平面SAD,即选项A正确;
对于选项B,因为SD⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,所以AC⊥SD,
又底面ABCD是正方形,所以AC⊥BD,
因为SD∩BD=D,SD、BD⊂平面SBD,所以AC⊥平面SBD,
因为SB⊂平面SBD,所以AC⊥SB,即AC与SB所成的角为90°,故选项B错误;
对于选项C,因为SD⊥平面ABCD,SD⊂平面SDC,所以平面SDC⊥平面ABCD,即选项C正确;
对于选项D,因为SD⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,所以SD⊥BC,
又CD⊥BC,且SD∩CD=D,SD、CD⊂平面SCD,所以BC⊥平面SCD,
所以∠BDC为直线BD与平面SCD所成角,而∠BDC=45°,故选项D正确.
故选:ACD.
【点评】本题考查空间角的求法,空间中线与面的位置关系,熟练掌握线面平行的判定定理,线面、面面垂直的判定定理以及线面角的定义是解题的关键,考查空间立体感、推理论证能力和运算能力,属于中档题.
(多选)12.某校开展数理化竞赛,甲组有10位选手,其中数学5人,物理2人,化学3人;乙组也有10位选手,其中数学4人,物理3人,化学3人.先从甲组中随机选出一人放到乙组,分别以A1,A2和A3表示由甲组选出的是数学、物理和化学的事件;再从乙组中随机选出一人,以B表示由乙组选出的人是数学选手的事件,则下列结论中正确的是( )
A.
B.A1,A2,A3是两两互斥的事件
C.事件B与事件A1相互独立
D.
【分析】根据题意,由古典概型公式可得A正确,由互斥事件的定义可得B正确,由相互独立事件定义可得C错误,由全概率公式可得D正确,综合可得答案.
解:根据题意,依次分析选项:
对于A,甲组有10位选手,其中数学5人,则,A正确;
对于B,甲组选出的可以是数学、物理和化学,分成三类,且互斥,B正确;
对于C,显然事件A1是否发生影响到事件B,事件B与事件A1不独立,C错误;
对于D,由全概率公式,,D正确.
故选:ABD.
【点评】本题考查全概率公式,涉及古典概型和互斥事件的定义,属于基础题.
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.计算的值是 ﹣ .
【分析】由二倍角公式化简即得.
解:===.
故答案为:.
【点评】本题考查二倍角公式的应用,属于基础题.
14.已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长是4,P是棱BC的中点,过点A、P、C1的平面截该正方体得到的多边形为α,则α的面积是 8 .
【分析】根据题意,取A1D1的中点Q,连接AQ、AP、PC1、C1Q,分析可得四边形APC1Q就是截面多边形为α,进而可得截面α是菱形,求出其对角线的长,计算可得答案.
解:根据题意,如图:取A1D1的中点Q,连接AQ、AP、PC1、C1Q,
易得AP∥QC1,PC1∥AQ,则A、P、C1、Q四点共面,故平行四边形APC1Q就是截面多边形为α,
又由AP=PC1=AQ=QC1,则截面α是菱形,
其两条对角线长分别是和,
故截面α的面积是.
故答案为:8.
【点评】本题考查棱柱的结构特征,涉及平面截棱柱所得截面的问题,属于基础题.
15.定义在R上的函数f(x)满足f(x+3)+f(x+1)=f(2),则f(2024)的值是 0 .
【分析】根据题意,先分析函数的周期,利用特殊值求出f(0)的值,进而分析可得答案.
解:根据题意,由于f(x+3)+f(x+1)=f(2)①,变形可得f(x+1)+f(x﹣1)=f(2)②,
①﹣②可得:f(x+3)=f(x﹣1),即f(x+4)=f(x),则f(x)是周期为4的周期函数;
在f(x+3)+f(x+1)=f(2)中,令x=﹣1,则f(2)+f(0)=f(2),所以f(0)=0,
则f(2024)=f(0+506×4)=f(0)=0,即f(2024)=0.
故答案为:0.
【点评】本题考查抽象函数的求值,涉及函数的周期性,属于基础题.
16.已知向量,的夹角为θ,||=1,||=2,且对任意的λ<0,|﹣λ|的最小值是,则θ的大小为 120° .
【分析】先对向量的模长平方得到,再根据运算即可得到,进一步计算即可.
解:已知向量,的夹角为θ,||=1,||=2,
所以=1﹣4λcosθ+4λ²===,
又,
所以,即.因为θ∈[0,π],所以,θ=60°或120°.验证知,θ=120°,
故答案为:120°.
【点评】本题主要考查向量的模长公式以及数量积运算,属于中档题.
四、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.已知函数,a∈R.
(1)若f(x)为偶函数,求a的值;
(2)令g(x)=f(x)﹣(a+1).若函数g(x)在[﹣1,1]上有两个不同的零点,求a的取值范围.
【分析】(1)根据题意,由偶函数的定义可得f(﹣x)=f(x),即,变形分析可得答案;
(2)根据题意,令g(x)=0分析可得x1=log3a,x2=0,分析可得﹣1≤log3a≤1且log3a≠0,解可得答案.
解:(1)根据题意,函数为偶函数,
则有f(﹣x)=f(x),即,
变形可得:(a﹣1)(9x﹣1)=0,故a=1,
(2)根据题意,若g(x)=f(x)﹣(a+1)=0,则有,
变形可得9x﹣(a+1)⋅3x+a=0,则有(3x﹣a)⋅(3x﹣1)=0,
解可得:x1=log3a,x2=0.
若函数g(x)在[﹣1,1]上有两个不同的零点,
而0∈[﹣1,1],
必有﹣1≤log3a≤1且log3a≠0,解得,且a≠1;
故a的取值范围是.
【点评】本题考查函数零点与方程根的关系,涉及对数的运算,属于基础题.
18.设a是实数,复数(a﹣i)(2i+1)(i是虚数单位)在复平面内对应的点在第四象限.
(1)求a的取值范围;
(2)若a取负整数,复数z满足2z﹣|z|=a﹣3i3,求z.
【分析】(1)根据已知条件,结合复数的四则运算,以及复数的几何意义,即可求解;
(2)根据已知条件,结合复数模公式,以及复数相等的条件,即可求解.
解:(1)(a﹣i)(2i+1)=a+2+(2a﹣1)i,
则a+2>0,且2a﹣1<0,解得.
故a的取值范围是;
(2)因为,且a取负整数,
所以a=﹣1,
设z=b+ci,b,c∈R.则2z﹣|z|=a﹣2i3,即,
所以,解得b=0,c=1,
故z=i.
【点评】本题主要考查复数的四则运算,属于基础题.
19.如图,在△ABC中,三内角A,B,C对应的边分别为a,b,c,点E是边AB的中点,点D是边AC上一点,BD,CE相交于点P,且.
(1)若,求实数λ的值;
(2)若,证明:a2+3b2=3c2.
【分析】(1)由平面向量的线性运算和平面向量基本定理即可求得;
(2)由平面向量垂直的性质和余弦定理化简即可.
解:(1)因为B,P,D三点共线,
所以存在实数m,使,
与条件比较,
得到且,
故;
证明:(2)∵,=,
∴==
===0,
即,
化简整理得:a2+3b2=3c2.
【点评】本题考查平面向量的线性运算,夹角与数量积,余弦定理的综合,属于中档题.
20.如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧棱AA1⊥平面ABC,∠BAC=90°,AB=AC,E是棱BB1上的动点,D是棱BC的中点.
(1)证明:AD⊥C1E;
(2)若四棱锥D﹣AA1B1B的体积是,且AA1=2,求△ABC的面积.
【分析】(1)根据AA1⊥平面ABC,得出CC1⊥平面ABC,平面ABC⊥平面BCC1B1,再证明AD⊥BC,得出AD⊥平面CBB1C1,即可证明AD⊥C1E.
(2)根据四棱锥D﹣AA1B1B的体积为AA1•AB•DF,求出AD•DF的值,从而求出△ABC的面积.
【解答】(1)证明:因为AA1⊥平面ABC,AA1∥CC1,所以CC1⊥平面ABC,
又CC1⊂平面BCC1B1,所以平面ABC⊥平面BCC1B1,
因为棱BC的中点为D,且△ABC是等腰三角形,所以AD⊥BC,
又AD⊂平面ABC,平面ABC⋂平面CBB1C1=BC,
所以AD⊥平面CBB1C1,
又因为C1E⊂面CBB1C1,所以AD⊥C1E.
(2)解:过点D作DF⊥AB于F,则DF⊥平面AA1B1B,
所以四棱锥D﹣AA1B1B的体积为=AA1•AB•DF,
即×2×AB×DF=,解得AD×DF=,
所以△ABC的面积为AB•2DF=AB•DF=.
【点评】本题考查了空间几何体的体积计算问题,也考查了空间中的垂直关系应用问题,是中档题.
21.在△ABC中,三内角A,B,C对应的边分别为a,b,c,.
(1)求角C的大小;
(2)若E是边AB上的点,且BE=CE=3EA,求tanB的值.
【分析】(1)由正弦定理和三角恒等变换知识化简即可;
(2)由正弦定理和三角恒等变换知识化简即可.
解:(1)由正弦定理及,
得,
即,
即,
∵A∈(0,π),∴sinA≠0,
∴,.
∵C∈(0,π),∴;
(2)∵BE=CE,∴∠BCE=B,
在△ACE中,,
即,
∴,
∴,
∴=,
∴,
∴.
【点评】本题考查由正弦定理和三角恒等变换解三角形,属于中档题.
22.“以任意三角形的三条边为边,向外作三个等边三角形,则这三个等边三角形的外接圆的圆心组成一个等边三角形”,这就是著名的拿破仑定理,在△ABC中,∠A=120°,以AB,BC,AC为边向外作三个等边三角形,其外接圆圆心依次是O1,O2,O3.已知△O1O2O3的面积是,建立如图所示的直角坐标系,请利用拿破仑定理、坐标法和解三角形等相关知识解决以下两个问题:
(1)求AB+AC的值;
(2)求△ABC周长的取值范围.
【分析】(1)由平面几何知识将O1,O3的坐标用AB,AC的长度表示出来,再由两点间的距离公式和三角形的面积公时建立等量关系求出AB+AC;
(2)在△ABC中,由余弦定理求出BC,再由基本不等式即可求周长的取值范围.
解:(1)显然以AB,AC为边作的等边三角形,其中一边分别在BA,CA的延长线上,
设AB=x,AC=y,则,,,
因此,同理可得,
于是=,
由拿破仑定理知,ΔO1O2O3是等边三角形,
=,∴,
即,∴,∴;
(2)在△ABC中,由余弦定理得:,
所以△ABC的周长,
∵(x+y)2=x2+y2+2xy≥4xy,所以0<xy≤3,当且仅当时取等号,
∴9≤12﹣xy<12,∴,
于是,
∴△ABC周长的取值范围是.
【点评】本题考查余弦定理、三角形的面积公式,基本不等式的综合,属于中档题.
2022-2023学年安徽省亳州市高二(下)开学数学试卷(含解析): 这是一份2022-2023学年安徽省亳州市高二(下)开学数学试卷(含解析),共16页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
2022-2023学年安徽省亳州市利辛一中高一(下)开学数学试卷(含解析): 这是一份2022-2023学年安徽省亳州市利辛一中高一(下)开学数学试卷(含解析),共16页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
2022-2023学年安徽省亳州市涡阳一中高二(上)期末数学试卷: 这是一份2022-2023学年安徽省亳州市涡阳一中高二(上)期末数学试卷,共25页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。