2022-2023学年四川省绵阳市涪城区南山中学高二（下）第一次质检数学试卷（文科）(含解析)

这是一份2022-2023学年四川省绵阳市涪城区南山中学高二（下）第一次质检数学试卷（文科）(含解析)，共14页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年四川省绵阳市涪城区南山中学高二（下）第一次质检数学试卷（文科）
一、单项选择题。（每题5分，12道小题，共计60分）
1．已知集合M＝{3，4，5}，则M的非空子集有（　　）
A．3个 B．4个 C．7个 D．8个
2．已知，则的模＝（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
3．已知函数f（x）＝x3﹣2x，则f（x）在点（1，f（1））处的切线的倾斜角为（　　）
A． B． C． D．
4．的化简结果为（　　）
A． B． C． D．
5．若等差数列{an}满足a7+a8+a9＝24，则a8＝（　　）
A．3 B．6 C．8 D．12
6．若关于x的不等式x2﹣4x﹣2﹣a≤0有解，则实数a的取值范围是（　　）
A．{a|a≥﹣2} B．{a|a≤﹣2} C．{a|a≥﹣6} D．{a|a≤﹣6}
7．设函数f（x）的导函数为f′（x），且f（x）＝x2+2x•f′（1），则f′（1）＝（　　）
A．0 B．﹣4 C．﹣2 D．2
8．设a∈R，则“a＝﹣2”是“直线l1：ax+2y﹣1＝0与直线l2：x+（a+1）y﹣a2＝0”平行的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
9．方程x4﹣y4﹣4x2+4y2＝0所表示的曲线是（　　）
A．两条相交的直线
B．两条相交直线和两条平行直线
C．两条平行直线和一个圆
D．两条相交直线和一个圆
10．已知椭圆C：+＝1的离心率为，则C的长轴长为（　　）
A．8 B．4 C．2 D．4
11．若函数f（x）＝xex﹣lnx﹣x﹣a存在零点，则a的取值范围为（　　）
A．（0，1） B．[1，+∞） C． D．
12．已知函数f（x）＝x3+ax2﹣bx（a＞0，b＞0）在x＝﹣1处有极值，则的最小值为（　　）
A．2 B． C． D．4
二、填空题。（每题5分，共4道小题，共计20分）
13．若椭圆的离心率为，短半轴长为2，则该椭圆的长半轴长为 　 　．
14．双曲线x2﹣2y2＝6的右焦点坐标是　 　．
15．函数y＝2cosx﹣sinx的最小值为 　 　．
16．已知函数f（x）＝ax3﹣3x+1存在唯一的零点，则实数a的取值范围为 　 　．
三、解答题。（6道小题，共计70，写出必要的计算过程，演算步骤和文字说明）
17．已知函数f（x）＝sin．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值．
18．已知函数．
（1）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率；
（2）求函数f（x）的单调区间与极值．
19．第24届冬季奥运会将于2022年2月在北京举办，为了普及冬奥知识，某校组织全体学生进行了冬奥知识答题比赛，从全校众多学生中随机选取了10名学生，得到他们的分数统计如下表：
分数段
[30，40）
[40，50）
[50，60）
[60，70）
[70，80）
[80，90）
[90，1000）
人数
1
1
1
2
2
2
1
规定60分以下为不及格；60分及以上至70分以下为及格；70分及以上至80分以下为良好；80分及以上为优秀，将频率视为概率．
（1）此次比赛中该校学生成绩的优秀率是多少？
（2）在全校学生成绩为良好和优秀的学生中利用分层抽样的方法随机抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行冬奥知识演讲，求良好和优秀各1人的概率．
20．如图，在直三棱柱ABC﹣DEF中，AC＝BC＝2，，，AD＝4，M、N分别为AD、CF的中点．
（1）求证：AN⊥平面BCM；
（2）设G为BE上一点，且，求点G到平面BCM的距离．

21．已知抛物线C：y2＝2px（p＜0）过点A（﹣2，﹣4）．
（1）求抛物线C的方程，并求其准线方程；
（2）过该抛物线的焦点，作倾斜角为60°的直线，交抛物线于A、B两点，求线段AB的长度．
22．已知函数f（x）＝ex﹣x2，求证：
（1）f（x）存在唯一零点；
（2）不等式ex﹣1﹣x2+x﹣1+（lnx）2≥0恒成立．


参考答案
一、单项选择题。（每题5分，12道小题，共计60分）
1．已知集合M＝{3，4，5}，则M的非空子集有（　　）
A．3个 B．4个 C．7个 D．8个
【分析】根据集合子集个数的公式求解．
解：∵集合M＝{3，4，5}，∴M的非空子集有23﹣1＝7个．
故选：C．
【点评】本题主要考查非空子集个数的求解，属于基础题．
2．已知，则的模＝（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】根据向量模的坐标运算公式，即可求解．
解：∵向量，
∴．
故选：A．
【点评】本题考查向量模的坐标运算公式，属于基础题．
3．已知函数f（x）＝x3﹣2x，则f（x）在点（1，f（1））处的切线的倾斜角为（　　）
A． B． C． D．
【分析】设切线的斜率为k，其倾斜角是θ，求出函数f（x）的导数，利用导数的几何意义可得k＝f′（1），即tanθ，结合θ的范围，分析可得答案．
解：根据题意，函数f（x）＝x3﹣2x，设切线的斜率为k，其倾斜角是θ，
函数f（x）＝x3﹣2x，则f′（x）＝3x2﹣2，
则有k＝f′（1）＝1，
则tanθ＝1，
又由0≤θ＜π，则θ＝，
故选：C．
【点评】本题考查利用导数分析切线的方程，关键是掌握导数的几何意义，属于基础题．
4．的化简结果为（　　）
A． B． C． D．
【分析】由平面向量的线性运算法则即可求得答案．
解：＝6﹣3﹣2﹣6＝4﹣9．
故选：B．
【点评】本题考查平面向量的线性运算，属于基础题．
5．若等差数列{an}满足a7+a8+a9＝24，则a8＝（　　）
A．3 B．6 C．8 D．12
【分析】根据等差中项即可求解．
解：根据等差中项，可知a7+a9＝2a8，
因为a7+a8+a9＝3a8＝24，所以a8＝8．
故选：C．
【点评】本题主要考查了等差数列的性质的应用，属于基础题．
6．若关于x的不等式x2﹣4x﹣2﹣a≤0有解，则实数a的取值范围是（　　）
A．{a|a≥﹣2} B．{a|a≤﹣2} C．{a|a≥﹣6} D．{a|a≤﹣6}
【分析】直接利用判别式即可研究不等式的解的情况．
解：若关于x的不等式x2﹣4x﹣2﹣a≤0有解，
则Δ＝16+4（2+a）≥0，
解得a≥﹣6，
即实数a的取值范围是[﹣6，+∞）．
故选：C．
【点评】本题主要考查了一元二次不等式的解法，属于基础题．
7．设函数f（x）的导函数为f′（x），且f（x）＝x2+2x•f′（1），则f′（1）＝（　　）
A．0 B．﹣4 C．﹣2 D．2
【分析】根据f′（1）是一个常数，直接对f（x）进行求导，然后令x＝1，建立关于f′（1）的方程求解即可．
解：∵f（x）＝x2+2x•f′（1），
∴f′（x）＝2x+2f′（1），
∴f′（1）＝2×1+2f′（1），
解得f′（1）＝﹣2．
故选：C．
【点评】本题主要考查导数的定义，计算公式等知识，属于基础题．解题的关键是对f′（1）的理解．
8．设a∈R，则“a＝﹣2”是“直线l1：ax+2y﹣1＝0与直线l2：x+（a+1）y﹣a2＝0”平行的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【分析】化简求出直线l1：ax+2y﹣1＝0与直线l2x+（a+1）y﹣a2＝0平行的充要条件，注意重合的情况，即可求解．
解：∵直线l1：ax+2y﹣1＝0与直线l2：x+（a+1）y﹣a2＝0平行，
∴a（a+1）﹣2×1＝0；∴a＝﹣2或a＝1；
当a＝1时，直线l1：ax+2y﹣1＝0与直线重合，故a＝1不符合题意，∴a＝﹣2，
则“a＝﹣2”是“直线l1：ax+2y﹣1＝0与直线l2：x+（a+1）y+2＝0平行”的充分必要条件．
故选：C．
【点评】本题考查充分必要条件的定义，属于基础题．
9．方程x4﹣y4﹣4x2+4y2＝0所表示的曲线是（　　）
A．两条相交的直线
B．两条相交直线和两条平行直线
C．两条平行直线和一个圆
D．两条相交直线和一个圆
【分析】将原方程分解因式，结合直线方程和圆方程，可得所求曲线形状．
解：方程x4﹣y4﹣4x2+4y2＝0，
即（x2﹣y2）（x2+y2）﹣4（x2﹣y2）＝0，
可得（x2﹣y2）（x2+y2﹣4）＝0，
即为y2＝x2或x2+y2＝4，
即y＝x或y＝﹣x或x2+y2＝4，
则方程表示两条相交直线和一个圆，
故选：D．
【点评】本题考查方程表示的曲线，注意运用因式分解和直线方程、圆方程，考查化简能力，属于基础题．
10．已知椭圆C：+＝1的离心率为，则C的长轴长为（　　）
A．8 B．4 C．2 D．4
【分析】根据椭圆的方程，即可得出答案．
解：∵椭圆C的离心率为，
∴＝，解得m＝2，
故椭圆C：+＝1的长轴长为2＝4，
故选：B．
【点评】本题考查椭圆的性质，考查对应思想，考查运算能力，属于基础题．
11．若函数f（x）＝xex﹣lnx﹣x﹣a存在零点，则a的取值范围为（　　）
A．（0，1） B．[1，+∞） C． D．
【分析】对f（x）求导，利用导数可求出f（x）的单调性与最值，结合题意可求得a的取值范围．
解：．
因为x＞0，所以x+1＞0．
令，因为g（x）在（0，+∞）上单调递增，
g（）＝﹣2＜0，g（1）＝e﹣1＞0，
所以∃x0∈（0，+∞），使得g（x0）＝0，即﹣＝0，可得x0+lnx0＝0．
当x∈（0，x0）时，f'（x）＜0；当x∈（x0，+∞）时，f'（x）＞0．
所以f（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增，
所以．
要使f（x）存在零点，只需f（x）min≤0，即a≥1，
故a的取值范围是[1，+∞）．
故选：B．
【点评】本题考查导数在函数中的应用，考查逻辑推理与数学运算的核心素养，属于中档题．
12．已知函数f（x）＝x3+ax2﹣bx（a＞0，b＞0）在x＝﹣1处有极值，则的最小值为（　　）
A．2 B． C． D．4
【分析】由题可得2a+b＝3，然后利用基本不等式即得．
解：由f（x）＝x3+ax2﹣bx，得f'（x）＝3x2+2ax﹣b，
所以f'（﹣1）＝3﹣2a﹣b＝0，即2a+b＝3，
由题意，得，
当且仅当，即，时，取等号．
故选：B．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的极值，考查运算求解能力，属于中档题．
二、填空题。（每题5分，共4道小题，共计20分）
13．若椭圆的离心率为，短半轴长为2，则该椭圆的长半轴长为 　4　．
【分析】由题意可得关于a，b，c的方程组，求解得答案．
解：由题意得，b＝2，，又a2＝b2+c2，
解得a2＝16，则a＝4，∴椭圆的长半轴长为4．
故答案为：4．
【点评】本题考查椭圆的简单性质，是基础题．
14．双曲线x2﹣2y2＝6的右焦点坐标是　（3，0）　．
【分析】化双曲线的方程为标准方程，求得a，b，c，可得右焦点坐标．
解：双曲线x2﹣2y2＝6化为：，
可得a＝，b＝，c＝＝3，
可得右焦点坐标为（3，0）．
故答案为：（3，0）．
【点评】本题考查双曲线的方程和性质，把双曲线的方程化为标准方程是解题的关键，属于基础题．
15．函数y＝2cosx﹣sinx的最小值为 　　．
【分析】利用三角函数的性质可求得答案．
解：∵y＝2cosx﹣sinx＝cos（x+ϕ），其中，
∴函数y＝2cosx﹣sinx的最小值为，
当且仅当x+ϕ＝π+2kπ，k∈Z，即x＝π﹣ϕ+2kπ，k∈Z时取到最小值．
故答案为：
【点评】本题考查三角函数的最值，属于基础题．
16．已知函数f（x）＝ax3﹣3x+1存在唯一的零点，则实数a的取值范围为 　（﹣∞，0]∪（4，+∞）　．
【分析】求定义域，求导，分a≤0与a＞0两种情况，结合零点存在性定理和极值情况，列出不等式，求出实数a的取值范围．
解：f（x）＝ax3﹣3x+1定义域为R，f'（x）＝3ax2﹣3，
当a≤0时，f'（x）＝3ax2﹣3＜0恒成立，故f（x）＝ax3﹣3x+1在R上单调递减，
又f（0）＝1＞0，f（1）＝a﹣2＜0，
由零点存在性定理得：存在唯一的x0∈（0，1）使得：f（x0）＝0，故满足要求，
当a＞0时，由f'（x）＝3ax2﹣3＞0得或，
由f'（x）＝3ax2﹣3＜0得，
故f（x）在上单调递减，在，上单调递增，
当x→﹣∞时，f（x）→﹣∞，
所以函数f（x）＝ax3﹣3x+1存在唯一的零点，只需，
解得：a＞4，与a＞0取交集后得到a＞4，
综上：实数a的取值范围是（﹣∞，0]∪（4，+∞）．
故答案为：（﹣∞，0]∪（4，+∞）．
【点评】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和最值，考查了函数的零点问题，属于中档题．
三、解答题。（6道小题，共计70，写出必要的计算过程，演算步骤和文字说明）
17．已知函数f（x）＝sin．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值．
【分析】（1）利用正弦型函数周期公式求解即可．
（2）求出函数f（x）相位的范围，再利用正弦函数的性质求解即可．
解：（1）因为函数f（x）＝sin，所以最小正周期．
（2）当时，，
而正弦函数y＝sinx 在[上单调递增，在[上单调递减，
因此当，即时，f（x）＝sin取最大值1，
当，即 时，f（x）＝sin取最小值，
所以f（x）的最大值为1，最小值为．
【点评】本题考查三角函数的图象与性质，考查学生的运算能力，属于中档题．
18．已知函数．
（1）求曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线的斜率；
（2）求函数f（x）的单调区间与极值．
【分析】（1）求导，求出f'（1）＝﹣1+2＝1即为切线斜率，然后求出切线方程即可；
（2）求导，列出表格，得到单调区间和极值．
解：（1）因为f'（x）＝﹣x2+2x，所以f'（1）＝﹣1+2＝1，
因此曲线y＝f（x）在点（1，）处的切线的斜率为1；
（2）令f'（x）＝﹣x2+2x＝0，解得x＝0或2．
x
（﹣∞，0）
0
（0，2）
2
（2，+∞）
f'（x）
﹣
0
+
0
﹣
f（x）
↘
极小值
↗
极大值
↘
所以 f（x）在（﹣∞，0），（2，+∞）内是减函数，在（0，2）内是增函数．
因此函数f（x）在x＝0处取得极小值f（0），且f（0）＝0，
函数f（x）在x＝2处取得极大值，且f（2）＝；
综上，f（x）的单调递增区间为（0，2），
单调递减区间为（﹣∞，0），（2，+∞），极小值为0，极大值为．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的切线方程，利用导数研究函数的单调性与极值，属中档题．
19．第24届冬季奥运会将于2022年2月在北京举办，为了普及冬奥知识，某校组织全体学生进行了冬奥知识答题比赛，从全校众多学生中随机选取了10名学生，得到他们的分数统计如下表：
分数段
[30，40）
[40，50）
[50，60）
[60，70）
[70，80）
[80，90）
[90，1000）
人数
1
1
1
2
2
2
1
规定60分以下为不及格；60分及以上至70分以下为及格；70分及以上至80分以下为良好；80分及以上为优秀，将频率视为概率．
（1）此次比赛中该校学生成绩的优秀率是多少？
（2）在全校学生成绩为良好和优秀的学生中利用分层抽样的方法随机抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行冬奥知识演讲，求良好和优秀各1人的概率．
【分析】（1）根据分层抽样，列式计算即可；
（2）采用列举法，写出从a，b，C，D，E中随机抽取 2 人的所有基本事件和良好和优秀各 1 人的事件数，结合古典概型概率公式计算即可．
解：（1）∵80分及以上为优秀，
∴，
故此次比赛中该校学生成绩的优秀率是 0.3．
（2）∵成绩良好的学生人数与成绩优秀的学生人数之比为2：（2+1）＝2：3，
∴在成绩良好的学生中抽取 2 人，记为a，b，在成绩优秀的学生中抽取 3 人，记为C，D，E．
从a，b，C，D，E中随机抽取 2 人的所有基本事件为：（a，b），（a，C），（a，D），（a，E），（b，C），（b，D），（b，E），（C，D），（C，E），（D，E），共 10 种，
其中良好和优秀各 1 人的有：（a，C），（a，D），（a，E），（b，C），（b，D），（b，E），共 6 种．
根据古典概型概率公式可知，良好和优秀各 1 人的概率为．
【点评】本题考查简单的随机抽样，概率的求法，属于基础题．
20．如图，在直三棱柱ABC﹣DEF中，AC＝BC＝2，，，AD＝4，M、N分别为AD、CF的中点．
（1）求证：AN⊥平面BCM；
（2）设G为BE上一点，且，求点G到平面BCM的距离．

【分析】（1）根据AC2+BC2＝AB2得AC⊥BC，并且得出四边形ACMN为正方形，进而即可求证；
（2）先算出点M到平面GBC的距离即为AC＝2，由，可求出，设点G到平面BCM的距离为h，则，进而求出点G到平面BCM的距离．
解：（1）证明：在直三棱柱ABC﹣DEF中，AC＝BC＝2，，AD＝4，M、N分别为AD、CF的中点，
∵AC＝BC＝2，，
∴AC2+BC2＝AB2，即AC⊥BC，
又ABC﹣DEF是直三棱柱，∴BC⊥平面ACFD，则BC⊥AN，
∵M、N分别为AD、CF的中点，且AD＝4，AC＝2，
∴四边形ACNM为正方形，则CM⊥AN，
又BC∩CM＝C，∴AN⊥平面BCM；
（2）由（1）知，即AC⊥BC，
又ABC﹣DEF是直三棱柱，∴AC⊥平面BCFE，∴MA∥FC，
则点M到平面GBC的距离即为AC＝2，∴＝，
由（1）知，BC⊥CM，且，∴，
设点G到平面BCM的距离为h，
则，∴，则，
即点G到平面BCM的距离为．
【点评】本题考查了线面垂直的证明和点到平面的距离计算，属于中档题．
21．已知抛物线C：y2＝2px（p＜0）过点A（﹣2，﹣4）．
（1）求抛物线C的方程，并求其准线方程；
（2）过该抛物线的焦点，作倾斜角为60°的直线，交抛物线于A、B两点，求线段AB的长度．
【分析】（1）将A点代入抛物线方程即可求得C的方程，由抛物线方程可得准线方程；
（2）设，与抛物线方程联立可得韦达定理形式，利用抛物线焦点弦长公式可直接得到结果．
解：（1）∵y2＝2px（p＜0）过点A（﹣2，﹣4），
∴﹣4p＝16，解得：p＝﹣4，
∴抛物线C：y2＝﹣8x，准线方程为：x＝2；
（2）由（1）知：抛物线焦点为（﹣2，0），
因为直线倾斜角为60°，
所以设直线，A（x1，y1），B（x2，y2），
由得：3x2+20x+12＝0，
∴，
∴．
【点评】本题主要考查了抛物线的标准方程，考查了直线与抛物线的位置关系，属于中档题，
22．已知函数f（x）＝ex﹣x2，求证：
（1）f（x）存在唯一零点；
（2）不等式ex﹣1﹣x2+x﹣1+（lnx）2≥0恒成立．
【分析】（1）由导数得出f（x）的单调性，结合零点存在性定理证明即可；
（2）先证明lnx≤x﹣1，再由f（x）的单调性，证明不等式即可．
【解答】证明：（1）f'（x）＝ex﹣2x＝g（x），g'（x）＝ex﹣2，
当x＞ln2时，g'（x）＞0，此时函数g（x）单调递增；
当x＜ln2时，g'（x）＜0，此时函数g（x）单调递减；
所以g（ln2）＝eln2﹣2ln2＝2﹣ln4＞0，即g（x）＞0，f'（x）＞0，
所以f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，，
则在（﹣1，0）上，存在x0，使得f（x0）＝0，即f（x）存在唯一零点．
（2）f（lnx）＝elnx﹣（lnx）2＝x﹣（lnx）2，f（x﹣1）＝ex﹣1﹣（x﹣1）2＝ex﹣1﹣x2+2x﹣1，
令h（x）＝lnx﹣x+1（x＞0），，
当0＜x＜1时，h'（x）＞0，此时函数h（x）单调递增；
当x＞1时，h'（x）＜0，此时函数h（x）单调递减；
即h（x）≤h（1）＝0，故lnx≤x﹣1．
因为函数f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，所以f（lnx）≤f（x﹣1），
即ex﹣1﹣x2+2x﹣1﹣x+（lnx）2≥0，
故不等式ex﹣1﹣x2+x﹣1+（lnx）2≥0恒成立．
【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，函数零点问题以及不等式的证明，考查逻辑推理能力，属于中档题．