人教版初中数学八年级上册15.4.2 第12讲《分式方程与实际应用》专项复习 课件PPT+教案+分层练习+预习案
展开15.4.2 第12讲《分式方程与实际应用》专项复习 教案
一、知识目标
重点：
- 了解分式方程的定义；
- 掌握可化为一元一次方程的分式方程的解法；
- 会列分式方程解应用题.
难点：
- 解分式方程；
- 分式方程解应用题.
二、考情分析
考查题型：单选、填空、解答题
考查分值：10-15分左右
三、课堂教学思维与流程
知识点1 分式方程
分式方程的定义→分式方程的解法→例题与练习
知识点2 分式方程实际应用
列分式方程解应用题的步骤→例题与练习
知识点1 分式方程
1．分式方程的定义
分母中含未知数的方程叫做分式方程。
2．分式方程与整式方程的区别与联系：
① 区别：一元一次方程和二元一次方程都是整式方程，它们的未知数不在分母中，而分式方程中是分母含有未知数；
② 联系：分式方程可以转化为整式方程。
3．解分式方程的一般步骤是：
① 去分母：在分式方程的两边都乘最简公分母，约去分母，化成整式方程；
② 解这个整式方程；
③ 检验：把解得的根代入最简公分母，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去。
4．确定最简公分母的办法：
① 取系数最小公倍数；
② 字母取所有字母；
③ 取相同字母的最高次幂。
知识提炼：
考点一 解分式方程
例题1 解分式方程：
.
【解析】原方程即：
，
方程两边同时乘以
得：
，
化简得：
，
解得：
，
检验：把代入
，
故方程的解是：。
技巧点拨：
先对分母因式分解，再确定最简公分母
练习1-1 解下列方程：
（1）＋＝；
（2）＋＝；
【解析】（1）方程两边同乘（x＋1）（x－1），得（x－1）＋2（x＋1）＝4，
解此方程，得x＝1。
检验：当x＝1时，（x＋1）（x－1）＝0。
故x＝1不是原分式方程的解，原分式方程无解。
（2）原方程可以化为：＋＝，
即－＋＝0。
方程两边同乘以（x＋2）（x－2），得6（x－2）－（x＋2）2＋x2＝0。
解这个方程得x＝8。
检验：把x＝8代入（x＋2）（x－2），得（8＋2）（8－2）≠0。
所以x＝8是原方程的解。
考点二 含参分式方程
例题2 已知关于x的方程：
－2．
（1）当m为何值时，方程无解；
（2）当m为何值时，方程的解为负数．
【解析】（1）由原方程，得
2x＝mx－2x－6，
①整理，得
（4－m）x＝－6，
当4－m＝0即m＝4时，原方程无解；
②当分母x+3＝0即x＝－3时，原方程无解，
故2×（－3）＝3m－2×3－6，
解得 m＝2，
综上所述，m＝2或4；
（2）由（1）得到 （4－m）x＝－6，
当m≠4时，x＝
＜0，
解得 m＜4
综上所述，m＜4且m≠2．
技巧点拨：
先求解再讨论
练习2-1 当m为何值时，关于x的方程
无解？
【解析】去分母、化简得：2（x+2）+mx＝3（x－2），
整理得：（m－1）x＝－10，
∵原方程无解，
∴①当分母x－2＝0或x+2＝0，即x＝2或－2时，方程无解
∴m＝－4或6；
②m－1＝0，方程无解
∴m＝1，
综上，当m＝－4或6或1时，原方程无解．
练习2-2 若关于x的分式方程
＝2的解为正数，求m的取值范围．
【解析】去分母得：2－x－m＝2x－4，
解得：x＝
，
由分式方程解为正数，得到x＞0且x≠2，
∴＞0，且≠2，
解得：m＜6且m≠0．
练习2-3 分式方程
有增根，求m的值.
【解析】∵分式方程有增根，
∴x－1=0，或x+2=0，
∴x1=1，x2=－2。
方程两边同时乘以（x－1）（x+2），原方程可化为x（x+2）－（x－1）（x+2）=m，
整理得，m=x+2，
当x=1时，m=1+2=3；当x=－2时，m=－2+2=0。
当m=0时，分式方程变为
，此方程无解，与x=－2矛盾，故m=0舍去。
综上所述，m的值是3.
知识点2 分式方程实际应用
1. 利用分式方程解决实际问题的步骤简单地可分为六个方面：
①设：弄清题意和题目中的数量关系，用字母表示题目中的一个未知量；
②找：找到能够表示实际问题中全部含义的一个等量关系；
③列：根据等量关系，用字母表示需要的式子，从而列出分式方程；
④解：解这个分式方程，求出未知数的值；
⑤检：检验，看方程的解是否满足方程和符合题意；
⑥答：写出答案。
2. 列方程解决实际问题的关键是：确定等量关系。
一般含两个等量关系，一个用来设未知数，另一个用来列方程。
知识提炼：
找等量关系的几种常用方法：
（1）用不同的方式表示同一个量。
（2）善于利用“总量等于各个分量之和”这个基本的相等关系。
（3）分析问题中的不变量，利用不变量找相等关系。
（4）熟练掌握一些基本量的关系，如：路程＝速度×时间；工作量＝工作效率×工作时间等。
（5）画示意图，帮助分析具体问题中的相等关系，体会数形结合思想的应用。
（6）分析题目中的关键词，如“多”“少”“增长”“减少”等。
考点一 列分式方程解应用题
例题3 某文化用品商店用1000元购进一批“晨光”套尺，很快销售一空；商店又用1500元购进第二批该款套尺，购进时单价是第一批的
倍，所购数量比第一批多100套。
（1）求第一批套尺购进时单价是多少？
（2）若商店以每套4元的价格将这两批套尺全部售出，可以盈利多少元？
【解析】（1）设第一批套尺购进时单价是x元/套。
由题意得：
，
即
，
解得：
。
经检验：是所列方程的解。
答：第一批套尺购进时单价是2元/套；
（2）
（元）。
答：商店可以盈利1900元。
技巧点拨：
找出两个等量关系，一个用来设未知数，另一个用来列方程.
练习3-1 汽车比步行每小时快24千米，自行车比步行每小时快12千米，某人从A地先步行4千米，然后乘汽车16千米到达B地，又骑自行车返回A地，往返所用时间相同，求此人步行速度．
【解析】设步行速度为x千米/时，根据题意，得
＋＝，
解得x＝8．
经检验x＝8是原方程的根，并且符合题意．
答：此人步行的速度是8千米/时．
练习3-2 相邻的两个偶数的比是24∶25，求夹在这两个偶数之间的奇数．
【解析】设相邻的两个偶数分别为2x和2x＋2，由题意列方程，得
＝，
解得x＝24．
经检验x＝24是原方程的根，并且符合题意．
所以2x＝48，2x＋2＝50．
所以夹在48和50之间的奇数为49．
答：所求的奇数为49．
练习3-3 某项工程，原计划50人在若干天内完成，开工时由于采用新技术，工作效率提高了60%，现只派40人去工作，结果比原计划提前7天完成任务，求原计划工作多少天？
【解析】设原计划用x天完成，则现在实际只用了（x－7）天，原来每人的日工作效率为，现在每人的日工作效率为．依题意列方程，得
×（1＋60%）＝．
整理，得1.6×40（x－7）＝50x．
所以x＝32．
经检验x＝32是原方程的解．
答：原计划要工作32天．
1. 分式方程
（1）解分式方程：先对分母因式分解，再确定最简公分母；
（2）含参分式方程：先求解再讨论.
2. 分式方程实际应用
找出两个等量关系，一个用来设未知数，另一个用来列方程.
