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    高中数学(人教A版2019) 选择性必修第三册 第七章 随机变量及其分布 测试卷(含解析)
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    高中数学(人教A版2019) 选择性必修第三册 第七章 随机变量及其分布 测试卷(含解析)

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    这是一份高中数学(人教A版2019) 选择性必修第三册 第七章 随机变量及其分布 测试卷(含解析),共12页。

    第七章 随机变量及其分布 测试卷
    【满分:150分】
    一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
    1.投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为( )
    A.0.648 B.0.432 C.0.36 D.0.312
    2.设两个独立事件A和B都不发生的概率为,A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同,则事件A发生的概率是( )。
    A. B. C. D.
    3.袋中装有10个红球,5个黑球,每次随机抽取一个球,若取到黑球,则放回袋中,直到取到红球为止,若抽取的次数为X,则表示“放入袋中5回小球”的事件为( )
    A. B. C. D.
    4.某项试验的成功率是失败率的2倍,用随机变量X描述1次试验的成功次数,则等于( )
    A.0 B. C. D.
    5.编号为1,2,3的3位同学随意入座编号为1,2,3的3个座位,每位同学坐一个座位,设与座位编号相同的学生个数是X,则X的方差为( )
    A. B. C. D.1
    6.已知离散型随机变量X的分布列如下,则( )
    X
    0
    2
    4
    P



    A.1 B.2 C.3 D.4
    7.为实现国民经济新“三步走”的发展战略目标,国家加大了扶贫攻坚的力度.某地区在2015年以前的年均脱贫率(脱离贫困的户数占当年贫困户总数的比)为70%.2015年开始,全面实施“精准扶贫”政策后,扶贫效果明显提高,其中2019年度实施的扶贫项目,各项目参加户数占比(参加各项目的户数占2019年贫困户总数的比)及各项目的脱贫率见下表.
    实施项目
    种植业
    养殖业
    工厂就业
    服务业
    参加户数占比
    40%
    40%
    10%
    10%
    脱贫率
    95%
    95%
    90%
    90%
    那么2019年的脱贫率与全面实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的比值为( )
    A. B. C. D.
    8.一个班级共有30名学生,其中有10名女生,现从中任选三人代表班级参加学校开展的某项活动,假设选出的3名代表中女生的人数为,男生的人数为,则等于( )
    A. B. C. D.
    二、多选题(本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得2分。)
    9.下列各对事件中,M,N为相互独立事件的是( )
    A.掷1枚质地均匀的骰子一次,事件M为“出现的点数为奇数”,事件N为“出现的点数为偶数”
    B.袋中有5个白球,5个黄球(球除颜色外完全相同),现不放回地依次摸出2个球,事件M为“第一次摸到黄球”,事件N为“第二次摸到黄球”
    C.一枚硬币掷两次,事件M为“第一次为正面”,事件N为“两次抛掷的结果相同”
    D.一枚硬币掷两次,事件M为“第一次为正面”,事件N为“第二次为反面”
    10.已知样本数据,,…,的均值和标准差都是10,下列判断正确的是( )
    A.样本数据,,…,均值和标准差都等于10;
    B.样本数据,,…,均值等于31、标准差等于30;
    C.样本数据,,…,的标准差等于0.1,方差等于1;
    D.样本数据,,…,的标准差等于2、方差等于4;
    11.若随机变量X服从两点分布,其中,,分别为随机变量X的均值和方差,则( )
    A. B. C. D.
    12.某同学共投篮12次,每次投篮命中的概率为0.8,假设每次投篮相互独立,记他投篮命中的次数为随机变量X,下列选项中正确的是( )
    A. B.
    C. D.该同学投篮最有可能命中9次
    三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
    13.甲、乙两个乒乓球队举行擂台赛,每队两人,比赛规则如下:两队队员各编号1,2,双方先由1号队员比赛,输者被淘汰,胜者继续与对方2号队员比赛,直到某一队队员全部被淘汰为止,另一队获胜.右图中,第m行、第n列的数字表示甲队m号队员战胜乙队n号队员的概率,若已知最后甲队获胜,则甲队1号队员未胜一场的概率是__________.
    0.6
    0.4
    0.7
    0.4
    14.某地有A,B,C,D四人先后感染了传染性肺炎,其中只有A到过疫区,B确定是由A感染的.对于C难以判断是由A或B感染的,于是假定他由A和B感染的概率都是.同样也假定D由A,B和C感染的概率都是.在这种假定下,B,C,D都是由A感染的概率是______________.
    15.甲小组有2个男生和4个女生,乙小组有5个男生和3个女生,现随机从甲小组中抽出1人放入乙小组,然后从乙小组中随机抽出1人,则从乙小组中抽出女生的概率是________.
    16.某人随机将编号为1,2,3,4的四个小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子,每个盒子放一个小球,球的编号与盒子的编号相同时称为放对了,否则称为放错了.设放对的个数记为,则的期望_________________.
    四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
    17. (10分)为了解城市的空气质量,某市环保局随机抽取了该市一年内100天的空气质量指数(AQI)的相关数据如下表所示:
    AQI





    大于300
    空气质量等级


    轻度污染
    中度污染
    重度污染
    严重污染
    天数
    6
    14
    18
    27
    25
    10
    (1)从空气质量指数属于,的天数中任取3天,求这3天中空气质量等级至少有2天为优的概率;
    (2)已知某企业每天的经济损失Y(单位:元)与空气质量指数X的关系式为,请写出该企业一天的经济损失Y的分布列.
    18. (12分)某校10名学生组成该校科技创新周志愿服务队(简称科服队),他们参加活动的有关数据统计如下:
    参加活动次数
    1
    2
    3
    人数
    2
    3
    5
    (1)从科服队中任选3人,求这3人参加活动次数各不相同的概率;
    (2)从科服队中任选2人,用表示这2人参加活动次数之差的绝对值,求随机变量的分布列.
    19. (12分)为弘扬中华传统文化,某单位举行了诗词大赛,经过初赛,最终甲、乙两人进入决赛,争夺冠军.决赛规则如下:①比赛共设有五道题;②双方轮流答题,每次回答一道,两人答题的先后顺序通过抽签决定;③若答对,自己得1分,若答错,则对方得1分;④先得3分者获胜.已知甲、乙各参加了三场初赛,答题情况统计如下表:

    第一场
    第二场
    第三场

    8对2错
    7对3错
    9对1错

    7对3错
    10对0错
    8对2错
    以甲、乙初赛三场答题的平均正确率作为他们决赛答题正确的概率,且他们每次答题的结果相互独立.
    (1)若甲先答题,求甲以3:0获得冠军的概率;
    (2)若甲先答题,求甲获得冠军的概率;
    (3)甲获得冠军是否与谁先答题有关?(不要求写过程)
    20. (12分)某社区为丰富居民的业余文化生活,打算在周一到周五连续为该社区居民举行“社区音乐会”,每晚举行一场,但若遇到风雨天气,则暂停举行.根据气象部门的天气预报得知,在周到周五这五天的晚上,前三天每天出现风雨天气的概率均为,后两天每天出现风雨天气的概率均为,每天晚上是否出现风雨天气相互独立.已知前两天的晚上均出现风雨天气的概率为,且这五天至少有一天晚上出现风雨天气的概率为.
    (1)求该社区能举行4场音乐会的概率;
    (2)求该社区举行音乐会场数X的数学期望.
    21. (12分)选手甲分别与乙、丙两选手进行象棋比赛,如果甲、乙比赛,那么每局比赛甲获胜的概率为,乙获胜的概率为,如果甲、丙比赛,那么每局比赛甲、丙获胜的概率均为.
    (1)若采用3局2胜制,两场比赛甲获胜的概率分别是多少?
    (2)若采用5局3胜制,两场比赛甲获胜的概率分别是多少?你能否据此说明赛制与选手实力对比赛结果的影响?
    22. (12分)网上购物已经成为一种重要的消费方式.某网络公司通过随机问卷调查,得到不同年龄段的网民在网上购物的情况,并从参与的调查者中随机抽取了150人.经统计得到如下表格:
    年龄(岁)






    频数
    15
    45
    45
    30
    8
    7
    在网上购物的人数
    12
    33
    35
    15
    3
    2
    若把年龄大于或等于15而小于35岁的视为青少年,把年龄大于或等于35而小于65岁的视为中年人,把年龄大于或等于65岁的视为老年人,将频率视为概率.
    (1)在青少年、中年人、老年人中,哪个群体网上购物的概率最大?
    (2)现从某市青少年网民(人数众多)中随机抽取4人,设其中网上购物的人数为X,求X的分布列及期望.


    答案以及解析
    1.答案:A
    解析:根据独立重复试验公式得,该同学通过测试的概率为.
    2.答案:D
    解析:由,
    得,
    即,
    。又,
    。。
    3.答案:C
    解析:根据题意可知,如果没有抽到红球,则将黑球放回,然后继续抽取,抽取次数X的可能取值为1,2,3,…,所以“放入袋中5回小球”即前5次都是抽到黑球,第6次抽到了红球,所以,故选C.
    4.答案:D
    解析:设失败率为p,则成功率为,
    的分布列如表所示.
    X
    0
    1
    P
    p
    2p
    ,解得,
    ,故选D.
    5.答案:D
    解析:由题意得X的可能取值为0,1,3,

    .故选D.
    6.答案:B
    解析:由已知得,
    所以.
    7.答案:C
    解析:由题表得,2019年的脱贫率为.
    所以2019年的脱贫率与全面实施“精准扶贫”政策前的年均脱贫率的比值为.故选C.
    8.答案:C
    解析:由题得,所以.故选C.
    9.答案:CD
    解析:在A中,,所以M,N不相互独立;在B中,,,所以,所以M,N不是相互独立事件;在C中,,,,,所以M,N是相互独立事件;在D中,抛掷硬币第一次为正面不影响第二次的结果,所以M,N是相互独立事件.故选CD.
    10.答案:BD
    解析:已知对于样本数据,,…,,均值,标准差.
    对于选项A,样本均值,原判断错误;
    对于选项B,样本均值,标准差,原判断正确;
    对于选项C,样本标准差,方差,原判断错误;
    对于选项D,样本标准差,方差,原判断正确.
    故选:BD.
    11.答案:ACD
    解析:对于选项A:随机变量X服从两点分布,因为,
    故,故选项A正确;
    对于选项B:,故选项B错误;
    对于选项C:,故选项C正确;
    对于选项D:,故D正确.
    故选:ACD.
    12.答案:AB
    解析:由二项分布的定义可知,,,,故AB正确,C错误;
    设该同学投篮最有可能命中m次,则,,即,因为m为正整数,所以,故D错误;
    故选:AB.
    13.答案:
    解析:设事件A为“甲队获胜”,事件B为“甲队1号队员未胜一场”,则事件A包含3个互斥事件:①甲队1号队员战胜乙队1号队员和乙队2号队员;②甲队1号队员战胜乙队1号队员,输给乙队2号队员,甲队2号队员战胜乙队2号队员;③甲队1号队员输给乙队1号队员,甲队2号队员战胜乙队1号队员和乙队2号队员.所以,,故.
    14.答案:
    解析:本题考查相互独立事件的概率.在这种假定下,B,C,D都是由A感染的概率.
    15.答案:
    解析:根据题意,记事件为从甲小组中抽出的1人为男生,事件为从甲小组中抽出的1人为女生,事件B为从乙小组中抽出的1人为女生,
    则,
    所以.
    16.答案:1
    解析:由题意,的所有可能取值为0,1,2,4,
    则,
    ,所以的期望.
    17.答案:(1)设为选取的3天中空气质量等级为优的天数,
    则.
    (2)由题意可知Y的取值范围为.
    ,
    ,
    ,
    因此Y的分布列为
    Y
    0
    220
    1480
    P



    18.答案:(1)这3人参加活动次数各不相同的概率.
    (2)由题意知.
    ,
    ,
    ,
    所以的分布列为

    0
    1
    2
    P



    19.答案:(1)甲的正确率为,乙的正确率为,
    设“甲答题正确”,“乙答题正确”,
    则,,
    设“甲以3:0获得冠军”,
    则,
    所以若甲先答题,则甲以3:0获得冠军的概率为.
    (2)由(1)知,甲以3:0获得冠军的概率,
    甲以3:1获得冠军的概率

    甲以3:2获得冠军的概率

    ,即甲获得冠军的概率为.
    (3)甲获得冠军与非先答题有关.
    20.答案:(1)因为前两天的晚上均为风雨天气的概率为,所以,则.
    因为这五天至少有一天出现风雨天气的概率为,
    所以,
    又,所以.
    设“该社区能举行4场音乐会”为事件A,
    则.
    (2)X的可能取值为0,1,2,3,4,5.




    ,.
    所以.
    21.答案:解:(1)采用3局2胜制,甲获胜有两种可能的比分2:0或2:1,因为每局比赛的结果是独立的,所以甲、乙比赛,甲获胜的概率为
    甲、丙比赛,甲获胜的概率为.
    (2)采用5局3胜制,甲获胜有3种可能的比分3:0,3:1或3:2,
    因为每局比赛的结果是独立的,所以甲、乙比赛,甲获胜的概率为
    甲、丙比赛,甲获胜的概率为

    因为,所以甲、乙比赛,采用5局3胜制对甲有利;
    因为,所以甲、丙比赛,无论采用5局3胜制还是采用3局2胜制,甲获胜结果是一样的,这说明比赛局数越多对实力较强者越有利.
    22.答案:(1)由题表中的数据知,青少年网上购物的概率为,
    中年人网上购物的概率为,
    老年人网上购物的概率为,
    因为,
    所以青少年网上购物的概率最大.
    (2)由题意及(1)知,,
    ,
    ,
    ,
    ,
    .
    故X的分布列为
    X
    0
    1
    2
    3
    4
    P





    .
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