重庆市第一中学校2023届高三模拟数学试题（原卷版）

这是一份重庆市第一中学校2023届高三模拟数学试题（原卷版），共7页。

2023年普通高等学校招生全国统一考试模拟
数学
本试卷共5页，22题．全卷满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 设集合为平面直角坐标系内第四象限内的点的横坐标构成的集合，则下列条件中，使得的为（ ）
A. B. 为的值域
C. 为复数的模长构成的集合 D. ．
2. 已知中，，，，则（ ）
A. B. C. D.
3. 过抛物线的焦点F作直线交C于A，B，过A和原点的直线交于D，则面积的最小值为（ ）
A B. 2 C. D.
4. 抛一枚硬币，若抛到正面则停止，抛到反面则继续抛，已知该硬币抛到正反两面是等可能的，则以上操作硬币反面朝上的次数期望为（ ）
A. B. 1 C. D.
5. 在中，点D，E满足，，且．若，则的可能值为（ ）
A. B. C. D.
6. Logistie分布在数据分析中常常用于分类变量回归，若连续随机变量满足：，则称服从位置参数为，形状参数为的Logistic分布，则（ ）
A. 满足二项分布的随机变量也是连续随机变量
B. 若连续随机变量满足，则服从Logistic分布
C. 若服从位置参数为，形状参数为的Logistic分布，则
D. 若服从位置参数为，形状参数为的Logistic分布，则
7. 数列的前1357项均为正数,且有：,则的可能取值个数为（ ）
A. 665 B. 666 C. 1330 D. 1332
8. “牟合方盖”是由我国古代数学家刘徽首先发现并采用的一种用于计算球体体积的方法，当一个正方体用圆柱从纵横两侧面作内切圆柱体时，两圆柱体的公共部分即为“牟合方盖”，他提出“牟合方盖”的内切球的体积与“牟合方盖”的体积比为定值，南北朝时期祖暅提出理论：“缘幂势既同，则积不容异”，即“在等高处的截面面积总是相等的几何体，它们的体积也相等”，并算出了“车合方盖”和球的体积，其大体思想可用如图表示，其中图1为棱长为的正方体截得的“牟合方盖”的八分之一，图2为棱长为的正方体的八分之一，图3是以底面边长为r的正方体的一个底面和底面以外的一个顶点作的正四棱锥，则根据祖暅原理，下列结论正确的为（ ）

A. 若以一个平行于正方体上下底面的平面，截“牟合方盖”，截面是一个圆形．
B. 图2中阴影部分的面积为．
C. 由棱长为正方体截得的“牟合方盖”体积为．
D. “牟合方盖”的内切球的体积与“牟合方盖”的体积比为．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选择的得2分，有选错的得0分．
9. 定义复数的大小关系：已知复数，，，，，．若或（且）,称．若且,称．共余情形均为．复数u，v，w分别满足：，，，则（ ）
A. B. C. D.
10. 习近平总书记2021年10月22日在深入推动黄河流域生态保护和高质量发展座谈会上的讲话中讲到：“要统筹发展和安全两件大事，提高风险防范和应对能力．高度重视水安全风险，大力推动全社会节约用水，”节约用水对民生各个方面都有着积极影响，某校为开展“节约用水一起行”活动，对20位同学进行了调查，调查了他们每户近9个月每个月的月用水量的平均值y．其中某两个月的月用水量数据分别如下：
15.90 17.47 14.15 13.08 16.98 14.46 14.85 15.03 12.72 16.02
16.30 17.17 17.61 19.39 15.66 17.46 12.07 16.29 13.67 16.31
17.85 16.93 18.49 13.34 15.74 13.04 16.64 13.00 15.89 14.47
17.69 16.20 14.60 13.38 16.07 14.48 14.32 12.76 14.96 15.56
M月 N月（第九个月）
且根据近9个月每个月的月用水量，得到了月平均用水量的回归方程，其中x为月份序数．则（ ）
A. 月份M为第五个月． B. 月份N的残差的平均值为0.54．
C. 月份M的80百分位数为17.65． D. 预报第12个月月平均用水量为14.52．
11. 设函数，如图是函数及其导函数的部分图像，则（ ）

A.
B.
C. 与y轴交点坐标为
D. 与的所有交点中横坐标绝对值的最小值为
12. 如图，在中，，，，设点在上的射影为，将绕边任意转动，则有（ ）

A. 若为锐角，则在转动过程中存在位置使
B. 若为直角，则在转动过程中存在位置使
C. 若，则在转动过程中存在位置使
D. 若，则转动过程中存在位置使
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 定义一个可导函数在定义域内一点处的弹性为，请写出一个定义在正实数集上且任意一点处的弹性均为的可导函数___________．
14. 双曲线上的点M，位于第一象限，，，的角平分线过点，则___________．
15. 在空间直角坐标系中，一四面体的四个顶点坐标分别为，则其体积为___________．
16. 用由3个小方格组成的形（可旋转）和的小方格不重叠地覆盖的正方形棋盘，覆盖方法的种数为___________．（旋转、对称后重合的视为不同方法）
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤．
17. 已知数列的前项和为，满足对任意的恒成立.数列为等差数列，它的前项和为，满足，.
（1）求与；
（2）若，对任意的恒成立，求.
18. 某学校常年开设某课程，今年该校在某年级开设的该课程共有若干个班，由若干位不同的老师授课，其中某位老师班上的评分标准如下：每位同学该课程的分数（满分分）由两部分组成，一部分为“平时分”，学期内共有次考勤，每次出勤计分，另一部分为“期末分”，是由期末考试的卷面成绩（满分分）按照卷面成绩比期末分的比例折算而来．如，一名同学出勤次，期末考试的卷面成绩为分，则该同学该课程的最终评分为：（分）．
（1）一同学期末考试的卷面成绩为分，假设该同学每次考勤时出勤的概率均为且互相独立，求该同学的最终评分及格（即大于等于分）的概率（结果保留三位小数）；
（2）经过统计，教务处公布今年该课程的该年级平均分约为，标准差约为，且学生成绩近似满足正态分布．据此，该老师估计该年级几乎没有需要重修（即分数未达到分）的学生，请用所学知识解释老师的这一观点；
（3）泊松分布可以用来描述某些小概率事件的发生．若随机变量服从参数为的泊松分布（记作），则，其中为自然对数的底数．根据往年的数据，我们认为该课程每年每个班级需要重修的学生数量近似服从泊松分布，假设，证明每年每个班级出现多于一名需要重修该课程的学生的概率低于百分之一．
参考数据：，，，
若，则，
，．
19. 正锥体具有良好的对称性．
（1）正三棱锥中，证明：；
（2）已知正棱锥．请在下列两个条件中，选择一个命题填到___________上，并证明：
①当，时，存在，使得；
②当，时，不存在，使得．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
20. 在中，的对边为，若已如
（1）证明：；
（2）若，当的面积为时，求的值．
21. 函数．
（1）若与有相同的极小值点，求a的值；
（2）已知数列满足：，；
①证明：存在等比数列和唯一公比q，使得
②设的前n项和为，证明：．
22. 已知椭圆，，为的两个焦点，P为上一动点，射线，上取点M，N，满足．另交于点Q，已知PQ长度的取值范围为.
（1）证明：直线MN过定点，并求出该定点坐标；
（2）若直线MN另交于A，B，求的取值范围．