长郡中学2022-2023学年高一下学期期末考试数学试题及参考答案

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长郡中学2023年上学期高一期末考试
数 学
时量：120分钟 满分：150分
得分_________

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知复数，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点在（　 　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线AD1与BD所成角为（　 　）
A．60° B．45° C．90° D．120°
3．在△ABC中，，则（　 　）
A． B． C． D．
4．a、b为空间中两条不同的直线，、为两个不同的平面，则下列结论正确的是（　 　）
A．若，，则
B．若a、b为异面直线，则过空间任一点M，存在直线c与a、b都垂直
C．若，，则a与b相交
D．若a不垂直于，且，则a不垂直于b
5．一个圆锥的侧面展开的扇形面积是底面圆面积的2倍，若该圆锥的体积为，则该圆锥的母线长为（　 　）
A．3 B． C．6 D．
6．向量，，且，则（　 　）
A． B． C． D．
7．先后两次掷一枚质地均匀的骰子，事件A=“两次掷出的点数之和是6”，事件B=“第一次掷出的点数是奇数”，事件C=“两次掷出的点数相同”，则（　 　）
A．A与B互斥 B．B与C相互独立
C． D．A与C互斥
8．已知点G为三角形ABC的重心，且，当∠C取最大值时，（　 　）
A． B． C． D．

二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．某企业对目前销售的A，B，C，D四种产品进行改造升级，经过改造升级后，企业营收实现翻番，现统计了该企业升级前后四种产品的营收占比，得到如下饼图：下列说法正确的是（　 　）

A．产品升级后，产品A的营收是升级前的4倍
B．产品升级后，产品B的营收是升级前的2倍
C．产品升级后，产品C的营收减少
D．产品升级后，产品B、D营收的总和占总营收的比例不变
10．设，是复数，则下列命题正确的是（　 　）
A．若是纯虚数，则
B．若，则
C．若，则
D．若复数满足，则的最大值为3
11．如图，某校测绘兴趣小组为测量河对岸直塔AB（A为塔顶，B为塔底）的高度，选取与点B在同一水平面内的两点C与D（B，C，D不在同一直线上），测得CD=s．测绘兴趣小组利用测角仪可测得的角有：∠ACB，∠ACD，∠BCD，∠ADB，∠ADC，∠BDC，则根据下列各组中的测量数据可计算出塔AB的高度的是（　 　）

A．s，∠ACB，∠BCD，∠BDC B．s，∠ACB，∠BCD，∠ACD
C．s，∠ACB，∠ACD，∠ADC D．s，∠ACB，∠BCD，∠ADC
12．如图，正方体ABCD-A'B'C'D'的棱长为4，M是侧面ADD'A'上的一个动点（含边界），点P在棱CC'上，且，则下列结论正确的有（　 　）

A．沿正方体的表面从点A到点P的最短距离为
B．保持PM与BD'垂直时，点M的运动轨迹长度为
C．若保持，则点M的运动轨迹长度为
D．平面AD'P被正方体ABCD-A'B'C'D'截得截面为等腰梯形

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．《本草纲目》中记有麦门冬这一种药物，书中所提麦门冬，别名麦冬、寸冬等，临床可用于治疗肺燥干咳、津伤口渴、喉痹咽病、阴虚劳嗽等．一个麦门冬可近似看作底面拼接在一起的两个圆锥，如图所示，则该麦门冬的体积约为________．

14．甲、乙两名考生填报志愿，要求甲、乙只能在A，B，C这3所院校中选择一所填报志愿．假设每位同学选择各个院校是等可能的，则院校A，B至少有一所被选择的概率为________．
15．水平桌面上放置了4个半径为2的小球，4个小球的球心构成正方形，且相邻的两个小球相切．若用一个半球形的容器罩住四个小球，则半球形容器内壁的半径的最小值为________．
16．如图，已知P，Q分别为上∠AOB两边上的点，∠AOB=，PQ=3，过点P，Q作圆弧，R为的中点，且∠PQR=，则线段OR长度的最大值为________．


四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
已知向量，．
（1）若，求的值；
（2）若，求的值．












18．（本小题满分12分）
如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为AA1的中点，F为AE的中点．
（1）求证：CE∥平面BDF；
（2）求三棱锥E-BDF的体积．

















19．（本小题满分12分）
对某校高三年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图．

（1）写出表中M、p及图中a的值（不需过程）；
（2）若该校高三年级学生有240人，试估计该校高三年级学生参加社区服务的次数在区间[10，15）上的人数；
（3）估计该校高三年级学生参加社区服务次数的中位数．（结果精确到0.01）









20．（本小题满分12分）
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求；
（2）若．求△ABC面积．










21．（本小题满分12分）
已知三棱锥A-BCD，点D在平面ABC上的投影为O，O恰好为△ABC的外心．AC=AB=4，BC=2．
（1）证明：BC⊥AD；
（2）E为AD上靠近A的四等分点，若三棱锥A-BCD的体积为1，求二面角E-CO-B的余弦值．



22．（本小题满分12分）
甲、乙、丙、丁4名棋手进行象棋比赛，赛程如下面的框图所示，其中编号为i的方框表示第i场比赛，方框中是进行该场比赛的两名棋手，第i场比赛的胜者称为“胜者i”，负者称为“负者i”，第6场为决赛，获胜的人是冠军．已知甲每场比赛获胜的概率均为，而乙、丙、丁相互之间胜负的可能性相同．

（1）求乙仅参加两场比赛且连负两场的概率；
（2）求甲获得冠军的概率；
（3）求乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率．