贵州省铜仁市2021-2022学年高一下学期期末质量检测数学试题

这是一份贵州省铜仁市2021-2022学年高一下学期期末质量检测数学试题，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
贵州省铜仁市2021-2022学年高一下学期期末质量检测数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．，，则（    ）
A． B． C． D．
2．复数，则复数的虚部是（    ）
A． B．2 C． D．1
3．函数满足，则（    ）
A． B．0 C．2 D．
4．千岛湖是我国一处著名旅游景区，因湖内星罗棋布的一千多个小岛而得名.若已知其中三个小岛满足：，，，则（    ）
A． B． C．或 D．或
5．若，为锐角，则（    ）
A． B． C．2 D．
6．新能源汽车近年在我国发展迅猛，无论是外观还是性能都有了较大进步，下表显示的是两款新能源汽车连续五次的实际续航里程（二者测量条件相同），则下列结论错误的是（    ）

360
350
310
350
380

320
360
330
350
390
A．A款车型续航里程的众数为350
B．款车型续航里程的极差为70
C．两款车型续航里程的平均数相等
D．A款车型比款车型续航里程的方差较大
7．三棱锥的底面是斜边的等腰直角三角形，，则该三棱锥外接球的表面积为（    ）
A． B． C． D．
8．已知向量，有下列四个结论：
①向量与反向；
②向量与垂直；
③向量在向量上的投影向量为；
④向量在向量上的投影向量为.
若以上四个结论中只有一个结论是错误的，则的值为（    ）
A．7 B． C．17 D．

二、多选题
9．下面关于复数的说法正确的是（    ）
A． B．
C．的共轭复数 D．复数的对应点在单位圆上
10．在正方体中，、分别是棱、中点，则下列结论中正确的是（    ）
  
A．
B．与是异面直线
C．为直角三角形
D．与所成角的余弦值
11．（多选题）从一批产品中取出三件产品，设“三件产品全不是次品”，“三件产品全是次品”，“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是（    ）
A．A与B互斥且为对立事件 B．B与C互斥且为对立事件
C．A与C存在有包含关系 D．A与C不是对立事件
12．某导演的纪录片《垃圾围城》真实地反映了城市垃圾污染问题，目前中国668个城市中有超过的城市处于垃圾的包围之中，且城市垃圾中的快递行业产生的包装垃圾正在逐年攀升，有关数据显示，某城市从2016年到2019年产生的包装垃圾量如下表：
年份x
2016
2017
2018
2019
包装垃圾y（万吨）
4
6
9
13. 5
（1）有下列函数模型：①；②；③（参考数据：，），以上函数模型（    ）
A．选择模型①，函数模型解析式，近似反映该城市近几年包装垃圾生产量y（万吨）与年份x的函数关系
B．选择模型②，函数模型解析式，近似反映该城市近几年包装垃圾生产量y（万吨）与年份x的函数关系
C．若不加以控制，任由包装垃圾如此增长下去，从2021年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨
D．若不加以控制，任由包装垃圾如此增长下去，从2022年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨

三、填空题
13．学校共有教师800人，其中老、中、青年教师的比例为，若用分层随机抽样的方法选聘40人参加与高考监场，则青年教师应选聘 人.
14．某红色旅游区招聘导游与讲解员，甲、乙、丙3人应聘，若每一职位必有人应聘，且每人必须应聘一个职位，则仅有甲应聘导游的概率是 .
15．定义在上的奇函数满足，若，则 .
16．与是相互垂直的单位向量，，，则 .

四、解答题
17．（1）求值：；
（2）若，求的值.
18．已知，.
(1)求；
(2)求与夹角的余弦值.
19．已知甲、乙、丙三人独自射击，命中目标的概率分别是、、．设各次射击都相互独立．
(1)若乙对同一目标射击两次，求恰有一次命中目标的概率；
(2)若甲、乙、丙三人对同一目标各射击一次，求目标被命中的概率．
20．在①；②的最小值为；③.这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.在中，内角，，的对边为，，，且______.
(1)求；
(2)若是内角平分线，交于，，，求的面积.
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.
21．2022年世界卫生日的主题是：“我们的地球，我们的健康”.为了更好的了解世界卫生日的知识，某工会组织100名成员进行了知识检测，并记录其得分，将所得数据整理得如图所示的频率分布直方图.
  
(1)求的值；
(2)估计100名工会成员的平均分（用区间中点值代表同一区间数据）；
(3)若将测验成绩超过第90百分位数的成员评为优秀成员，根据图中数据，估计优秀成员的成绩范围.
22．四棱锥中，底面为矩形，，，，.
    
(1)平面与平面的交线为，证明：；
(2)，求二面角的余弦值.

参考答案：
1．B
【分析】根据交集的定义求解可得答案.
【详解】，.
故选：B
2．A
【分析】根据虚数单位的定义以及复数的相关概念运算求解.
【详解】由题意可得：，
所以复数的虚部是.
故选：A.
3．D
【分析】根据题意令，即可得结果.
【详解】因为，令，可得.
故选：D.
4．C
【分析】根据题意利用正弦定理运算求解.
【详解】由正弦定理可得，可得，
又因为，则，即，所以或，
当，则；
当，则；
综上所述：或.
故选：C.
5．A
【分析】根据同角三角关系可得，进而结合诱导公式运算求解.
【详解】因为为锐角，则，
又因为，则，
所以，可得，
所以.
故选：A.
6．D
【分析】根据题意结合统计的相关知识逐项分析判断.
【详解】将两组数据按升序排列可得：，，
可得A款车型续航里程的众数为350，故A正确；
款车型续航里程的极差为，故B正确；
A款车型续航里程的平均数为，
B款车型续航里程的平均数为，
所以两款车型续航里程的平均数相等，故C正确；
A款车型续航里程的方差为，
B款车型续航里程的方差为，
所以，即A款车型比款车型续航里程的方差较小，故D错误；
故选：D.
7．C
【分析】根据球的性质找到球心，再根据勾股定理求出球的半径，最后由球的表面积公式可求出结果.
【详解】因为三棱锥的底面是斜边的等腰直角三角形，
所以的中点是外接圆的圆心，，
又因为，平面，
设该三棱锥外接球的球心为，则平面，则共线，
因为，所以，又，所以，
设，则，
在直角三角形中，由，得，
解得，即该三棱锥外接球的半径为，
所以该三棱锥外接球的表面积为.

故选：C.
8．D
【分析】根据向量的平行、垂直关系以及投影向量运算求解.
【详解】对于①：若向量与反向，则；
对于②：若向量与垂直，则；
对于③：向量在向量上的投影向量为，所以；
对于④：向量在向量上的投影向量为，所以
若以上四个结论中只有一个结论是错误的，则为④错误，
可得，所以，
即，所以可得.
故选：D.
9．CD
【分析】根据复数的四则运算法则、复数的模长公式、共轭复数的定义求解可得答案.
【详解】，故A不正确；
所以，故C正确；
，，，故B不正确；
因为，所以复数的对应点在单位圆上，故D正确.
故选：CD
10．BD
【分析】对于A：可证，进而可得结果；对于B：根据异面直线的判定定理分析判断；对于C：结合余弦定理分析判断；对于D：根据异面直线的夹角的定义结合余弦定理分析运算.
【详解】取的中点，连接，设正方体的棱长为2，
则.
对于选项A：因为、分别是棱、中点，则∥，，
又因为，，则，，
可知为平行四边形，可得，
因为，所以与不平行，故A错误；
对于选项B：因为平面，平面，面平面，
所以与是异面直线，故B正确；
对于选项C：因为平面，平面，所以，
可得，
可知为的最大边，则为最大角，
可得，
所以为锐角，为锐角三角形，故C错误；
对于选项D：因为∥，则与所成角为（或其补角），
可得，
所以与所成角的余弦值，故D正确；
故选：BD.
  
11．BCD
【分析】由互斥事件与对立事件的概念对选项逐一判断
【详解】事件=“三件产品全是正品”，事件B=“三件产品全是次品”
事件C包含“三件产品全是正品”与“三件产品中有两件正品，一件次品”
对于A，事件A与B互斥，但不为对立事件，故A错误，
对于B，事件B与C互斥且为对立事件，故B正确，
对于C，事件A包含于C，故C正确，
对于D，事件A与C不是对立事件，故D正确，
故选：BCD
12．AD
【解析】分别选函数模型: ，，代入数据计算得到近似值，比较即可，根据选择的函数模型，令计算得出结论.
【详解】若选，计算可得对应数据近似为，
若选，计算可得对应数据近似值都大于2012，显然A正确，B错误；
按照选择函数模型，
令，即，
，
，
，
，
即从2022年开始，该城市的包装垃圾将超过40万吨，故C错误D正确.
故选：AD
【点睛】关键点点睛：根据给出的函数模型，利用所给数据比较拟合程度即可选出适合的函数模型，根据所选函数模型，解不等式即可求出结论，考查运算能力，属于中档题.
13．15
【分析】根据比例分层抽样可得答案.
【详解】学校共有教师800人，其中老、中、青年教师的比例为，
所以老、中、青年教师分别有100人，400人，300人，
若用分层随机抽样的方法选聘40人参加与高考监场，
则青年教师应选聘人.
故答案为：15.
14．
【分析】根据题意结合古典概型运算求解.
【详解】根据题意可知：导游与讲解员的应聘情况有：（甲乙，丙），（甲丙，乙），（乙丙，甲），（甲，乙丙），（乙，甲丙），（丙，甲乙），共6个基本事件，
记“仅有甲应聘导游”为事件A，则事件A包含（甲，乙丙），只有1个基本事件，
所以仅有甲应聘导游的概率.
故答案为：.
15．4
【分析】根据题意结合奇函数的定义分析可得，注意到，即可得结果.
【详解】因为，且为奇函数，
则，即，
可得，则，
两式相加得，则，
两式相加得，
令，则，
且为奇函数，则，所以，即.
故答案为：4.
16．/
【分析】根据题意结合数量积的定义以及运算律运算求解.
【详解】因为，
又因为与是相互垂直的单位向量，则，
可得，
由于，则，
即，解得.
故答案为：.
17．（1）（2）0
【分析】（1）根据指数幂运算求解；
（2）先将指数式化为对数式，利用换底公式结合对数的运算求解.
【详解】（1）由题意可得：.
（2）显然均不为0，设，
可得，
所以.
18．(1)
(2)

【分析】（1）根据平面向量的坐标运算和模长公式可求出结果；
（2）根据平面向量夹角的坐标公式可求出结果.
【详解】（1）因为，，
所以，
所以，
所以.
（2）,
.
19．(1)
(2)

【分析】（1）设出事件，利用独立事件概率乘法公式进行求解；（2）先求目标没被命中的概率，进而用对立事件的概率公式进行求解.
【详解】（1）设乙第一次命中目标为事件，第二次命中目标为事件，
乙对同一目标射击两次，恰有一次命中目标为事件，
则，
．
（2）设甲命中目标为事件A，乙命中目标为事件，丙命中目标为事件，
三人对同一目标射击，目标被命中为事件，
可知，三人对同一目标射击，目标不被命中为事件，
有，
由已知，
，
三人对同一目标各射击一次，目标被命中的概率为．
20．(1)
(2)

【分析】（1）若选①，由结合正弦的和差角公式化简，即可得到结果；
若选②，由辅助角公式即可得到，然后代入计算，即可得到结果；
若选③，将“切”化为“弦”，然后结合正弦的和差角公式，即可得到结果；
（2）根据题意，由三角形的面积公式可得，然后由余弦定理即可得到，从而得到结果.
【详解】（1）若选①，由可得，
，
可得，因为，所以，
且，所以.
若选②，，且其最小值为，
所以，即，，又因为，
所以.
若选③，由
可得，
所以，
即，所以，
因为，所以，又因为，所以.
（2）因为是角的平分线，且，
由，
所以，且，由余弦定理可得，
即，即，
所以，故.
21．(1)
(2)分
(3)

【分析】（1）利用频率分布直方图所有小长方形的面积和为1可得的值；
（2）用区间中点值代表同一区间数据，乘以每组的频率可得答案；
（3）测验成绩超过第90百分位数的成员在分到分这一组，由可得答案.
【详解】（1）由可得；
（2），
所以100名工会成员的平均分为分；
（3），
所以测验成绩超过第90百分位数的成员的成绩在这一组中，不妨设为，
则，解得，
所以优秀成员的成绩范围在.
22．(1)证明见详解
(2)

【分析】（1）根据线面平行的性质定理分析证明；
（2）根据题意分析可得二面角的为，结合余弦定理运算求解.
【详解】（1）由题意可得：∥，平面，平面，
则∥平面，
又因为平面，平面平面，
所以.
（2）分别过作的垂线，垂足分别为，
在中，可得，
可知为锐角，则，
可得，
因为，同理可得，
过点作交于点，连接，则二面角的为，
可知：∥，可得，
所以，，
在中，因为，
可得，即，
在中，，
所以二面角的余弦值为.