人教版21.2.3 因式分解法精品练习

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21.2.3 因式分解法（作业）（夯实基础+能力提升）
【夯实基础】
一、单选题
1．（2022·全国·九年级）如果二次三项式x2＋px＋q能分解成（x＋3）（x﹣1）的形式，则方程x2＋px＋q＝0的两个根为（       ）
A．x1＝﹣3，x2＝1 B．x1＝﹣3；x2＝﹣1 C．x1＝3；x2＝﹣1 D．x1＝3；x2＝1
【答案】A
【分析】根据已知分解因式和方程得出x＋3＝0，x−1＝0，求出方程的解即可．
【详解】解：∵二次三项式x2+px+q能分解成（x+3）（x﹣1）的形式，
∴x+3＝0，x﹣1＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1，
即方程x2+px+q＝0的两个根为x1＝﹣3，x2＝1，
故选：A．
【点睛】本题考查了解分解因式法解一元二次方程，能根据题意得出x+3＝0和x﹣1＝0是解此题的关键．
2．（2022·全国·九年级）一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x2−7x+12=0的一根，则此三角形的周长是（       ）
A．12 B．13 C．14 D．12或14
【答案】C
【分析】通过解一元二次方程x2-7x+12=0求得等腰三角形的两个腰长，然后求该等腰三角形的周长．
【详解】解：由一元二次方程x2-7x+12=0，得
（x-3）（x-4）=0，
∴x-3=0或x-4=0，
解得x=3，或x=4；
∴等腰三角形的两腰长是3或4；
①当等腰三角形的腰长是3时，3+3=6，构不成三角形，所以不合题意，舍去；
②当等腰三角形的腰长是4时，0＜6＜8，所以能构成三角形，
所以该等腰三角形的周长=6+4+4=14；
故选：C．
【点睛】本题综合考查了一元二次方程－因式分解法、三角形的三边关系、等腰三角形的性质．解答该题时，采用了“分类讨论”的数学思想．
3．（2022·四川成都·九年级期末）方程的解为（       ）
A． B． C．或 D．或
【答案】D
【分析】先移项，再利用因式分解的方法解方程即可．
【详解】解： ，


解得：
故选D
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握“利用因式分解的方法解一元二次方程”是解本题的关键．
4．（2022·山西·孝义市教育科技局教学研究室三模）一元二次方程的根为（       ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【分析】利用因式分解法解答，即可求解．
【详解】解：

解得：，
故选：D
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的解法——直接开平方法，因式分解法，配方法，公式法是解题的关键．
二、填空题
5．（2022·贵州·贵阳清镇北大培文学校一模）一元二次方程的根是_______．
【答案】，
【分析】根据因式分解法，先将x提出来分解因式得出因式乘积的形式，即可得出答案．
【详解】x2-2x=0，
x(x-2)=0，
∴x1=0，x2=2．
故答案为：x1=0，x2=2．
【点睛】本题主要考查了解二元一次方程，灵活选择方法是解题的关键.解二元一次方程的方法有直接开平方法，公式法，因式分解法．
6．（2022·全国·九年级）一元二次方程的解是 __．
【答案】，
【分析】先移项得到一元二次方程的一般式，然后利用因式分解法解方程．
【详解】解：，
，
或，
∴，．
故答案为：，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程—因式分解法．因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，只有当方程的一边能够分解成几个一次因式相乘，而另一边是0的时候，才能应用因式分解法解一元二次方程．分解因式时，要根据情况灵活运用学过的因式分解的几种方法．
7．（2022·全国·九年级）方程的根是__．
【答案】或
【分析】将方程右边整体移至左边，再将左边因式分解即可得．
【详解】解：移项，得：，
将左边因式分解，得：，
即，
∴或，
解得：或，
故答案为：或．
【点睛】本题主要考查用因式分解法解方程的能力，只有当方程的一边能够分解成两个一次因式，而另一边是0的时候，才能应用因式分解法解一元二次方程．分解因式时，要根据情况灵活运用学过的因式分解的几种方法．
三、解答题
8．（2022·全国·九年级）用分解因式解方程：2y2＋4y＝y＋2
【答案】y1=﹣2，y2
【分析】先提公因式变形，再移项后用因式分解法解方程即可．
【详解】解：将原方程变形为2y（y+2）=y+2
移项，得2y（y+2）-（y+2）=0
因式分解，得（y+2）（2y﹣1）＝0
即y+2＝0或2y﹣1＝0
解得：y1＝﹣2，y2．
【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，正确掌握解方程的方法是解题的关键．
9．（2022·黑龙江齐齐哈尔·三模）解方程：
【答案】
【分析】运用因式分解法解一元二次方程即可．
【详解】解：
去括号得：，
移项合并得：，
分解因式得：，
∴或，
∴，
【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，注意用因式分解法解方程时，含有未知数的式子可能为零，所以在解方程时，不能在两边同时除以含有未知数的式子，以免丢根，正确掌握解一元二次方程的方法是解答本题的关键．
10．（2022·四川凉山·中考真题）解方程：x2－2x－3＝0
【答案】
【分析】利用因式分解法解一元二次方程即可得．
【详解】解：，
，
或，
或，
故方程的解为．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（配方法、因式分解法、公式法、换元法等）是解题关键．
11．（2022·黑龙江齐齐哈尔·二模）解方程：（x﹣1）（x﹣2）＝12
【答案】
【分析】化简方程，利用因式分解法就方程即可．
【详解】解：（x﹣1）（x﹣2）＝12
化简得，



【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，解题关键是熟练运用因式分解法解方程．
12．（2022·全国·九年级）解方程：2x2﹣3x＝0．
【答案】，
【分析】利用因式分解法解方程即可．
【详解】解：2x2﹣3x＝0
所以x（2x﹣3）＝0，
解得：x＝0或2x﹣3＝0，
所以．
【点睛】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
13．（2022·河南许昌·九年级期末）已知关于的一元二次方程．
(1)若方程有两个不相等的实数根，求的取值范围；
(2)当时，求方程的实数根．
【答案】(1)，(2)，
【分析】（1）先化成一元二次方程的一般形式，再根据根的判别式 ，然后解不等式即可；
（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．
(1)原式化成一元二次方程的一般形式：，
∵方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得．
(2)当时，
原方程变为，
即，
解得，．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根；也考查了解一元二次方程，熟练掌握根的判别式并熟练选择合适的方法解方程是解题的关键．
14．（2021·广东·华中师范大学海丰附属学校九年级期中）用适当的方法解方程：
(1)． (2)．
【答案】(1)，(2)
【分析】（1）利用因式分解法解答，即可求解；
（2）利用因式分解法解答，即可求解．
(1)解∶
整理得：
∴
∴或
解得：；
(2)解：
∴
∴或
解得：
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法——直接开平方法，因式分解法，公式法，配方法是解题的关键．
【能力提升】
一、单选题
1．（2022·重庆巴蜀中学一模）对于二次三项式（m为常数），下列结论正确的个数有（       ）
①当时，若，则
②无论x取任何实数，等式都恒成立，则
③若，，则
④满足的整数解共有8个
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【分析】①代入求值后因式分解计算即可；②提取公因式x后根据恒成立找关系即可；
③两个方程相加后因式分解即可解题；④去括号后因式分解判断即可．
【详解】①当时，若，则
∴或者，故①错误；
②等式化简后为
∵无论x取任何实数，等式都恒成立，
∴，即
∴，故②正确；
③若，，则两个方程相加得：，
∴

∴ ，故③错误；
④整理得：

∴
∵整数解
∴，，，
∴，， ，， ，，，，，
∴ 整数解共9对，故④错误；
综上所述，结论正确的有②；
故选：A．
【点睛】本题综合考查因式分解的应用，熟练的配方是解题的关键，题目还考查了因式分解法解一元二次方程．
二、填空题
2．（2022·全国·九年级）如果一个三角形的两条边的和是第三边的两倍，则称这个三角形是“优三角形”，这两条边的比称为“优比”（若这两边不等，则规定优比是较大边与较小边的比）．比如等边三角形就是一个优比为1的优三角形．若△ABC是优三角形，且∠ABC＝120°，BC＝4．则这个三角形的面积是 _____．
【答案】或
【分析】根据题意画出图形，过A作AH⊥CB交CB的延长线于H．分两种情形：若AB＜BC，则AB+AC＝2BC＝8；若AB≥BC，则AC+BC＝2AB，分别利用参数构建方程求解即可．
【详解】解：过点A作AH⊥CB交CB的延长线于H．

①若AB＜BC，则AB+AC＝2BC＝8，
设BH＝x，
在Rt△ABH中，∠H＝90°，∠ABH＝180°﹣120°＝60°，
∴AB＝2x，AH＝BH＝x，
∴AC＝8﹣2x，
在Rt△ACH中，则有（x）2+（x+4）2＝（8﹣2x）2，
解得x＝，
∴AH＝，
∴S△ABC＝BC×AH＝×4×＝；
（2）若AB≥BC，则AC+BC＝2AB，
设BH＝x，则AB＝2x，AH＝x，AC＝4x﹣4，
在Rt△ACH中，则有（x）2+（x+4）2＝（4x﹣4）2，
解得x＝或x＝0（舍去），
∴S△ABC＝BC×AH＝×4×＝，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了“优三角形”以及“优比”的新定义问题，解题时用到了三角形的三边关系、勾股定理解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
三、解答题
3．（2022·全国·九年级）已知关于x的一元二次方程（x﹣1）（x﹣2）＝m+1（m为常数）．
(1)若它的一个实数根是方程2（x﹣1）﹣4＝0的根，则m＝　　，方程的另一个根为 　　；
(2)若它的一个实数根是关于x的方程2（x﹣m）﹣4＝0的根，求m的值；
(3)若它的一个实数根是关于x的方程2（x﹣n）﹣4＝0的根，求m+n的最小值．
【答案】(1)1；x＝0；(2)m的值为1或﹣1；(3)m+n的最小值为﹣2
【分析】对于（1），根据两个方程的根相同，把（1）中的方程解出来的根代入题干的方程中，求m即可；
对于（2），两个方程里面含有两个未知数，用含有m的代数式表示x，再代入求出解；
对于（3），利用题干和（3）中的两个方程消去里面的x，得到m和n的关系式，从而构造关系式，再求最小值．
(1)2（x﹣1）﹣4＝0
解得：x＝3，
将x＝3代入（x﹣1）（x﹣2）＝m+1，得：m＝1，
将m＝1代入（x﹣1）（x﹣2）＝m+1，得：x＝3或x＝0，
∴另一个解为x＝0，
故答案为：1，x＝0；
(2)由2（x﹣m）﹣4＝0得：x＝2+m，
将x＝2+m代入（x﹣1）（x﹣2）＝m+1，得（2+m﹣1）（2+m﹣2）＝m+1，
解得：m＝1或m＝﹣1，
答：m的值为1或﹣1；
(3)由2（x﹣n）﹣4＝0得：x＝2+n，
将x＝2+n代入（x﹣1）（x﹣2）＝m+1，得（2+n﹣1）（2+n﹣2）＝m+1，
整理得：m＝n2+n﹣1，
∴m+n＝n2+2n﹣1＝（n+1）2﹣2≥﹣2，
当n＝﹣1时，m+n有最小值﹣2，
答：m+n的最小值为﹣2．
【点睛】本题考查含参数的一元二次方程，可将m或n视为新的未知数，利用消元思想，将问题转化为学过的一元问题，属于基础题．
4．（2022·全国·九年级）按指定的方法解下列方程：
(1)x2﹣6x﹣7＝0（配方法） (2)2x﹣6＝（x﹣3）2（因式分解法）
(3)3x2﹣4x＋1＝0（公式法） (4)5（x＋1）2＝10（直接开平方法）
【答案】(1)x1＝7，x2＝﹣1，(2)x1＝3，x2＝5
(3)x1＝1，x2，(4)
【解析】(1)x2﹣6x﹣7=0
解：移项得：x2﹣6x=7
配方得：x2﹣6x+9=7+9
（x﹣3）2=16
开方得：x﹣3=±4
解得：x1=7，x2=﹣1；
(2)2x﹣6=（x﹣3）2
解：移项得：（x﹣3）2﹣2（x﹣3）=0
提公因式得：（x﹣3）（x﹣3﹣2）=0
由此得：x﹣3=0，或x﹣5=0
解得：x1=3，x2=5；
（3）3x2﹣4x+1=0
解：
方程有两个不相等的实根，


解得：x1=1，x2=；
(4)5（x+1）2=10
解：（x+1）2=2

解得：．
【点睛】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握直接开平方法、公式法、配方法、因式分解法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．
5．（2022·全国·九年级）解方程：x2﹣|x|﹣2＝0
解：当x≥0时，原方程化为x2﹣x﹣2＝0，
解得：x1＝2，x2＝﹣1（不合题意，舍）．
当x＜0时，原方程化为x2＋x﹣2＝0，
解得：　 　．
综上，原方程的根是　 　．
请参照例题解方程x2﹣|x﹣3|﹣3＝0，则此方程的根是　 　．
【答案】x1＝﹣2，x2＝1（不合题意，舍去）；x1＝2，x2＝﹣2；x1＝2，x2＝﹣3
【分析】①②当x≤0时，去绝对值，将原方程化为: x2＋x﹣2＝0， 然后利用因式分解法解两个一元二次方程，即可解答；
③参照例题分类讨论：当x≥3, 原方程化为x2-x=0，当x