数学九年级上册22.1.1 二次函数精品课件ppt

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1.会用待定系数法求二次函数的解析式.
2.灵活应用三点式、顶点式、交点式求二次函数的解析式.
用待定系数法求函数的解析式
已知一次函数经过点（1，3）和（-2，-12），求这个一次函数的解析式。 解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b,因为一次函数经过点（1，3）和（-2，-12）， 所以
解得 k=3，b=-6
一次函数的解析式为y=3x-6.
【思考】如何用待定系数法求二次函数的解析式呢？
问题 （1）由几个点的坐标可以确定二次函数？这几个点应满足什么条件？
由两点（两点的连线不与坐标轴平行）的坐标，可以确定一次函数的解析式，类似地，由不共线（三点不在同一直线上）的坐标，可以确定二次函数的解析式.
（2）如果一个二次函数的图象经过（−1，10 ），（1，4），（2，7）三点，能求出这个二次函数的解析式吗？如果能，求出这个二次函数的解析式.
所求二次函数解析式为y=2x2−3x+5.
（2）解：设所求二次函数的解析式为y=ax2+bx+c.
由已知，图象经过(−1，10 )，(1，4)，(2，7)三点，得关于a，b，c的三元一次方程组
想一想确定二次函数的这三点应满足什么条件？
任意三点不在同一直线上（其中两点的连线可平行于x轴，但不可以平行于y轴）.
例1 已知一个二次函数的图象过点A(-1,0), B(4,5), C(0,-3). 三点，求这个函数的解析式.
解：设所求抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c.∵抛物线经过点A(-1，0), B(4，5), C(0，-3).∴ 解得a＝1，b＝-2，c＝-3.∴抛物线的解析式为y＝x2-2x-3.
这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法.其步骤是：①设函数表达式为y=ax2+bx+c；②代入后得到一个三元一次方程组；③解方程组得到a，b，c的值；④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式.
用一般式法求二次函数表达式的方法
已知一个二次函数的图象过点A(0,0), B(-1,-1), C(1,9)三点，求这个函数的解析式.
第一步:设出解析式的形式；第二步:代入已知点的坐标；第三步:解方程组。
解：设所求抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c.∵抛物线经过点A(0,0), B(-1,-1), C(1,9).∴ 解得a＝4，b＝5，c＝0.∴抛物线的解析式为y＝4x2+5x.
0=c-1=a-b+c9=a+b+c
已知二次函数y=a(x−1)2+4的图象经过点(−1，0)．求这个二次函数的解析式；
则函数解析式为y=−(x−1)2+4.
解：把（−1，0）代入二次函数解析式 得4a+4=0，
例2 已知抛物线顶点为(1,-4)，且又过点(2,-3)，求其解析式.解：∵抛物线顶点为(1,-4) ∴设其解析式为y=a(x-1)2-4， 又抛物线过点(2,-3)， 则-3=a(2-1)2-4，则a=1. ∴其解析式为y=(x-1)2-4＝x2-2x-3.
用顶点法求二次函数的方法
这种知道抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做顶点法.其步骤是：①设函数表达式是y=a(x−h)2+k；②先代入顶点坐标，得到关于a的一元一次方程；③将另一点的坐标代入原方程求出a值；④a用数值换掉，写出函数表达式.
3. 已知一个二次函数有最大值4．且x＞5时，y随x的增大而减小，当x＜5时，y随x的增大而增大，且该函数图象经过点(2，1)，求该函数的解析式．
解：由题意得，二次函数的顶点坐标为（5，4），
设关系式为y=a(x−5)2+4，把(2，1)代入得，1=9a+4，
解：∵(−3，0)、(−1，0)是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点.所以可设这个二次函数的表达式是y=a(x−x1)(x−x2).其中x1、x2为交点的横坐标.因此得
y=a(x+3)(x+1).
再把点（0，-3）代入上式得
a(0+3)(0+1)=−3，
∴所求的二次函数的表达式是y=-(x+3)(x+1),即y=−x2−4x−3.
问题 选取(−3，0)，(−1，0)，(0，−3)，试求出这个二次函数的表达式.
用交点法求二次函数表达式的方法
这种知道抛物线与x轴的交点，求表达式的方法叫做交点法.其步骤是：①设函数表达式是y=a(x−x1)(x−x2)；②先把两交点的横坐标x1， x2代入到表达式中，得到关于a的一元一次方程；③将方程的解代入原方程求出a值；④a用数值换掉，写出函数表达式.
例3 分别求出满足下列条件的二次函数的解析式．（1）图象经过点A(1，0)，B(0，−3)，对称轴是直线x=2；
解：∵图象经过点A(1，0)，对称轴是直线x=2，
∴图象经过另一点(3，0).
∴设该二次函数的解析式为y=a(x−1)(x−3).
将点(0，−3)代入，得
−3=a·(−1)(−3)
∴该二次函数的解析式为y=−(x−1)(x−3)=−x2+4x−3.
（2）图象顶点坐标是(−2，3)，且过点(1，−3)；
解：∵图象的顶点为(−2，3)，且经过点(1，−3)，
设抛物线的解析式为y=a(x+2)2+3，
把(1，−3)代入，得a(1+2)2+3=−3，
（3）如图，图象经过A，B，C三点．
解：根据图象可知抛物线y=ax2+bx+c经过A(−1，0)，B(0，−3)，C(4，5)三点，
∴抛物线的解析式为y=x2−2x−3.
已知抛物线与x轴交于A（－1，0），B（1,0）并经过点M（0,1），求抛物线的解析式.
因此所求的抛物线解析式为
解: ∵图象与x轴交于A(-1,0)，B(1,0) ∴设函数解析式为y＝a(x+1)(x-1) ∵图象过点M(0,1) ∴1=a(0+1)(0-1)，解得a=-1. ∴二次函数解析式为y=-1(x+1)(x-1)
1．已知二次函数y＝ax2＋bx，阅读下面的表格信息，由此可知y与x的函数表达式是________．
2.一抛物线和抛物线y＝－2x2的形状相同，开口方向也相同，顶点坐标是(－1，3)，则该抛物线的表达式为(　　)A．y＝－2(x－1)2＋3 B．y＝－2(x＋1)2＋3C．y＝－(2x＋1)2＋3 D．y＝－(2x－1)2＋3
4．若二次函数y＝x2＋bx＋5，配方后为y＝(x－3)2＋k，则b与k的值分别为(　　)A．－6，－4 B．－6，4 C．6，4 D．6，－4
*6.二次函数的部分图象如图所示，对称轴是直线x＝－1，则这个二次函数的表达式为(　　)A．y＝－x2＋2x＋3B．y＝x2＋2x＋3C．y＝－x2＋2x－3D．y＝－x2－2x＋3
7．小王利用计算机设计了一个计算程序，输入和输出的数据如下表：若输入的数是x时，输出的数是y，y是x的二次函数，则y与x的表达式为____________．
1.已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5），求该函数的关系式.
解：设抛物线顶点式y=a（x+1）2+4将B（2，﹣5）代入得：a=﹣1∴该函数的解析式为：y=﹣（x+1）2+4 y=﹣x2﹣2x+3
2．【2020·宁波】如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋4x－3图象的顶点是A，与x轴交于B、C两点，与y轴交于点D.点B的坐标是(1，0)．
(1)求A、C两点的坐标，并根据图象直接写出当y＞0时x的取值范围；
解：把B(1，0)的坐标代入y＝ax2＋4x－3，得0＝a＋4－3，解得a＝－1，∴y＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1，∴A(2，1)，∵对称轴为直线x＝2，点B、C关于直线x＝2对称，∴C(3，0)，∴当y＞0时，1＜x＜3.
(2)平移该二次函数的图象，使点D恰好落在点A的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．
解：易知D(0，－3)，∴点D平移到A，抛物线向右平移2个单位长度，向上平移4个单位长度，可得抛物线的表达式为y＝－(x－4)2＋5.
3．【菏泽中考】如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋2过B(－2，6)，C(2，2)两点．
(1)试求抛物线的函数表达式；
(2)记抛物线的顶点为D，求△BCD的面积；
如图，由B，C两点坐标易得直线BC的函数表达式为y＝－x＋4，作抛物线的对称轴，交BC于点H，则点H的坐标为(1，3)．
②已知顶点坐标或对称轴、最值
③已知抛物线与x轴的两个交点
用一般式法：y=ax2+bx+c
用顶点法：y=a(x−h)2+k
用交点法：y=a(x−x1)(x−x2) (x1，x2为交点的横坐标)
待定系数法求二次函数解析式