浙江省浙大附中丁兰校区2022-2023学年高一下学期数学期中试卷

这是一份浙江省浙大附中丁兰校区2022-2023学年高一下学期数学期中试卷，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

浙江省浙大附中丁兰校区2022-2023学年高一下学期数学期中试卷
一、单选题(共8题；共40分)
1．（5分）若集合A={1，2，3}，B={2，3，4}，则A∩B=（　　）
A．{1，2，3} B．{1，2，3，4}
C．{2，3，4} D．{2，3}
2．（5分）(x−2)(x+2)>0的一个充分不必要条件是（　　）
A．x≤0 B．x≥0
C．x≥3 D．x>2或x0可得x2，
因为{x|x≥3}{x|x2}，
故只有C选项中的条件才是“(x−2)(x+2)>0”的充分不必要条件.
故答案为：C.

【分析】 利用充分条件必要条件与集合的关系求解，可得答案.
3．【答案】A
【知识点】向量的三角形法则
【解析】【解答】在△ABC中，点D满足BC=2CD，
则AD=AC+CD=AC+12BC=AC+12(AC−AB)=32AC−12AB.
故答案为：A

【分析】根据向量加法、减法的三角形法则，可求出答案.
4．【答案】B
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】设扇形所在圆的半径为r，则扇形弧长l=20−2r，01时，恒有f(x)>0，
由f(x)=t有三个不同的解x1，x2，x3，且x10，
解得λ>2，由B选项知，当λ≠−12时，a与b不共线，因此λ>2，C不符合题意；
对于D，当λ=−1时，a⋅b=−3，而|b|=(−2)2+12=5，
因此a在b上的投影向量为a⋅b|b|⋅b|b|=−35b，D符合题意.
故答案为：BD

【分析】由平面向量数量积的运算，结合平面向量的模的运算以及投影向量的运算，逐项进行判断，可得答案.
10．【答案】A,B
【知识点】正弦函数的单调性；正弦定理；余弦定理
【解析】【解答】对于A选项，因为a2+b2b，B对；
对于C选项，因为acosA=bcosB，即a(b2+c2−a2)2bc=b(a2+c2−b2)2ac，
整理可得(a2−b2)(a2+b2−c2)=0，所以，a=b或a2+b2=c2，
故△ABC为等腰三角形或直角三角形，C不符合题意；
对于D选项，若△ABC为锐角三角形，则A、B均为锐角，
正弦函数y=sinx在(0，π2)上单调递增，但A、B的大小关系不确定，故sinA、sinB大小关系不确定，D不符合题意.
故答案为：AB.

【分析】 利用余弦定理可判断A；利用正弦定理可判断B；利用余弦定理判断△ABC的形状，可判断C；利用正弦函数的单调性可判断D.
11．【答案】B,C
【知识点】向量的线性运算性质及几何意义；平面向量数量积的运算；向量的投影
【解析】【解答】对于A选项，由平面向量数量积的定义可得AE⋅AF=|AE|⋅|AF|cos60∘=2×3×12=3，A不符合题意；
对于B选项，AF在AE上的投影向量|AF|cos60∘⋅AE|AE|=3×12×12AE=34AE，B对；
对于C选项，因为BE=2EC，即AE−AB=2AC−2AE，可得3AE=AB+2AC，①
又因为CF=FD，即AF−AC=AD−AF，
可得2AF=AC+AD=AC+(AC−AB)=2AC−AB，②
又①②可得4AC=3AE+2AF，故AC=34AE+12AF，C对；
对于D选项，由4AC=3AE+2AF可得16|AC|2=(3AE+2AF)2=9AE2+4AF2+12AE⋅AF
=9×22+4×32+12×3=108，故|AC|=332，D不符合题意.
故答案为：BC.

【分析】利用平面向量数量积的定义可判断A；利用投影向量的定义可判断B；利用平面向量的线性运算可判断C；利用平面向量数量积的运算性质可判断D.
12．【答案】B,D
【知识点】基本不等式；余弦定理
【解析】【解答】在△ABC中，∠ABC=π3，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=3，
由S△ABD+S△CBD=S△ABC，得12c⋅BDsinπ6+12a⋅BDsinπ6=12acsinπ3，即32c+32a=32ac，
整理得a+c=ac，即1a+1c=1，a>0，c>0，
对于A，ac=a+c≥2ac，于是ac≥4，当且仅当a=c=2时取等号，A不符合题意；
对于B，a+2c=(a+2c)(1a+1c)=3+2ca+ac≥3+22ca⋅ac=3+22，
当且仅当2ca=ac，即a=2c=2+1时取等号，B符合题意；
对于C，由余弦定理得：b=a2+c2−2accosπ3=a2+c2−ac≥2ac−ac=ac≥2，
当且仅当a=c=2时取等号，C不符合题意；
对于D，1a2+1c2=(1a+1c)2−2ac=1−2ac，由A知，0