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2023年广东省茂名市高州一中附属实验中学中考数学二模试卷（含解析）
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这是一份2023年广东省茂名市高州一中附属实验中学中考数学二模试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年广东省茂名市高州一中附属实验中学中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. |2|的相反数为( )
A. −2 B. 2 C. 12 D. −12
2. 用0.0000102科学记数法表示，结果是( )
A. 1.02×10−4 B. 1.02×10−5 C. 1.02×10−6 D. 10.2×10−6
3. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=6，则AB的长是( )
A. 8
B. 1
C. 12
D. 4
4. 一个暗箱中放有a个除颜色外其他完全相同的球，这a个球中只有2个红球，每次将球搅拌均匀后，任意摸出1个球记下颜色，再放回暗箱，通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在20%，那么可以估算a的值是( )
A. 15 B. 10 C. 4 D. 3
5. 下列计算正确的是( )
A. a2+a3=2a5 B. a2⋅a3=a5 C. a2÷a2=0 D. (2ab2)3=6a3b6
6. 点P在一次函数y=3x+4的图象上，则点P不可能在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
7. 如图，△ABC≌△DEF，AC//DF，则∠C的对应角为( )
A. ∠F
B. ∠AGE
C. ∠AEF
D. ∠D
8. 如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
9. 如图，有一块直角边AB=4cm，BC=3cm的Rt△ABC的铁片，现要把它加工成一个正方形(加工中的损耗忽略不计)，则正方形的边长为( )
A. 67 B. 3037 C. 127 D. 6037
10. 如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，对称轴为直线x=1，图象经过(3,0)，下列结论中，正确的一项是( )
A. abc<0
B. 2a+b<0
C. a−b+c<0
D. 4ac−b2<0
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 函数y= x3−x中自变量x的取值范围是______ ．
12. 不等式x+12<3−x−16的解集是______ ．
13. 若 x−9+(y−4)2=0，则x+y+(4x+2y)2的值为______．
14. 如图，以半圆O的半径OA为直径作一个半圆，点C为小半圆上一点，射线AC交半圆O于点D，已知AC的长为3，则AD的长为______ ．
15. 如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=12，P是矩形ABCD内一点，沿PA、PB、PC、PD把这个矩形剪开，然后把两个阴影三角形拼成一个四边形，则这个四边形的面积数值为a；这个四边形周长的最小值为b，则a+b= ______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题8.0分)
先化简，再求值：x−3x2−4÷x−3x2+4x+4−(1x−2+1)，其中x=|− 2|+2．
17. (本小题8.0分)
如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E．
(1)作CF平分∠BCD交AD于点F(用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法)；
(2)在(1)的条件下，求证：△ABE≌△CDF．
18. (本小题8.0分)
2022年3月23日“天宫课堂”第二课在中国空间站正式开讲，“太空教师”翟志刚、王亚平、叶光富再次给大家带来一堂精彩的太空科普课．某校组织全校学生同步观看，直播结束后，教务处随机抽取了n名学生，将他们最喜欢的太空实验分成四组，A组：太空“冰雪”实验；B组：液桥演示实验；C组：水油分离实验；D组：太空抛物实验，并得到如下不完整的统计图表．请利用统计图表提供的信息回答下列问题：
学生最喜欢的太空实验人数统计表
分组
A组
B组
C组
D组
人数
a
15
20
b
(1)n=______，a=______，b=______；
(2)补全条形统计图；
(3)若全校同步观看直播的学生共有800人，请估计该校最喜欢太空抛物实验的人数．
19. (本小题9.0分)
一艘渔船从位于A海岛北偏东60°方向，距A海岛60海里的B处出发，以每小时30海里的速度沿正南方向航行．已知在A海岛周围50海里水域内有暗礁．(参考数据： 3≈1.73， 5≈2.24， 7≈2.65)
(1)这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由．
(2)渔船航行3小时后到达C处，求A，C之间的距离．
20. (本小题9.0分)
如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b与反比例函数y=−6x的图象交于A(−1,m)，B(n,−3)两点，一次函数y=kx+b的图象与y轴交于点C．
(1)求一次函数的解析式；
(2)点P是x轴上一点，且△BOP的面积等于△AOB面积的2倍，求点P的坐标．
(3)根据函数的图象，直接写出不等式kx+b≤−6x的解集；
21. (本小题9.0分)
甘蔗富含大量铁、钙、锌等人体必需的微量元素，素有“补血果”的美称，是冬季热销的水果之一，为此，某水果商家12月份第一次用600元购进云南甘蔗若干千克，销售完后，他第二次又用600元购进该甘蔗，但这次每千克的进价比第一次的进价提高了20%，所购进甘蔗的数量比第一次少了25千克．
(1)求该商家第一次购买云南甘蔗的进价是每千克多少元？
(2)假设商家两次购进的云南甘蔗按同一价格销售，要使销售后获利不低于1000元，则每千克的售价至少为多少元？
22. (本小题12.0分)
如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，OD⊥OC，连接AD，∠ADO=∠BOC，AC与OD相交于点E．
(1)求证：AD是⊙O的切线；
(2)若tan∠OAC=12，AD=32，求⊙O的半径．
23. (本小题12.0分)
如图，抛物线经过A(4,0)，B(1,0)，C(0,−2)三点．
(1)求出抛物线的解析式；
(2)P是抛物线在第一象限上的一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)若抛物线上有一点D(点D位于直线AC的上方且不与点B重合)使得S△DCA=S△ABC，直接写出点D的坐标．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵|2|=2，
∴2的相反数是−2．
故选：A．
相反数的意义：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．
绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．
本题考查了相反数的意义及绝对值的性质：学生易把相反数的意义与倒数的意义混淆．
2.【答案】B
【解析】解：0.0000102=1.02×10−5．
故选：B．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3.【答案】C
【解析】解：在Rt△ABC中，
∵∠C=90°，∠B=30°，AC=6，
∴AB的长是12．
故选：C．
根据含30度角的直角三角形的性质即可求解．
本题考查了含30度角的直角三角形的性质，掌握含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：根据题意得：
2÷20%=10(个)，
答：可以估算a的值是10；
故选：B．
因为除了颜色其他完全相同的球，在摸的时候出现的机会是均等的，通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的可能性稳定在20%，可知红球占总球数大约就是20%，问题就转化成了一个数的20%是2，求这个数，用除法计算即可．
此题主要考查了利用频率估计概率，其中解题时首先通过实验得到事件的频率，然后利用频率估计概率即可解决问题．
5.【答案】B
【解析】解：A、a8与a3不是同类项，故不能合并，故A不符合题意．
B、原式=a5，故B符合题意．
C、原式=1，故C不符合题意．
D、原式=8a3b6，故D不符合题意．
故选：B．
根据整式的乘除运算法则即可求出答案．
本题考查整式的乘除运算，解题的关键是熟练运用整式的乘除运算法则，本题属于基础题型．
6.【答案】D
【解析】解：∵k=3>0，b=4>0，
∴一次函数y=3x+4的图象经过第一、二、三象限，
又∵点P在一次函数y=3x+4的图象上，
∴点P不可能在第四象限．
故选：D．
利用一次函数图象与系数的关系可得出一次函数y=3x+4的图象经过第一、二、三象限，结合点P在一次函数y=3x+4的图象上可得出点P不可能在第四象限．
本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“k>0，b>0⇔y=kx+b的图象在一、二、三象限”是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：∵△ABC≌△DEF，
∴∠C=∠F，
∴∠C的对应角是∠F，
故选：A．
根据△ABC≌△DEF可得：∠B的对应角为∠DEF，∠BAC的对应角为∠D，∠C的对应角为∠F．
由全等的性质得出相等的边、角，根据平行线得到一对对应角相等，从而得到对应关系，找准对应关系式正确解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：(1+1)×1÷2×2
=2×1÷2×2
=2．
故该几何体的体积为2．
故选：B．
由三个视图可知：该几何体为三棱柱，底面是底2高1的三角形，三棱柱的高为2，由此计算体积即可求解．
此题考查由三视图判断几何体，掌握几何体的特征，掌握计算公式是解决问题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：如图，Rt△ABC中，AB=4cm，BC=3cm，
可知AC=5cm，
过点B作BP⊥AC，垂足为P，BP交DE于Q．
∵S△ABC=12⋅AB⋅BC=12⋅AC⋅BP，
∴BP=AB⋅BCAC=3×45=125．
∵DE//AC，
∴∠BDE=∠A，∠BED=∠C，
∴△BDE∽△BAC，
∴DEAC=BQBP．
设DE=x，则有：x5=125−x125，
解得x=6037，
故选：D．
Rt△ABC中，求出AC，过点B作BP⊥AC，垂足为P，BP交DE于Q，三角形的面积公式求出BP的长度，由相似三角形的判定定理得出△BDE∽△BAC，设边长DE=x，根据相似三角形的对应边成比例求出x的长度可得．
本题主要考查把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程即可求出边长，熟练掌握对应高的比等于相似比是关键．
10.【答案】D
【解析】解：A、根据图示知，抛物线开口方向向上，则a>0．
抛物线的对称轴x=−b2a=1>0，则b<0．
抛物线与y轴交与负半轴，则c<0，
所以abc>0．
故A选项错误；
B、∵x=−b2a=1，
∴b=−2a，
∴2a+b=0．
故B选项错误；
C、∵对称轴为直线x=1，图象经过(3,0)，
∴该抛物线与x轴的另一交点的坐标是(−1,0)，
∴当x=−1时，y=0，即a−b+c=0．
故C选项错误；
D、根据图示知，该抛物线与x轴有两个不同的交点，则△=b2−4ac>0，则4ac−b2<0．
故D选项正确；
故选：D．
由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．
11.【答案】x≥0且x≠3
【解析】解：由二次根式的性质得：x≥0，
由分式的分母不能为零的：x≠3，
∴x≥0且x≠3．
故答案为：x≥0且x≠3．
求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，分式有意义的条件是：分母不等于0．
本题主要考查分式有意义的条件，当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0．
12.【答案】x<4
【解析】解：去分母得：3(x+1)<18−(x−1)，
去括号得：3x+3<18−x+1，
移项得：3x+x<18+1−3，
合并同类项得：4x<16，
解得：x<4．
故答案为：x<4．
不等式去分母，去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解集．
此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．
13.【答案】1949
【解析】解：根据题意得：x−9=0，y−4=0，
解得：x=9，y=4，
则x+y+(4x+2y)2=9+4+(4×9+2×4)2=9+4+1936=1949．
故答案为：1949．
根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，代入所求代数式计算即可．
本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
14.【答案】6
【解析】解：如图，连接OC，OD，O′C，
∵OA为⊙O′的直径，
∴∠ACO=90°，
∵OA=OD，
∴AC=CD，
∵O′A=O′O，
∴O′C是△AOD的中位线，
∴O′C//OD，
∴∠AOD=∠AO′C，
∵AC的长为∠AO′Cπ⋅AO′180=3，
∴AD的长为∠AODπ⋅AO180=2∠AODπ⋅AO′180=6．
故答案为：6．
连接OC，OD，O′C，根据OA为⊙O′的直径，得∠ACO=90°，可得O′C是△AOD的中位线，所以O′C//OD，所以∠AOD=∠AO′C，再根据弧长公式计算即可．
本题综合考查了圆周角定理和弧长的计算，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形解决问题，属于中考压轴题．
15.【答案】56
【解析】解：如解图，过点P作PE⊥AB于点E，延长EP交CD于点F，
∴∠ABC=∠BCD=90°，CD=AB=5．
∴四边形EBCF是矩形．
∴EF=BC．
又∵BC=12，
∴S阴影=S△PAB+S△PCD=12AB⋅PE+12CD⋅PF=12AB⋅EF=12×5×12=30；
当点P在对角线交点处时，周长有最小值为26．
a+b=56．
过P作PE⊥AB于E，反向延长FP交CD于F，由矩形的性质得到AB=CD，AB//CD，根据矩形的面积公式得到这个四边形的面积=12AB⋅BC=12×5×12=30，当点P是矩形ABCD两对角线的交点时，这个四边形周长的值最小，根据勾股定理得AC=BD=13，于是得到结论．
本题考查了图形剪拼，矩形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
16.【答案】解：x−3x2−4÷x−3x2+4x+4−(1x−2+1)
=x−3(x+2)(x−2)⋅(x+2)2x−3−(1x−2+x−2x−2)
=x+2x−2−x−1x−2
=3x−2，
当x=|− 2|+2时，原式=3|− 2|+2−2=3 22．
【解析】根据分式的运算法则“除以一个数等于乘以它的倒数”把除法改写成乘法；利用平方差公式和完全平方公式将分式的分子分母分别因式分解；约分化简后，求x的值；去掉绝对值符号时注意正负，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，最后将x的值代入原式．
本题考查了分式的混合运算，熟练地掌握分式的混合运算法则和用公式法进行因式分解是解题的关键．注意最后求值的结果要分母有理化．
17.【答案】解：(1)如图所示，CF即为所求；
(2)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠B=∠D，∠BAD=∠BCD，
∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，
∴∠BAE=∠DCF，
在△ABE和△CDF中
∠B=∠DAB=CD∠BAE=∠DCF,
∴△ABE≌△CDF(ASA)．
【解析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的角平分线的画法等知识，难度不大．
(1)以点C为圆心，任意长为半径画弧，交BC、CD于两点，分别以这两点为圆心，大于这两点的距离为半径画弧，两弧交于一点，连接点C与交点，延长并交AD于点F；
(2)根据ASA即可证明：△ABE≌△CDF．
18.【答案】50 5 10
【解析】解：(1)n=15÷30%=50，a=50×10%=5，b=50−(5+15+20)=10，
故答案为：50、5、10；
(2)补全图形如下：
(3)800×1050=160(人)，
答：估计该校最喜欢太空抛物实验的有160人．
(1)由B组人数及其所占百分比可得总人数n，总人数乘以A对应百分比可得a的值，根据四组人数之和等于总人数可得b的值；
(2)根据所求结果即可补全图形；
(3)总人数乘以样本中A组对应百分比可得答案．
本题考查扇形统计图、条形统计图的意义和制作方法，从统计图中获取数量和数量关系是正确计算的前提．
19.【答案】解：(1)这艘渔船在航行过程中没有触礁的危险，理由如下：
作AD⊥BC于D，如图：
则∠ADB=∠ADC=90°，
由题意得：AB=60，∠BAD=90°−60°=30°，
∴BD=12AB=30，
∴AD= AB2−BD2=30 3≈51.9>50，
∴这艘渔船在航行过程中没有触礁的危险；
(2)由(1)得：BD=30，AD=30 3，
∵BC=3×30=90，
∴DC=BC−BD=90−30=60，
在Rt△ADC中，AC= AD2+DC2= (30 3)2+602=30 7≈79.5(海里)；
答：A，C之间的距离约为79.5海里．
【解析】(1)作AD⊥BC于D，由题意得AB=60，∠BAD=90°−60°=30°，则BD=12AB=30，根据勾股定理求出AD=30 3≈51.9>50，即可得出结论；
(2)由(1)得BD=30，AD=30 3，求出DC=BC−BD=90−30=60，由勾股定理求出AC即可．
本题考查的是勾股定理的应用、方向角的概念、直角三角形的性质，正确作出辅助线是解答此题的关键．
20.【答案】解：(1)由题意，将点A(−1,m)，B(n,−3)代入反比例函数解析式，
∴−1×m=−6，−3n=−6．
∴解得m=6，n=2．
∴A(−1,6)，B(2,−3)．
把A、B的坐标代入y=kx+b得−k+b=62k+b=−3，解得k=−3b=3，
∴一次函数的解析式为y=−3x+3；
(2)连接OA，OB，由题意C(0,3)，
S△AOB=S△AOC+S△BOC=12×3×1+12×3×2=92，
设P(m,0)，
由题意12⋅|m|⋅3=92×2，解得m=±6，
∴P(6,0)或(−6,0)．
(3)观察图象可以发现，不等式kx+b≤−6x的解集为：−1≤x<0或x≥2．
【解析】(1)依据题意，利用待定系数法求出A，B的坐标即可解决问题；
(2)依据题意，根据S△AOB=S△AOC+S△BOC，求出△OAB的面积，设P(m,0)，构建方程即可解决问题；
(3)观察图象写出一次函数的图象不在反比例函数的图象上方的自变量的取值范围即可解决问题．
本题主要考查了待定系数法求函数的解析式，根据函数的解析式求点的坐标，根据三角形的面积求点的坐标，注意数形结合思想的应用．
21.【答案】解：(1)设该商家第一次购买云南甘蔗的进价是每千克x元，
根据题意可知：600x+0.2x=600x−25，
x=4，
经检验，x=4是原方程的解，
答：该商家第一次购买云南甘蔗的进价是每千克4元；
(2)由(1)得：第一次进价是每千克4元，第二次进价是每千克4.8元，
设每千克的售价为y元，
第一销售了6004=150千克，第二次销售了125千克，
根据题意可知：150(y−4)+125(y−4.8)≥1000，
解得：y≥8，
答：每千克的售价至少为8元．
【解析】本题考查分式方程的应用，解题的关键是正确找出题中的等量关系，本题属于基础题型．
(1)设该商家第一次购买云南甘蔗的进价是每千克x元，根据题意列出方程即可求出答案；
(2)设每千克的售价为y元，根据题意列出不等式即可求出答案．
22.【答案】(1)证明：∵OD⊥OC，
∴∠COD=90°，
∴∠BOC+∠AOD=180°−90°=90°，
又∵∠ADO=∠BOC，
∴∠ADO+∠AOD=90°，
∴∠OAD=180°−90°=90°，
即OA⊥AD，
∵OA是半径，
∴AD是⊙O的切线；
(2)解：∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴tan∠OAC=12=tan∠OCA=OEOC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°=∠OAD，即∠OCB+∠OCA=90°=∠OAC+∠DAE，
∴∠DAE=∠OCB，
又∵∠ADO=∠BOC，
∴∠DEA=∠B，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠DAE=∠DEA，
∴AD=DE=32，
设半径为r，则OE=12r，OD=12r+32，
在Rt△AOD中，由勾股定理得，
AD2+OA2=OD2，
即(32)2+r2=(12r+32)2，
解得r=2或r=0(舍去)，
即半径为2．
【解析】(1)根据垂直、平角的定义可得∠D+∠AOD=90°，进而得到AD⊥OA即可；
(2)根据圆周角定理、三角形的内角和定理以及等腰三角形的判定和性质，可得到AD=DE，再根据锐角三角函数可得OE=12OC，在Rt△AOD中由勾股定理可求半径．
本题考查圆周角定理，切线的判定和性质，直角三角形的边角关系以及等腰三角形，掌握切线的判定方法，直角三角形的边角关系是解决问题的前提．
23.【答案】解：(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
将A(4,0)，B(1,0)，C(0,−2)代入y=ax2+bx+c，
∴16a+4b+c=0a+b+c=0c=−2，
解得a=−12b=52c=−2，
∴y=−12x2+52x−2；
(2)存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似，理由如下：
设P(t,−12t2+52t−2)，则M(t,0)，1
∵A(4,0)，
∴AM=4−t，
∴tan∠MAP=−12t2+52t−24−t，
∵C(0,−2)，
∴OC=2，OA=4，
∴tan∠OAC=12，
①当∠PAM=∠OAC时，12=−12t2+52t−24−t，
解得t=2或t=4(舍)，
∴P(2,1)；
②当∠PAM=∠OCA时，−12t2+52t−24−t=2，
解得t=4(舍)或t=5(舍)，
∴此时P不存在；
综上所述：P点坐标为(2,1)；
(3)设直线AC的解析式为y=kx+b，
∴4k+b=0b=−2，
∴k=12b=−2，
∴直线AC的解析式为y=12x−2，
过点B作直线AC的平行线y=12x+m，
∴12+m=0，
∴m=−12，
∴y=12x−12，
联立方程组y=12x−12y=−12x2+52x−2，
解得x=1y=0(舍)或x=3y=1，
∴D(3,1)．
【解析】(1)用待定系数法求函数解析式即可；
(2)设P(t,−12t2+52t−2)，则M(t,0)，1
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的性质，平行线的性质是解题的关键．
2023年广东省茂名市高州一中附属实验中学中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. |2|的相反数为( )
A. −2 B. 2 C. 12 D. −12
2. 用0.0000102科学记数法表示，结果是( )
A. 1.02×10−4 B. 1.02×10−5 C. 1.02×10−6 D. 10.2×10−6
3. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=6，则AB的长是( )
A. 8
B. 1
C. 12
D. 4
4. 一个暗箱中放有a个除颜色外其他完全相同的球，这a个球中只有2个红球，每次将球搅拌均匀后，任意摸出1个球记下颜色，再放回暗箱，通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在20%，那么可以估算a的值是( )
A. 15 B. 10 C. 4 D. 3
5. 下列计算正确的是( )
A. a2+a3=2a5 B. a2⋅a3=a5 C. a2÷a2=0 D. (2ab2)3=6a3b6
6. 点P在一次函数y=3x+4的图象上，则点P不可能在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
7. 如图，△ABC≌△DEF，AC//DF，则∠C的对应角为( )
A. ∠F
B. ∠AGE
C. ∠AEF
D. ∠D
8. 如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
9. 如图，有一块直角边AB=4cm，BC=3cm的Rt△ABC的铁片，现要把它加工成一个正方形(加工中的损耗忽略不计)，则正方形的边长为( )
A. 67 B. 3037 C. 127 D. 6037
10. 如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，对称轴为直线x=1，图象经过(3,0)，下列结论中，正确的一项是( )
A. abc<0
B. 2a+b<0
C. a−b+c<0
D. 4ac−b2<0
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 函数y= x3−x中自变量x的取值范围是______ ．
12. 不等式x+12<3−x−16的解集是______ ．
13. 若 x−9+(y−4)2=0，则x+y+(4x+2y)2的值为______．
14. 如图，以半圆O的半径OA为直径作一个半圆，点C为小半圆上一点，射线AC交半圆O于点D，已知AC的长为3，则AD的长为______ ．
15. 如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=12，P是矩形ABCD内一点，沿PA、PB、PC、PD把这个矩形剪开，然后把两个阴影三角形拼成一个四边形，则这个四边形的面积数值为a；这个四边形周长的最小值为b，则a+b= ______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题8.0分)
先化简，再求值：x−3x2−4÷x−3x2+4x+4−(1x−2+1)，其中x=|− 2|+2．
17. (本小题8.0分)
如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E．
(1)作CF平分∠BCD交AD于点F(用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法)；
(2)在(1)的条件下，求证：△ABE≌△CDF．
18. (本小题8.0分)
2022年3月23日“天宫课堂”第二课在中国空间站正式开讲，“太空教师”翟志刚、王亚平、叶光富再次给大家带来一堂精彩的太空科普课．某校组织全校学生同步观看，直播结束后，教务处随机抽取了n名学生，将他们最喜欢的太空实验分成四组，A组：太空“冰雪”实验；B组：液桥演示实验；C组：水油分离实验；D组：太空抛物实验，并得到如下不完整的统计图表．请利用统计图表提供的信息回答下列问题：
学生最喜欢的太空实验人数统计表
分组
A组
B组
C组
D组
人数
a
15
20
b
(1)n=______，a=______，b=______；
(2)补全条形统计图；
(3)若全校同步观看直播的学生共有800人，请估计该校最喜欢太空抛物实验的人数．
19. (本小题9.0分)
一艘渔船从位于A海岛北偏东60°方向，距A海岛60海里的B处出发，以每小时30海里的速度沿正南方向航行．已知在A海岛周围50海里水域内有暗礁．(参考数据： 3≈1.73， 5≈2.24， 7≈2.65)
(1)这艘渔船在航行过程中是否有触礁的危险？请说明理由．
(2)渔船航行3小时后到达C处，求A，C之间的距离．
20. (本小题9.0分)
如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b与反比例函数y=−6x的图象交于A(−1,m)，B(n,−3)两点，一次函数y=kx+b的图象与y轴交于点C．
(1)求一次函数的解析式；
(2)点P是x轴上一点，且△BOP的面积等于△AOB面积的2倍，求点P的坐标．
(3)根据函数的图象，直接写出不等式kx+b≤−6x的解集；
21. (本小题9.0分)
甘蔗富含大量铁、钙、锌等人体必需的微量元素，素有“补血果”的美称，是冬季热销的水果之一，为此，某水果商家12月份第一次用600元购进云南甘蔗若干千克，销售完后，他第二次又用600元购进该甘蔗，但这次每千克的进价比第一次的进价提高了20%，所购进甘蔗的数量比第一次少了25千克．
(1)求该商家第一次购买云南甘蔗的进价是每千克多少元？
(2)假设商家两次购进的云南甘蔗按同一价格销售，要使销售后获利不低于1000元，则每千克的售价至少为多少元？
22. (本小题12.0分)
如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，OD⊥OC，连接AD，∠ADO=∠BOC，AC与OD相交于点E．
(1)求证：AD是⊙O的切线；
(2)若tan∠OAC=12，AD=32，求⊙O的半径．
23. (本小题12.0分)
如图，抛物线经过A(4,0)，B(1,0)，C(0,−2)三点．
(1)求出抛物线的解析式；
(2)P是抛物线在第一象限上的一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)若抛物线上有一点D(点D位于直线AC的上方且不与点B重合)使得S△DCA=S△ABC，直接写出点D的坐标．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：∵|2|=2，
∴2的相反数是−2．
故选：A．
相反数的意义：一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．
绝对值规律总结：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．
本题考查了相反数的意义及绝对值的性质：学生易把相反数的意义与倒数的意义混淆．
2.【答案】B
【解析】解：0.0000102=1.02×10−5．
故选：B．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3.【答案】C
【解析】解：在Rt△ABC中，
∵∠C=90°，∠B=30°，AC=6，
∴AB的长是12．
故选：C．
根据含30度角的直角三角形的性质即可求解．
本题考查了含30度角的直角三角形的性质，掌握含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：根据题意得：
2÷20%=10(个)，
答：可以估算a的值是10；
故选：B．
因为除了颜色其他完全相同的球，在摸的时候出现的机会是均等的，通过大量重复摸球实验后发现，摸到红球的可能性稳定在20%，可知红球占总球数大约就是20%，问题就转化成了一个数的20%是2，求这个数，用除法计算即可．
此题主要考查了利用频率估计概率，其中解题时首先通过实验得到事件的频率，然后利用频率估计概率即可解决问题．
5.【答案】B
【解析】解：A、a8与a3不是同类项，故不能合并，故A不符合题意．
B、原式=a5，故B符合题意．
C、原式=1，故C不符合题意．
D、原式=8a3b6，故D不符合题意．
故选：B．
根据整式的乘除运算法则即可求出答案．
本题考查整式的乘除运算，解题的关键是熟练运用整式的乘除运算法则，本题属于基础题型．
6.【答案】D
【解析】解：∵k=3>0，b=4>0，
∴一次函数y=3x+4的图象经过第一、二、三象限，
又∵点P在一次函数y=3x+4的图象上，
∴点P不可能在第四象限．
故选：D．
利用一次函数图象与系数的关系可得出一次函数y=3x+4的图象经过第一、二、三象限，结合点P在一次函数y=3x+4的图象上可得出点P不可能在第四象限．
本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“k>0，b>0⇔y=kx+b的图象在一、二、三象限”是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：∵△ABC≌△DEF，
∴∠C=∠F，
∴∠C的对应角是∠F，
故选：A．
根据△ABC≌△DEF可得：∠B的对应角为∠DEF，∠BAC的对应角为∠D，∠C的对应角为∠F．
由全等的性质得出相等的边、角，根据平行线得到一对对应角相等，从而得到对应关系，找准对应关系式正确解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：(1+1)×1÷2×2
=2×1÷2×2
=2．
故该几何体的体积为2．
故选：B．
由三个视图可知：该几何体为三棱柱，底面是底2高1的三角形，三棱柱的高为2，由此计算体积即可求解．
此题考查由三视图判断几何体，掌握几何体的特征，掌握计算公式是解决问题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：如图，Rt△ABC中，AB=4cm，BC=3cm，
可知AC=5cm，
过点B作BP⊥AC，垂足为P，BP交DE于Q．
∵S△ABC=12⋅AB⋅BC=12⋅AC⋅BP，
∴BP=AB⋅BCAC=3×45=125．
∵DE//AC，
∴∠BDE=∠A，∠BED=∠C，
∴△BDE∽△BAC，
∴DEAC=BQBP．
设DE=x，则有：x5=125−x125，
解得x=6037，
故选：D．
Rt△ABC中，求出AC，过点B作BP⊥AC，垂足为P，BP交DE于Q，三角形的面积公式求出BP的长度，由相似三角形的判定定理得出△BDE∽△BAC，设边长DE=x，根据相似三角形的对应边成比例求出x的长度可得．
本题主要考查把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程即可求出边长，熟练掌握对应高的比等于相似比是关键．
10.【答案】D
【解析】解：A、根据图示知，抛物线开口方向向上，则a>0．
抛物线的对称轴x=−b2a=1>0，则b<0．
抛物线与y轴交与负半轴，则c<0，
所以abc>0．
故A选项错误；
B、∵x=−b2a=1，
∴b=−2a，
∴2a+b=0．
故B选项错误；
C、∵对称轴为直线x=1，图象经过(3,0)，
∴该抛物线与x轴的另一交点的坐标是(−1,0)，
∴当x=−1时，y=0，即a−b+c=0．
故C选项错误；
D、根据图示知，该抛物线与x轴有两个不同的交点，则△=b2−4ac>0，则4ac−b2<0．
故D选项正确；
故选：D．
由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．
11.【答案】x≥0且x≠3
【解析】解：由二次根式的性质得：x≥0，
由分式的分母不能为零的：x≠3，
∴x≥0且x≠3．
故答案为：x≥0且x≠3．
求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，分式有意义的条件是：分母不等于0．
本题主要考查分式有意义的条件，当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0．
12.【答案】x<4
【解析】解：去分母得：3(x+1)<18−(x−1)，
去括号得：3x+3<18−x+1，
移项得：3x+x<18+1−3，
合并同类项得：4x<16，
解得：x<4．
故答案为：x<4．
不等式去分母，去括号，移项，合并同类项，把x系数化为1，即可求出解集．
此题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键．
13.【答案】1949
【解析】解：根据题意得：x−9=0，y−4=0，
解得：x=9，y=4，
则x+y+(4x+2y)2=9+4+(4×9+2×4)2=9+4+1936=1949．
故答案为：1949．
根据非负数的性质列出方程求出x、y的值，代入所求代数式计算即可．
本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
14.【答案】6
【解析】解：如图，连接OC，OD，O′C，
∵OA为⊙O′的直径，
∴∠ACO=90°，
∵OA=OD，
∴AC=CD，
∵O′A=O′O，
∴O′C是△AOD的中位线，
∴O′C//OD，
∴∠AOD=∠AO′C，
∵AC的长为∠AO′Cπ⋅AO′180=3，
∴AD的长为∠AODπ⋅AO180=2∠AODπ⋅AO′180=6．
故答案为：6．
连接OC，OD，O′C，根据OA为⊙O′的直径，得∠ACO=90°，可得O′C是△AOD的中位线，所以O′C//OD，所以∠AOD=∠AO′C，再根据弧长公式计算即可．
本题综合考查了圆周角定理和弧长的计算，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形解决问题，属于中考压轴题．
15.【答案】56
【解析】解：如解图，过点P作PE⊥AB于点E，延长EP交CD于点F，
∴∠ABC=∠BCD=90°，CD=AB=5．
∴四边形EBCF是矩形．
∴EF=BC．
又∵BC=12，
∴S阴影=S△PAB+S△PCD=12AB⋅PE+12CD⋅PF=12AB⋅EF=12×5×12=30；
当点P在对角线交点处时，周长有最小值为26．
a+b=56．
过P作PE⊥AB于E，反向延长FP交CD于F，由矩形的性质得到AB=CD，AB//CD，根据矩形的面积公式得到这个四边形的面积=12AB⋅BC=12×5×12=30，当点P是矩形ABCD两对角线的交点时，这个四边形周长的值最小，根据勾股定理得AC=BD=13，于是得到结论．
本题考查了图形剪拼，矩形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
16.【答案】解：x−3x2−4÷x−3x2+4x+4−(1x−2+1)
=x−3(x+2)(x−2)⋅(x+2)2x−3−(1x−2+x−2x−2)
=x+2x−2−x−1x−2
=3x−2，
当x=|− 2|+2时，原式=3|− 2|+2−2=3 22．
【解析】根据分式的运算法则“除以一个数等于乘以它的倒数”把除法改写成乘法；利用平方差公式和完全平方公式将分式的分子分母分别因式分解；约分化简后，求x的值；去掉绝对值符号时注意正负，正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，最后将x的值代入原式．
本题考查了分式的混合运算，熟练地掌握分式的混合运算法则和用公式法进行因式分解是解题的关键．注意最后求值的结果要分母有理化．
17.【答案】解：(1)如图所示，CF即为所求；
(2)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，∠B=∠D，∠BAD=∠BCD，
∵AE平分∠BAD，CF平分∠BCD，
∴∠BAE=∠DCF，
在△ABE和△CDF中
∠B=∠DAB=CD∠BAE=∠DCF,
∴△ABE≌△CDF(ASA)．
【解析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形的角平分线的画法等知识，难度不大．
(1)以点C为圆心，任意长为半径画弧，交BC、CD于两点，分别以这两点为圆心，大于这两点的距离为半径画弧，两弧交于一点，连接点C与交点，延长并交AD于点F；
(2)根据ASA即可证明：△ABE≌△CDF．
18.【答案】50 5 10
【解析】解：(1)n=15÷30%=50，a=50×10%=5，b=50−(5+15+20)=10，
故答案为：50、5、10；
(2)补全图形如下：
(3)800×1050=160(人)，
答：估计该校最喜欢太空抛物实验的有160人．
(1)由B组人数及其所占百分比可得总人数n，总人数乘以A对应百分比可得a的值，根据四组人数之和等于总人数可得b的值；
(2)根据所求结果即可补全图形；
(3)总人数乘以样本中A组对应百分比可得答案．
本题考查扇形统计图、条形统计图的意义和制作方法，从统计图中获取数量和数量关系是正确计算的前提．
19.【答案】解：(1)这艘渔船在航行过程中没有触礁的危险，理由如下：
作AD⊥BC于D，如图：
则∠ADB=∠ADC=90°，
由题意得：AB=60，∠BAD=90°−60°=30°，
∴BD=12AB=30，
∴AD= AB2−BD2=30 3≈51.9>50，
∴这艘渔船在航行过程中没有触礁的危险；
(2)由(1)得：BD=30，AD=30 3，
∵BC=3×30=90，
∴DC=BC−BD=90−30=60，
在Rt△ADC中，AC= AD2+DC2= (30 3)2+602=30 7≈79.5(海里)；
答：A，C之间的距离约为79.5海里．
【解析】(1)作AD⊥BC于D，由题意得AB=60，∠BAD=90°−60°=30°，则BD=12AB=30，根据勾股定理求出AD=30 3≈51.9>50，即可得出结论；
(2)由(1)得BD=30，AD=30 3，求出DC=BC−BD=90−30=60，由勾股定理求出AC即可．
本题考查的是勾股定理的应用、方向角的概念、直角三角形的性质，正确作出辅助线是解答此题的关键．
20.【答案】解：(1)由题意，将点A(−1,m)，B(n,−3)代入反比例函数解析式，
∴−1×m=−6，−3n=−6．
∴解得m=6，n=2．
∴A(−1,6)，B(2,−3)．
把A、B的坐标代入y=kx+b得−k+b=62k+b=−3，解得k=−3b=3，
∴一次函数的解析式为y=−3x+3；
(2)连接OA，OB，由题意C(0,3)，
S△AOB=S△AOC+S△BOC=12×3×1+12×3×2=92，
设P(m,0)，
由题意12⋅|m|⋅3=92×2，解得m=±6，
∴P(6,0)或(−6,0)．
(3)观察图象可以发现，不等式kx+b≤−6x的解集为：−1≤x<0或x≥2．
【解析】(1)依据题意，利用待定系数法求出A，B的坐标即可解决问题；
(2)依据题意，根据S△AOB=S△AOC+S△BOC，求出△OAB的面积，设P(m,0)，构建方程即可解决问题；
(3)观察图象写出一次函数的图象不在反比例函数的图象上方的自变量的取值范围即可解决问题．
本题主要考查了待定系数法求函数的解析式，根据函数的解析式求点的坐标，根据三角形的面积求点的坐标，注意数形结合思想的应用．
21.【答案】解：(1)设该商家第一次购买云南甘蔗的进价是每千克x元，
根据题意可知：600x+0.2x=600x−25，
x=4，
经检验，x=4是原方程的解，
答：该商家第一次购买云南甘蔗的进价是每千克4元；
(2)由(1)得：第一次进价是每千克4元，第二次进价是每千克4.8元，
设每千克的售价为y元，
第一销售了6004=150千克，第二次销售了125千克，
根据题意可知：150(y−4)+125(y−4.8)≥1000，
解得：y≥8，
答：每千克的售价至少为8元．
【解析】本题考查分式方程的应用，解题的关键是正确找出题中的等量关系，本题属于基础题型．
(1)设该商家第一次购买云南甘蔗的进价是每千克x元，根据题意列出方程即可求出答案；
(2)设每千克的售价为y元，根据题意列出不等式即可求出答案．
22.【答案】(1)证明：∵OD⊥OC，
∴∠COD=90°，
∴∠BOC+∠AOD=180°−90°=90°，
又∵∠ADO=∠BOC，
∴∠ADO+∠AOD=90°，
∴∠OAD=180°−90°=90°，
即OA⊥AD，
∵OA是半径，
∴AD是⊙O的切线；
(2)解：∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴tan∠OAC=12=tan∠OCA=OEOC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°=∠OAD，即∠OCB+∠OCA=90°=∠OAC+∠DAE，
∴∠DAE=∠OCB，
又∵∠ADO=∠BOC，
∴∠DEA=∠B，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠DAE=∠DEA，
∴AD=DE=32，
设半径为r，则OE=12r，OD=12r+32，
在Rt△AOD中，由勾股定理得，
AD2+OA2=OD2，
即(32)2+r2=(12r+32)2，
解得r=2或r=0(舍去)，
即半径为2．
【解析】(1)根据垂直、平角的定义可得∠D+∠AOD=90°，进而得到AD⊥OA即可；
(2)根据圆周角定理、三角形的内角和定理以及等腰三角形的判定和性质，可得到AD=DE，再根据锐角三角函数可得OE=12OC，在Rt△AOD中由勾股定理可求半径．
本题考查圆周角定理，切线的判定和性质，直角三角形的边角关系以及等腰三角形，掌握切线的判定方法，直角三角形的边角关系是解决问题的前提．
23.【答案】解：(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，
将A(4,0)，B(1,0)，C(0,−2)代入y=ax2+bx+c，
∴16a+4b+c=0a+b+c=0c=−2，
解得a=−12b=52c=−2，
∴y=−12x2+52x−2；
(2)存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与△OAC相似，理由如下：
设P(t,−12t2+52t−2)，则M(t,0)，1
∵A(4,0)，
∴AM=4−t，
∴tan∠MAP=−12t2+52t−24−t，
∵C(0,−2)，
∴OC=2，OA=4，
∴tan∠OAC=12，
①当∠PAM=∠OAC时，12=−12t2+52t−24−t，
解得t=2或t=4(舍)，
∴P(2,1)；
②当∠PAM=∠OCA时，−12t2+52t−24−t=2，
解得t=4(舍)或t=5(舍)，
∴此时P不存在；
综上所述：P点坐标为(2,1)；
(3)设直线AC的解析式为y=kx+b，
∴4k+b=0b=−2，
∴k=12b=−2，
∴直线AC的解析式为y=12x−2，
过点B作直线AC的平行线y=12x+m，
∴12+m=0，
∴m=−12，
∴y=12x−12，
联立方程组y=12x−12y=−12x2+52x−2，
解得x=1y=0(舍)或x=3y=1，
∴D(3,1)．
【解析】(1)用待定系数法求函数解析式即可；
(2)设P(t,−12t2+52t−2)，则M(t,0)，1
本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的性质，平行线的性质是解题的关键．
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