2023年湖南省长沙市雨花区雅礼实验中学中考数学二模试卷（含解析）

这是一份2023年湖南省长沙市雨花区雅礼实验中学中考数学二模试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年湖南省长沙市雨花区雅礼实验中学中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列四个选项中，绝对值最大的数是(    )
A. 2022 B. −2023 C. −2021 D. 2023
2. 党的十八大以来，以习近平同志为核心的党中央重视技能人才的培育与发展，截至2021年底，我国高技能人才超过64 800 000人，将数据64 800 000用科学记数法表示为(    )
A. 6.48×106 B. 6.48×107 C. 6.48×108 D. 0.648×107
3. 下列计算正确的是(    )
A. 3a2+a3=4a6 B. 3a2⋅4a3=7a5 C. 3a6÷a2=3a3 D. (2ab2)3=8a3b6
4. 如图所示的钢块零件的主视图为(    )
A.
B.
C.
D.
5. 劳动教育是学校贯彻“五育并举”的重要举措，某校倡议学生在家做一些力所能及的家务劳动，李老师为了解学生每周参加家务劳动的时间，随机调查了本班6名学生，收集到如下数据：6，3，5，4，3，3，则这组数据的众数和中位数是(    )
A. 3和3 B. 3和4.5 C. 3和3.5 D. 4和3.5
6. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6，sin∠B等于(    )
A. 35
B. 34
C. 53
D. 45
7. 如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，连接AO、BO，若∠APB=70°，则∠AOB的度数为(    )


A. 100° B. 110° C. 120° D. 105°
8. 如图，小颖按下面方法用尺规作角平分线：在已知的∠AOB的两边上，分别截取OC，OD，使OC=OD.再分别以点C，D为圆心、大于12CD的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点P，作射线OP，则射线OP就是∠AOB的平分线．其作图原理是：△OCP≌△ODP，这样就有∠AOP=∠BOP，那么判定这两个三角形全等的依据是(    )
A. SAS B. ASA C. AAS D. SSS
9. 下列函数图象中，当x>0时，函数值y随x增大而增大的是(    )
A. B.
C. D.
10. 近期新冠肺炎疫情开始第二轮感染，某市疾控中心对三名有咳嗽症状的市民甲、乙、丙进行调查，与三位市民有如下对话：
甲说：我阳了，需要休息；
乙说：我肯定没有阳，请让我回去工作；
丙说：甲没有阳，不要被他骗了；
若这三人中只有一人说的是真话且只有一名市民阳了，请你判断谁是真正阳的人(    )
A. 乙 B. 丙 C. 甲 D. 无法判断
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 因式分解：x2−y2=          ．
12. 圆锥的侧面积是10πcm2，底面半径是2cm，则圆锥的母线长为______ cm．
13. 已知方程x2−2x+k=0有两个相等的实数根，则k= ______ ．
14. 抛物线y=−12(x+5)2+8的顶点坐标为______ ．
15. 如图所示，在矩形ABCD中，AB=1，AD= 3，则∠AOD= ______ 度.


16. 已知如图：DE//BC，DE=2，BC=3，则S△ADES四边形DBCE= ______ ．


三、解答题（本大题共9小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
计算：(−2)3+(3.14−π)0−tan45°+(13)−2．
18. (本小题6.0分)
先化简，再求值：(2−12a+2)÷a−4a2+2a，其中a=20232．
19. (本小题6.0分)
如图，某校校门口安装了体温监测仪器，体温检测有识别区域即AB的长，当身高为1.5米的学生进入识别区域时，在点D处测得摄像头M的仰角为30°，在点C处测得摄像头M的仰角为60°，学校大门的高ME是4.5米，则体温识别区域AB的长为多少米？(结果精确到0.1米，参考数据 3≈1.732， 2≈1.414)

20. (本小题8.0分)
近几年，新型冠状病毒感染的肺炎疫情牵动着全国人民的心，为了提高意识，共克时艰，共渡难关，某校开展了“全民行动⋅共同抗疫”的自我防护知识网上答题竞赛，现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩(百分制)进行整理、描述和分析(成绩得分用x表示，共分成四组：A.80≤x<85，B.85≤x<90，C.90≤x<95，D.95≤x≤100)，下面给出了部分信息：
七年级10名学生的竞赛成绩是：99，80，99，86，99，96，90，100，89，82
八年级10名学生的竞赛成绩在C组中的数据是：94，90，94
七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级
七年级
八年级
平均数
92
92
中位数
93
b
方差
52
50.4
根据以上信息，解答下列问题；
(1)a= ______ ，b= ______ ；
(2)该校七、八年级共1800人参加了此次网上答题竞赛活动，估计参加竞赛活动成绩优秀(x≥95)的学生人数是多少？
(3)如果从七年级99分以上的四名学生中抽取两名学生参加市里的知识竞赛，请用列表法或树状图法求恰好抽中100分的学生参赛的概率是多少？(用A表示100分，B，C，D表示99分)

21. (本小题8.0分)
如图，已知等腰△ABC，AB=AC，点D、E分别在BC、AB上，且∠BDE=∠CAD．
(1)求证：△BDE∽△CAD；
(2)如果BE=3，BD=4，DC=9，求AB的长．

22. (本小题9.0分)
2023年5月11日，长沙市橘子洲头举办了燃放烟花的活动，橘子洲头当天实行全天闭园，长沙市地铁二号线实行全天跳站.对此非常有兴趣的数学爱好者小李去市场上调查了解A、B两种不同型号烟花的价格，已知B型号烟花的价格比A种烟花价格每箱贵60元，用3000元购买A型号的烟花和用4800元购买B种型号的烟花的箱数相同．
(1)请问A，B两种烟花每箱的价格分别是多少元？
(2)小李的爸爸所在的公司即将要举办周年庆活动，计划购买A，B两种型号的烟花共100箱，要求购买A型号烟花的数量2倍不高于B型号烟花数量的3倍，爸爸问小李：怎样设计购买方案能使总费用最低？总费用最低为多少元？
23. (本小题9.0分)
如图，已知四边形AEBD是平行四边形，对角线AB与DE相交于点F，且DE平分∠ADB，延长EB过点D作DC//AB，交EB的延长线于点C．
(1)求证：四边形AEBD是菱形；
(2)若DC=4，BD=2 10，求四边形ABCD的面积．

24. (本小题10.0分)
若抛物线L：y=ax2+2bx+3c(a,b,c是常数，a≠0)与直线l：y=ax+2b满足a2+b2=a(3c−b)，则称此直线l与该抛物线L具有“雅礼”关系，此时，直线l叫做抛物线L的“雅线”，抛物线L叫做直线l的“礼线”．
(1)若直线y=x−2与抛物线y=ax2+2bx+3c具有“雅礼”关系，求“礼线”的解析式；
(2)若抛物线y=x2+4mx+3n的“雅线”与y=−nx的图象只有一个交点，求m，n的值；
(3)已知“礼线”y=ax2+2bx+3c(a,b,c是常数，a≠0)与它的“雅线”交于点P，与它的“雅线”的平行l′：y=ax+4a+2b交于点A，B，记△ABP的面积为S，S|a|的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．
25. (本小题10.0分)
如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，D是斜边AB上一动点，以点A为圆心，AD长为半径作圆A交AC于点F，设圆A半径为r，若满足56<1r−3≤53，连结CD并延长交圆A于点E，连结AE，DF．
(1)如图1，若AE//CB，求⊙A半径；
(2)如图2，点D在运动过程中，∠FDC和∠FAE之间有怎样的数量关系？请说明理由；
(3)当点D在斜边AB上运动时，求CD⋅DE的取值范围．


答案和解析

1.【答案】B 
【解析】解：∵|−2021|=2021，|−2023|=2023，|2022|=2022，| 2023|= 2023，
∴ 2023<2021<2022<2023，
则绝对值最大的数为：−2023，
故选：B．
先求得各数的绝对值，然后比较大小即可．
本题考查绝对值及实数的大小比较，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．

2.【答案】B 
【解析】解：64800000=6.48×107，
故选：B．
将一个数表示成a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，这种记数方法叫做科学记数法．
本题考查科学记数法表示较大的数，科学记数法是基础且重要知识点，必须熟练掌握．

3.【答案】D 
【解析】解：3a2与a3不能合并，故A错误，不符合题意；
3a2⋅4a3=12a5，故B错误，不符合题意；
3a6÷a2=3a4，故C错误，不符合题意；
(2ab2)3=8a3b6，故D正确，符合题意；
故选：D．
根据合并同类项，积的乘方与幂的乘方法则，单项式乘除法则，逐项判断可得答案．
本题考查整式的混合运算，解题的关键是掌握整式相关的运算法则．

4.【答案】A 
【解析】解：从正面看是一个“凹”字形，
故选：A．
根据从正面看得到的视图是主视图，可得答案．
本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的视图是主视图．

5.【答案】C 
【解析】解：将这组数据重新排列为3，3，3，4，5，6，
所以这组数据的众数为3，中位数为3+42=3.5，
故选：C．
根据众数和中位数的定义求解即可．
本题主要考查众数和中位数，解题的关键是掌握众数和中位数的定义．

6.【答案】D 
【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6，
∴AC= AB2−BC2= 102−62=8，
∴sin∠B=ACAB=810=45．
故选：D．
根据锐角三角函数的定义解答即可．
本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的正弦，余弦，正切是解题的关键．

7.【答案】B 
【解析】解：∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∵∠APB=70°，
∴∠AOB=360°−90°−90°−70°=110°；
故选：B．
根据切线的性质可以证得∠OAP=∠OBP=90°，根据四边形内角和定理求解．
本题考查了圆的切线性质，四边形的内角和定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键．

8.【答案】D 
【解析】解：由作图可知OC=OD，CP=DP，
在△OCP和△ODP中，
OP=OPOC=ODPC=PD，
所以△OCP≌△ODP(SSS)，
所以∠POC=∠POD，即线OP就是∠AOB的平分线．
故选：D．
根据SSS证明三角形全等即可．
本题考查作图−复杂作图，全等三角形的判定，角平分线的判定等知识，解题的关键是读懂图形信息，灵活运用所学知识解决问题．

9.【答案】B 
【解析】解：根据题意得知，当x>0时，
A选项中函数值y随x增大而减小，
B选项中函数值y随x增大而增大，
C选项中函数值y随x增大而减小，
D选项中函数值y随x增大先减小再增大，
故选：B．
当x>0时，分析每个选项的图像即可得出结论．
本题主要考查函数的图象，能根据函数图像分析函数值是解题的关键．

10.【答案】A 
【解析】解：假设甲说的是真话，则甲阳了，所以乙说的是真话，不合题意，
假设乙说的是真话，甲说的是假话，则丙乙说的是真话，不合题意，
假设丙说的是真话，则甲、乙说的是假话，符合题意，
所以真正阳的人是乙．
故选：A．
分别假设甲、乙、丙说的是真话，结合题意推论，得出结论．
本题考查的是推理与论证，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．

11.【答案】(x+y)(x−y) 
【解析】
【分析】
直接利用平方差公式分解因式得出即可．
此题主要考查了利用公式法分解因式，熟练掌握平方差公式是解题关键．
【解答】
解：x2−y2=(x+y)(x−y)．
故答案为：(x+y)(x−y)．  
12.【答案】5 
【解析】解：底面半径是2cm，则扇形的弧长是4π．
设母线长是l，则12×4πl=10π，
解得：l=5．
故答案是：5．
底面半径是2cm，则扇形的弧长是4π，根据扇形的面积公式即可求得扇形的半径，即圆锥的母线长．
正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．

13.【答案】1 
【解析】解：∵方程x2−2x+k=0有两个相等的实数根，
∴△=b2−4ac=4−4k=0，
解得：k=1．
故答案为：1
由方程有两个相等的实数根，得到根的判别式等于0，列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值．
此题考查了一元二次方程根的判别式，当根的判别式的值大于0，一元二次方程有两个不相等的实数根；当根的判别式等于0，一元二次方程有两个相等的实数根；当根的判别式小于0，一元二次方程没有实数根．

14.【答案】(−5,8) 
【解析】解：由题可知抛物线y=−12(x+5)2+8，
当二次函数的解析式为顶点式y=a(x−h)2+k时，抛物线的顶点坐标公式为(h,k)，
∴抛物线y=−12(x+5)2+8的顶点坐标为(−5,8)．
故答案为：(−5,8)．
利用二次函数顶点坐标公式即可得出顶点坐标．
本题以二次函数为背景考查了二次函数的顶点式，本题难度较小，明确二次函数的顶点式求顶点坐标即可．

15.【答案】120 
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD交于点O，
∴∠BAD=90°，AC=BD，OA=OC=12AC，OB=OD=12BD，
∴OA=OD，
∵AB=1，AD= 3，
∴tan∠BDA=ABAD=1 3= 33，
∴∠BDA=30°，
∴∠OAD=30°，
∴∠AOD=180°−2×30°=120°，
故答案为：120．
由矩形的性质得∠BAD=90°，OA=OB=OD，由tan∠BDA=ABAD=1 3= 33，得∠BDA=30°，进而可得∠AOD=120°．
此题重点考查矩形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明△AOB是等边三角形是解题的关键．

16.【答案】4：5 
【解析】解：∵D、E分别是△ABC的AB、AC边上的点，DE//BC，
∴△ADE∽△ABC，
∵DE=2，BC=3，
∴S△ADE：S△ABC=(DE：BC)2=4：9，
∴S△ADE：S四边形DBCE=4：5，
故答案为：4：5．
因为DE//BC，所以可得△ADE∽△ABC，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可．
本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握相似三角形的面积的比等于相似比的平方．

17.【答案】解：(−2)3+(3.14−π)0−tan45°+(13)−2．
=−8+1−1+9
=1． 
【解析】先计算立方、零次幂、负整数指数幂和特殊角的三角函数值，再计算加减．
此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确理解运算顺序，并能进行正确地计算．

18.【答案】解：(2−12a+2)÷a−4a2+2a
=2a+4−12a+2⋅a(a+2)a−4
=2(a−4)a+2⋅a(a+2)a−4
=2a，
当a=20232时，原式=2×20232=2023． 
【解析】先算括号内的式子，再算括号外的除法，然后将a的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．

19.【答案】解：由题意得：EF=AC=BD=1.5米，CD=AB，DF⊥ME，
∵ME=4.5米，
∴MF=ME−EF=4.5−1.5=3(米)，
在Rt△MFC中，∠MCF=60°，
∴MC=MFsin60∘=3 32=2 3(米)，
∵∠MCF是△CMD的一个外角，∠MDC=30°，
∴∠CMD=∠MCF−∠MDF=30°，
∴∠CMD=∠MDC=30°，
∴CM=CD=2 3(米)，
∴AB=CD=2 3≈3.5(米)，
∴体温识别区域AB的长约为3.5米． 
【解析】根据题意可得：EF=AC=BD=1.5米，CD=AB，DF⊥ME，从而可得MF=3米，然后在Rt△MFC中，利用锐角三角函数的定义求出MC的长，再利用三角形外角的性质可得∠CMD=∠MDC=30°，从而可得CM=CD=2 3米，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．

20.【答案】40  94 
【解析】解：(1)八年级10名学生的竞赛成绩C组所占的百分比为310×100%=30%，
∴a%=1−10%−20%−30%=40%，
即a=40；
八年级10名学生的竞赛成绩A组的人数为10×10%=1(人)，B组的人数20×10%=2(人)，
所以八年级10名学生的竞赛成绩的中位数为12×(94+94)=94，
即b=94；
故答案为：40，94；
(2)八年级10名学生的竞赛成绩为优秀的人数为10×40%=4(人)
1800×5+420=810(人)，
所以估计参加竞赛活动成绩优秀(x≥95)的学生人数是810人；
(3)画树状图为：

共有12种等可能的结果，其中恰好抽中100分的学生参赛的结果数为6，
所以恰好抽中100分的学生参赛的概率=612=12．
(1)先计算出八年级10名学生的竞赛成绩C组人数所占的百分比，然后用1分别减去A、B、C组的百分比可得到a的值，接着利用中位数的定义得到b的值；
(2)先计算八年级10名学生的竞赛成绩为优秀的人数为4人，然后用1800乘以样本中七、八年级优秀人数所占的百分比即可；
(3)画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出抽中100分的学生参赛的结果数，然后根据概率公式计算．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求出事件A或B的概率．也考查了样本估计总体、中位数．

21.【答案】(1)证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
又∵∠BDE=∠CAD，
∴△BDE∽△CAD；
(2)解：∵△BDE∽△CAD，
∴BECD=BDAC，
∴39=4AC，
∴AC=12，
∴AB=12． 
【解析】(1)先利用等腰三角形的性质得出∠B=∠C，再由∠BDE=∠CAD可证得△BDE∽△CAD；
(2)由相似三角形的性质可得出答案．
本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．

22.【答案】解：(1)设A种烟花每箱的价格为x元，则B种烟花每箱的价格为(x+60)元，
根据题意得：3000x=4800x+60，
解得x=100，
经检验，x=100是原方程的根，
此时x+60=160，
答：A种烟花每箱的价格为100元，B种烟花每箱的价格为160元；
(2)设购买A种烟花m箱，则B种烟花购买(100−m)箱，总费用为w元，
依题意得：2m≤3(100−m)，
解得：m≤60，
w=100m+160(100−m)=−60m+16000．
∵−60<0，
∴随m的增大而减小，
∴当m=60时，w有最小值，最小值为−60×60+16000=12400(元)．
答：A种烟花购买60箱，B种烟花购买40箱时，费用最小，最小费用为12400元． 
【解析】(1)设A种烟花每箱的价格是x元，则B种烟花每箱的价格是(x+60)元，根据题意列出分式方程即可，最后检验；
(2)设购买A种烟花m箱，则B种烟花购买(100−m)箱，总费用为w元，由题意列出不等式求解可求得m的取值范围，然后列出w关于m的一次函数式即可求解．
本题是函数、方程与不等式的综合，考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用及一元一次不等式的实际应用，理解题意并找到数量关系列出方程、不等式及函数关系式是关键．

23.【答案】(1)证明：∵四边形AEBD是平行四边形，
∴AD//BC，
∴∠ADE=∠BED，
∵DE平分∠ADB，
∴∠ADE=∠BDE，
∴∠BED=∠BDE，
∴BD=BE，
∴平行四边形AEBD是菱形；
(2)解：∵四边形AEBD是菱形，
∴AD=BE，AD//BE，AB⊥DE，AF=BF，DF=EF，
∵DC//AB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC=4，S平行四边形ABCD=2S△ABD=S菱形AEBD，
∴BF=12AB=2，
在Rt△BDF中，由勾股定理得：DF= BD2−BF2= (2 10)2−22=6，
∴DE=2DF=12，
∴S平行四边形ABCD=S菱形AEBD=12AB⋅DE=12×4×12=24． 
【解析】(1)证∠BED=∠BDE，得BD=BE，再由菱形的判定即可得出结论；
(2)证四边形ABCD是平行四边形，得AB=DC=4，S平行四边形ABCD=2S△ABD=S菱形AEBD，再由勾股定理得由勾股定理得DF=6，则DE=2DF=12，即可解决问题．
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．

24.【答案】解：(1)由题意a=1，b=−1，12+(−1)2=3c+1，解得c=13，
∴“礼线”的解析式为y=x2−2x+1；
(2)由题意a=1，1+(2m)2=3n−2m ①，
∴抛物线y=x2+4mx+3n的“雅线”为y=x+2m，
由y=x+2my=−nx，消去y得到x2+2mx+n=0，
∵抛物线y=x2+4mx+3n的“雅线”与y=−nx的图象只有一个交点，
∴Δ=0，
∴(2m)2−4n=0 ②，
由①②可得m=−1，n=1；
(3)S|a|的值是定值．理由如下：
不妨设a>0，如图所示，“礼线”y=ax2+2bx+3c(a,b,c是常数，a≠0)的“雅线”y=ax+2b交y轴于C(0,2b)，直线y=ax+4a+2b与y轴交于点D(0,4a+2b)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，
由y=ax2+2bx+3cy=ax+4a+2b，消去y得到ax2+(2b−a)x+3c−4a−2b=0，
∴x1+x2=a−2ba，x1x2=3c−4a−2ba，
∴|x1−x2|= (x1+x2)2−4x1x2
= (a−2ba)2−4(3c−4a−2b)a
= a2−4ab+4b2−12ac+16a2+8aba2
= 17a2+4b2−4a(3c−b)a2，
把a2+b2=a(3c−b)代入上式化简得到|x1−x2|= 13，
∵AB//PC，
∴S=S△PAB=S△CAB=S△CDB−S△CDA=12⋅CD⋅|Bx−Ax|=12⋅|4a|⋅ 13=2 13⋅|a|，
∴S|a|=2 13，S|a|的值是定值． 
【解析】(1)根据“雅礼”关系的定义，求出a、b、c的值即可；
(2)由题意a=1，1+(2m)2=3n−2m①，可得抛物线y=x2+4mx+3n的“雅线”为y=x+2m，由y=x+2my=−nx，消去y得到x2+2mx+n=0，由抛物线y=x2+4mx+3n的“雅线”与y=−nx的图象只有一个交点，可知Δ=0，得(2m)2−4n=0 ②，由①②解方程组即可求得m、n；
(3)S|a|的值是定值．不妨设a>0，“礼线”y=ax2+2bx+3c(a,b,c是常数，a≠0)的“雅线”y=ax+2b交y轴于C(0,2b)，直线y=ax+4a+2b与y轴交于点D(0,4a+2b)，A(x1,y1)，B(x2,y2)，由y=ax2+2bx+3cy=ax+4a+2b，消去y得到ax2+(2b−a)x+3c−4a−2b=0，推出x1+x2=a−2ba，x1x2=3c−4a−2ba，得到|x1−x2|= (x1+x2)2−4x1x2= (a−2ba)2−4(3c−4a−2b)a= a2−4ab+4b2−12ac+16a2+8aba2= 17a2+4b2−4a(3c−b)a2，把a2+b2=a(3c−b)代入上式化简得到|x1−x2|= 13，由AB//PC，可得S=S△PAB=S△CAB=S△CDB−S△CDA=12⋅CD⋅|Bx−Ax|=12⋅|4a|⋅ 13=2 13⋅|a|，由此即可解决问题．
本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、反比例函数的性质、一元二次方程的根与系数关系等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程组解决问题，学会用分割法求三角形的面积，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．

25.【答案】解：(1)如图1：
∵AE//CB，
∴∠EAC+∠ACB=180°，∠E=∠BCD，
∵∠ACB=90°，AE=AD，
∴∠EAC=90°，∠E=∠ADE，
∵∠ADE=∠CDB，
∴∠BCD=∠CDB，
∴BD=BC=6，
∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，
∴AB= AC2+BC2=10，
∴AE=AD=4，
∴⊙A的半径为4；
(2)∠FAE=2∠FDC，理由如下：
如图，延长FA交⊙A于点N，连接EN，

∴∠EAF=2∠N，
∵四边形DENF是圆内接四边形，
∴∠N+∠EDF=180，
∵∠FDC+∠EDF=180°，
∴∠FDC=∠N，
∴∠FAE=2∠FDC；
(3)如图，延长FA交⊙A于点N，连接EN，过点D作DH⊥AC于H，

由(2)得：∠FDC=∠N，∠DCF=∠NCE，
∴△DCF∽△NCE，
∴CDCN=CFCE，即CD×CE=CF×CN，
∵圆的半径为r，
∴AE=AD=AF=r，
∵DH⊥AC，BC⊥AC，
∴DH//BC，
∴△ADH∽△ABC，
∴DHBC=ADAB=AH8，即DH6=r10=AH8，
∴DH=35r，AH=45r，
则CN=8+r，CF=8−r，
∴CH=8−45r.
∴CD2=DH2+CH2=(35r)2+(8−45r)2=r2−645r+64，
∵CD×CE=CF×CN，
∴CD×(CD+DE)=CD2+CD×DE=(8+r)(8−r)，
即r2−645r+64+CD×DE=64−r2，
∴CD×DE=−2r2+645r=−2(r−165)2+51225，
∵56<1r−3≤53，
∴185≤r<215，
∵165<185，所以CD×DE在185≤r<215上函数值随r的增大而减小，
∴46225 【解析】(1)由平行的性质及AE=AD，推得BD=BC=6，由勾股定理求得AB的长，进而求得AE的长；
(2)延长FA交⊙A于点N，连接EN，则∠EAF=2∠N，由圆内接四边形的性质即可求得两角的关系；
(3)延长FA交⊙A于点N，连接EN，过点D作DH⊥AC于H，易证明A DCF∽△NCE，可得CD×CE=CF×CN；由DH//BC，得△ADH∽△ABC，则可求得DH、CH、CN、CF，由CD×CE=CF×CN可得CD×DE关于r的表达式，根据已知确定r的取值范围，最后由二次函数的性质可确定CD×DE的范围．
本题是圆的综合问题，考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，二次函数的性质等知识，添加适当辅助线，灵活运用相关知识是解题的关键．