数学九年级下册1 锐角三角函数精品课时练习

这是一份数学九年级下册1 锐角三角函数精品课时练习，共15页。

1.1 锐角三角函数（知识解读）
【学习目标】
1.理解锐角正弦、余弦和正切概念的意义，并会求锐角的正弦值、余弦值和正切值。
2.经历锐角正弦、余弦和正切概念探索的过程，培养学生观察分析、类比归纳的能力。
3. 知道锐角三角函数的增减性及取值范围，并能运用解题.
4.通过探究、参与合作等形式，使学生感受数学知识与实际生活密切相关。
【知识点梳理】
考点1 锐角三角函数的概念
如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边．
　





锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即；
锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即；
锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即.
同理；；．
注意：
(1) 正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．
(2)sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠ABC)，其正切应写成“tan∠ABC”，不能写成“tanABC”；另外，、、常写成、、．
(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．
(4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0°<∠A<90°间变化时，，，tanA＞0

考点2 锐角三角函数的增减性
（1）在0°－90°之间，锐角的正弦值随角度的增大而增大 ；
（2）在0°－90°之间，锐角的余弦值随角度的增大而减小 ；
（3）在0°－90°之间，锐角的正切值随角度的增大而增大 .
【典例分析】
【考点1锐角三角函数的概念】
【典例1】（2022•嘉祥县校级开学）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，下列三角函数表示正确的是（　　）

A． B． C． D．
【变式1-1】（2022•红桥区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，下列结论中正确的是（　　）

A．sinA＝ B．cosA＝ C．tanC＝ D．cosC＝
【变式1-2】（2022•松北区校级开学）Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，AB＝13，则tanB的值为（　　）
A． B． C． D．
【变式1-3】（2022•云南模拟）Rt△ABC中，若∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，则cosA的值为（　　）
A． B． C． D．
【典例2】（2021秋•金山区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AB＝c，那么的值等于（　　）
A．sinA B．cosA C．tanA D．cotA
【变式2-1】（2021秋•松江区期末）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，那么下列结论一定成立的是（　　）
A．b＝ctanA B．b＝ccotA C．b＝csinA D．b＝ccosA
【变式2-2】（2022•南岗区模拟）在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边，则有（　　）
A．b＝a•tanA B．b＝c•sinA C．a＝c•cosB D．c＝a•sinA
【变式2-3】（2021秋•杨浦区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果∠A＝α，AC＝1，那么AB等于（　　）
A．sinα B．cosα C． D．
【典例2】（2022•江夏区模拟）如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinB的值为（　　）

A． B． C． D．1
【变式2-1】（2021秋•桥西区校级期中）如图，在5×3的网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点都在相应格点上，则sin∠CAB的值为（　　）

A． B． C． D．
【变式2-2】（2020•浦城县一模）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tan∠ABC的值为（　　）

A．1 B． C． D．
【典例3】（2020秋•丽水期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，AB＝3．
（1）求BC的长；
（2）求sinA的值．

【变式3-1】（2022•湖州）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，AB＝5，BC＝3．求AC的长和sinA的值．





【变式3-2】（2022•淮安区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，sin∠A＝，求BC的长和tan∠B的值．


【变式3-3】（2021秋•宁远县校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，M是直角边AC上一点，MN⊥AB于点N，AN＝3，AM＝4，求cosB的值．



【考点2 锐角三角函数的增减性】
【典例4】（2022•五通桥区模拟）若锐角α满足cosα＜且tanα＜，则α的范围是（　　）
A．30°＜α＜45° B．45°＜α＜60° C．60°＜α＜90° D．30°＜α＜60°
【变式4-1】（2020秋•庐阳区校级月考）如果∠A为锐角，sinA＝，那么（　　）
A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜45° C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90°
【变式4-2】（2021•商河县校级模拟）当A为锐角，且＜cos∠A＜时，∠A的范围是（　　）
A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜60° C．60°＜∠A＜90° D．30°＜∠A＜45°


1.2 锐角三角函数（知识解读）
【学习目标】
1.理解锐角正弦、余弦和正切概念的意义，并会求锐角的正弦值、余弦值和正切值。
2.经历锐角正弦、余弦和正切概念探索的过程，培养学生观察分析、类比归纳的能力。
3. 知道锐角三角函数的增减性及取值范围，并能运用解题.
4.通过探究、参与合作等形式，使学生感受数学知识与实际生活密切相关。
【知识点梳理】
考点1 锐角三角函数的概念
如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边．
　





锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即；
锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即；
锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即.
同理；；．
注意：
(2) 正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化．
(2)sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成，，，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠ABC)，其正切应写成“tan∠ABC”，不能写成“tanABC”；另外，、、常写成、、．
(3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在．
(4)由锐角三角函数的定义知：当角度在0°<∠A<90°间变化时，，，tanA＞0

考点2 锐角三角函数的增减性
（1）在0°－90°之间，锐角的正弦值随角度的增大而增大 ；
（2）在0°－90°之间，锐角的余弦值随角度的增大而减小 ；
（3）在0°－90°之间，锐角的正切值随角度的增大而增大 .
【典例分析】
【考点1锐角三角函数的概念】
【典例1】（2022•嘉祥县校级开学）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，下列三角函数表示正确的是（　　）

A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：∵∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，
∴BC＝＝3，
∴sinA＝，故选项A错误，不符合题意；
cosA＝，故选项B正确，符合题意；
tanA＝，故选项C错误，不符合题意；
tanB＝，故选项D错误，不符合题意．
故选：B．
【变式1-1】（2022•红桥区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，下列结论中正确的是（　　）

A．sinA＝ B．cosA＝ C．tanC＝ D．cosC＝
【答案】C
【解答】解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，
则sinA＝，cosA＝，tanC＝，cosC＝．
故选：C．
【变式1-2】（2022•松北区校级开学）Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，AB＝13，则tanB的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解答】解：如图，

∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，AB＝13，
∴BC＝＝＝5．
∴tanB＝＝．
故选：B．
【变式1-3】（2022•云南模拟）Rt△ABC中，若∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，则cosA的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解答】解：∵∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，
∴AB＝＝5，
∴cosA＝＝．
故选：D．
【典例2】（2021秋•金山区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AB＝c，那么的值等于（　　）
A．sinA B．cosA C．tanA D．cotA
【答案】A
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AB＝c，sinA＝＝，
故选：A．
【变式2-1】（2021秋•松江区期末）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，那么下列结论一定成立的是（　　）
A．b＝ctanA B．b＝ccotA C．b＝csinA D．b＝ccosA
【答案】D
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝c，AC＝b，
则cosA＝＝，
∴b＝ccosA，
故选：D．
【变式2-2】（2022•南岗区模拟）在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边，则有（　　）
A．b＝a•tanA B．b＝c•sinA C．a＝c•cosB D．c＝a•sinA
【答案】C
【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A、∠B、∠C的对边，
tanA＝，则a＝b•tanA，A错误；
sinA＝，则a＝c•sinA，B错误；
cosB＝，则a＝c•cosB，C正确；
sinA＝，则a＝c•sinA，D错误；
故选：C．
【变式2-3】（2021秋•杨浦区期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果∠A＝α，AC＝1，那么AB等于（　　）
A．sinα B．cosα C． D．
【答案】D
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果∠A＝α，AC＝1，
那么：cosA＝＝，
∴AB＝，
故选：D．
【典例2】（2022•江夏区模拟）如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinB的值为（　　）

A． B． C． D．1
【答案】B
【解答】解：由勾股定理得，AB＝＝3，
所以，sinB＝＝．
故选：B．
【变式2-1】（2021秋•桥西区校级期中）如图，在5×3的网格中，每格小正方形的边长都是1，若△ABC的三个顶点都在相应格点上，则sin∠CAB的值为（　　）

A． B． C． D．
【答案】A
【解答】解：由勾股定理，得
AC＝2，
sin∠CAB＝＝，
故选：A．
【变式2-2】（2020•浦城县一模）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tan∠ABC的值为（　　）

A．1 B． C． D．
【答案】D
【解答】解：在Rt△ABD中，BD＝4，AD＝3，
∴tan∠ABC＝＝，
故选：D．

【典例3】（2020秋•丽水期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，AB＝3．
（1）求BC的长；
（2）求sinA的值．

【解答】解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，AB＝3，
∴BC＝＝＝；
（2）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，BC＝，
∴sinA＝＝．
【变式3-1】（2022•湖州）如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝Rt∠，AB＝5，BC＝3．求AC的长和sinA的值．

【解答】解：∵∠C＝Rt∠，AB＝5，BC＝3，
∴AC＝＝＝4，
sinA＝＝．
答：AC的长为4，sinA的值为．
【变式3-2】（2022•淮安区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，sin∠A＝，求BC的长和tan∠B的值．

【解答】解：∵sin∠A＝，
∴＝，
∵AB＝15，
∴BC＝9；
∴AC＝＝12，
∴tan∠B＝＝＝．
【变式3-3】（2021秋•宁远县校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，M是直角边AC上一点，MN⊥AB于点N，AN＝3，AM＝4，求cosB的值．

【解答】解：∵∠C＝90°，MN⊥AB，
∴∠C＝∠ANM＝90°，
又∵∠A＝∠A，
∴△AMN∽△ABC，
∴＝＝，
设AC＝3x，AB＝4x，
由勾股定理得：BC＝＝x，
在Rt△ABC中，cosB＝＝＝．
【考点2 锐角三角函数的增减性】
【典例4】（2022•五通桥区模拟）若锐角α满足cosα＜且tanα＜，则α的范围是（　　）
A．30°＜α＜45° B．45°＜α＜60° C．60°＜α＜90° D．30°＜α＜60°
【答案】B
【解答】解：∵α是锐角，
∴cosα＞0，
∵cosα＜，
∴0＜cosα＜，
又∵cos90°＝0，cos45°＝，
∴45°＜α＜90°；
∵α是锐角，
∴tanα＞0，
∵tanα＜，
∴0＜tanα＜，
又∵tan0°＝0，tan60°＝，
0＜α＜60°；
故45°＜α＜60°．
故选：B．
【变式4-1】（2020秋•庐阳区校级月考）如果∠A为锐角，sinA＝，那么（　　）
A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜45° C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90°
【答案】A
【解答】解：∵sin30°＝，0＜＜，
∴0°＜∠A＜30°．
故选：A．
【变式4-2】（2021•商河县校级模拟）当A为锐角，且＜cos∠A＜时，∠A的范围是（　　）
A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜60° C．60°＜∠A＜90° D．30°＜∠A＜45°
【答案】B
【解答】解：∵cos60°＝，cos30°＝，
∴30°＜∠A＜60°．
故选：B．