北师大版九年级下册5 三角函数的应用精品课后练习题

这是一份北师大版九年级下册5 三角函数的应用精品课后练习题，共22页。

1.4 三角形函数应用（知识解读）
【学习目标】
1.经历探索不可攀爬物体高度的过程，体会三角函数在解决生活中的应用；
2.能够把实际问题转化为数学问题，能够进行三角函数的计算；
3.会将类似问题构造直角三角形，利用三角函数的知识解决问题；
4.在解决问题中体会数学与生活的联系，发展学生的应用意识
【知识点梳理】
考点1 解直角三角形的应用
解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.
解这类问题的一般过程是：
(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.
(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.
(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.
(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.
考点2 解直角三角形的应用-坡度坡角
　在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：
　(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示.
　坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【典例分析】
【考点1 解直角三角形的应用】
【典例1】（2022•淮安）如图，湖边A、B两点由两段笔直的观景栈道AC和CB相连．为了计算A、B两点之间的距离，经测量得：∠BAC＝37°，∠ABC＝58°，AC＝80米，求A、B两点之间的距离．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）

【变式1-1】（2022•玉林）如图，从热气球A看一栋楼底部C的俯角是（　　）

A．∠BAD B．∠ACB C．∠BAC D．∠DAC
【变式1-2】（2019•海淀区校级一模）某滑雪场举办冰雪嘉年华活动，采用直升机航拍技术拍摄活动盛况，如图，通过直升机的镜头C观测到水平雪道一端A处的俯角为30°，另一端B处的俯角为45°．若直升机镜头C处的高度CD为200米，点A、D、B在同一直线上，则雪道AB的长度为（　　）

A．200 米 B．（200+200）米
C．600 米 D．（200+20）米
【变式1-3】（2022•贵港）如图，某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度，在点A处测得树顶C的仰角为45°，在点B处测得树顶C的仰角为60°，且A，B，D三点在同一直线上，若AB＝16m，则这棵树CD的高度是（　　）

A．8（3﹣）m B．8（3+）m C．6（3﹣）m D．6（3+）m
【典例2】（2022•东昌府区二模）美丽的东昌湖是我市的一大旅游胜地．如图，湖岸的一段AB长40米，AB与桥CB所在的路线成30°的角，小亮在B点处测得BD与桥BC的夹角∠DBC＝60°，在点A处测得AD与平行于桥BC的直线之间的夹角为45°，桥BC与湖岸CD是垂直的．求湖岸上的路线CD的长．（结果保留根号）











【变式2-1】（2022•兰州模拟）如图，小斌家与某大厦的水平距离AB＝50m，小斌从自家的窗口C点眺望大厦BD，测得∠DCE＝58°，∠BCE＝37°（CE⊥BD于点E），求大厦BD的高度．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

【变式2-2】（2021秋•西峡县期末）如图，A、B两地间有一座山，汽车原来从A地到B地需要经折线ACB绕山行驶．为加快城乡对接，建立全域美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建，在这座山打一条隧道，使汽车可以直接沿AB行驶．已知AC＝80千米，∠A＝30°，∠B＝45°．求：
（1）开通隧道前，汽车从A地到B地需要行驶多少千米；
（2）开通隧道后汽车从A地到B地大约少行驶多少千米？（结果精确到0.1千米）（参考数据：≈1.41，≈1.73）








【变式2-3】（2022•内蒙古）在一次综合实践活动中，某小组对一建筑物进行测量．如图，在山坡坡脚C处测得该建筑物顶端B的仰角为60°，沿山坡向上走20m到达D处，测得建筑物顶端B的仰角为30°．已知山坡坡度i＝3：4，即tanθ＝，请你帮助该小组计算建筑物的高度AB．
（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.732）


【考点2 ：解直角三角形的应用-坡度坡角】
【典例3】（2022秋•济南月考）如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡度是1：，堤坝高BC＝50cm，水平宽度AC的长度（　　）

A．100cm B． C．150cm D．
【变式3-1】（2022•宜兴市校级二模）如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡度i＝1：2，堤高BC＝6m，则坡面AB的长度是（　　）

A．6m B．12 m C．6m D．6 m



【变式3-2】（2022•金平区校级模拟）如图大坝的横断面，斜坡AB的坡比i＝1：2，背水坡CD的坡比i＝1：1，若坡面CD的长度为米，则斜坡AB的长度为（　　）

A．米 B．米 C．米 D．24米
【典例4】（2022•保亭县二模）如图，某校一幢教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌CD．小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为45°，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为30°．已知山坡AB的坡度米，AE＝15米．
（1）∠BAH＝　 　°；点B距水平面AE的高度BH＝　 　米；
（2）求广告牌CD的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：．）

【变式4-1】（2022•鄂伦春自治旗四模）数学兴趣小组的同学想要测量一楼房AB的高度，如图，楼房AB后有一假山，假山坡脚C与楼房水平距离为15米，其斜坡CD坡度为1：2，山坡坡面上点E处有一休息亭，一名同学从坡脚C处出发沿山坡走了20米达到凉亭E，在A处测得E的俯角为45°．
（1）求点E距水平地面的高度；
（2）求楼房AB的高．（留根号）



【变式4-2】（2022•顺城区模拟）日照间距系数反映了房屋日照情况．如图①，当前后房屋都朝向正南时，日照间距系数＝L：（H﹣H1），其中L为楼间水平距离，H为南侧楼房高度，H1为北侧楼房底层窗台至地面高度．

如图②，山坡EF朝北，EF长为15m，坡度为i＝1：0.75，山坡顶部平地EM上有一高为23.9m的楼房AB，底部A到E点的距离为4m．
（1）求山坡EF的水平宽度FH；
（2）欲在AB楼正北侧山脚的平地FN上建一楼房CD，已知该楼底层窗台P处至地面C处的高度为0.9m，要使该楼的日照间距系数不低于1.2，底部C距F处至少多远？











1.4 三角形函数应用（知识解读）
【学习目标】
1.经历探索不可攀爬物体高度的过程，体会三角函数在解决生活中的应用；
2.能够把实际问题转化为数学问题，能够进行三角函数的计算；
3.会将类似问题构造直角三角形，利用三角函数的知识解决问题；
4.在解决问题中体会数学与生活的联系，发展学生的应用意识
【知识点梳理】
考点1 解直角三角形的应用
解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.
解这类问题的一般过程是：
(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.
(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.
(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.
(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.
考点2 解直角三角形的应用-坡度坡角
　在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：
　(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示.
　坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【典例分析】
【考点1 解直角三角形的应用】
【典例1】（2022•淮安）如图，湖边A、B两点由两段笔直的观景栈道AC和CB相连．为了计算A、B两点之间的距离，经测量得：∠BAC＝37°，∠ABC＝58°，AC＝80米，求A、B两点之间的距离．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）

【解答】解：如图，过点C作CD⊥AB，垂足为点D，

在Rt△ACD中，
∵∠DAC＝37°，AC＝80米，
∴sin∠DAC＝，cos∠DAC＝，
∴CD＝AC•sin37°≈80×0.60＝48（米），
AD＝AC•cos37°≈80×0.80＝64（米），
在Rt△BCD中，
∵∠CBD＝58°，CD＝48米，
∴tan∠CBD＝，
∴BD＝≈＝30（米），
∴AB＝AD+BD＝64+30＝94（米）．
答：A、B两点之间的距离约为94米．
【变式1-1】（2022•玉林）如图，从热气球A看一栋楼底部C的俯角是（　　）

A．∠BAD B．∠ACB C．∠BAC D．∠DAC
【答案】D
【解答】解：从热气球A看一栋楼底部C的俯角是∠DAC．
故选：D．
【变式1-2】（2019•海淀区校级一模）某滑雪场举办冰雪嘉年华活动，采用直升机航拍技术拍摄活动盛况，如图，通过直升机的镜头C观测到水平雪道一端A处的俯角为30°，另一端B处的俯角为45°．若直升机镜头C处的高度CD为200米，点A、D、B在同一直线上，则雪道AB的长度为（　　）

A．200 米 B．（200+200）米
C．600 米 D．（200+20）米
【答案】B
【解答】解：由题意知，∠A＝30°，∠B＝45°，CD＝200米，
在Rt△ACD中，∵tan∠A＝，
∴AD＝＝＝＝200（米），
在Rt△BCD中，∵∠B＝45°，
∴BD＝CD＝200米，
∴AB＝AD+BD＝200+200（米），
故选：B．
【变式1-3】（2022•贵港）如图，某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度，在点A处测得树顶C的仰角为45°，在点B处测得树顶C的仰角为60°，且A，B，D三点在同一直线上，若AB＝16m，则这棵树CD的高度是（　　）

A．8（3﹣）m B．8（3+）m C．6（3﹣）m D．6（3+）m
【答案】A
【解答】解：设AD＝x米，
∵AB＝16米，
∴BD＝AB﹣AD＝（16﹣x）米，
在Rt△ADC中，∠A＝45°，
∴CD＝AD•tan45°＝x（米），
在Rt△CDB中，∠B＝60°，
∴tan60°＝＝＝，
∴x＝24﹣8，
经检验：x＝24﹣8是原方程的根，
∴CD＝（24﹣8）米，
∴这棵树CD的高度是（24﹣8）米，
故选：A．

【典例2】（2022•东昌府区二模）美丽的东昌湖是我市的一大旅游胜地．如图，湖岸的一段AB长40米，AB与桥CB所在的路线成30°的角，小亮在B点处测得BD与桥BC的夹角∠DBC＝60°，在点A处测得AD与平行于桥BC的直线之间的夹角为45°，桥BC与湖岸CD是垂直的．求湖岸上的路线CD的长．（结果保留根号）

【解答】解：过点A作AE⊥BC，垂足为E，过点A作AF⊥DC，垂足为F，

则AE＝CF，AF＝EC，∠ABE＝30°，∠DAF＝45°，
在Rt△ABE中，AB＝40米，
∴AE＝AB＝20（米），BE＝AE＝20（米），
∴AE＝CF＝20米，
设BC＝x米，
∴AF＝EC＝BE+BC＝（x+20）米，
在Rt△BCD中，∠DBC＝60°，
∴DC＝BC•tan60°＝x（米），
∴DF＝DC﹣CF＝（x﹣20）米，
在Rt△ADF中，∠DAF＝45°，
∴tan45°＝＝＝1，
∴x＝40+20，
经检验：x＝40+20是原方程的根，
∴DC＝x＝（40+60）米，
∴湖岸上的路线CD的长为（40+60）米．
【变式2-1】（2022•兰州模拟）如图，小斌家与某大厦的水平距离AB＝50m，小斌从自家的窗口C点眺望大厦BD，测得∠DCE＝58°，∠BCE＝37°（CE⊥BD于点E），求大厦BD的高度．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

【解答】解：由题意得：CE＝AB＝50m，
∵CE⊥BD，∠DCE＝58°，∠BCE＝37°
∴DE＝CE•tan∠DCE≈50×1.60＝80（m），
BE＝CE•tan∠BCE≈50×0.75＝37.5（m），
∴BD＝BE+DE＝117.5（m）．
答：大厦BD的高度约为117.5m．
【变式2-2】（2021秋•西峡县期末）如图，A、B两地间有一座山，汽车原来从A地到B地需要经折线ACB绕山行驶．为加快城乡对接，建立全域美丽乡村，某地区对A、B两地间的公路进行改建，在这座山打一条隧道，使汽车可以直接沿AB行驶．已知AC＝80千米，∠A＝30°，∠B＝45°．求：
（1）开通隧道前，汽车从A地到B地需要行驶多少千米；
（2）开通隧道后汽车从A地到B地大约少行驶多少千米？（结果精确到0.1千米）（参考数据：≈1.41，≈1.73）

【解答】解：（1）如图，过点C作AB的垂线CD，垂足为D，

∵AB⊥CD，sin30°＝，AC＝80千米，
∴CD＝AC•sin30°＝80×＝40（千米），BC＝＝＝40（千米），
∴AC+BC＝80+40≈1.41×40+80＝136.4（千米）．
∴开通隧道前，汽车从地到地大约要走136.4千米．
（2）∵cos30°＝，AC＝80千米，
∴AD＝AC•cos30°＝80×＝40（千米），
∵tan45°＝，CD＝40（千米），
∴BD＝＝＝40（千米），
∴AB＝BD+AD＝40+40≈40+40×1.73＝109.2（千米）．
∴汽车从A地到B地比原来少走的路程为：
AC+BC﹣AB＝136.4﹣109.2＝27.2（千米）．
∴开通隧道后，汽车从A地到B地大约可以少走27.2千米．
【变式2-3】（2022•内蒙古）在一次综合实践活动中，某小组对一建筑物进行测量．如图，在山坡坡脚C处测得该建筑物顶端B的仰角为60°，沿山坡向上走20m到达D处，测得建筑物顶端B的仰角为30°．已知山坡坡度i＝3：4，即tanθ＝，请你帮助该小组计算建筑物的高度AB．
（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.732）

【解答】解：过点D作DE⊥AC，垂足为E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，

则DE＝AF，DF＝AE，
在Rt△DEC中，tanθ＝＝，
设DE＝3x米，则CE＝4x米，
∵DE2+CE2＝DC2，
∴（3x）2+（4x）2＝400，
∴x＝4或x＝﹣4（舍去），
∴DE＝AF＝12米，CE＝16米，
设BF＝y米，
∴AB＝BF+AF＝（12+y）米，
在Rt△DBF中，∠BDF＝30°，
∴DF＝＝＝y（米），
∴AE＝DF＝y米，
∴AC＝AE﹣CE＝（y﹣16）米，
在Rt△ABC中，∠ACB＝60°，
∴tan60°＝＝＝，
解得：y＝6+8，
经检验：y＝6+8是原方程的根，
∴AB＝BF+AF＝18+8≈31.9（米），
∴建筑物的高度AB约为31.9米．
【考点2 ：解直角三角形的应用-坡度坡角】
【典例3】（2022秋•济南月考）如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡度是1：，堤坝高BC＝50cm，水平宽度AC的长度（　　）

A．100cm B． C．150cm D．
【答案】D
【解答】解：∵AB的坡度是1：，
∴，
解得AC＝．
经检验，AC＝是原方程的解且符合题意，
∴水平宽度AC的长度为cm．
故选：D．
【变式3-1】（2022•宜兴市校级二模）如图所示，河堤横断面迎水坡AB的坡度i＝1：2，堤高BC＝6m，则坡面AB的长度是（　　）

A．6m B．12 m C．6m D．6 m
【答案】D
【解答】解：∵迎水坡AB的坡度i＝1：2，
∴＝，
∴AC＝2BC＝12（米），
在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB＝＝＝6（米），
故选：D．
【变式3-2】（2022•金平区校级模拟）如图大坝的横断面，斜坡AB的坡比i＝1：2，背水坡CD的坡比i＝1：1，若坡面CD的长度为米，则斜坡AB的长度为（　　）

A．米 B．米 C．米 D．24米
【答案】C
【解答】解：过B作BE⊥AD于E，过C作CF⊥AD于F，如图所示：
则四边形BEFC是矩形，
∴BE＝CF，
∵背水坡CD的坡比i＝1：1，CD＝米，
∴CF＝DF＝CD＝6（米），
∴BE＝CF＝6米，
又∵斜坡AB的坡比i＝1：2＝，
∴AE＝2BE＝12（米），
∴AB＝＝＝6（米），
故选：C．

【典例4】（2022•保亭县二模）如图，某校一幢教学大楼的顶部竖有一块“传承文明，启智求真”的宣传牌CD．小明在山坡的坡脚A处测得宣传牌底部D的仰角为45°，沿山坡向上走到B处测得宣传牌顶部C的仰角为30°．已知山坡AB的坡度米，AE＝15米．
（1）∠BAH＝　 　°；点B距水平面AE的高度BH＝　 　米；
（2）求广告牌CD的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：．）

【解答】解：（1）过点B作作BG⊥DE于点G，如图：

在Rt△ABH中，i＝tan∠BAH＝＝，
∴∠BAH＝30°，
∴BH＝AB＝5（米）；
故答案为：30，5；
（2）在Rt△ABH中，BH＝5米，AB＝10米，
∴AH＝＝＝5．
∴BG＝AH+AE＝（5+15）米．
在Rt△BGC中，
∵∠CBG＝30°，
∴CG：BG＝，
∴CG＝（5+5）米．
在Rt△ADE中，∠DAE＝45°，AE＝15米，
∴DE＝AE＝15米，
∴CD＝CG+GE﹣DE＝5+5+5﹣15＝5﹣5≈3.7（米）．
答：广告牌CD的高度约为3.7米．
【变式4-1】（2022•鄂伦春自治旗四模）数学兴趣小组的同学想要测量一楼房AB的高度，如图，楼房AB后有一假山，假山坡脚C与楼房水平距离为15米，其斜坡CD坡度为1：2，山坡坡面上点E处有一休息亭，一名同学从坡脚C处出发沿山坡走了20米达到凉亭E，在A处测得E的俯角为45°．
（1）求点E距水平地面的高度；
（2）求楼房AB的高．（留根号）

【解答】解：（1）过点E作EF⊥BC于点F，

∵斜坡CD坡度为1：2，
∴＝，
∴CF＝2EF，
在Rt△CEF中，CE＝20米，
∵CF2+EF2＝CE2，
∴EF2+（2EF）2＝202，
解得：EF＝或EF＝﹣4（舍去），
∴点E距水平面BC的高度为米；
（2）过点E作EH⊥AB于点H，

则HE＝BF，BH＝EF＝4米，
在Rt△AHE中，∠HAE＝90°﹣45°＝45°，
∴EH＝AH•tan45°＝AH，
由（1）得：
CF＝2EF＝（米），
∵BC＝15米，
∴HE＝BF＝BC+CF＝（15+）米，
∴AH＝HE＝（15+）米，
∴AB＝AH+BH＝15++＝（15+）米，
∴楼房AB的高为（15+）米．
【变式4-2】（2022•顺城区模拟）日照间距系数反映了房屋日照情况．如图①，当前后房屋都朝向正南时，日照间距系数＝L：（H﹣H1），其中L为楼间水平距离，H为南侧楼房高度，H1为北侧楼房底层窗台至地面高度．

如图②，山坡EF朝北，EF长为15m，坡度为i＝1：0.75，山坡顶部平地EM上有一高为23.9m的楼房AB，底部A到E点的距离为4m．
（1）求山坡EF的水平宽度FH；
（2）欲在AB楼正北侧山脚的平地FN上建一楼房CD，已知该楼底层窗台P处至地面C处的高度为0.9m，要使该楼的日照间距系数不低于1.2，底部C距F处至少多远？
【解答】解：（1）∵山坡EF坡度为i＝1：0.75，
∴＝＝，
设EH＝4xm，则FH＝3xm，
∴EF＝＝5xm，
∵EF＝15m，
∴5x＝15m，
解得：x＝3，
∴FH＝3x＝9m，
答：山坡EF的水平宽度FH为9m；
（2）由题意得：L＝CF+FH+EA＝CF+9+4＝CF+13，H＝AB+EH＝23.9+12＝35.9，H1＝0.9，
∴日照间距系数＝L：（H﹣H1）＝＝，
∵该楼的日照间距系数不低于1.2，
∴≥1.2，
解得：CF≥29，
答：要使该楼的日照间距系数不低于1.2，底部C距F处至少29m远．