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数学北师大版5 确定圆的条件精品课后练习题
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这是一份数学北师大版5 确定圆的条件精品课后练习题，共34页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题3.5 确定圆的条件（能力提升）
一、选择题。
1．（2022秋•西山区校级期中）已知圆的半径为5，一点到圆心的距离是2，则这点在（ ）
A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．都有可能
2．（2022秋•海淀区校级期中）在平面内，已知OP＝2，OQ＝4，若点P在⊙O上，那么点Q与⊙O的位置关系是（ ）
A．点Q在⊙O内 B．点Q在⊙O上 C．点Q在⊙O外 D．无法判断
3．（2022秋•仪征市期中）已知⊙O的半径为2cm，点P到圆心O的距离为，则点P在⊙O（ ）
A．上 B．内 C．外 D．内或外
4．（2021秋•临高县期末）已知点P在圆外，它到圆的最近距离是1cm，到圆的最远距离是7cm，则圆的半径为（ ）
A．3cm B．4cm C．3cm或4cm D．6cm
5．（2021秋•大城县期末）如图，点A（0，3），B（2，1），C在平面直角坐标系中，则△ABC的外心在（ ）
A．第四象限 B．第三象限 C．原点O处 D．y轴上
6．（2021秋•靖西市期末）在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，有以下结论：＝＝＝2R（其中R为△ABC的外接圆半径）成立．在△ABC中，若∠A＝85°，∠B＝65°，c＝4，则△ABC的外接圆面积为（ ）
A． B． C．16π D．64π
7．（2022秋•鼓楼区期中）如图，正方形ABCD、等边三角形AEF内接于同一个圆，则的度数为（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
8．（2022秋•海安市期中）如图，⊙O的半径为2，AB是直径，点C，M在⊙O上，∠AOC＝120°，取弦AM的中点N，连接CN，当点M在⊙O上运动时，线段CN的最小值为（ ）
A．2 B．−1 C．3−1 D．−1
9．（2022秋•天宁区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0）、B（3，0），C为平面内的动点，且满足∠ACB＝90°，D为直线y＝x上的动点．则线段CD长的最小值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．+1
10．（2022秋•江汉区期中）如图，△ABC的顶点均在⊙O上，且AB＝AC，∠BAC＝120°，D为弦BC的中点，弦EF经过点D，且EF∥AB．若⊙O的半径为4，则弦EF的长是（ ）
A．3 B．2 C．2 D．2
二、填空题。
11．（2022秋•邳州市期中）已知⊙O的半径为1cm，点O与点P之间的距离OP＝2cm，则点P在 ．（填“圆内”、“圆上”或“圆外”）
12．（2022•香洲区校级开学）如图，F为正方形ABCD的边CD上一动点，AB＝2，连接BF，过A作AH⊥BF交BC于H，交BF于G，连接CG，当CG为最小值时，CH的长为 ．
13．（2021秋•长沙期末）如图，⊙O的半径为2，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC，若弦BC的长度为，则∠BAC＝ 度．
14．（2022秋•定海区期中）如图，△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝45°，D为△ABC内一动点，⊙O为△ACD的外接圆，直线BD交⊙O于P点，交BC于E点，，则AD的最小值为 ．
15．（2022秋•拱墅区校级期中）如图，⊙O为等边△ABC的外接圆，半径为2，点D在劣弧AB上运动（不与点A，B重合），连接DA，DB，DC．
①当点D在劣弧中点时，四边形ADBC的面积是 ；
②四边形ADBC的面积y关于线段DC的长x的函数关系式为 ．
16．（2022秋•下城区期中）如图，正方形ABCD和等边△AEF都内接于圆O，EF与BC，CD别相交于点G，H．若AE＝6，则⊙O的半径长为 ；EG的长为 ．
17．（2022•惠城区二模）如图，圆内4个正方形的边长均为2a，若点A，B，C，D，E在同一条直线上，点E，F，G在同一个圆上，则此圆的半径为 ．
18．（2022秋•镇海区校级期中）如图，等腰△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D是AC上一点，连结BD，点E是BD上一点，满足∠ABE＝∠ECB．若CD＝2，则△AEC的面积是 ．
三、解答题。
19．（2021•寻乌县模拟）如图，图①，图②均为由菱形ABCD与圆组合成的轴对称图形．请你只用无刻度的直尺，分别在图①（已知A，C两点在⊙O内，B，D两点在⊙O上），图②（已知A，C，D三点在⊙O外，点B在⊙O上，且∠A＝90°）中找出圆心O的准确位置．
20．（2021秋•新昌县期中）已知：如图，△ABC内接于⊙O，AE是⊙O的直径，AD⊥BC于点D，∠BAE与∠CAD相等吗？若相等，请给出证明；若不相等，请说明理由．
21．（2022•德城区模拟）如图，锐角△ABC的三边长分别为BC＝a，AC＝b，AB＝c，∠BAC的平分线交BC于点E．交△ABC的外接圆于点D，边BC的中点为M．
（1）求证：MD垂直BC；
（2）求的值（用a，b，c表示）；
22．（2022秋•东城区校级期中）如图，△ABC内接于⊙O，高AD经过圆心O．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若BC＝16，⊙O的半径为10．求△ABC的面积．
23．（2022秋•溧阳市期中）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，直径AB＝4，CD平分∠ACB交⊙O于点D，交AB于点E，连接AD、BD．
（1）若∠CAB＝25°，求∠AED的度数；
（2）求AD的长．
24．（2022秋•江汉区期中）如图，已知△ABC的三个顶点都在⊙O上，AB＝AC，F是上一点，BF⊥AC于E．
（1）若∠BCF＝3∠F，求∠A的度数；
（2）求证：BE＝EF+CF．
25．（2022秋•拱墅区校级期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点F在BC边上，过A，B，F三点的⊙O交AC于点D，作直径AE，连结EF并延长交AC于点G，连结BE，BD，此时BD∥EG．
（1）求证：AB＝BF；
（2）当F为BC的中点且AC＝3时，求⊙O的直径长．
26．（2022秋•台江区校级月考）如图，△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，E是上一点，弦BE交AC于点F，弦AD⊥BE于点G，连接CD、CG，且∠CBE＝∠ACG．
（1）求证：∠CAG＝∠ABE；
（2）求证：CG＝CD；
（3）若AB＝4，BC＝2，求GF的长．
专题3.5 确定圆的条件（能力提升）
一、选择题。
1．（2022秋•西山区校级期中）已知圆的半径为5，一点到圆心的距离是2，则这点在（ ）
A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．都有可能
【答案】A。
【解答】解：∵圆心的距离2＜圆的半径5，
∴点在圆内，
故选：A．
2．（2022秋•海淀区校级期中）在平面内，已知OP＝2，OQ＝4，若点P在⊙O上，那么点Q与⊙O的位置关系是（ ）
A．点Q在⊙O内 B．点Q在⊙O上 C．点Q在⊙O外 D．无法判断
【答案】C。
【解答】解：∵点P在⊙O上，
∴⊙O的半径OP＝2．
∵OQ＝4，
∴OQ＞⊙O的半径，
∴点Q在⊙O外．
故选：C．
3．（2022秋•仪征市期中）已知⊙O的半径为2cm，点P到圆心O的距离为，则点P在⊙O（ ）
A．上 B．内 C．外 D．内或外
【答案】B。
【解答】解：∵⊙O的半径为2cm，点P到圆心O的距离为cm，2cm＞cm，
∴点P在圆内．
故选：B．
4．（2021秋•临高县期末）已知点P在圆外，它到圆的最近距离是1cm，到圆的最远距离是7cm，则圆的半径为（ ）
A．3cm B．4cm C．3cm或4cm D．6cm
【答案】A。
【解答】解：P为圆外一点，且P点到圆上点的最近距离为1cm，到圆上点的最远距离为7cm，则圆的直径是7﹣1＝6（cm），因而半径是3cm．
故选：A．
5．（2021秋•大城县期末）如图，点A（0，3），B（2，1），C在平面直角坐标系中，则△ABC的外心在（ ）
A．第四象限 B．第三象限 C．原点O处 D．y轴上
【答案】B。
【解答】解：如图，根据网格点O′即为所求．
∵△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，
∴EF与MN的交点O′即为所求的△ABC的外心，
∴△ABC的外心坐标是（﹣2，﹣1）．
故选：B．
6．（2021秋•靖西市期末）在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，有以下结论：＝＝＝2R（其中R为△ABC的外接圆半径）成立．在△ABC中，若∠A＝85°，∠B＝65°，c＝4，则△ABC的外接圆面积为（ ）
A． B． C．16π D．64π
【答案】C。
【解答】解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣85°﹣65°＝30°，
∵＝2R，
∴2R＝＝＝8，
∴R＝4，
∴S＝πR2＝π42＝16π，
故选：C．
7．（2022秋•鼓楼区期中）如图，正方形ABCD、等边三角形AEF内接于同一个圆，则的度数为（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【答案】D。
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，△AEF是等边三角形，
∴∠BAD＝90°，∠EAF＝60°，
∵已知图形是以正方形ABCD的对角线AC所在直线为对称轴的轴对称图形，
∴∠BAE＝∠DAF＝×（90°﹣60°）＝15°，
∵∠BAE是所对的圆周角，
∴所对的圆心角等于2×15°＝30°，
∴的度数为30°，
故选：D．
8．（2022秋•海安市期中）如图，⊙O的半径为2，AB是直径，点C，M在⊙O上，∠AOC＝120°，取弦AM的中点N，连接CN，当点M在⊙O上运动时，线段CN的最小值为（ ）
A．2 B．−1 C．3−1 D．−1
【答案】D。
【解答】解：连接ON，AC，
∵点N是AM的中点，
∴ON⊥AM，
∴点N在以OA为直径的圆上，设为⊙Q，
∴OQ＝AQ＝QN＝1，
连接CQ，与⊙Q的交点即为N点，此时CN有最小值，最小值为CQ﹣QN，
作OP⊥AC于P，QH⊥AC于H，
∵OA＝OC，
∴P是AC的中点，
∵∠AOC＝120°，
∴∠OAC＝∠OCA＝30°，
∴AP＝OA＝，AH＝AQ＝，QH＝AQ＝，
∴AC＝2，
∴CH＝，
∴CQ＝＝，
∴CN的最小值为﹣1，
故选：D．
9．（2022秋•天宁区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0）、B（3，0），C为平面内的动点，且满足∠ACB＝90°，D为直线y＝x上的动点．则线段CD长的最小值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．+1
【答案】B。
【解答】解：∵∠ACB＝90°，
∴点C在以AB为直径的圆上，
AB为直径的圆的圆心为E点，如图，
连接DE交⊙E于C′，
∵A（1，0），B（3，0），
∴AB＝2，AE＝1，
∴DC≤DE﹣CE（当且仅当D、C、E共线时取等号），
即DC≤DE﹣1，
∵DE⊥直线y＝x时，DE最短，DE的最小值为OE＝，
∴线段CD长的最小值为﹣1．
故选：B．
10．（2022秋•江汉区期中）如图，△ABC的顶点均在⊙O上，且AB＝AC，∠BAC＝120°，D为弦BC的中点，弦EF经过点D，且EF∥AB．若⊙O的半径为4，则弦EF的长是（ ）
A．3 B．2 C．2 D．2
【答案】B。
【解答】解：连接OA、OB、OF，作OH⊥EF于点H，则∠OHD＝∠OHF＝90°，
∵AB＝AC，
∴＝，
∴OA垂直平分BC，
∵D为弦BC的中点，
∴BD＝CD，OA经过点D，
∵∠BAC＝120°，
∴∠OAB＝∠OBA＝∠BAC＝60°，
∵OA＝OB＝4，
∴△AOB是等边三角形，
∵OA⊥BC于点D，
∴OD＝AD＝OA＝2，
∵EF∥AB，
∴∠ODH＝∠OAB＝60°，
∴∠DOH＝30°，
∴DH＝OD＝1，
∴OH＝＝＝，
∵OF＝4，
∴EH＝FH＝＝＝，
∴EF＝2，
故选：B．
二、填空题。
11．（2022秋•邳州市期中）已知⊙O的半径为1cm，点O与点P之间的距离OP＝2cm，则点P在 圆外 ．（填“圆内”、“圆上”或“圆外”）
【答案】圆外。
【解答】解：∵⊙O的半径为1cm，点O与点P之间的距离OP＝2cm，2cm＞1cm，
∴点P在圆外．
故答案为：圆外．
12．（2022•香洲区校级开学）如图，F为正方形ABCD的边CD上一动点，AB＝2，连接BF，过A作AH⊥BF交BC于H，交BF于G，连接CG，当CG为最小值时，CH的长为 3﹣． ．
【答案】3﹣。
【解答】解：如图1中，取AB的中点O，连接OG，OC．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，
∵AB＝2，
∴OB＝OA＝1，
∴OC＝＝＝，
∵AH⊥BF，
∴∠AGB＝90°，
∵AO＝OB，
∴OG＝AB＝1，
∵CG≥OC﹣OG，
∴当O，G，C共线时，CG的值最小，最小值＝﹣1（如图2中），
∵OB＝OG＝1，
∴∠OBG＝∠OGB，
∵AB∥CD，
∴∠OBG＝∠CFG，
∵∠OGB＝∠CGF，
∴∠CGF＝∠CFG，
∴CF＝CG＝﹣1，
∵∠ABH＝∠BCF＝∠AGB＝90°，
∴∠BAH+∠ABG＝90°，∠ABG+∠CBF＝90°，
∴∠BAH＝∠CBF，
∵AB＝BC，
∴△ABH≌△BCF（ASA），
∴BH＝CF＝﹣1，
∴CH＝BC﹣BH＝2﹣（﹣1）＝3﹣，
故答案为：3﹣．
13．（2021秋•长沙期末）如图，⊙O的半径为2，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC，若弦BC的长度为，则∠BAC＝ 60 度．
【答案】60。
【解答】解：过点O作OD⊥BC于D，
则BD＝BC＝，∠BOD＝∠COD，
在Rt△BOD中，sin∠BOD＝＝，
∴∠BOD＝60°，
∴∠BOC＝120°，
∴∠BAC＝∠BOD＝60°，
故答案为：60．
14．（2022秋•定海区期中）如图，△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝45°，D为△ABC内一动点，⊙O为△ACD的外接圆，直线BD交⊙O于P点，交BC于E点，，则AD的最小值为 1 ．
【答案】1。
【解答】解：∵＝，
∴∠ACB＝∠CDP．
∵∠ACB＝45°，
∴∠CDP＝45°，
∴∠BDC＝180°﹣45°＝135°，
∴点D在以BC为弦，∠BDC＝135°的圆弧上运动，
如图，设D点运动的圆弧圆心为M，取优弧BC上一点N，
连接MB，MC，NB，NC，AM，MD，
则∠BNC＝180°﹣∠BDC＝45°，
∴∠BMC＝90°，
∵BM＝CM，
∴△BMC为等腰直角三角形，
∴∠MCB＝45°，MC＝BC＝4，
∵∠ACB＝45°，
∴∠ACM＝90°，
∴AM＝＝＝5，
∴当A、D、M三点共线时，AD最小，
此时，AD＝AM﹣MD＝5﹣4＝1．
故答案为：1．
15．（2022秋•拱墅区校级期中）如图，⊙O为等边△ABC的外接圆，半径为2，点D在劣弧AB上运动（不与点A，B重合），连接DA，DB，DC．
①当点D在劣弧中点时，四边形ADBC的面积是 4 ；
②四边形ADBC的面积y关于线段DC的长x的函数关系式为 S＝x2（2＜x≤4） ．
【答案】S＝x2（2＜x≤4）。
【解答】解：（1）连接CD，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，
∵∠ADC＝∠ABC＝60°，∠BDC＝∠BAC＝60°，
∵点D是劣弧的中点，
∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝30°，
∴∠DAC＝∠DBC＝90°，
∴CD是⊙O的直径，
∴CD＝4，
∴AD＝BD＝2，BC＝AC＝2，
∴S四边形ADBC＝S△ADC+S△BDC＝×2×2+×2×2＝4，
故答案为：4；
（2）如图，将△ADC绕点C逆时针旋转60°，得到△BHC，
则CD＝CH，∠DAC＝∠HBC，
∵四边形ACBD是圆内接四边形，
∴∠DAC+∠DBC＝180°，
∴∠DBC+∠HBC＝180°，
∴点D，点B，点H三点共线，
∵DC＝CH，∠CDH＝60°，
∴△DCH是等边三角形，
∵四边形ADBC的面积S＝S△ADC+S△BDC＝S△CDH＝CD2，
∴S＝x2（2＜x≤4）．
故答案为：S＝x2（2＜x≤4）．
16．（2022秋•下城区期中）如图，正方形ABCD和等边△AEF都内接于圆O，EF与BC，CD别相交于点G，H．若AE＝6，则⊙O的半径长为 2 ；EG的长为 3﹣ ．
【答案】2；3﹣。
【解答】解：如图1，连接OA、OE，过点O作OP⊥AE于P，
则AP＝PE＝AE＝3，
∵△AEF为正三角形，
∴∠AOE＝120°，
∵OA＝OE，
∴∠OAP＝30°，
∴OA＝＝2；
连接BD、AC，AC交EF于Q，连接OF，
则AC⊥EF，
∴EQ＝EF＝3，
在Rt△OQF中，∠OFQ＝30°，
∴OQ＝OF＝，
∴CQ＝OC﹣OQ＝，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠GCQ＝45°，
∴GQ＝CQ＝，
∴EG＝EQ﹣QG＝3﹣，
故答案为：2；3﹣．
17．（2022•惠城区二模）如图，圆内4个正方形的边长均为2a，若点A，B，C，D，E在同一条直线上，点E，F，G在同一个圆上，则此圆的半径为 a ．
【答案】。
【解答】解：连接CD，延长BA与圆交于点M，连接FM，GM，CG，CF，如图，
在△AGC和△EFC中，
，
∴△ACG≌△ECF（SAS），
∴CG＝CF，∠ACG＝∠ECF，
∵∠ECF+∠ACF＝180°，
∴∠ACG+∠ACF＝180°，
∴G、C、F三点共线，
∴FG＝2CG＝2＝4a，
∵∠MEF＝90°，
∴MF是圆的直径，
∴∠MGF＝90°，
∴∠MGC＝∠GAC＝90°，
∵∠MCG＝∠GCA，
∴△CAG∽△CGM，
∴，
即，
∴GM＝a，
∴FM＝，
∴圆的半径为，
故答案为：．
18．（2022秋•镇海区校级期中）如图，等腰△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D是AC上一点，连结BD，点E是BD上一点，满足∠ABE＝∠ECB．若CD＝2，则△AEC的面积是 ．
【答案】。
【解答】解：如图，连接AD、CD，过点D作DF⊥EC于F，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠ABC＝∠ACB＝＝30°＝∠ADB，
∵∠ABE＝∠ECB．
∴∠ABE+∠EBC＝∠EBC+∠ECB＝∠ABC＝30°，
∴∠DEC＝30°，
∴∠DEC＝∠DCE＝30°＝∠ADB，
∴AD∥EC，
在△DEC中，CD＝2，∠DCE＝30°，
∴DF＝CD＝1，FC＝FE＝CD＝，
∴EC＝2FC＝2，
∴S△AEC＝S△DEC
＝×2×1
＝，
故答案为：．
三、解答题。
19．（2021•寻乌县模拟）如图，图①，图②均为由菱形ABCD与圆组合成的轴对称图形．请你只用无刻度的直尺，分别在图①（已知A，C两点在⊙O内，B，D两点在⊙O上），图②（已知A，C，D三点在⊙O外，点B在⊙O上，且∠A＝90°）中找出圆心O的准确位置．
【解答】解：如图①②，点O即为所求．
20．（2021秋•新昌县期中）已知：如图，△ABC内接于⊙O，AE是⊙O的直径，AD⊥BC于点D，∠BAE与∠CAD相等吗？若相等，请给出证明；若不相等，请说明理由．
【解答】解：∠BAE＝∠CAD．
理由：连接BE，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ABE＝90°，
∴∠BAE＝90°﹣∠E，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝90°﹣∠C，
∵∠E＝∠C，
∴∠BAE＝∠CAD．
21．（2022•德城区模拟）如图，锐角△ABC的三边长分别为BC＝a，AC＝b，AB＝c，∠BAC的平分线交BC于点E．交△ABC的外接圆于点D，边BC的中点为M．
（1）求证：MD垂直BC；
（2）求的值（用a，b，c表示）；
【解答】（1）证明：连接MD，
∵AD平分∠BAC，
∴，
∴BD＝CD，
又∵M是BC的中点，
∴MD垂直BC；
（2）解：∵∠DBC与∠BAD分别是与所对的圆周角，
∴∠DBC＝∠BAD，
又∵∠D是公共角，
∴△DBE∽△DAB，
∴，即，
∴BE＝；
同理，△DEC∽△DCA，
∴，
∵BD＝CD，
∴CE＝，
∵BE+CE＝BC，
∴，
∴．
22．（2022秋•东城区校级期中）如图，△ABC内接于⊙O，高AD经过圆心O．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若BC＝16，⊙O的半径为10．求△ABC的面积．
【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，
∴，
∴AB＝AC；
（2）解：连接OB，
∵AD⊥BC，
∴BD＝BC＝8，
在Rt△OBD中，BO＝10，BD＝8，
∴OD＝＝6，
∴AD＝AO+OD＝10+6＝16，
∴S△ABC＝BC•AD＝×16×16＝128．
23．（2022秋•溧阳市期中）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，直径AB＝4，CD平分∠ACB交⊙O于点D，交AB于点E，连接AD、BD．
（1）若∠CAB＝25°，求∠AED的度数；
（2）求AD的长．
【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝45°，
∵∠CAB＝25°，
∴∠AED＝∠ACE+∠CAE＝70°，
∴∠AED的度数为70°；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ACD＝∠BCD，
∴＝，
∴AD＝DB，
∵AB＝4，
∴AD＝BD＝＝2，
∴AD的长为2．
24．（2022秋•江汉区期中）如图，已知△ABC的三个顶点都在⊙O上，AB＝AC，F是上一点，BF⊥AC于E．
（1）若∠BCF＝3∠F，求∠A的度数；
（2）求证：BE＝EF+CF．
【解答】（1）解：∵BF⊥AC，
∴∠AEB＝90°，
∴∠ABF＝90°﹣∠A，
∵∠ABF＝∠ACF，∠F＝∠A，
∴∠ACF＝90°﹣∠A，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC＝，
∴∠BCF＝+90°﹣∠A，
∵∠BCF＝3∠F＝3∠A，
∴+90°﹣∠A＝3∠A，
解得∠A＝40°；
（2）证明：在线段BE上截取BM＝CF，连接AM，AF，如图所示：
在△ABM和△ACF中，
，
∴△ABM≌△ACF（SAS），
∴AM＝AF，
∵BF⊥AC于点E，
∴ME＝FE，
∴BE＝EF+CF．
25．（2022秋•拱墅区校级期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点F在BC边上，过A，B，F三点的⊙O交AC于点D，作直径AE，连结EF并延长交AC于点G，连结BE，BD，此时BD∥EG．
（1）求证：AB＝BF；
（2）当F为BC的中点且AC＝3时，求⊙O的直径长．
【解答】（1）证明：如图，连接AF，
∵AE是⊙O的直径，
∴AF⊥EG，
∵BD∥EG，
∴BD⊥AF，
∵∠BAC＝90°，
∴BD是⊙O的直径，
∴BD垂直平分AF，
∴AB＝BF；
（2）解：∵当F为BC的中点，
∴BF＝BC，
∵AB＝BF，
∴AB＝BC，
∵∠BAC＝90°，
∴∠C＝30°，
∴∠ABC＝60°，AB＝AC＝，
∵AB＝BF，
∴∠ABD＝30°，
∴AD＝AB＝1，BD＝2AD＝2，
∴⊙O的直径长为2．
26．（2022秋•台江区校级月考）如图，△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，E是上一点，弦BE交AC于点F，弦AD⊥BE于点G，连接CD、CG，且∠CBE＝∠ACG．
（1）求证：∠CAG＝∠ABE；
（2）求证：CG＝CD；
（3）若AB＝4，BC＝2，求GF的长．
【解答】（1）证明：∵BC是⊙O的直径，
∴∠CAB＝90°，
∴∠CAG+∠BAG＝90°，
∵AD⊥BE，
∴∠AGB＝90°，
∴∠BAG+∠ABE＝90°，
∴∠CAG＝∠ABE；
（2）证明：∵∠CGD＝∠CAG+∠ACG，∠ABC＝∠ABE+∠CBE，
由（1）知，∠CAG＝∠ABE，
∵∠CBE＝∠ACG，
∴∠CGD＝∠ABC，
∵∠ABC＝∠D，
∴∠DGC＝∠D，
∴CG＝CD；
（3）解：连接AE、CE，
∵BC是直径，
∴∠BEC＝90°，
∴∠AGE＝∠BEC，
∴AD∥CE，
∵∠CAE＝∠EBC，
∠ACG＝∠EBC，
∴∠CAE＝∠ACG，
∴AE∥CG，
∴四边形AGCE是平行四边形，
∴AF＝AC，
∵AC2＝BC2﹣AB2，
∴AC2＝﹣42，
∴AC＝6，
∴AF＝×6＝3，
∵BF2＝AF2+AB2，
∴BF2＝32+42，
∴BF＝5，
∵∠ABG＝∠ABF，∠AGB＝∠BAF，
∴△BAG∽△BFA，
∴BA：BF＝BG：BA，
∴4：5＝BG：4，
∴BG＝，
∵FG＝BF﹣BG，
∴FG＝5﹣＝．
专题3.5 确定圆的条件（能力提升）
一、选择题。
1．（2022秋•西山区校级期中）已知圆的半径为5，一点到圆心的距离是2，则这点在（ ）
A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．都有可能
2．（2022秋•海淀区校级期中）在平面内，已知OP＝2，OQ＝4，若点P在⊙O上，那么点Q与⊙O的位置关系是（ ）
A．点Q在⊙O内 B．点Q在⊙O上 C．点Q在⊙O外 D．无法判断
3．（2022秋•仪征市期中）已知⊙O的半径为2cm，点P到圆心O的距离为，则点P在⊙O（ ）
A．上 B．内 C．外 D．内或外
4．（2021秋•临高县期末）已知点P在圆外，它到圆的最近距离是1cm，到圆的最远距离是7cm，则圆的半径为（ ）
A．3cm B．4cm C．3cm或4cm D．6cm
5．（2021秋•大城县期末）如图，点A（0，3），B（2，1），C在平面直角坐标系中，则△ABC的外心在（ ）
A．第四象限 B．第三象限 C．原点O处 D．y轴上
6．（2021秋•靖西市期末）在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，有以下结论：＝＝＝2R（其中R为△ABC的外接圆半径）成立．在△ABC中，若∠A＝85°，∠B＝65°，c＝4，则△ABC的外接圆面积为（ ）
A． B． C．16π D．64π
7．（2022秋•鼓楼区期中）如图，正方形ABCD、等边三角形AEF内接于同一个圆，则的度数为（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
8．（2022秋•海安市期中）如图，⊙O的半径为2，AB是直径，点C，M在⊙O上，∠AOC＝120°，取弦AM的中点N，连接CN，当点M在⊙O上运动时，线段CN的最小值为（ ）
A．2 B．−1 C．3−1 D．−1
9．（2022秋•天宁区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0）、B（3，0），C为平面内的动点，且满足∠ACB＝90°，D为直线y＝x上的动点．则线段CD长的最小值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．+1
10．（2022秋•江汉区期中）如图，△ABC的顶点均在⊙O上，且AB＝AC，∠BAC＝120°，D为弦BC的中点，弦EF经过点D，且EF∥AB．若⊙O的半径为4，则弦EF的长是（ ）
A．3 B．2 C．2 D．2
二、填空题。
11．（2022秋•邳州市期中）已知⊙O的半径为1cm，点O与点P之间的距离OP＝2cm，则点P在 ．（填“圆内”、“圆上”或“圆外”）
12．（2022•香洲区校级开学）如图，F为正方形ABCD的边CD上一动点，AB＝2，连接BF，过A作AH⊥BF交BC于H，交BF于G，连接CG，当CG为最小值时，CH的长为 ．
13．（2021秋•长沙期末）如图，⊙O的半径为2，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC，若弦BC的长度为，则∠BAC＝ 度．
14．（2022秋•定海区期中）如图，△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝45°，D为△ABC内一动点，⊙O为△ACD的外接圆，直线BD交⊙O于P点，交BC于E点，，则AD的最小值为 ．
15．（2022秋•拱墅区校级期中）如图，⊙O为等边△ABC的外接圆，半径为2，点D在劣弧AB上运动（不与点A，B重合），连接DA，DB，DC．
①当点D在劣弧中点时，四边形ADBC的面积是 ；
②四边形ADBC的面积y关于线段DC的长x的函数关系式为 ．
16．（2022秋•下城区期中）如图，正方形ABCD和等边△AEF都内接于圆O，EF与BC，CD别相交于点G，H．若AE＝6，则⊙O的半径长为 ；EG的长为 ．
17．（2022•惠城区二模）如图，圆内4个正方形的边长均为2a，若点A，B，C，D，E在同一条直线上，点E，F，G在同一个圆上，则此圆的半径为 ．
18．（2022秋•镇海区校级期中）如图，等腰△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D是AC上一点，连结BD，点E是BD上一点，满足∠ABE＝∠ECB．若CD＝2，则△AEC的面积是 ．
三、解答题。
19．（2021•寻乌县模拟）如图，图①，图②均为由菱形ABCD与圆组合成的轴对称图形．请你只用无刻度的直尺，分别在图①（已知A，C两点在⊙O内，B，D两点在⊙O上），图②（已知A，C，D三点在⊙O外，点B在⊙O上，且∠A＝90°）中找出圆心O的准确位置．
20．（2021秋•新昌县期中）已知：如图，△ABC内接于⊙O，AE是⊙O的直径，AD⊥BC于点D，∠BAE与∠CAD相等吗？若相等，请给出证明；若不相等，请说明理由．
21．（2022•德城区模拟）如图，锐角△ABC的三边长分别为BC＝a，AC＝b，AB＝c，∠BAC的平分线交BC于点E．交△ABC的外接圆于点D，边BC的中点为M．
（1）求证：MD垂直BC；
（2）求的值（用a，b，c表示）；
22．（2022秋•东城区校级期中）如图，△ABC内接于⊙O，高AD经过圆心O．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若BC＝16，⊙O的半径为10．求△ABC的面积．
23．（2022秋•溧阳市期中）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，直径AB＝4，CD平分∠ACB交⊙O于点D，交AB于点E，连接AD、BD．
（1）若∠CAB＝25°，求∠AED的度数；
（2）求AD的长．
24．（2022秋•江汉区期中）如图，已知△ABC的三个顶点都在⊙O上，AB＝AC，F是上一点，BF⊥AC于E．
（1）若∠BCF＝3∠F，求∠A的度数；
（2）求证：BE＝EF+CF．
25．（2022秋•拱墅区校级期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点F在BC边上，过A，B，F三点的⊙O交AC于点D，作直径AE，连结EF并延长交AC于点G，连结BE，BD，此时BD∥EG．
（1）求证：AB＝BF；
（2）当F为BC的中点且AC＝3时，求⊙O的直径长．
26．（2022秋•台江区校级月考）如图，△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，E是上一点，弦BE交AC于点F，弦AD⊥BE于点G，连接CD、CG，且∠CBE＝∠ACG．
（1）求证：∠CAG＝∠ABE；
（2）求证：CG＝CD；
（3）若AB＝4，BC＝2，求GF的长．
专题3.5 确定圆的条件（能力提升）
一、选择题。
1．（2022秋•西山区校级期中）已知圆的半径为5，一点到圆心的距离是2，则这点在（ ）
A．圆内 B．圆上 C．圆外 D．都有可能
【答案】A。
【解答】解：∵圆心的距离2＜圆的半径5，
∴点在圆内，
故选：A．
2．（2022秋•海淀区校级期中）在平面内，已知OP＝2，OQ＝4，若点P在⊙O上，那么点Q与⊙O的位置关系是（ ）
A．点Q在⊙O内 B．点Q在⊙O上 C．点Q在⊙O外 D．无法判断
【答案】C。
【解答】解：∵点P在⊙O上，
∴⊙O的半径OP＝2．
∵OQ＝4，
∴OQ＞⊙O的半径，
∴点Q在⊙O外．
故选：C．
3．（2022秋•仪征市期中）已知⊙O的半径为2cm，点P到圆心O的距离为，则点P在⊙O（ ）
A．上 B．内 C．外 D．内或外
【答案】B。
【解答】解：∵⊙O的半径为2cm，点P到圆心O的距离为cm，2cm＞cm，
∴点P在圆内．
故选：B．
4．（2021秋•临高县期末）已知点P在圆外，它到圆的最近距离是1cm，到圆的最远距离是7cm，则圆的半径为（ ）
A．3cm B．4cm C．3cm或4cm D．6cm
【答案】A。
【解答】解：P为圆外一点，且P点到圆上点的最近距离为1cm，到圆上点的最远距离为7cm，则圆的直径是7﹣1＝6（cm），因而半径是3cm．
故选：A．
5．（2021秋•大城县期末）如图，点A（0，3），B（2，1），C在平面直角坐标系中，则△ABC的外心在（ ）
A．第四象限 B．第三象限 C．原点O处 D．y轴上
【答案】B。
【解答】解：如图，根据网格点O′即为所求．
∵△ABC的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，
∴EF与MN的交点O′即为所求的△ABC的外心，
∴△ABC的外心坐标是（﹣2，﹣1）．
故选：B．
6．（2021秋•靖西市期末）在锐角△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，有以下结论：＝＝＝2R（其中R为△ABC的外接圆半径）成立．在△ABC中，若∠A＝85°，∠B＝65°，c＝4，则△ABC的外接圆面积为（ ）
A． B． C．16π D．64π
【答案】C。
【解答】解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣85°﹣65°＝30°，
∵＝2R，
∴2R＝＝＝8，
∴R＝4，
∴S＝πR2＝π42＝16π，
故选：C．
7．（2022秋•鼓楼区期中）如图，正方形ABCD、等边三角形AEF内接于同一个圆，则的度数为（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【答案】D。
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，△AEF是等边三角形，
∴∠BAD＝90°，∠EAF＝60°，
∵已知图形是以正方形ABCD的对角线AC所在直线为对称轴的轴对称图形，
∴∠BAE＝∠DAF＝×（90°﹣60°）＝15°，
∵∠BAE是所对的圆周角，
∴所对的圆心角等于2×15°＝30°，
∴的度数为30°，
故选：D．
8．（2022秋•海安市期中）如图，⊙O的半径为2，AB是直径，点C，M在⊙O上，∠AOC＝120°，取弦AM的中点N，连接CN，当点M在⊙O上运动时，线段CN的最小值为（ ）
A．2 B．−1 C．3−1 D．−1
【答案】D。
【解答】解：连接ON，AC，
∵点N是AM的中点，
∴ON⊥AM，
∴点N在以OA为直径的圆上，设为⊙Q，
∴OQ＝AQ＝QN＝1，
连接CQ，与⊙Q的交点即为N点，此时CN有最小值，最小值为CQ﹣QN，
作OP⊥AC于P，QH⊥AC于H，
∵OA＝OC，
∴P是AC的中点，
∵∠AOC＝120°，
∴∠OAC＝∠OCA＝30°，
∴AP＝OA＝，AH＝AQ＝，QH＝AQ＝，
∴AC＝2，
∴CH＝，
∴CQ＝＝，
∴CN的最小值为﹣1，
故选：D．
9．（2022秋•天宁区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0）、B（3，0），C为平面内的动点，且满足∠ACB＝90°，D为直线y＝x上的动点．则线段CD长的最小值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．2 D．+1
【答案】B。
【解答】解：∵∠ACB＝90°，
∴点C在以AB为直径的圆上，
AB为直径的圆的圆心为E点，如图，
连接DE交⊙E于C′，
∵A（1，0），B（3，0），
∴AB＝2，AE＝1，
∴DC≤DE﹣CE（当且仅当D、C、E共线时取等号），
即DC≤DE﹣1，
∵DE⊥直线y＝x时，DE最短，DE的最小值为OE＝，
∴线段CD长的最小值为﹣1．
故选：B．
10．（2022秋•江汉区期中）如图，△ABC的顶点均在⊙O上，且AB＝AC，∠BAC＝120°，D为弦BC的中点，弦EF经过点D，且EF∥AB．若⊙O的半径为4，则弦EF的长是（ ）
A．3 B．2 C．2 D．2
【答案】B。
【解答】解：连接OA、OB、OF，作OH⊥EF于点H，则∠OHD＝∠OHF＝90°，
∵AB＝AC，
∴＝，
∴OA垂直平分BC，
∵D为弦BC的中点，
∴BD＝CD，OA经过点D，
∵∠BAC＝120°，
∴∠OAB＝∠OBA＝∠BAC＝60°，
∵OA＝OB＝4，
∴△AOB是等边三角形，
∵OA⊥BC于点D，
∴OD＝AD＝OA＝2，
∵EF∥AB，
∴∠ODH＝∠OAB＝60°，
∴∠DOH＝30°，
∴DH＝OD＝1，
∴OH＝＝＝，
∵OF＝4，
∴EH＝FH＝＝＝，
∴EF＝2，
故选：B．
二、填空题。
11．（2022秋•邳州市期中）已知⊙O的半径为1cm，点O与点P之间的距离OP＝2cm，则点P在 圆外 ．（填“圆内”、“圆上”或“圆外”）
【答案】圆外。
【解答】解：∵⊙O的半径为1cm，点O与点P之间的距离OP＝2cm，2cm＞1cm，
∴点P在圆外．
故答案为：圆外．
12．（2022•香洲区校级开学）如图，F为正方形ABCD的边CD上一动点，AB＝2，连接BF，过A作AH⊥BF交BC于H，交BF于G，连接CG，当CG为最小值时，CH的长为 3﹣． ．
【答案】3﹣。
【解答】解：如图1中，取AB的中点O，连接OG，OC．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC＝90°，
∵AB＝2，
∴OB＝OA＝1，
∴OC＝＝＝，
∵AH⊥BF，
∴∠AGB＝90°，
∵AO＝OB，
∴OG＝AB＝1，
∵CG≥OC﹣OG，
∴当O，G，C共线时，CG的值最小，最小值＝﹣1（如图2中），
∵OB＝OG＝1，
∴∠OBG＝∠OGB，
∵AB∥CD，
∴∠OBG＝∠CFG，
∵∠OGB＝∠CGF，
∴∠CGF＝∠CFG，
∴CF＝CG＝﹣1，
∵∠ABH＝∠BCF＝∠AGB＝90°，
∴∠BAH+∠ABG＝90°，∠ABG+∠CBF＝90°，
∴∠BAH＝∠CBF，
∵AB＝BC，
∴△ABH≌△BCF（ASA），
∴BH＝CF＝﹣1，
∴CH＝BC﹣BH＝2﹣（﹣1）＝3﹣，
故答案为：3﹣．
13．（2021秋•长沙期末）如图，⊙O的半径为2，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC，若弦BC的长度为，则∠BAC＝ 60 度．
【答案】60。
【解答】解：过点O作OD⊥BC于D，
则BD＝BC＝，∠BOD＝∠COD，
在Rt△BOD中，sin∠BOD＝＝，
∴∠BOD＝60°，
∴∠BOC＝120°，
∴∠BAC＝∠BOD＝60°，
故答案为：60．
14．（2022秋•定海区期中）如图，△ABC中，AC＝3，BC＝4，∠ACB＝45°，D为△ABC内一动点，⊙O为△ACD的外接圆，直线BD交⊙O于P点，交BC于E点，，则AD的最小值为 1 ．
【答案】1。
【解答】解：∵＝，
∴∠ACB＝∠CDP．
∵∠ACB＝45°，
∴∠CDP＝45°，
∴∠BDC＝180°﹣45°＝135°，
∴点D在以BC为弦，∠BDC＝135°的圆弧上运动，
如图，设D点运动的圆弧圆心为M，取优弧BC上一点N，
连接MB，MC，NB，NC，AM，MD，
则∠BNC＝180°﹣∠BDC＝45°，
∴∠BMC＝90°，
∵BM＝CM，
∴△BMC为等腰直角三角形，
∴∠MCB＝45°，MC＝BC＝4，
∵∠ACB＝45°，
∴∠ACM＝90°，
∴AM＝＝＝5，
∴当A、D、M三点共线时，AD最小，
此时，AD＝AM﹣MD＝5﹣4＝1．
故答案为：1．
15．（2022秋•拱墅区校级期中）如图，⊙O为等边△ABC的外接圆，半径为2，点D在劣弧AB上运动（不与点A，B重合），连接DA，DB，DC．
①当点D在劣弧中点时，四边形ADBC的面积是 4 ；
②四边形ADBC的面积y关于线段DC的长x的函数关系式为 S＝x2（2＜x≤4） ．
【答案】S＝x2（2＜x≤4）。
【解答】解：（1）连接CD，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，
∵∠ADC＝∠ABC＝60°，∠BDC＝∠BAC＝60°，
∵点D是劣弧的中点，
∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝30°，
∴∠DAC＝∠DBC＝90°，
∴CD是⊙O的直径，
∴CD＝4，
∴AD＝BD＝2，BC＝AC＝2，
∴S四边形ADBC＝S△ADC+S△BDC＝×2×2+×2×2＝4，
故答案为：4；
（2）如图，将△ADC绕点C逆时针旋转60°，得到△BHC，
则CD＝CH，∠DAC＝∠HBC，
∵四边形ACBD是圆内接四边形，
∴∠DAC+∠DBC＝180°，
∴∠DBC+∠HBC＝180°，
∴点D，点B，点H三点共线，
∵DC＝CH，∠CDH＝60°，
∴△DCH是等边三角形，
∵四边形ADBC的面积S＝S△ADC+S△BDC＝S△CDH＝CD2，
∴S＝x2（2＜x≤4）．
故答案为：S＝x2（2＜x≤4）．
16．（2022秋•下城区期中）如图，正方形ABCD和等边△AEF都内接于圆O，EF与BC，CD别相交于点G，H．若AE＝6，则⊙O的半径长为 2 ；EG的长为 3﹣ ．
【答案】2；3﹣。
【解答】解：如图1，连接OA、OE，过点O作OP⊥AE于P，
则AP＝PE＝AE＝3，
∵△AEF为正三角形，
∴∠AOE＝120°，
∵OA＝OE，
∴∠OAP＝30°，
∴OA＝＝2；
连接BD、AC，AC交EF于Q，连接OF，
则AC⊥EF，
∴EQ＝EF＝3，
在Rt△OQF中，∠OFQ＝30°，
∴OQ＝OF＝，
∴CQ＝OC﹣OQ＝，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠GCQ＝45°，
∴GQ＝CQ＝，
∴EG＝EQ﹣QG＝3﹣，
故答案为：2；3﹣．
17．（2022•惠城区二模）如图，圆内4个正方形的边长均为2a，若点A，B，C，D，E在同一条直线上，点E，F，G在同一个圆上，则此圆的半径为 a ．
【答案】。
【解答】解：连接CD，延长BA与圆交于点M，连接FM，GM，CG，CF，如图，
在△AGC和△EFC中，
，
∴△ACG≌△ECF（SAS），
∴CG＝CF，∠ACG＝∠ECF，
∵∠ECF+∠ACF＝180°，
∴∠ACG+∠ACF＝180°，
∴G、C、F三点共线，
∴FG＝2CG＝2＝4a，
∵∠MEF＝90°，
∴MF是圆的直径，
∴∠MGF＝90°，
∴∠MGC＝∠GAC＝90°，
∵∠MCG＝∠GCA，
∴△CAG∽△CGM，
∴，
即，
∴GM＝a，
∴FM＝，
∴圆的半径为，
故答案为：．
18．（2022秋•镇海区校级期中）如图，等腰△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D是AC上一点，连结BD，点E是BD上一点，满足∠ABE＝∠ECB．若CD＝2，则△AEC的面积是 ．
【答案】。
【解答】解：如图，连接AD、CD，过点D作DF⊥EC于F，
∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠ABC＝∠ACB＝＝30°＝∠ADB，
∵∠ABE＝∠ECB．
∴∠ABE+∠EBC＝∠EBC+∠ECB＝∠ABC＝30°，
∴∠DEC＝30°，
∴∠DEC＝∠DCE＝30°＝∠ADB，
∴AD∥EC，
在△DEC中，CD＝2，∠DCE＝30°，
∴DF＝CD＝1，FC＝FE＝CD＝，
∴EC＝2FC＝2，
∴S△AEC＝S△DEC
＝×2×1
＝，
故答案为：．
三、解答题。
19．（2021•寻乌县模拟）如图，图①，图②均为由菱形ABCD与圆组合成的轴对称图形．请你只用无刻度的直尺，分别在图①（已知A，C两点在⊙O内，B，D两点在⊙O上），图②（已知A，C，D三点在⊙O外，点B在⊙O上，且∠A＝90°）中找出圆心O的准确位置．
【解答】解：如图①②，点O即为所求．
20．（2021秋•新昌县期中）已知：如图，△ABC内接于⊙O，AE是⊙O的直径，AD⊥BC于点D，∠BAE与∠CAD相等吗？若相等，请给出证明；若不相等，请说明理由．
【解答】解：∠BAE＝∠CAD．
理由：连接BE，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ABE＝90°，
∴∠BAE＝90°﹣∠E，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝90°﹣∠C，
∵∠E＝∠C，
∴∠BAE＝∠CAD．
21．（2022•德城区模拟）如图，锐角△ABC的三边长分别为BC＝a，AC＝b，AB＝c，∠BAC的平分线交BC于点E．交△ABC的外接圆于点D，边BC的中点为M．
（1）求证：MD垂直BC；
（2）求的值（用a，b，c表示）；
【解答】（1）证明：连接MD，
∵AD平分∠BAC，
∴，
∴BD＝CD，
又∵M是BC的中点，
∴MD垂直BC；
（2）解：∵∠DBC与∠BAD分别是与所对的圆周角，
∴∠DBC＝∠BAD，
又∵∠D是公共角，
∴△DBE∽△DAB，
∴，即，
∴BE＝；
同理，△DEC∽△DCA，
∴，
∵BD＝CD，
∴CE＝，
∵BE+CE＝BC，
∴，
∴．
22．（2022秋•东城区校级期中）如图，△ABC内接于⊙O，高AD经过圆心O．
（1）求证：AB＝AC；
（2）若BC＝16，⊙O的半径为10．求△ABC的面积．
【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，
∴，
∴AB＝AC；
（2）解：连接OB，
∵AD⊥BC，
∴BD＝BC＝8，
在Rt△OBD中，BO＝10，BD＝8，
∴OD＝＝6，
∴AD＝AO+OD＝10+6＝16，
∴S△ABC＝BC•AD＝×16×16＝128．
23．（2022秋•溧阳市期中）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，直径AB＝4，CD平分∠ACB交⊙O于点D，交AB于点E，连接AD、BD．
（1）若∠CAB＝25°，求∠AED的度数；
（2）求AD的长．
【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠BCD＝∠ACB＝45°，
∵∠CAB＝25°，
∴∠AED＝∠ACE+∠CAE＝70°，
∴∠AED的度数为70°；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠ACD＝∠BCD，
∴＝，
∴AD＝DB，
∵AB＝4，
∴AD＝BD＝＝2，
∴AD的长为2．
24．（2022秋•江汉区期中）如图，已知△ABC的三个顶点都在⊙O上，AB＝AC，F是上一点，BF⊥AC于E．
（1）若∠BCF＝3∠F，求∠A的度数；
（2）求证：BE＝EF+CF．
【解答】（1）解：∵BF⊥AC，
∴∠AEB＝90°，
∴∠ABF＝90°﹣∠A，
∵∠ABF＝∠ACF，∠F＝∠A，
∴∠ACF＝90°﹣∠A，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC＝，
∴∠BCF＝+90°﹣∠A，
∵∠BCF＝3∠F＝3∠A，
∴+90°﹣∠A＝3∠A，
解得∠A＝40°；
（2）证明：在线段BE上截取BM＝CF，连接AM，AF，如图所示：
在△ABM和△ACF中，
，
∴△ABM≌△ACF（SAS），
∴AM＝AF，
∵BF⊥AC于点E，
∴ME＝FE，
∴BE＝EF+CF．
25．（2022秋•拱墅区校级期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，点F在BC边上，过A，B，F三点的⊙O交AC于点D，作直径AE，连结EF并延长交AC于点G，连结BE，BD，此时BD∥EG．
（1）求证：AB＝BF；
（2）当F为BC的中点且AC＝3时，求⊙O的直径长．
【解答】（1）证明：如图，连接AF，
∵AE是⊙O的直径，
∴AF⊥EG，
∵BD∥EG，
∴BD⊥AF，
∵∠BAC＝90°，
∴BD是⊙O的直径，
∴BD垂直平分AF，
∴AB＝BF；
（2）解：∵当F为BC的中点，
∴BF＝BC，
∵AB＝BF，
∴AB＝BC，
∵∠BAC＝90°，
∴∠C＝30°，
∴∠ABC＝60°，AB＝AC＝，
∵AB＝BF，
∴∠ABD＝30°，
∴AD＝AB＝1，BD＝2AD＝2，
∴⊙O的直径长为2．
26．（2022秋•台江区校级月考）如图，△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，E是上一点，弦BE交AC于点F，弦AD⊥BE于点G，连接CD、CG，且∠CBE＝∠ACG．
（1）求证：∠CAG＝∠ABE；
（2）求证：CG＝CD；
（3）若AB＝4，BC＝2，求GF的长．
【解答】（1）证明：∵BC是⊙O的直径，
∴∠CAB＝90°，
∴∠CAG+∠BAG＝90°，
∵AD⊥BE，
∴∠AGB＝90°，
∴∠BAG+∠ABE＝90°，
∴∠CAG＝∠ABE；
（2）证明：∵∠CGD＝∠CAG+∠ACG，∠ABC＝∠ABE+∠CBE，
由（1）知，∠CAG＝∠ABE，
∵∠CBE＝∠ACG，
∴∠CGD＝∠ABC，
∵∠ABC＝∠D，
∴∠DGC＝∠D，
∴CG＝CD；
（3）解：连接AE、CE，
∵BC是直径，
∴∠BEC＝90°，
∴∠AGE＝∠BEC，
∴AD∥CE，
∵∠CAE＝∠EBC，
∠ACG＝∠EBC，
∴∠CAE＝∠ACG，
∴AE∥CG，
∴四边形AGCE是平行四边形，
∴AF＝AC，
∵AC2＝BC2﹣AB2，
∴AC2＝﹣42，
∴AC＝6，
∴AF＝×6＝3，
∵BF2＝AF2+AB2，
∴BF2＝32+42，
∴BF＝5，
∵∠ABG＝∠ABF，∠AGB＝∠BAF，
∴△BAG∽△BFA，
∴BA：BF＝BG：BA，
∴4：5＝BG：4，
∴BG＝，
∵FG＝BF﹣BG，
∴FG＝5﹣＝．
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