初中数学1.1 二次根式教案及反思

导入新课

回忆平方根定义，思考下列问题

1、如果x2=3，那么x=  ±  ；

2、16的平方根是 ±4 ；

16的算术平方根 4 .

3、－7有没有平方根？有没有算术平方根？

正数和0都有算术平方根；负数没有算术平方根。

平方根的性质：

正数有两个平方根且互为相反数；

0有一个平方根就是0；

负数没有平方根。

a（a≥0）的平方根是±  .

算术平方根是  .

思考自议

考虑以下三个方面：(1)二次根式的被开方数大于或等于零；(2)分式的分母不等于零；(3)零指数幂和负整数指数幂的底数不能等于零．

在判断被开方数是否是非负数时，不要只看其表面的符号，要充分利用实数运算中的符号去判断，看其实质到底是什么数．

讲授新课

提炼概念

形如（a≥0）的式子叫做二次根式。

1.表示a的算术平方根

2.形式上含有二次根号

a可以是数,也可以是式.

（但要满足被开方数大于等于零）

4.  a≥0, ≥0   ( 双重非负性)

典例精讲

例1 求下列二次根式中字母的取值范围：

（1）  （2）   （3）

解（1）：∵a+1≥0  ∴a≥1

（2）∵1-2a＞0  ∴a＜

（3）∵a取任何实数都有≥0

∴a可取全体实数

求二次根式中字母的取值范围的基本依据：

①被开方数不小于零；②分母中有字母时，要保证分母不为零.

例2  当x=-4时，求二次根式 的值. 

解：将x=-4代入二次根式，得

===3     

(1)二次根式与二次根式的值是两个不同的概念．(2)二次根式的值也是一种代数式的值，求值方法与其他代数式的求值方法相同．(3)在计算过程中应注意：根号也起到括号的作用，一般先算根号内的式子，再求算术平方根，结果如果能开得尽方，应开方；如果开不尽方，也可用二次根式表示．

二次根式与实际生活联系紧密，很多实际问题的解需要用二次根式来表示，实际操作时往往要借助勾股定理、面积公式求解．

课堂检测

课堂练习

1.下列式子：①；②；③；④(a≠－3)；⑤；⑥(x＜0)；⑦，其中是二次根式的有________(填序号)．

①③⑥

【点悟】在判断被开方数是否是非负数时，不要只看其表面的符号，要充分利用实数运算中的符号去判断，看其实质到底是什么数．

2.当x取何值时，下列各式在实数范围内有意义？（1）；(2)；(3)；

(4)；(5).

解：(1)由－x≥0，得x≤0，

∴当x≤0时，在实数范围内有意义；

(2)由3－2x≥0，得x≤，

∴当x≤时，在实数范围内有意义；

(3)∵(x－3)2≥0，

∴当x为任何实数时，在实数范围内都有意义；

(4)由≥0，即3x－6＞0，得x＞2，

∴当x＞2时，在实数范围内有意义；

(5)由x＋4≥0且x－3≠0，得x≥－4且x≠3，

∴当x≥－4且x≠3时，在实数范围内有意义．

【点悟】解此类问题一般应考虑以下三个方面：

(1)二次根式的被开方数大于或等于零；

(2)分式的分母不等于零；

(3)零指数幂和负整数指数幂的底数不能等于零．

3.若二次根式   的值为3，求x的值.

解： 由题意得:两边同时平方得:=3

+1=9

=4

∴x=±2

4.物体自由下落时，下落距离h（米）可用公式 h=5t2来估计,其中t（秒）表示物体下落所经过的时间.

（1）把这个公式变形成用 h表示t的公式

（2）一个物体从54.5米高的塔顶自由下落，落到地面需几秒（精确到0.1秒）?

课堂小结

今天我们学习了哪些知识

1、二次根式的概念( 双重非负性)

2、根号内字母的取值范围。

作业布置

教材课后作业题第1-6题。