八年级上学期1月月考数学试题（解析版）

这是一份八年级上学期1月月考数学试题（解析版），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 要使分式有意义，则的取值应满足（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用分式有意义，则分母不为零，进而得出答案．
详解】解：要使分式有意义，
则+3≠0，
解得：≠-3．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了分式有意义的条件，正确把握分式有意义的条件是解题关键．
2. 已知等腰三角形的两边长分别为5cm、2cm，则该等腰三角形的周长是（ ）
A. 7cmB. 9cm
C. 12cm或者9cmD. 12cm
【答案】D
【解析】
【分析】由等腰三角形的两边长分别为5cm和2cm，分别从若2cm为腰长，5cm为底边长与若2cm为底边长，5cm为腰长去分析求解即可求得答案．
【详解】若2cm为腰长，5cm为底边长，
∵2+2=4＜5，不能组成三角形，
∴不合题意，舍去；
若2cm为底边长，5cm为腰长，
则此三角形的周长为：2+5+5=12cm．
故选D．
【点睛】此题考查了等腰三角形的性质与三角形的三边关系．此题比较简单，注意掌握分类讨论思想的应用．
3. 顶角为的等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，画出图形，然后根据三角形的内角和定理即可求出结论.
【详解】解：如下图所示：AB=AC，∠A=45°，BD是腰AC的高
∵BD是腰AC的高
∴∠BDA=90°
∴∠ABD=180°－∠BDA－∠A=45°
故选A.
【点睛】此题考查的是等腰三角形的高和三角形的内角和，掌握三角形的内角和定理是解决此题的关键.
4. 在平面直角坐标系中，点A（2，0），B（0，4），若以B，O，C为顶点的三角形与△ABO全等，则点C的坐标不能为（ ）
A. （0，﹣4）B. （﹣2，0）C. （2，4）D. （﹣2，4）
【答案】A
【解析】
【分析】根据全等三角形的判定定理画图并逐一判断即可.
【详解】解:如图所示:
∵A（2，0），B（0，4）
∴OA=2，OB=4，∠AOB=90°
当C1坐标为（0，﹣4）时,B、O、C1同一条直线上，不能构成三角形，故选A；
当C2坐标为（﹣2，0）时，OC2= OA=2，∠C2O B =∠AOB=90°，OB=OB
∴△C2O B≌△AOB，故不选B；
当C3坐标为（2，4）时，BC3= OA=2，∠C3 B O =∠AOB=90°，OB=BO
∴△C3BO≌△AOB，故不选C；
当C4坐标（﹣2，4）时，BC4= OA=2，∠C4BO =∠AOB=90°，OB=BO
∴△C4BO≌△AOB，故不选D.
故选A.
【点睛】此题考查的是全等三角形的判定，掌握SAS判定两个三角形全等是解决此题的关键.
5. 如图，，是的中点，平分，且，则 的度数是 （ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】作于，根据平行线的性质求出，根据角平分线的判定定理得到，计算即可．
【详解】解：作于，
，
，
又，
，
平分，，，
，
是的中点，
，
，
又，，
，
故选：B．
【点睛】本题考查的是角平分线的判定和性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
6. 如图，平分，，，垂足分别为A，B，下列结论中不一定成立的是（ ）
A. B. 平分C. D. 垂直平分
【答案】D
【解析】
【分析】根据角平分线的性质，垂直平分线的判定和三角形全等的判定和性质逐项进行判定即可．
【详解】解：对A、B、C选项，∵平分，，，
∴，
∵在和中，
∴，
∴，，
∴平分，故A、B、C正确，不符合题意；
D．∵，，
∴垂直平分，但不一定垂直平分，故D错误，符合题意．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，垂直平分线的判定，全等三角形的判定和性质，根据题意证明，是解题的关键．
7. 若等腰三角形的一边是7，另一边是4，则此等腰三角形的周长是（ ）．
A. 18B. 15C. 18或15D. 无法确定
【答案】C
【解析】
【详解】解：分情况讨论，假设7作腰长，则三边分别为7，7，4，周长为18；
假设4作腰长，则三边分别为4，4，7，周长为15，
所以此等腰三角形的周长是18或15．
故选C．
8. 如图，在△ABC 中，AB＝AC，BO、CO 分别平分∠ABC、∠ACB，DE 经过点 O， 且 DE∥BC，DE 分别交 AB、AC 于 D、E，则图中等腰三角形的个数为( )
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】根据等腰三角形的判定定理，即可得到答案.
【详解】∵在△ABC 中，AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形，∠ABC=∠ACB，
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，
∴∠ADE=∠AED，
∴△ADE是等腰三角形，
∵BO、CO 分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，
∴∠OBC=∠OCB，
∴△OBC是等腰三角形，
∵DE∥BC，BO、CO 分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠DBO=∠OBC=∠DOB，∠ECO=∠OCB=∠EOC，
∴△DBO，△ECO是等腰三角形，
∴图中由5个等腰三角形，
故选D.
【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定定理，熟悉等腰三角形的判断定理和“双平等腰”模型，是解题的关键.
9. 若△ABC内有一个点P1，当P1、A、B、C没有任何三点在同一直线上时，如图1，可构成3个互不重叠的小三角形；若△ABC内有两个点P1、P2，其它条件不变，如图2，可构成5个互不重叠的小三角形：……若△ABC内有n个点，其它条件不变，则构成若干个互不重叠的小三角形，这些小三角形的内角和为（）
A. n·180°B. （n+2）·180°C. （2n-1）·180°D. （2n+1）·180°
【答案】D
【解析】
【分析】当△ABC内的点的个数是1时，三角形内互不重叠的小三角形的个数是3；当△ABC内的点的个数是2时，三角形内互不重叠的小三角形的个数是5；依此类推得到当△ABC内的点的个数是3时，三角形内互不重叠的小三角形的个数是7；当△ABC内的点的个数是n时，三角形内互不重叠的小三角形的个数2n+1，所以这些小三角形的内角和为（2n+1）·180°
【详解】】解：图1中，当△ABC内只有1个点时，可分割成3个互不重叠的小三角形；
图2中，当△ABC内只有2个点时，可分割成5个互不重叠的小三角形；
图3中，当△ABC内只有3个点时，可分割成7个互不重叠的小三角形；
根据以上规律，当△ABC内有n个点（P1，P2，…，Pn）时，可以把△ABC分割成S=2n+1个互不重叠的三角形，所以这些小三角形的内角和为（2n+1）·180°.
【点睛】此题考查了平面图形的有规律变化，要求学生通过观察图形，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键．
10. 如图，在和中，，连接交于点，连接．下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的个数为（ ）．
A. 4B. 3C. 2D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意逐个证明即可，①只要证明，即可证明;
②利用三角形的外角性质即可证明; ④作于，于,再证明即可证明平分.
【详解】解：∵，
∴，
即，
和中，，
∴，
∴，①正确；
∴，
由三角形的外角性质得：
∴°，②正确；
作于，于，如图所示
则°，
在和中，，
∴，
∴，
∴平分，④正确；
正确的个数有3个；
故选B．
【点睛】本题是一道几何的综合型题目，难度系数偏上，关键在于利用三角形的全等证明来证明线段相等，角相等.
二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分．
11. 当时，代数式的值是____．
【答案】
【解析】
分析】将代入代数式计算即可．
【详解】解：当时，
，
∴当时，代数式的值是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了求代数式的值，解本题的关键在正确求出代数式的值．
12. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=40°，在直线AC上找点P，使△ABP是等腰三角形，则∠APB的度数为____________．
【答案】20°或40°或70°或100°
【解析】
【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=40°，分四种情况讨论：
①当AB=BP1时，∠BAP1=∠BP1A=40°；
②当AB=AP3时，∠ABP3=∠AP3B=∠BAC=×40°=20°；
③当AB=AP4时，∠ABP4=∠AP4B=×（180°﹣40°）=70°；
④当AP2=BP2时，∠BAP2=∠ABP2，∴∠AP2B=180°﹣40°×2=100°；
综上所述：∴∠APB的度数为：20°、40°、70°、100°．
故答案为20°或40°或70°或100°．
13. 已知 ，，则 的值为____．
【答案】2020
【解析】
【分析】根据题意运用幂的除法法则，可化为由已知能求出的值，进一步求出的值，就能求出的值．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：2020．
【点睛】本题考查同底数幂的除法，解题关键在于掌握运算法则．
14. 分解因式（填空）：
（）（_____）2（______）2 ____．
（）（_____）2（______）2 ____．
（）（_____） ____．
【答案】 ①. ②. ③. ④. ⑤. ⑥. ⑦. ⑧.
【解析】
【分析】（1）根据平方差公式解答；
（2）根据平方差公式解答；
（3）先提取公因式，再利用平方差公式解答．
【详解】（1）；
故答案为：，，；
（2）；
故答案为：，，；
（3）；
故答案为：，．
【点睛】本题考查了多项式的因式分解，属于基础题型，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键．
15. 用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明的依据是____（填，，，中的一种）．

【答案】
【解析】
【分析】利用可证得，那么．
【详解】解：由作图知，
∴，
∴，所以利用的条件为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了全等三角形“边边边”的判定以及全等三角形的对应角相等这个知识点，熟练掌握三角形全等的性质是解题的关键．
16. 如图，∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2，B3…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4…均为等边三角形，从左起第1个等边三角形的边长记a1，第2个等边三角形的边长记为a2，以此类推，若OA1＝3，则a2=_______，a2019=_______.
【答案】 ①. 6； ②. 3×22018.
【解析】
【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及a2=2a1=6，得出a3=4a1，a4=8a1，a5=16a1…进而得出答案．
【详解】解： 如图，
∵△A1B1A2是等边三角形，
∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，
∴∠2=120°，
∵∠MON=30°，
∴∠1=180°-120°-30°=30°，
又∵∠3=60°，
∴∠5=180°-60°-30°=90°，
∵∠MON=∠1=30°，
∴OA1=A1B1=3，
∴A2B1=3，
∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，
∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，
∵∠4=∠12=60°，
∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，
∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，
∴a2=2a1=6，
a3=4a1，
a4=8a1，
a5=16a1，
以此类推：a2019=22018a1=3×22018
故答案是：6；3×22018．
【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出a2=2a1=6，a3=4a1，a4=8a1，a5=16a1…进而发现规律是解题关键．
17. 若代数式可以表示为的形式，则__________．
【答案】14
【解析】
【分析】先将所求代数式进行整理化简，，再利用已知条件与比较，一次项系数以及常数项对应相等，从得到关于、的方程组，解方程组即可得解．
【详解】解：∵
∴
∴
∴．
故答案是：
【点睛】本题考查了整式的加减乘除混合运算、二元一次方程组以及代数求值，能够根据已知条件得到关于、的方程组是解决本题的关键．
三、解答题：本大题共8小题，第18、19、20小题6分，第21、22、23小题8分，第24、25小题10分．
18. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】先去括号，再作加减法．
【详解】解：
=
=
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握运算法则．
19. （1）计算：（2a﹣3）2+（2a+3）（2a﹣3）；
（2）解方程：.
【答案】（1）8a2﹣12a，（2）x＝6．
【解析】
【分析】（1）根据整式的混合计算解答即可；
（2）根据解分式方程的步骤解答即可．
【详解】（1）（2a﹣3）2+（2a+3）（2a﹣3）
＝4a2﹣12a+9+4a2﹣9
＝8a2﹣12a，
（2）化为整式方程为：2x＝3x﹣6，
解得：x＝6，
经检验x＝6是原方程的解．
【点睛】此题考查分式方程和整式的混合计算问题，关键是根据解分式方程的步骤解答．
20. 计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据多项式乘以多项式的法则解答即可；
（2）根据多项式乘以多项式的法则解答即可．
【小问1详解】
解：=；
【小问2详解】
解：=
【点睛】本题考查了多项式的乘法，熟练掌握多项式乘以多项式的法则是解题的关键．
21. 已知 的积不含 项与 项，求 的值是多少？
【答案】x3+1
【解析】
【分析】先根据多项式乘多项式的法则计算，再让x2项和x项的系数为0，求得a，c的值，代入求解．
【详解】解：∵（x+a）（x2﹣x+c），
=x3﹣x2+cx+ax2﹣ax+ac，
=x3+（a﹣1）x2+（c﹣a）x+ac，
又∵积中不含x2项和x项，
∴a﹣1=0，c﹣a=0，
解得a=1，c=1．
又∵a=c=1．
∴（x+a）（x2﹣x+c）=x3+1．
【点睛】本题考查多项式乘多项式．根据多项式的乘法运算法则计算即可.
22. 如图．△ABC中，CA=CB．D是AB的中点．∠CED=∠CFD=90°，CE=CF，求证：∠ADF=∠BDE．
【答案】证明见解析．
【解析】
【分析】连接CD，证得△ECD≌△FCD，得出∠CDF=∠CDE，利用等腰三角形的“三线合一”得出∠CDA=∠CDB=90°，进一步求得结论即可．
【详解】证明：如图，
连接CD，
在Rt△ECD和Rt△FCD中，
，
∴Rt△ECD≌Rt△FCD，
∴∠CDF=∠CDE，
∵CA=CB，D是AB的中点，
∴CD⊥AB，
∴∠CDA=∠CDB=90°，
∴∠ADF=∠BDE．
【点睛】此题考查三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，掌握三角形的判定方法是解决问题的关键．
23. 已知：ABC为等边三角形．
（1）如图1，点D、E分别为边BC、AC上的点，且BD＝CE．
①求证：ABD≌BCE；
②求∠AFE的度数；
（2）如图2，点D为ABC外一点，BA、CD的延长线交于点E，连接AD，已知∠BDC＝60°，且AD＝2，CD＝5，求BD的长；
（3）如图3，线段DB的长为3，线段DC的长为2，连接BC，以BC为边作等边ABC，连接AD，直接写出当线段AD取最大值与最小值时∠BDC的度数．
【答案】（1）①见解析，②60°；（2）7；（3）当AD取最小值时，点T落在线段BD上，∠BDC＝60°，当AD取最大值时，点T落在BD的延长线上，∠BDC＝120°
【解析】
【分析】（1）i）根据SAS证明三角形全等即可．
ii）利用全等三角形的性质以及三角形的外角的性质即可解决问题．
（2）如图2中，在DB上取一点J，使得CJ＝CD，利用全等三角形的性质证明BD＝AD+DC即可．
（3）如图3中，以CD为边向外作等边△CDT，连接BT．构造全等三角形，证明BT＝AD，求出BT的取值范围即可解决问题．
【详解】（1）①证明：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABD＝∠C＝60°，
∵BD＝CE，
∴△ABD≌△BCE（SAS）．
②解：∵△ABD≌△BCE，
∴∠BAD＝∠CBE，
∴∠AFE＝∠FBA+∠BAD＝∠FBA+∠CBE＝∠CBA＝60°．
（2）解：如图2中，在DB上取一点J，使得CJ＝CD，
∵∠CDJ＝60°，CJ＝CD，
∴△CDJ是等边三角形，
∴∠JCD＝∠ACB＝60°，DJ＝DC＝CJ，
∴∠BCJ＝∠ACD，
∵CB＝CA，
∴△BCJ≌△ACD（SAS），
∴BJ＝AD，
∴BD＝BJ+DJ＝AD+DC＝2+5＝7．
（3）解：如图3中，以CD为边向外作等边△CDT，连接BT．
∵CT＝CD，CB＝CA，∠TCD＝∠BCA＝60°，
∴∠TCB＝∠DCA，
∴△TCB≌△DCA（SAS），
∴BT＝AD，
∵CT＝CD＝2，BD＝3，
∴3﹣2≤BT≤3+2，
∴1≤BT≤5，
∴1≤AD≤5．
∴AD的最小值为1，最大值为5．
当AD取最小值时，点T落在线段BD上，∠BDC＝60°，当AD取最大值时，点T落在BD的延长线上，∠BDC＝120°．
【点睛】本题属于三角形综合题，考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
24. 解答下列问题．
（1）问题提出：将一块等腰直角三角板放置在平面直角坐标系中，，，点A在轴的正半轴上，点在轴的负半轴上，点在第二象限，点A坐标为，的坐标为，则点坐标为 ．
（2）问题探究：如图，平面直角坐标系中，已知，，若，点在第一象限，且，试求出点坐标．
（3）问题解决：如图，直线分别于轴轴交于点、点，，的顶点，分别在线段，上，且，，试求出的面积．
【答案】（1）
（2）点的坐标为
（3）
【解析】
【分析】（1）过点B作轴，根据题意得出，结合全等三角形的判定和性质得出，结合图形即可得出点的坐标；
（2）过点、点分别作轴的平行线、分别交过点A与轴的垂线于点，D，利用（1）中方法得出，结合图形确定线段长度即可得出点的坐标；
（3）过点分别作轴、轴的垂线，交于点，H，，交于点，同理得出，，，设点的坐标为，根据一次函数的性质得出点，结合图形利用求解即可．
小问1详解】
解：过点B作轴，如图所示：
∴，
∴，
∵点A坐标为，的坐标为，
∴,
∵等腰直角三角板，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
【小问2详解】
过点、点分别作轴的平行线、分别交过点A与轴的垂线于点，D，
同理，
，，，
点的横坐标为：，
点的纵坐标为：，
故点的坐标为；
【小问3详解】
过点分别作轴、轴的垂线，交于点，H，，交于点，
同理，
，，设点的坐标为，
即：，则：，
解得：，则点，
∴，
∴，
∴，
．
【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，坐标与图形等，理解题意，找准各角之间的关系是解题关键．
25. 已知△ABC与△A’B’C’关于直线l对称，其中CA=CB，连接，交直线l于点D（C与D不重合）
（1）如图1，若∠ACB=40°，∠1=30°，求∠2的度数；
（2）若∠ACB=40°，且0°＜∠BCD＜110°，求∠2的度数；
（3）如图2，若∠ACB=60°，且0°＜∠BCD＜120°，求证：BD=AD+CD.
【答案】（1）70°；（2）当0°