八年级上学期第二次月考数学试题（解析版）

这是一份八年级上学期第二次月考数学试题（解析版），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本试卷共25大题，4页，满分120分；考试时间120分钟
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列四个图案中，不是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形进行分析即可．
【详解】解：A、是轴对称图形，不合题意；
B、不是轴对称图形，符合题意；
C、是轴对称图形，不合题意；
D、是轴对称图形，不合题意．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用合并同类项对A进行判断；根据积的乘方对B进行判断；根据分式的减法运算和通分对C进行判断；利用有理数的混合运算对D进行判断．
【详解】A、与不是同类项，不好合并，所以A选项的计算错误；
B、，所以B选项的计算错误；
C、，所以C选项计算正确；
D、，所以D项的计算错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了合并同类项、积的乘方、分式的减法运算和通、有理数的混合运算，解决本题的关键是熟练掌握有关运算法则．
3. 如图，ABDE，，若添加下列条件，仍不能判断≌的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据全等三角形的判断方法一一判断即可．
【详解】解：A．缺少全等的条件，本选项符合题意；
B．∵ABDE，
∴∠B＝∠E
∵
∴
∴
∵
∴≌（SAS）
故本选项不符合题意；
C．∵ABDE，
∴∠B＝∠E
∵，
∴≌（ASA）
故本选项不符合题意；
D．∵ABDE，
∴∠B＝∠E，∠ACB＝∠DFE
∵
∴≌（AAS）
故本选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考题型．
4. 如图，△ABC的两条中线AM、BN相交于点O，已知△ABO的面积为4，△BOM的面积为2，则四边形MCNO的面积为（ ）
A. 4B. 3
C. 4.5D. 3.5
【答案】A
【解析】
【分析】应用三角形中线平分面积的性质得结论；
【详解】∵AM和BN是中线，
∴S△BNC＝S△ABC＝S△ABM，
即S△ABO＋S△BOM＝S△BOM＋S四边形MCNO，
S△ABO＝S四边形MCNO，
∵△ABO的面积为4，
∴四边形MCNO的面积为4
故选A.
【点睛】本题主要考查了三角形的面积，解题的关键是利用中线找出三角形面积关系．
5. 在党中央的领导下，经过两年的战斗，新型冠状病毒引发的肺炎疫情得到了有效控制．研究发现，某种新型冠状变异病毒的直径约为224纳米，1纳米米，若用科学记数法表示224纳米，则正确的结果是（ ）
A. 米B. 米
C. 米D. 米
【答案】D
【解析】
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数．
【详解】解：∵1纳米米，
∴224纳米米=米，
故选：D．
【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
6. 若一个正多边形的内角和为720°，则这个正多边形的每一个内角是（ ）
A. 60°B. 90°C. 108°D. 120°
【答案】D
【解析】
【分析】根据正多边形的内角和定义（n-2）×180°，先求出边数，再用内角和除以边数即可求出这个正多边形的每一个内角．
【详解】解：（n-2）×180°=720°，
∴n-2=4，
∴n=6．
则这个正多边形每一个内角为720°÷6=120°．
故选D．
【点睛】本题考查了多边形内角与外角．解题的关键是掌握好多边形内角和公式：（n-2）×180°．
7. 如图，是的中线，E，F分别是和延长线上的点，且，连接，．下列说法：①；②和面积相等；③；④．其中正确的有（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角形中线的定义可得，然后利用“边角边”证明，根据全等三角形对应边相等可得，根据全等三角形对应角相等可得，再根据内错角相等，两直线平行可得，最后根据等底等高的三角形的面积相等判断出②正确．
【详解】解：是的中线，
，
在和中，
，
，故④正确
，，故①正确，
，故③正确，
，点A到、的距离相等，
和面积相等，故②正确，
综上所述，正确的有4个，
故选D．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，以及三角形中线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图．
8. 如图，从边长为的大正方形中剪掉一个边长为的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的矩形，根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据面积的不同表示方法得到等式即可．
【详解】第一个图形阴影部分的面积是，
第二个图形的面积是．
则．
故选：．
【点睛】此题考查整式乘法的公式，解题关键是用不同代数式表示相同图形的面积列等式．
9. 如图，把一个长方形纸片沿折叠后，点D，C分别落在，的位置．若，则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据，得到，根据折叠，即可得到．
【详解】解：∵四边形为长方形，
∴，
∴，
∵折叠，
∴．
故选B．
【点睛】本题考查了折叠的性质，平行线的性质．熟练掌握折叠的性质，是解题的关键．
10. 如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE＝4，射线CD⊥BC，垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时，BF＝5，则AB的长为（ ）
A. 7B. 8C. 9D. 10
【答案】A
【解析】
【分析】作E点关于CD的对称点E'，连接PE,E'P,PF，当E',P,F三点共线，E'F⊥AB时，此时EP+FP的值最小，由题意可得∠FE'B=30°，则BE'=2BF，再由BF=5，BE=4，可得10=2CE+4，解得CE=3，可求BC=7．
【详解】解：作E点关于CD的对称点E'，过E'作E'F⊥AB交于点F，交CD于点P，连接PE，
∴PE=PE'，
∴EP+FP=PE'+PF≥E'F，
当E',P,F三点共线，E'F⊥AB时，
此时EP+FP的值最小，
∵△ABC是正三角形，
∴∠B=60°，
∵E'F⊥AB，
∴∠FE'B=30°，
∴BE'=2BF，
∵BF=5，BE=4，
∴E'B=10，
∵CE=CE'，
∴10=2CE+BE=2CE+4，
∴CE=3，
∴BC=7，
故选：A．
【点睛】本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，等边三角形的性质，直角三角形的性质是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 若有意义，则___________；若，则___________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据零指数幂和负整数指数幂的底数不能为0，求x的取值范围．
【详解】解：∵有意义，
∴，
∴；
∵，
∴，
∴．
故答案为：；．
【点睛】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，涉及的知识点：负整数指数幂和零指数幂的底数不能为0．
12. 若，，则______．
【答案】52
【解析】
【分析】根据求出结果即可．
【详解】解：∵，，
又∵，
∴．
故答案为：52．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式的变形计算，解题的关键是熟练掌握完全平方公式．
13. 已知，求＝___________．
【答案】
【解析】
【详解】已知等式整理得：
，即
则原式
故答案为
14. 因式分解,甲看错了a的值,分解的结果是,乙看错了b的值,分解的结果为,那么分解因式正确的结果为_______．
【答案】(x-6)(x+2)
【解析】
【分析】分别将甲乙两人的分解结果利用多项式乘法公式进行计算，然后取两人没看错的系数进行组合，重新分解因式.
【详解】甲错了a的值，,
,
乙看错了b的值，,
．
分解因式正确的结果：．
故答案为．
【点睛】本题考查了因式分解，根据两人的分解结果得到原本的多项式是解题的关键.
15. 若等腰三角形的一个角是，则这个等腰三角形的底角为_________°．
【答案】65或50
【解析】
【分析】由于不明确的角是等腰三角形的底角还是顶角，故应分的角是顶角和底角两种情况讨论．
【详解】解：分两种情况：
①当的角为等腰三角形的顶角时，
底角的度数；
②当的角为等腰三角形的底角时，其底角为，
故它的底角度数是或．
故答案为：65或50．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质及三角形内角和定理；解答此题时要注意50°的角是顶角和底角两种情况，不要漏解，分类讨论是正确解答本题的关键．
16. 如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，AD＝CD，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．筝形ABCD的对角线AC、BD相交于点O．已知∠ADC＝120°，∠ABC＝60°，小婵同学得到如下结论：①△ABC是等边三角形；②BD＝2AD；③S四边形ABCD＝AC•BD；④点M、N分别在线段AB、BC上，且∠MDN＝60°，则MN＝AM+CN，其中正确的结论有 _____．（填写所有正确结论的序号）
【答案】①②④
【解析】
【分析】由“筝形”的性质可得AB=BC，AD=CD，可证△ABC是等边三角形，故①正确；由“SSS”可证△ABD≌△CBD，可得∠ABD=∠CBD=30°，∠ADB=∠BDC=60°，由直角三角形的性质可得BD=2AD，故②正确；由面积关系可求S四边形ABCD=×AC×BD，故③错误；延长BC到E，使CE=AM，连接DE，由“SAS”可证△MDN≌△EDN，可得MN=EN，由线段和差关系可得MN=AM+CN，故④正确，即可求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是“筝形”四边形，
∴AB=BC，AD=CD，
∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，故①正确；
∴∠BAC=∠BCA=60°，
∵AD=CD，∠ADC=120°，
∴∠DAC=∠DCA=30°，
∴∠DAB=90°，
∵AD=CD，AB=BC，BD=BD，
∴△ABD≌△CBD（SSS），
∴∠ABD=∠CBD=30°，∠ADB=∠BDC=60°，
∴BD=2AD，故②正确；
∵∠DOC=∠DAC+∠ADB=60°+30°=90°，
∴AC⊥BD，
∵S四边形ABCD=S△ACD+S△ACB，
∴S四边形ABCD=×AC×OD+×AC×OB=×AC×BD，故③错误；
延长BC到E，使CE=AM，连接DE，如图所示：
∵∠DAB=∠DCB=90°，
∴∠DAB=∠DCE=90°，
又∵AM=CE，AD=CD，
∴△ADM≌△CDE（SAS），
∴∠ADM=∠CDE，DM=DE，
∵∠ADC=120°，
∵∠MDN=60°，
∴∠ADM+∠CDN=∠ADC-∠MDN=60°，
∴∠CDE+∠CDN=∠EDN=60°，
∴∠EDN=∠MDN，
又∵DN=DN，
∴△MDN≌△EDN（SAS），
∴MN=EN，
∵EN=CE+CN=AM+CN，
∴AM+CN=MN，故④正确；
故答案为：①②④．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，理解“筝形”的性质和添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
三、计算题（本大题共3小题，共18.0分）
17. 计算：
；
．
【答案】；
【解析】
【分析】（1）直接根据单项式乘以单项式的运算法则进行计算即可得到答案；
（2）原式根据完全平方公式和平方差公式把括号展开，再合并即可得到答案．
【详解】解：（1）

；
（2）


．
【点睛】此题考查了整式的运算，掌握整式的运算法则是解题的关键，有乘方的先算乘方，再算乘除，根据同底数幂相除，底数不变，指数相减．同时一定要熟练掌握乘法公式．
18. 因式分解：
（1）6（m－n）3 －12（n－m）2
（2）x4－8x2y2＋16y4
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用提公因式法进行分解，即可求解；
（2）先利用完全平方公式计算，再利用平方差公式计算，即可求解．
【小问1详解】
解：6（m－n）3 －12（n－m）2

【小问2详解】
解：x4－8x2y2＋16y4

【点睛】本题主要考查了多项式的因式分解，熟练掌握多项式的因式分解的方法，并灵活选用合适的方法解答是解题的关键．
19. 解分式方程
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）无解
【解析】
【分析】（1）先去分母，移项、合并同类项，系数化为1，再验根，即得到答案．
（2）先去分母，移项、合并同类项，系数化为1，再验根，即得到答案．
【小问1详解】
解：
等式两边同时乘，即得：
整理，得：
经检验是原方程的根，
所以原方程的解为．
【小问2详解】
等式两边同时乘，即得：
整理得：
解得：．
经检验是增根，故原方程无解．
【点睛】本题考查解分式方程．掌握解分式方程的方法是解题关键．注意解分式方程要验根．
四、解答题（本大题共6小题，共54.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
20. 我们定义：顶角等于36°的等腰三角形为黄金三角形．如图，△ABC中，AB＝AC且∠A＝36°，则△ABC为黄金三角形．
（1）尺规作图：作∠B的角平分线，交AC于点D．（保留作图痕迹，不写作法）．
（2）请判断△BDC是否为黄金三角形，如果是，请给出证明，如果不是，请说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）△BDC是黄金三角形，理由见解析
【解析】
【分析】（1）作∠ABC的角平分线，交AC于点D；
（2）由角平分线的定义得∠ABD=∠CBD=36°，再由等腰三角形的性质得∠ABC=∠C=72°，然后证证∠BDC=∠C，则BD=BC，即可得出结论．
【小问1详解】
解：如图所示，BD即为所求；
【小问2详解】
△BDC是黄金三角形，理由如下：
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠CBD=36°，
∵∠A=36°，AB=AC，
∴∠ABC=∠C=（180°-36°）=72°，
又∵∠BDC=∠A+∠ABD=72°，
∴∠BDC=∠C，
∴BD=BC，
∴△BDC是黄金三角形．
【点睛】本题考查了黄金三角形的判定、等腰三角形的判定与性质以及尺规作图等知识；熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键．
21. 已知．
（1）化简A；
（2）当满足不等式组，且为整数时，求A的值．
【答案】（1）；（2）1
【解析】
【分析】（1）根据分式四则混合运算的运算法则，把A式进行化简即可．
（2）首先求出不等式组的解集，然后根据x为整数求出x的值，再把求出的x的值代入化简后的A式进行计算即可．
【详解】解：（1）原式=
=
=
=；
（2）解不等式得，
解不等式得，
故不等式组的解集为1≤x＜3，
∵x为整数，
∴x＝1或x＝2，
①当x＝1时，
∵x﹣1≠0，
∴A＝中x≠1，
∴当x＝1时，A＝无意义．
②当x＝2时，
A＝＝
【点睛】本题考查了分式的化简求值、一元一次不等式组，解题的关键是掌握相应的运算法则．
22. 已知：如图，为角平分线，⊥于点，⊥于点，连接交于点，
求证：垂直平分
【答案】见解析
【解析】
【分析】根据平分，，，可得，，则可证，并得，可证得，根据，，得到点、点在的垂直平分线上，可证垂直平分．
【详解】证明∵平分，，，
∴，，
∴，
∴，
∴
∴，
∵，，
∴点、点在的垂直平分线上，
∴垂直平分．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，角平分线的性质，熟悉相关性质是解题的关键．
23. 在某遥控船模比赛中，其赛道共长100米，“番畅号”和“挑战号”两赛船进入了决赛．在比赛前的一次练习中，两船从起点同时出发，“番畅号”到达终点时，“挑战号”离终点还有5米，已知“番畅号”的平均速度为5米/秒．
（1）求“挑战号”的平均速度；
（2）如果两船重新开始比赛，“番畅号”从起点后退5米，若两船同时出发，可否同时到达终点？若能，请求出两船到达终点的时间；若不能，请重新调整一艘船的平均速度使两船能够同时到达终点．
【答案】（1）“挑战号”的平均速度为4.75米/秒
（2）把“挑战号”的平均速度增加米/秒，或把“番畅号”的平均速度降低米/秒，可以使两船能够同时到达终点
【解析】
【分析】（1）设“挑战号”的平均速度为x米/秒，由题意列出分式方程，解方程即可；
（2）“番畅号”从起点后退5米，分别求出两船到达终点的时间，得出两船同时出发，不能同时到达终点；有两种方案，分别列分式方程求解即可．
【小问1详解】
设“挑战号”的平均速度为x米/秒，由题意得：
，
解得：，
经检验，是原方程的解，
答：“挑战号”的平均速度为4.75米/秒；
【小问2详解】
不能同时到达，理由如下：
∵“番畅号”到达终点所用的时间为（秒），
“挑战号”到达终点所用的时间为（秒），
∴“番畅号”从起点后退5米，若两船同时出发，不能同时到达终点；
“番畅号”从起点后退5米，若两船同时出发，同时到达终点，调整一艘船的平均速度有两种方案：
方案一：增加“挑战号”的平均速度，
设调整后“挑战号”的平均速度增加y米/秒，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解；
方案二：降低“番畅号”的速度，
设调整后“番畅号”的平均速度降低z米/秒，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解；
综上所述，把“挑战号”的平均速度增加米/秒，或把“番畅号”的平均速度降低米/秒，可以使两船能够同时到达终点．
【点睛】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是仔细审题，找到等量关系，列出分式方程．
24. 如图，在中，是边上的一点，，平分，交边于点，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
【答案】(1)见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）由角平分线定义得出，由证明即可；
（2）由三角形内角和定理得出，由角平分线定义得出，在中，由三角形内角和定理即可得出答案．
【详解】（1）证明：平分，
，
在和中，，
；
（2），，
，
平分，
，
在中，．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、三角形内角和定理；熟练掌握三角形内角和定理和角平分线定义，证明三角形全等是解题的关键．
25. 如图所示，点是线段的中点，，.
（1）如图1，若，求证是等边三角形；
（2）如图1，在（1）的条件下，若点在射线上，点在点右侧，且是等边三角形，的延长线交直线于点，求的长度；
（3）如图2，在（1）的条件下，若点在线段上，是等边三角形，且点沿着线段从点运动到点，点随之运动，求点的运动路径的长度.
【答案】（1）证明见解析；（2）18；（3）18.
【解析】
【分析】（1）利用垂直平分线的性质可得BA=BC，再得，即可证明是等边三角形；
（2）证明，得出，继而得到，即可求得PC的长度；
（3）取BC的中点H，分两种情况证明，得出或，可知点N的运动路径是一条线段，据此求解即可.
【详解】解：（1）∵，，
，
是线段中点，，
，
是等边三角形；
（2）∵、是等边三角形，
∴，AB=BC，BD=BQ，，
∴，
∴，
，
，
，
，
，
；
（3）取BC的中点H，连接OH,连接CN，
分两种情况讨论：
当M在线段上时，如图2，
∵H是BC的中点，,
∴,
∴是等边三角形,
∵是等边三角形,
∴，OM=ON， ，
∴,
∴，
点从起点到做直线运动,
∵当点M在点B时，CN=BH=9,
∴点M从B运动到H时，点N运动路径的长度等于9；
当点M线段上时，如图3，
∵H是BC的中点，,
∴,
∴是等边三角形,
∵是等边三角形,
∴，OM=ON， ，
∴,
∴，
点从到终点做直线运动,
∵当点M在点C时，CN=CH=9,
∴点M从H运动到C时，点N运动路径的长度等于9；
综上所述，的路径长度为：.