湘教版九年级上册4.2 正切教案

课时教学设计

课题

正切

一、学情分析

初三阶段学生，对新鲜事物有好奇心，并且已经具备了一定的学习能力，但理性思维的方法、习惯和深度都不够完善. 在以前的学习中，学生已分别对直角三角形的边，角之间的关系有一定了解，并掌握了相似三角形的相关知识,具备了一定的抽象、概括和归纳的能力.在本节课的教学中，通过生活中的实际问题引导学生进行讨论,激发学生的求知欲望，并组织学生通过观察、分析讨论，从而归纳出所观察现象的本质特征，再总结出有价值的理论知识.在探索过程中培养学生有条理地思考、表达与交流的能力。

二、教材（内容）解析

本节课是湘教版九年级(上)第四章《锐角三角函数》的第四节课，它的重要性体现在它是解直角三角形知识体系中的基础，而解直角三角形的知识是广泛地应用于测量、工程技术之中，通过学习有利于培养学生应用数学解决问题的能力．在教材的处理上，它隐含着角度与三角函数值之间一一对应的函数思想，锐角A与三角函数值互相对应并且用符号tanA来表示．学生结合以前关于函数的学习，承前启后进一步深化理解函数思想．本课的学习，以实际问题为背景并从学生已有的直角三角形和相似三角形的有关知识出发，引入正切函数概念．学生在知识的形成中，进一步感受数形结合的数学思想方法．通过实际问题的思考、探索，提高解决实际问题的能力和应用数学的意识．为下面的学习打下基础，作好铺垫．

三、设计思路

为体现学生是主体这一思想，让学生按学习——总结——学习——反思这一模式进行，引导学生结合前面学习的感受，交流发言，培养学生总结反思的好习惯，帮助学生形成知识体系，全面深刻地掌握运用正切的定义解决一些实际问题，同时通过自我的评价来获得成功的快乐，提高学生学习的自信心。

四、教学目标

知识与技能：使学生了解正切的概念，能够正确地用tanA表示直角三角形(其中一个锐角为∠A)中两边的比；熟记30°、45°、60°角的各个三角函数值，会计算含有这三个特殊锐角的三角函数值的式子，会由一个特殊锐角的三角函数值说出这个角的度数；会用计算器求正切值或反过来求角度。

过程与方法：采用引导、启发、合作探究等方式，过现实情境，进一步发展学生从数学的角度提出问题、分析问题和解决问题的能力。

情感态度价值观：解答实际问题，激发学生学习的兴趣，增长社会见识，使学生亲身经历求特殊角的余弦弦值的过程，以及用计算器计算有关余弦的值，感受数学知识的实用性，培养学生积极的情感和态度。

五、教学重点与难点

重点：了解正切的概念，熟记特殊角的正切值．及有关三角函数的计算

难点：了解正切的概念．特殊角的正切值，及有关三角函数的计算。

六、资源与工具

PPT、课本

七、预设过程

首先以生活相关实例导入，让学生初步了解本节课的实用性，再跟旧知联系，利用相似三角形知识推导出新知-正切，层层深入，让学生参与到教学活动中来，接着再逐步推导特殊角的三角函数值，加深理解，最后再扩展知识，计算器的应用。

八、教学内容

教师活动

学生活动

（一）新课导入

1、观察PPT片：小张同学外出旅行爬山，他应该从哪爬上去轻松。

2、问题：下列图中的两处地方哪个更陡？你是怎么判断的？

学生观看PPT、从跟实际生活有关的故事出发，导入新课，培养学生敢于发言的良好习惯.

设计意图：以这样的形式导入，可以很好的吸引学生兴趣，激发学生的好奇心，建立数学与生活的联系，更好的将熟悉而融入到生活中。

（二）自主学习

先让学生自主回忆旧知，正弦和余弦，再互相讨论三角形里有没有其他的类似关系。

学生看书研究问题、然后小组讨论

设计意图：充分体现学生主体性，让学生自己动手，发现知识，感受知识的形成。

（三）新授

【动脑筋】 在直角三角形中， 当一个锐角的大小确定时， 那么不管这个三角形的大小如何， 这个锐角的直角边与斜边的比值也就确定（是一个常数）. 那么这个锐角的对边与邻边的比值是否也是一个常数呢？

为一个常数？

如图，△ABC和△A’B’C’都是直角三角形，其中，∠A=∠D=∠α，∠C=∠F=90°，则吗？为什么？

∵∠A=∠D=∠α，∠C=∠F=90°，

∴Rt△ABC∽Rt△DEF

∴，即 BC·DF=AC·EF

∴

在直角三角形中，当锐角α的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠α的对边与邻边的比是一个固定值.我们可以得正切的定义：

 在直角三角形中，我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tan A.

tanA=

【探究知识】 1.如何求tan30°、tan60°的值？

解：在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠B=60°,∠A=30°. 于是∠A的对边BC=AB.

∴AC2=AB2-BC2=（2BC）2-BC2=3BC2.

∴AC=

因此tan30°== ；　

tan60°==

2.如何求 sin 45°的值？

解：在Rt△ABC中，∠C=90°

∠A=45°.

于是 ∠B = 45°.

从而AC = BC.

因此tan 45°=

【做一做】 接下来，我们看一些具体的例子：

例1计算：tan45°+tan²30°·tan²60°

解：原式=1+（）²·

     =1+1

     =2

从正弦、余弦、正切的定义看到，任意给定一个锐角A,都有唯一确定的比值sin A(或cos A, tan A)与它对应.并且我们还知道，当锐角a变化时，它的比值sin A(cos A, tan A)也随之变化.因此，我们把锐角A的正弦、余弦和正切统称为角A的锐角三角函数

对于锐角三角函数，它们之间有什么关系呢？

tanA      结论：tanA

对于一般锐角α（30°，45°，60°除外）的正切值， 我们可以利用计算器来求.

1.已知角的度数，求正切值：

例：求25°角的正切值:在计算器上依次按键，                     的显示结果为0.4663….

2.如果已知正切值，也可以用计算器求出对应锐角.

例，已知tanα= 0.8391，依次按键，，显示结果为40.000…，表示角α 约等于40°.

学生就老师提出的问题展开讨论，然后派代表总结答案。得出新知后，给与例题让学生动手，之后学生上台展示。

设计意图：利用相似三角形的有关知识进行分析、思考，得出直角三角形的一个锐角的大小与其对边与邻边的比值之间的对应关系，从而得出相关的结论，引出正切的定义.30°、45°、60°的正切值在后面的计算中有着重要的作用，不仅要记住它们的正切值，通过这里的例题教学更是让学生理解它是怎样得来的，以及如何利用直角三角形求解.

九、板书设计

十、方法与策略

现代数学教学观念要求学生从“学会”向“会学”转变，本课从探究到应用都有意识地营造一个较为自由的空间，让学生能积极地动手、动口、动脑，使学生在学知识的同时形成方法

本节课的教学内容以生活中的问题情景呈现出来，给学生以亲切感，提高了学生的学习兴趣，让学生感受到数学来源于生活，学生通过合作交流、自主解决问题，体会到学习数学的价值给了学生更多的展示自己的机会，有助于培养学生理性思维的习惯，发展学生的创新意识

十一、学习评价与作业设计

教材P120页“习题4.2”A组第3题．

十二、教学反思

教师应大胆地鼓励学生用所学的数学知识，如“直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”的特性，熟记30°、45°、60°角的三角函数值.另外让学生积极参与数学活动，参与数学知识的推导产生过程，对数学产生好奇心，培养学生独立思考问题的习惯。并锻炼克服困难的意志，建立自信心。