湖南省永州市2022-2023学年高一下学期期末质量监测数学试卷（含答案）

这是一份湖南省永州市2022-2023学年高一下学期期末质量监测数学试卷（含答案），共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
湖南省永州市2022-2023学年高一下学期期末质量监测数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题
1、若复数z满足（其中i为虚数单位），则( )
A. B. C. D.
2、若向量，满足，，，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
3、的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则( )
A. B.2 C. D.4
4、袋中有大小质地完全相同的5个球，其中红球3个，黄球2个，从袋中任意取2个球，则取出的2个球都是红球的概率为( )
A. B. C. D.
5、在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
6、图1是宋代五大名窑中汝窑制造的双耳罐，它装物的有效部分可近似看成由两个圆台拼接而成（如图2所示）在图2中，已知下底面圆的直径是6，中间圆的直径是10，上底面圆的直径是4，上下底面圆的距离是5，且上、下两圆台的高之比是，若不考虑罐壁的厚度，则该汝窑双耳罐的容积为( )

A. B. C. D.
7、已知，，均为单位向量，，则的值为( )
A. B. C. D.
8、在中，BD平分，且BD交AC于D，若，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多项选择题
9、分别抛掷两枚质地均匀的骰子，设事件“第一枚出现点数为奇数”，事件“第二枚出现点数为偶数”，则下列结论正确的是( )
A. B.
C.事件A与B互斥 D.事件A与B相互独立
10、下列说法中正确的是( )
A.若复数，则复数z在复平面内所对应的点在第四象限
B.若两个复数的积是实数，则它们一定互为共轭复数
C.若向量，的夹角为锐角，则实数x的取值范围为
D.若，且，则A，B，C三点共线
11、在直三棱柱中，点D是的中点，，，，点P为侧面（含边界）上一点，平面，则下列结论正确的是( )

A.
B.点到平面的距离是
C.直线BC与平面所成角的正弦值是
D.线段BP长的最小值是
12、在中，，，，，，则( )
A.线段AN的长度为
B.
C.
D.存在点P在线段AB的延长线上，使得的最大值为
三、填空题
13、某学校为了解高一学生每天阅读时长，从高一男生和女生中采用分层抽样的方法抽取部分学生进行调查分析.已知该学校高一学生中男生和女生的比例是，在抽取的学生中男生比女生多24人，则被抽取的学生人数是________.
14、已知向量，，则在方向上的投影向量的坐标为________.
15、一个人骑自行车由A地出发向东骑行了到达B地，由B地向南东方向骑行了到达C地，从C地向北偏东骑行了到达D地，则A，D两地的距离是________.
16、在矩形ABCD中，，，点E，F分别为BC，AD的中点，点H为AE的中点，将沿直线AE翻折至的位置，当时，三棱锥的外接球的体积是________.
四、解答题
17、已知向量，，.
（1）若，求的值；
（2）若与共线，求的值.
18、锦绣潇湘·大美永州，据统计，零陵古城在今年“五一”当天吸引游客达12万人次，同比大幅增长.当地旅游主管部门为了更好的为游客服务，在景区随机发放评分调查问卷100份，并将问卷评分数据分成6组：，，，，，，绘制如图所示频率分布直方图.

（1）已知样本中分数在的游客为15人，求样本中分数小于80的人数，并估计第75百分位数；
（2）已知样本中男游客与女游客比例为，男游客样本的平均值为90，方差为10，女游客样本平均值为85，方差为12，由样本估计总体，求总体的方差.
参考公式：分层抽样中两组数据x，y的抽样比例是，则总样本方差，其中为总样本平均数.
19、如图，在三棱锥中，平面平面BCD，，点O为BD的中点.
（1）证明：；
（2）若是边长为4的等边三角形，点E为AD中点，且二面角的大小为，求三棱锥的体积.

20、一位外地游客到永州市旅游，其游览阳明山、九疑山、舜皇山这3个著名景点的概率分别为0.5，0.5，0.6，且该游客是否游览哪个景点互不影响.设C表示该游客对上述3个景点游览的景点数与没有游览的景点数的差.
（1）记“”为事件A，求的值.
（2）记“函数，在区间上单调递增”为事件B，求的值.
21、如图，在四棱锥中，平面ABCD，正方形ABCD的边长为2，E是PA的中点.
（1）求证：平面BDE；
（2）若，线段PC上是否存在一点F，使平面？若存在，求出PF的长度；若不存在，请说明理由.

22、已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，点D，P为平面内两动点，，点N是BC的中点，DN与AC相交于点M（点M异于点A，C），点O为内切圆圆心，且.

（1）求角A和的值；
（2）设，，求的最小值.
参考答案
1、答案：B
解析：因为,
所以，
所以.
故选B.
2、答案：A
解析：,且,
所以.
故选: A
3、答案：B
解析：根据余弦定理可知，
则.
故选:B
4、答案：C
解析：设3个红球为,,，2个黄球为,，则从袋子中任取2个球包含，
,,,,,,,,,
共10个基本事件，
其中两个都是红球，包含,,，共3个基本事件，
则取出的2个球都是红球的概率.
故选: C
5、答案：D
解析：如图连接AC,，在长方体中，

因为 ，所以直线与所成角等于与AC所成的角；
在中，,由余弦定理可得，

故选:D
6、答案：C
解析：由图可知，双耳罐是由两个圆台组成，
上面圆台底面直径分别为4,10 ，所以圆台 底面半径分别为 2,5 ；
下面圆台底面直径分别为 10,6 ，所以圆台 底面半径分别为 5,3 ；
又因为容器上下底面圆的距离是 5 , 且上、
下两圆台的高之比是，
所以上面圆台的高 2 ，下面圆台的高是 3 ，
故该汝窑双耳罐的体积为：
故选: C.
7、答案：D
解析：
8、答案：D
解析：在，设，
则，
，
，


整理得


当且仅当，即时，取得最小值
此时的最小值为.
9、答案：AD
解析：分别抛掷两枚质地均匀的骰子，其中基本事 件的总数为36种，
事件“第一枚出现点数为奇数”，共有 种，所以，所以A正 确;
由事件“第二枚出现点数为偶数”，所以 ，所以B不正确；
当第一枚抛出1点，第二枚抛出2点时，此时事件A与事件B同时发生，所以A与B不互 斥，所以C不正确;
由 ，可得 ，所以事件A与事件B相互独立，所以D正确.
故选:AD.
10、答案：ACD
解析：
11、答案：ACD
解析：
12、答案：BCD
解析：对于A选项，，
，，故A错误.
对于B选项，，故B正确.
对于C选项，,又由于
所以
因为，，得，得
所以，故C正确.
对于D选项，如图，过点M和点C分别作AB延长线的垂线，垂足分别为D，H
①当点P与点H重合时，MH=MB，
；
②当点P在BH的延长线上时，设,设 ，

则，

故
③当点P在HB线段上时，易知
综上所述，存在点P，使得的最大值为，故D正确
13、答案：168
解析：设抽取的学生中男生人数为a，女生人数为b,
则，且 ，解得，,
则被抽取的学生人数是.
14、答案：
解析：在方向上的投影向量为

所以投影向量的坐标为
故答案为:
15、答案：
解析：以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，如图，

则，
，即,
，
即，
所以 ，
故
所以A，D两地距离为.
16、答案：
解析：如图，点F为的外心，过点F作直线l，使平面ABCD.

又H点为的外心，过H点作平面.
交l于O点，即点O为球心.
易知，则，
在中：.
所以球的体积为.
17、答案：(1)
(2)7
解析：（1）
由，得
即
解得
（2）
由与共线，得
化简得
故
18、答案：(1)94
(2)
解析：（1）由频率分布直方图可知分数在内的频率为

故分数在内的人数为
所以分数小于80分的人数为
由题意可设第75百分位数为x，
则
解得
故样本中分数小于80的人数为10人，第75百分位数约为94
（2）由已知可得总样本平均值为

又由


所以用样本估计总体，总体的方差约为
19、答案：(1)见解析
(2)8
解析：（1）证明：，点O为BD中点

又平面平面BCD，平面平面,平面ABD，
平面BCD
又平面BCD

（2）过点E作交BD于点F，过点F作，垂足为M，连接EM
平面BCD，

平面BCD
又平面BCD
.
，
平面EFM
又平面EFM

二面角的平面角为
且
,为正三角形
为直角三角形，
，点F为BD的靠近点D四等分点



平面BCD

20、答案：(1)0.75
(2)0.85
解析：（1）由条件可知C的取值为-3，-1，1，3
当时，表示的事件为该游客游览了两个景点，有一个景点没有游览
其概率为
当时，表示的事件为该游客游览了一个景点，有两个景点没有游览
其概率为
故
（2）当时，在上单调递增
当时，在上单调递增
当时，在上单调递增
当时，在上不是单调递增

故
21、答案：(1)见解析
(2)存在,理由见解析
解析：（1）证明：连接AC交BD于点O，连接OE

四边形ABCD是正方形，
点O是AC的中点
又点E是PA的中点，

平面BDE，平面BDE
平面BDE
（2）存在,理由如下：
过点A作，垂足为点F，由（1）可知

平面ABCD，平面ABCD

四边形ABCD为正方形

又平面ACP，平面ACP，
平面ACP
又平面ACP

又平面BDE，平面BDE，，
平面BDE
，，
在中，由等面积法可得

存在点F，使得平面BDE，

22、答案：(1)
(2)
解析：（1）由已知，
根据正弦定理得



因为，所以
则解得或 即或
又，故，则，
所以是等边三角形，故内切圆圆心为的中心
以O点为原点建立如图所示平面坐标系xOy，
设，，
，
所以，



故，的值为
（2）设，，则
即，则



当且仅当即时取等号
故的最小值为