2023年广东省江门市广德实验学校中考二模数学试题（含解析）

这是一份2023年广东省江门市广德实验学校中考二模数学试题（含解析），共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年广东省江门市广德实验学校中考二模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．－6的绝对值是（  ）
A．-6 B．6 C．- D．
2．下列几种著名的数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ）
A．（笛卡尔爱心曲线） B．（蝴蝶曲线）
C．（费马螺线曲线） D．（科赫曲线）
3．“科学用眼，保护视力”是青少年珍爱生命的具体表现．某校随机抽查了名八年级学生的视力情况，得到的数据如下表：
视力
以下



以上
人数





则本次调查中视力的众数和中位数分别是（    ）
A．和 B．和 C．和 D．和
4．第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在中国浙江省杭州市举行，杭州奥体博览城核心区建筑总面积2720000平方米，将数2720000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
5．下列运算正确的是（    ）
A． B． C． D．
6．将不等式组中的两个不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ）
A． B． C． D．
7．如图，，，，则的度数为（   ）

A． B． C． D．
8．如图，在边长为3的正方形中，，，则的长是（    ）

A．1 B． C． D．2
9．如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去高六尺，折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝十尺），一阵风将竹子折断，竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．设竹子折断处离地面x尺，根据题意，可列方程为（　　）

A． B．
C． D．
10．二次函数的部分图像如图所示，对称轴是直线，抛物线与轴的一个交点在点和点之间，有下列结论：①；②；③；④若点在二次函数的图像上，则关于的一元二次方程的两个根分别是，．其中正确的个数有（    ）
  
A．个 B．个 C．个 D．个

二、填空题
11．分解因式： ．
12．若tan（a- 10°）＝1，则锐角a=
13．关于x的一元二次方程x2+2x+a＝0的一个根为2，则它的另一个根为 ．
14．如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高是物距（小孔到蜡烛的距离）的反比例函数，当时，．若火焰的像高为，则小孔到蜡烛的距离为 ．
  
15．如图，已知正方形的边长为，是边延长线上一点，，是边上一点，将沿翻折，使点的对应点落在边上，连接交折痕于点，则的长是 ．
  

三、解答题
16．计算：．
17．先化简，再求值：，其中．
18．如图，在平行四边形ABCD中，AC是它的一条对角线，于点E．

(1)过点D作，垂足为F；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
(2)求证：．
19．《镜花缘》是我国的著名小说，书中有一道这样的算题，在一座小楼上挂满灯球，如下图，甲种灯球上做了3个大球，下缀6个小球；乙种灯球上做了3个大球，下缀18个小球．大灯球共396个，小灯球共1440个．

(1)求甲乙两种灯球分别多少个；
(2)小明打算购买30个灯球，其中甲种灯球的个数不少于乙种灯球的个数2倍，问最少购买多少个甲种灯球．
20．某市在创建国家级文明城市活动中，就“遇见路人摔倒后如何处理”这个问题，某街道办事处对所辖区域学校的部分学生进行问卷调查，如图和图是整理数据后绘制的两幅不完整的统计图．

(1)此次随机抽查了 名学生；
(2)图中，“”部分所占的圆心角是 度；
(3)请将图1补充完整；
(4)若从“马上救助”中的名男生和名女生中随机抽取人，请用画树状图或列表法求出恰好抽到名男生和名女生的概率．
21．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y（x＞0）的图象经过点A（2，6），将点A向右平移2个单位，再向下平移a个单位得到点B，点B恰好落在反比例函数y（x＞0）的图象上，过A，B两点的直线与y轴交于点C．

（1）求k的值及点C的坐标；
（2）在y轴上有一点D（0，5），连接AD，BD，求△ABD的面积．
22．如图，为的直径，直线与相切于点，，垂足为，交于点，连接．

(1)求证：；
(2)若，，求的半径．
23．如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．

(1)求该抛物线的表达式；
(2)点在直线下方的抛物线上，连接交于点，当最大时，求点的坐标及的最大值；
(3)在（2）的条件下，过点作轴的垂线，在上是否存在点，使是直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案：
1．B
【分析】在数轴上，表示一个数的点到原点的距离叫做这个数的绝对值．
【详解】负数的绝对值等于它的相反数，所以-6的绝对值是6．
故选：B．

2．D
【分析】根据轴对称图形的概念（平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形）和中心对称图形的概念（在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形）求解．
【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，此选项不符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，此选项不符合题意；
C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，此选项不符合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，此选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的概念，深刻理解轴对称图形与中心对称图形的概念是解题关键．
3．B
【分析】根据众数，中位数的概念及计算方法即可求解．
【详解】解：视力为的出现人数为，最多，
∴众数是，
∵样本容量为，
∴中位数是第名同学的视力数据的一半，
∴中位数是，
∴众数是，中位数是，
故选：．
【点睛】本题主要考查调查与统计中众数与中位数的概念及计算方法，掌握以上相关知识的概念及计算方法是解题的关键．
4．B
【分析】绝对值大于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为，为正整数，且比原数的整数位数少1，据此可以解答．
【详解】解：．
故选：B．
【点睛】本题考查用科学记数法表示较大的数，熟练掌握科学记数法表示较大的数一般形式为，其中，是正整数，正确确定的值和的值是解题的关键．
5．C
【分析】分别根据同底数幂的乘法运算法则、幂的乘方运算法则、二次根式的性质以及完全平方公式分别计算各项后，再进行判断即可得到答案．
【详解】解：A. ，故选项A计算错误，不符合题意；
B. ，故选项B计算错误，不符合题意；
C. ，此选项计算正确，故符合题意；
D. 故选项D计算错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘法、幂的乘方运算、二次根式的性质以及完全平方公式，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．
6．B
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，最后将不等式组的解集表示在数轴上即可求解．．
【详解】
解不等式①得：
解不等式②得：
不等式的解集为：，
表示在数轴上如图，

故选B
【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，正确掌握一元一次不等式解集确定方法是解题的关键．
7．C
【分析】根据平行线的性质以及三角形外角的性质可得结果．
【详解】解：如图，

，，，
，
，
．
故选：．
【点睛】本题考查了平行线的性质以及三角形外角的性质，熟知两直线平行，内错角相等以及三角的外角等于与它不相邻的两个内角的度数．
8．C
【分析】由正方形的性质得出，，由证得，即可得出答案．
【详解】解：四边形是正方形，

，，
∵在中，，
，
设，则，
根据勾股定理得：，
即，
解得：（负值舍去），
，
，
，
，
，
，，
，
．
故选：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质等知识，证明是解题的关键．
9．D
【分析】根据题目设出的未知数，将直角三角形的斜边的长度表示为，再利用勾股定理建立方程．
【详解】解：∵竹子原高十尺，竹子折断处离地面x尺
∴图中直角三角形的斜边长尺
根据勾股定理建立方程得：
故选：D．
【点睛】本题考查了利用勾股定理建立方程解决实际问题，熟记勾股定理，理清题目中的条件和数量关系是解决本题的关键．
10．D
【分析】由抛物线对称轴为直线可得与的数量关系，从而判断①，由抛物线与轴有两个交点则可判断②，由抛物线与轴的交点范围及抛物线的对称性可判断③，由抛物线经过，可判断④.
【详解】解：结论①，
∵二次函数的对称轴是直线，
∴，
∴，
∴，故结论①正确；
结论②，
∵对称轴是直线，抛物线与轴的一个交点在点和点之间，
∴抛物线的另一个根在和之间，即抛物线与轴有两个交点，
∴，故结论②正确；
结论③，
由结论②正确可知，对称轴是直线，抛物线的一个根在点和点之间，另一个根在和之间，
∴当时，函数值随自变量的增大而减小，且，
∴当时，，故结论③正确；
结论④若点在二次函数的图像上，则关于的一元二次方程的两个根分别是，，
∵在抛物线的图像上，对称轴为，
∴也在抛物线的图像上，
∴的两个根分别是，，故结论④正确；
综上所述，正确的有①②③④，个，
故选：．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．
11．
【分析】运用提取公因式法，公式法进行因式分解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查因式分解，掌握提取公因式法，公式法进行因式分解的方法是解题的关键．
12．/55度
【分析】根据特殊角的三角函数＝1即可求解．
【详解】解：∵＝1，＝1，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数，熟记特殊角的三角函数值＝1是解题的关键．
13．-4
【分析】设方程的另一个根为t，根据根与系数的关系得2+t＝﹣2，然后解一次方程即可．
【详解】设方程的另一个根为t，根据题意得：2+t＝﹣2，解得：t＝﹣4．
故答案为﹣4．
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2，x1•x2．
14．/4厘米
【分析】根据火焰的像高是物距（小孔到蜡烛的距离）的反比例函数，当时，，可求出反比例函数解析式，由此即可求解．
【详解】解：根据题意，设火焰的像高是物距（小孔到蜡烛的距离）的反比例函数解析式为，
当时，，
∴，解得，，
∴反比例函数解析式为，
∴火焰的像高为，即时，，解得，，
∴小孔到蜡烛的距离为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查反比例函数与实际问题的综合运用，掌握待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键．
15．/
【分析】由翻折得，，垂直平分，可根据直角三角形全等的判定定理证明，得，则，而，即可根据勾股定理求得，，根据等面积求得，即可求解．
【详解】解：四边形是边长为的正方形，
，，
，
由翻折得，，垂直平分，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，且，
，
解得，


解得，
故答案为：．
【点睛】此题考查了正方形的性质、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、根据面积等式求线段的长度等知识与方法，正确地求出EG和EF的长度是解题的关键．
16．
【分析】根据二次根式的运算，绝对值的性质，非零数的零次幂，负指数幂的运算法则即可求解．
【详解】解：


．
【点睛】本题主要考查实数的混合运算，掌握二次根式的性质化简，二次根式的混合运算，乘方的运算法则，绝对值的性质等知识是解题的关键．
17．，
【分析】根据分式的性质，进行分式的混合运算，化简求值即可．
【详解】解：


，
当时，原式．
【点睛】本题主要考查分式的混合运算，掌握分式的性质进行分式的化简求值是解题的关键．
18．(1)见解析；
(2)见解析．

【分析】（1）根据垂线的画法画垂线即可；
（2）利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定定理证明即可．
【详解】（1）解：作图如图所示．

（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
在和中，

∴．
【点睛】本题考查平行四边形的性质，垂线的画法，全等三角形的判定定理，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质，和全等三角形的判定定理．
19．(1)甲乙两种灯球分别78个、54个
(2)最少购买20个甲种灯球

【分析】（1）设甲乙两种灯球分别x个、y个，根据题意，列出二元一次方程组，解方程，即可求解；
（2）设购买a个甲种灯球，根据题意，列出一元一次不等式，即可求解．
【详解】（1）解：设甲、乙两种灯球分别x个、y个，根据题意，得：
，
解得，
答：甲乙两种灯球分别78个、54个．
（2）解：设购买a个甲种灯球，根据题意，得：
，
解得．
答：最少购买20个甲种灯球．
【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用、一元一次不等式的实际应用．
20．(1)
(2)
(3)部分有名同学，补全条形统计图见详解
(4)恰好抽到名男生和名女生的概率

【分析】（1）根据部分的人数和百分比即可求解；
（2）根据部分的人数与样本容量的比值乘以即可求解；
（3）用样本容量减去部分的人数，即可求出部分的人数，即可补全条形统计图；
（4）运用画树状图或列表法求概率的计算方法即可求解．
【详解】（1）解：部分的人数是人，部分的百分比为，
∴此次随机抽查了名同学，
故答案为：．
（2）解：部分的人数是人，样本容量是，
∴部分的圆心角的度数为，
故答案为：．
（3）解：样本容量是，部分有人，部分有人，部分有人，
∴部分有人，补全条形统计图如图所示，

（4）解：“马上救助”中的名男生（表示为男，男）和名女生（表示为女）中随机抽取人，画树状图表示所有等可能结果如下，

共有中等可能结果，恰好抽到名男生和名女生的概率，
∴恰好抽到名男生和名女生的概率．
【点睛】本题主要考查调查与统计，画树状图或列表法求随机事件概率的综合，掌握调查与统计中相关概念及计算方法，画树状图或列表法求随机事件概率的方法是解题的关键．
21．（1）k=12，C（0，9）；（2）4
【分析】（1）由点求出反比例函数的解析式为，可得值，进而求得，由待定系数法求出直线的解析式为，即可求出点的坐标；
（2）由（1）求出，根据可求得结论．
【详解】解：（1）把点代入，，
反比例函数的解析式为，
将点向右平移2个单位，
，
当时，，
，
设直线的解析式为，
由题意可得，
解得，
，
当时，，
；
（2）由（1）知，
．
【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义，待定系数法求函数的解析式，三角形的面积的计算，求得直线的解析式是解题的关键．
22．(1)见解析
(2)6

【分析】（1）如图：连接，由切线的性质和平行的性质可得，再根据圆的性质可得OC=OA即，进而得到即可证明；
（2）如图：连接，先根据圆周角定理并结合题意可得，然后根据三角函数求得，运用勾股定理可得；再说明；设，，然后根据，进而求得AB即可．
【详解】（1）证明：连接，
为的切线，
，
，
，
．
又，
，
，即．

（2）解：连接，
方法一：由（1）可知，∠CAD=∠CAB，
∴sin∠CAD=sin∠CAB,BC=CE=4,
∴，
∴AB=12，
∴的半径是6.
方法二：
为的直径，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
设，，
，
，
，
的半径为6．

【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质、圆周角定理、三角函数的应用等知识点，正确作出辅助线成为解答本题的关键．
23．(1)抛物线的表达式为
(2)，的最大值是
(3)存在，是直角三角形时，点的坐标为或或或，理由见详解

【分析】（1）用待定系数法即可求解；
（2）如图所示，过点作轴交于点，过点作轴交于点，设，根据平行线分线段成比例，将的值转换为，用含的一元二次方程表示的比值，根据关于的二次函数即可求解；
（3）根据题意，分类讨论：①当时，是直角三角形；②当时，是直角三角形；③当时，是直角三角形；根据相似三角形的判定和性质，图形结合分析即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点，
∴，解得，，
∴抛物线的表达式为．
（2）解：如图所示，过点作轴交于点，过点作轴交于点，

∴，
∴，
抛物线与轴的交点的坐标为，设直线所在直线的解析式为，且，
∴，解得，，
∴直线的解析式为，
∵点在抛物线的图像上，且点在直线下方，
∴设，
∴点的横坐标为，且点在直线的图像上，
∴，
∴，
∵点，
∴点的横坐标为，且点在直线的图像上，
∴，
∴，
∴，
∴当，有最大值，且最大值为，
∴，的最大值为．
（3）解：存在，是直角三角形时，点的坐标为或或或，理由如下：
由（2）可知，，过点作轴的垂线，点在直线上，
∴点的横坐标为，
①当时，是直角三角形，如图所示，

过点作轴，过点作轴，与交于点，过点作轴，与交于点，
∵，是直角三角形，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，，且，
∴，即，
∴，
∴；
②当时，是直角三角形，如图所示，

过点作轴于点，
∵，，
∴，
∴，且，点在过点的直线上，即点的横坐标为，
∴,
∴，即，
∴，
∴；
③当时，是直角三角形，如图所示，

在中，，
∴线段，
∵，，
∴线段的中点的坐标横坐标为，纵坐标为，
∴，
∵点在过点的直线上，即点的横坐标为，
∴点在直线上，设，
在中，线段是斜边的中线，即，
∴，解得，或，
∴或；
综上所述，是直角三角形时，点的坐标为或或或．
【点睛】本题主要考查二次函数图像与几何图形综合，掌握待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图像的性质，几何图形的性质等知识的综合是解题的关键．