2023年湖南省株洲市第五中学中考模拟数学试题（含解析）

这是一份2023年湖南省株洲市第五中学中考模拟数学试题（含解析），共25页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年湖南省株洲市第五中学中考模拟数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．下列实数为无理数的是（    ）
A． B．0.2 C． D．
2．如图的坐标平面上有A、B、C、D四点根据图中各点位置判断，哪一个点在第二象限（   ）

A．A B．B C．C D．D
3．下列运算正确的是（　 ）
A． B．
C． D．
4．如图数线上的、、、四点所表示的数分别为、、、，且为原点．根据图中各点的位置判断，下列何者的值最小？（   ）

A． B． C． D．
5．不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ）
A．    B．    
C．           D．   
6．小红在“养成阅读习惯，快乐阅读，健康成长”读书大赛活动中，随机调查了本校初二年级20名同学，在近5个月内每人阅读课外书的数量，数据如下表所示：
人数
3
4
8
5
课外书数量（本）
12
13
15
18
则阅读课外书数量的中位数和众数分别是（    ）
A．13，15 B．14，15 C．13，18 D．15，15
7．若关于的一元二次方程没有实数根，则的值可以是（    ）
A． B． C．0 D．1
8．如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是（    ）

A． B． C． D．
9．如图，中，点在上，点在上，为的中垂线．若，且，则根据图中标示的角，判断下列叙述何者正确？（　　）

A．， B．，
C．， D．，
10．若二次函数y＝a（x＋b）2＋c（a≠0）的图象，经过平移后可与y＝（x＋3）2的图象完全重合，则a，b，c的值可能为（    ）
A．a＝1，b＝0，c＝﹣2 B．a＝2，b＝6，c＝0
C．a＝﹣1，b＝﹣3，c＝0 D．a＝﹣2，b＝﹣3，c＝﹣2

二、填空题
11．计算：______．
12．袁隆平院士被誉为“杂交水稻之父”，经过他带领的团队多年艰苦努力，目前我国杂交水稻种植面积达2.4亿亩，每年增产的粮食可以养活8000万人，将数据8000万用科学记数法表示为8×10n，则n的值为_____．
13．因式分解：2a2＋4a＋2＝___________．
14．今年4月23日是第27个世界读书日，某校举行了演讲大赛，演讲得分按“演讲内容”占40%、“语言表达”占40%、“形象风度”占10%、“整体效果”占10%进行计算，小芳这四项的得分依次为85，88，92，90，则她的最后得分是________分．
15．如果小球在如图所示的地板上自由地滚动，并随机的停留在某块方砖上，那么它最终停留在阴影区域的概率是______．

16．如图，点在反比例函数的图像上，过点作轴的平行线，交反比例函数的图像于点，连接，．若，则的值为______．

17．如图，正六边形和正五边形内接于，且有公共顶点A，则的度数为______度．

18．《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几?”译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直（如图所示），试问绳索有多长?”．根据题意求出绳索的长为______尺．


三、解答题
19．计算：
20．先化简，再求值： ，其中．
21．如图，正方形中，是对角线上一点，连接，过点作，且，连接、，交于点，的延长线与交于点．

(1)求证：；
(2)若正方形的边长为，且，求线段的长．
22．图1，图2分别是某超市购物车的实物图与示意图，小江获得了如下信息：，，，，，，，．请根据以上信息，解决下列问题．（结果精确到，参考数据：，，）

(1)求点D到所在直线的距离．
(2)求的长度．
23．为了让更多的失学儿童重返校园，某社区组织“献爱心手拉手”捐款活动．对社区部分捐款户数进行调查和分组统计后，将数据整理成如图所示的统计表和统计图（图中信息不完整）．已知、两组捐款户数的比为∶．
捐款户数分组统计表
组别
捐款额（）元
户数















请结合以上信息解答下列问题．
  
(1)______，本次调查样本的容量是______；
(2)补全“捐款户数分组统计表和捐款户数分组统计图”；
(3)某大学组织“大手拉小手，义卖献爱心”活动，该校美术社团计划购买黑、白两种颜色的文化衫进行手绘创作后出售，并将所获利润全部捐给失学儿童．已知美术社团购买了黑、白两种颜色的文化衫共件，每件文化衫的批发价及手绘后的零售价如下表所示：

批发价（元）
零售价（元）
黑色文化衫


白色文化衫


假设文化衫全部售出，共获利元，求：黑白两种文化衫各多少件？
24．在平面直角坐标系中，已知一次函数与坐标轴分别交于，两点，且与反比例函数的图象在第一象限内交于P，K两点，连接，的面积为．

(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)当时，求x的取值范围；
(3)若C为线段上的一个动点，当最小时，求的面积．
25．如图是直径，A是上异于C，D的一点，点B是延长线上一点，连接、、，且．

(1)求证：直线是的切线；
(2)若，求的值；
(3)在（2）的条件下，作的平分线交于P，交于E，连接、，若，求的值．
26．北京冬奥会上，由于中国冰雪健儿们的发挥出色，中国金牌总数位列第三，向世界证明了中国是冰雪运动强国！青蛙公主谷爱凌发挥出色一人斩获两金一银．在数学上，我们不妨约定：在平面直角坐标系中，将点称为“爱凌点”，经过点的函数，称为“爱凌函数”．  

(1)若点是“爱凌点”，关于x的数都是“爱凌函数”，则_____，_____，_____．
(2)若关于x的函数和都是“爱凌函数”，且两个函数图象有且只有一个交点，求k的值．
(3)如图，点、是抛物线上两点，其中D在第四象限，C在第一象限对称轴右侧，直线AC、AD分别交y轴于F、E两点：
①求点E，F的坐标；（用含，的代数式表示）；
②若，试判断经过C、D两点的一次函数是否为“爱凌函数”，并说明理由．

参考答案：
1．D
【分析】根据无理数的定义解答即可．
【详解】解：A．是分数，属于有理数，故本选项不合题意；
B．0.2是有限小数，属于有理数，故本选项不合题意；
C．是整数，属于有理数，故本选项不合题意；
D．是无理数，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了无理数的定义，解题的关键是注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．
2．A
【分析】根据坐标平面的划分解答，坐标平面的划分：建立了坐标系的平面叫做坐标平面，两轴把此平面分成四部分，分别叫第一象限，第二象限，第三象限，第四象限．坐标轴上的点不属于任何一个象限．
【详解】解：A、点A在第二象限，故此选项符合题意；
B、点B在第三象限，故此选项不符合题意；
C、点C在y轴上，故此选项不符合题意；
D、点D在第四象限，故此选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题考查了点的坐标，熟记坐标平面的划分方法是解题的关键．
3．B
【分析】根据整式的加减，同底数幂的乘法，完全平方公式，积的乘方计算即可．
【详解】A、，不符合题意；
B、，符合题意；
C、，不符合题意；
D、，不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了整式的加减，同底数幂的乘法，完全平方公式，积的乘方，解题的关键是熟练掌握同底数幂的乘法法、积的乘方运算法则．
4．A
【分析】根据绝对值意义直接求解即可．
【详解】解：表示的点到原点的距离最近，
最小，
故选：．
【点睛】本题考查了绝对值，数轴，掌握绝对值的定义：数轴上一个数表示的点到原点的距离是这个数的绝对值是解题的关键．
5．B
【分析】先解不等式，将不等式的解集表示在数轴上即可．
【详解】解：
移项合并得：，
系数化1得：，
表示在数轴上为∶
  
故选：B．
【点睛】本题考查一元一次不等式的解法，并把解集表示在数轴上，正确解出不等式是解答本题的关键．
6．D
【分析】利用中位数，众数的定义即可解决问题．
【详解】解：中位数为第10个和第11个的平均数，众数为15．
故选：D．
【点睛】本题考查了中位数和众数，解题的关键是掌握平均数、中位数和众数的概念．
7．A
【分析】根据根的判别式列出不等式求出k的范围即可求出答案．
【详解】解：∵一元二次方程没有实数根，
∴，
∴，
故选：A.
【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程无实数根”是解题的关键．
8．B
【分析】先根据圆周角定理求得的度数，然后根据圆内接四边形的性质求出的度数即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵四边形是的内接四边形，
∴，
故选：B.
【点睛】此题考查的是圆内接四边形的性质及圆周角定理，比较简单，牢记有关定理是解答本题的关键．
9．B
【分析】根据线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质解答即可．
【详解】解：为的中垂线，
，，
，
，
，
，
，，
，
，，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，熟练掌握相关的性质定理是解答本题的关键．
10．A
【分析】根据二次函数的平移性质得出a不发生变化，即可判断a=1．
【详解】解：∵二次函数y=a（x+b）2+c的图形，经过平移后可与y=（x+3）2的图形完全叠合，
∴a=1．
故选：A．
【点睛】此题主要考查了二次函数的平移性质，根据已知得出a的值不变是解题关键．
11．
【分析】先计算，再计算3-5即可得到答案．
【详解】解：．
故答案为：-2．
【点睛】本题主要考查了实数的运算，化简是解答本题的关键．
12．7
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，由此进行求解即可．
【详解】解：8000万，故n的值为7，
故答案为：7．
【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
13．2（a＋1）2
【分析】先提公因式，再运用完全平方公式进行因式分解.
【详解】2a2＋4a＋2=2（a2＋2a＋1）=2（a＋1）2
故答案为：2（a＋1）2
【点睛】考核知识点：因式分解.掌握提公因式法和公式法是解题关键.
14．87.4
【分析】根据加权平均数的计算公式列式计算可得．
【详解】解：根据题意得
她的最后得分是为： （分）；
故答案为：87.4．
【点睛】本题考查的是加权平均数的求法，熟练掌握加权平均数的计算公式是解题的关键．
15．
【分析】根据题意可得一共有9块方砖，其中阴影区域的有4块，再根据概率公式计算，即可求解．
【详解】解：根据题意得：一共有9块方砖，其中阴影区域的有4块，
∴它最终停留在阴影区域的概率是．
故答案为：
【点睛】本题考查了概率公式：熟练掌握随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数；P（必然事件）=1；P（不可能事件）=0是解题的关键．
16．
【分析】令与轴的交点为，由轴得，从而可得，即可求得的值．
【详解】解：令与轴的交点为，如图所示，

轴，
轴，
，
，
解得：，
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数上任意一点，作坐标轴的垂线，与原点构成的三角形的面积等于的一半，熟练掌握反比例函数的几何意义是解题的关键．
17．12
【分析】连接AO，求出正六边形和正五边形的中心角即可作答．
【详解】连接AO，如图，

∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB=360°÷6=60°，
∵多边形AHIJK是正五边形，
∴∠AOH=360°÷5=72°，
∴∠BOH=∠AOH-∠AOB=72°-60°=12°，
故答案为：12．
【点睛】本题考查了正多边形的中心角的知识，掌握正多边形中心角的计算方法是解答本题的关键．
18．14.5
【分析】设绳索有x尺长，根据勾股定理列方程即可得到结果．
【详解】解：延长到地面于，过作地面于，如图所示：

设绳索有x尺长，
根据题意及所作辅助线，四边形是矩形，则，
在中，，，，则102＋（x＋1−5）2＝x2，解得：x＝14.5，即绳索长14.5尺，
故答案为：14.5．
【点睛】本题考查了勾股定理的应用、理解题意能力，关键是能构造出直角三角形，用勾股定理来解．
19．3
【分析】先化简各式，再进行加减运算即可．
【详解】解：原式

．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算．熟练掌握零指数幂，负整数指数幂的运算法则，熟记特殊角的三角函数值，是解题的关键．
20．，
【分析】先根据分式的混合运算将式子进行化简，再代值计算即可．
【详解】解：原式


，
当时，
．
【点睛】本题考查分式的化简求值，解题关键是掌握分式的混合运算法则．
21．(1)见解析
(2)

【分析】由“”可证，可得；
（2）由正方形的性质可得，，可求，的长，且，最后由勾股定理可求解即可．
【详解】（1）证明：四边形是正方形，
，
，
在和中，，
∴，
；
（2）解：正方形的边长为，
，．
，
，．
∵，
，，
，
．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识．证明三角形全等是解题的关键．
22．(1)
(2)

【分析】(1) 过点D作于点N，交AE的延长线于点M，交BC的延长线于点P，过点C作于点H，通过解直角三角形及矩形的性质，即可求解；
(2)利用解直角三角形即可求解．
【详解】（1）解：如图，过点D作于点N，交AE的延长线于点M，交BC的延长线于点P，过点C作于点H．

在中，
，，
．
在中，
，，
．
，，
四边形和四边形为矩形，

；
（2）解：在中，
，，
．
，
在中， ，，
．
．
【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，作出辅助线是解题的关键．
23．(1)；
(2)见解析
(3)黑文化衫件，白文化衫件

【分析】（1）根据组有户，、两组捐款户数的比为∶即可求得的值，然后根据和的总人数以及所占的比例即可求得样本容量；
（2）根据百分比的意义以及直方图即可求得、、 组的户数，从而补全统计图；
（3）设学校购进黑文化衫件，白文化衫件，根据两种文化衫件，共获利元，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【详解】（1）组捐款户数是，则组捐款户数为，
样本容量为；
故答案为：，；
（2）统计表、、 组的户数分别为，，．
组别
捐款额（）元
户数















  ；
（3）设学校购进黑文化衫件，白文化衫件．
根据题意，得，
解得，
答：购进黑文化衫件，白文化衫件．
【点睛】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
24．(1)
(2)或，
(3)

【分析】（1）先运用待定系数法求出直线解析式，再根据的面积为和直线解析式求出点P坐标，从而可求出反比例函数解析式；
（2）联立方程组并求解可得点K的坐标，结合函数图象可得出x的取值范围；
（3）作点K关于x轴的对称点，连接，交x轴于点C，连接KC，则PC+KC的值最小，求出点C的坐标，再根据求解即可．
【详解】（1）解：∵一次函数与坐标轴分别交于，两点，
∴把，代入得，
，解得，，
∴一次函数解析式为
过点P作轴于点H，

∵
∴
又
∴
∴
∴，
∴
∴
∵在双曲线上，
∴
∴
（2）解：联立方程组得，
解得， ，
∴
根据函数图象可得，反比例函数图象在直线上方时，有或，
∴当时，求x的取值范围为或，
（3）解：作点K关于x轴的对称点，连接交x轴于点M，则（1，-2），OM=1，
连接交x轴于点C，连接KC，则PC+KC的值最小，
设直线的解析式为
把代入得，
解得，
∴直线的解析式为
当时，，解得，，
∴
∴
∴

，
∴



【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合，正确作出辅助线是解答本题的关键．
25．(1)见解析
(2)
(3)

【分析】（1）如图所示，连接OA，根据直径所对的圆周角是直角得到，再证明即可证明结论；
（2）先证明，得到，令半径，则，，利用勾股定理求出，解直角三角形即可答案；
（3）先求出，在中，，，解得，，证明，得到，则．
【详解】（1）解：如图所示，连接OA，
∵是直径，
∴，

∴，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
又∵为半径，
∴直线是的切线；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
由知，令半径，则，，
在中，，
在中，，
即；

（3）解：在（2）的条件下，，
∴，
∴，
在中，，，
解得，，
∵平分，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了圆切线的判定，直径所对的圆周角是直角，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质等等，熟知相关知识是解题的关键．
26．(1)2；-1；-1；
(2)；
(3)①；；②经过C、D两点的一次函数y=kx+b(k≠0)是“爱凌函数”；理由见解析

【分析】（1）根据已知条件，代入求解即可；
（2）首先用待定系数法求出反比例函数解析式，然后应用一元二次方程根的判别式求出k的值；
（3）首先根据前提条件推出x1与x2的关系，然后利用C，D坐标用x1和x2表示出直线斜率kCD，进一步代入点C或者点D的坐标，表示出截距b，然后将坐标（2，1）代入一次函数，和前面的结论比较是否符合条件．
【详解】（1）解：∵（3r＋4s，r＋s）为“爱凌点”，
∴，
解得：，
将（2，1）代入y＝x2−x＋t得：，
解得t＝−1．
故答案为：2；-1；-1．
（2）当k≠0时，将（2，1）分别代入y＝kx＋b与y＝中，
得，即，
∵两个函数图象有且只有一个交点，
∴kx＋1−2k＝只有一个根，即：
kx2＋（1−2k）x−2＝0，
Δ＝（1−2k）2＋8k＝0，
∴k＝−．
当k=0时，y=b，
∵函数y=b是“爱凌函数”，
∴b=1，此时，符合题意，
∴k＝
（3）①令x2−3x＋2＝0，得：，x2=2，
∴A（1，0），B（2，0），
∵C、D两点在抛物线上，
∴C（x1，x12−3x1＋2），D（x2，），
设AD的函数关系式为：，
则，
解得：，
∴，
令x＝0，则，
∴，
设AC的函数关系式为：，
则，
解得：，
∴，
令x＝0，则，
∴；
②y＝kx＋b是“爱凌函数”，理由如下：
∵若OE•OF＝1，
∴，
∴（2−x2）（x1−2）−1＝0，
∴2x1−x1x2＋2x2−5＝0，
∵一次函数y=kx+b经过C、D两点，
∴，
解得：，
∴CD的关系式为：y＝（x1＋x2−3）x＋2−x1x2，
将（2，1）代入得：
2（x1＋x2−3）＋2−x1x2=1，
即2x1−x1x2＋2x2−5＝0，与前提条件OE•OF＝1所得出的结论一致，
∴经过C，D的一次函数y＝kx＋b是“爱凌函数”．
【点睛】本题考查一次函数、反比例函数和二次函数相关知识点，将结论与前提条件进行比较，整个题目涉及的未知数比较多，计算过程中需要仔细．