2022-2023学年安徽省蚌埠市高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年安徽省蚌埠市高二（下）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 设集合A={−1,0,1,13}，B={y|y=2x,x∈R}，则A∩B=(    )A. ⌀ B. {1} C. {1,13} D. {0,1,13}2. 若函数f(x)的定义域为R，则“f(2) 1−b B. 0210. 在(x3−2 x)5的展开式中，下列说法正确的是(    )A. 各项的二项式系数和为32 B. 含x项的系数为80C. 常数项为−32 D. 各项的系数和为−111. 已知变量x，y经过随机抽样获得的成对样本数据为(x1,y1)，(x2,y2)，…，(xn,yn)，其线性回归方程为y =b x+a ，下列说法正确的是(    )A. 若相关系数r的值越大，则成对样本数据的线性相关程度超强B. 若相关系数r=−0.05，说明变量x，y线性相关程度较弱C. 相关指数R2的值越接近1，表示线性回归方程拟合效果越好D. 残差平方和越大，表示线性回归方程拟合效果越好12. 已知函数f(x)=3x−3a+1,x<0,loga(x+a),x≥0,则下列结论正确的是(    )A. 若a=54，则f(x)是增函数B. 若a=2，则方程f(x)=−3的解为x1=log32和x2=−158C. 若 a=43，则 f(x)的值域为(−2,+∞)D. 若f(x)有最大值，则实数a的取值范围是[13,1)三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知函数f(x)=x−lnx，则曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为______ ．14. 现用5种不同颜色对如图所示的四个部分进行涂色，要求相邻的两块不能用同一种颜色，则不同的涂色方法种数为______ (用数学作答)．15. 语文老师抽查小明古文背诵的情况，已知要求背诵的15篇古文中.小明有2篇不会背诵.若老师从这15篇古文中随机抽取3篇检查，记抽取的3篇古文中，小明会背诵的篇数为X，则P(X≥2)= ______ ；E(X)= ______ ．16. 已知函数f(x)=ex−x−m，g(x)=x−lnx−m，若函数g(x)存在零点2023，则函数f(x)一定存在零点x0，且x0= ______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. (本小题10.0分)已知P(A−)=23，P(B−|A)=34，P(B−|A−)=13，计算：(1)P(B|A)；(2)P(B)．18. (本小题12.0分)已知函数f(x)=ax2−2ax+1+b(a>0,b∈R)在区间[2,4]上的最小值为1，最大值为9．(1)求a，b的值；(2)设g(x)=f(x)x，求g(x)的值域．19. (本小题12.0分)脂肪含量(单位：%)指的是脂肪重量占人体总重量的比例.某研究机构对某项健身活动参与人群的脂肪含量进行调查研究，假设该项健身活动全体参与者的脂肪含量X～N(17,23).若脂肪含量超过21.8%为“偏胖”．(1)现从该项健身活动全体参与者中随机抽取20位，记这20人中偏胖的人数为Y，求Y的数学期望E(Y)；(2)根据样本数据(如表所示)， 依据α=0.05的独立性检验，能否认为该项健身活动参与者“偏胖”与性别有关？参考数据：若X−N(μ,σ2)，则P(μ−σ≤X≤μ+σ)≈0.6827，P(μ−2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ−3σ≤X≤μ+3σ)≈0.9973， 22=4.7， 23=4.8，χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)． 20. (本小题12.0分)已知函数f(x)=x3+bx+c在定义域内是奇函数．(1)求实数c的值；(2)求函数f(x)的极小值(用b表示)．21. (本小题12.0分)某农科所对大棚内的昼夜温差与某种子发芽率之间的关系进行分析研究，观测2023年4月1日至4月11日大棚内的昼夜温差与每天每100粒种子的发芽数，收集了11组数据列于如表中： 已知种子发芽数y(单位：粒)与昼夜温差x(单位：℃)之间线性相关，该农科所确定的研究方案是：先从这11组数据中选取1组，用剩下的10组数据求线性回归方程，再用先选取的1组数据进行检验．(1)若选取的是4月2日的数据，试根据除这一天之外的其他数据，求出y关于x的线性回归方程y =b x+a (精确到1)；(2)若由线性回归方程得到的种子发芽数的估计数据与所选取的检验数据的误差不超过2粒，则认为求得的线性回归方程是可靠的，试问(1)中所求得的线性回归方程是否可靠．参考数据：b =i=1n(xi−x−)(yi−y−)i=1n(xi−x−)2=i=1nxiyi−nx−y−i=1nxi2−nx−2，a =y−−b x−，i=111xi=118，i=111yi=249；i=111xiyi=2755；i=111xi2=1294．22. (本小题12.0分)已知函数f(x)=(1−x)emx．(1)讨论f(x)在区间(0,+∞)上的单调性；(2)若存在a0．答案和解析1.【答案】C 【解析】解：∵A={−1,0,1,13},B={y|y>0}，∴A∩B={1,13}．故选：C．可求出集合B，然后进行交集的运算即可．本题考查了集合的列举法和描述法的定义，指数函数的值域，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】B 【解析】解：由题意，若f(2)0，∴x<1，即该函数的定义域为(−∞,1)，排除选项A和B，当x=−1时，y=−ln2<0，排除选项C，故选：D．根据对数有意义的条件可求得函数的定义域，再计算当x=−1时，y的值，并与0比较大小，即可作出选择．本题考查函数的图象与性质，一般可从函数的单调性、奇偶性或特殊点处的函数值等方面着手思考，考查学生的逻辑推理能力和运算求解能力，属于基础题．5.【答案】C 【解析】解：根据题意，箱中有2件二等品和3件一等品，若所有二等品被取出时恰取出3件产品检验，则第三次取出的是二等品，前两次取出的产品是一件二等品、一件一等品，则有C21C21C31=12种情况，前3次取出的产品有A53=60种情况，则“所有二等品被取出时恰取出3件产品检验”的概率P=1260=15．故选：C．根据题意，由排列组合数公式分析“所有二等品被取出时恰取出3件产品检验”和“前3次取出的产品”的情况数目，由古典概型公式计算可得答案．本题考查古典概型的计算，涉及排列组合的应用，属于基础题．6.【答案】B 【解析】解：构造函数f(x)=log2x−(13)x，因为函数y=log2x、y=−(13)x在(0,+∞)上均为增函数，所以函数f(x)为(0,+∞)上的增函数，且f(1)=−13<0，f(2)=89>0，因为f(a)=0，由零点存在定理可知10，因为g(b)=0，由零点存在定理可知190，ab−1<0，ab>0，故(a−b)⋅ab−1ab<0，即a+1a−(b+1b)<0，故C正确；选项D，因为a>b>0，所以ba+ab>2 ba×ab=2，故D正确．故选：BCD．由已知，可得00)的图象开口向上，对称轴x=1，故函数f(x)在[2,4]上单调递增，所以f(x)min=f(2)=1+b=1，当f(x)max=f(4)=16a−8a+1+b=8a+b+1=9，所以a=1，b=0；(2)由(1)得f(x)=x2−2x+1，所以g(x)=x+1x−2(x≠0)，易知g′(x)=1−1x2=(x+1)(x−1)x2，当x<−1或x>1，g′(x)>0，当−121.8)=P(X>μ+σ)=1−P(μ−σ≤X≤μ+σ)2≈0.15865，所以Y∼B(20,0.15865)，所以E(Y)=np=20×0.15865≈3(人)．(2)假设H0：该项健身活动参与者“偏胖”与性别无关联，经计算得到χ2=220(10×110−10×90)2120×100×20×200=1160<3.841=x0.05，所以没有充分证据推断H0不成立，所以认为该项健身活动参与者“偏胖”与性别无关． 【解析】(1)根据X～N(17,23)得到μ=17，σ= 23=4.8，再求出参与者“偏胖”的概率，进而求解即可；(2)将数据代入χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，再跟3.841作比较即可．本题主要考查独立性检验和离散型随机变量的期望，属于中档题．20.【答案】解：(1)∵f(x)是奇函数，∴f(−x)+f(x)=0，即(−x)3+b(−x)+c+x3+bx+c=0，解得：c=0，故c=0；(2)结合(1)f(x)=x3+bx，定义域为R，f′(x)=3x2+b，当b≥0，f′(x)≥0在R上恒成立，即f(x)为增函数，无极小值；当b<0，令f′(x)<0，解得：− −b30，解得：x<− −b3或x> −b3，f(x)单调递增，f(x)极小值=f( −b3)=2b3 −b3；综上所述，当b≥0，f(x)无极小值；当b<0，f(x)极小值为2b3 −b3． 【解析】(1)根据函数的奇偶性求出c的值即可；(2)求出函数的导数，通过讨论b的范围，求出函数的单调区间，求出函数的极小值即可．本题考查了函数的奇偶性问题，考查函数的单调性，极值，考查导数的应用以及分类讨论思想，是中档题．21.【答案】解：(1)由已知，去掉4月2日的数据，可得i=110xi=108，i=110yi=227，i=110xiyi=2535，i=110xi2=1194，∴b =i=110xiyi−10x−y−i=110xi2−10x−2=2535−10×10.8×22.71194−10×10.82≈3，a =y−−b x−=22.7−3×10.8=−9.7，∴y关于x的线性回归方程为y =3x−9.7；(2)y =3x−9.7；当x=10，得y =3×10−9.7=20.3，此时|20.3−22|<2．∴可以认为求得的线性回归方程是可靠的． 【解析】(1)由已知结合最小二乘法求得b 与a 的值，可得y关于x的线性回归方程；(2)在(1)中求得的线性回归方程中，取x=10，得到y ，进一步分析得结论．本题考查线性回归方程，考查运算求解能力，是基础题．22.【答案】解：(1)已知f(x)=(1−x)emx，函数定义域为R，当m=0时，函数f(x)=1−x，此时函数f(x)在(0,+∞)上单调递减；当m≠0时，可得f′(x)=−emx+m(1−x)emx=−m(x−1+1m)emx，若m>1，当00，f(x)单调递增；当x>1−1m时，f′(x)<0，f(x)单调递减；若01−1m时，f′(x)>0，f(x)单调递增，综上，当m>1时，f(x)在(0,1−1m)单调递增，在(1−1m,+∞)单调递减；当0≤m≤1时，f(x)在(0,+∞)单调递减；当m<0时，f(x)在(0,1−1m)单调递减，在(1−1m,+∞)单调递增；(2)证明：若存在a0，f(x)单调递增；当x>0时，f′(x)<0，f(x)单调递减，又f(1)=0，所以当x<1时，f(x)>0；当x>1时，f(x)<0，则a<00，即证a+b<0，不妨设g(x)=f(x)−f(−x)，函数定义域为(0,1)，可得g′(x)=f′(x)+f′(−x)=x(e−x−ex)<0，所以函数g(x)在定义域上单调递减，此时g(x)1，00，即证a+b<0，构造函数g(x)=f(x)−f(−x)，对函数g(x)进行求导，利用导数得到函数g(x)的单调性，进而即可求证．本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查了逻辑推理、转化思想、分类讨论和运算能力．偏胖不偏胖男性10110女性1090α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828日期1日2日3日4日5日6日7日8日9日10日11日温差x/℃1110813121011912139发芽数y/粒2422153028182218272817