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2023年河南省南阳市镇平县六校联考中考数学三模试卷（含解析）
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这是一份2023年河南省南阳市镇平县六校联考中考数学三模试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年河南省南阳市镇平县六校联考中考数学三模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列四个实数1，−3，− 2，−π中，最小的实数是( )
A. 1 B. −3 C. − 2 D. −π
2. 如图所示的几何体的左视图是( )
A.
B.
C.
D.
3. 2022年3月23日，“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲，神舟十三号三位航天员进行授课，央视新闻全程直播，某一时刻观看人数达到379.2万，“379.2万”用科学记数法可以表示为( )
A. 3792×103 B. 379.2×104 C. 3.792×106 D. 0.3792×107
4. 在一个箱子内放有同种规格的乒乓球若干个.已知白球有30个，搅匀后随机摸取，若摸到白球的概率(频率)为0.3.则箱子内的乒乓球大约有( )
A. 90个 B. 97个 C. 100个 D. 103个
5. 下列运算正确的是( )
A. a2+a2=a4 B. (a−b)2=a2+b2
C. (−a+1)(−a−1)=a2−1 D. (a3)4=a7
6. 小明得到数学课外兴趣小组成员的年龄情况统计如表，那么对于不同x的值，则下列关于年龄的统计量不会发生变化的是( )
年龄(岁)
13
14
15
16
人数(人)
2
15
x
10−x
A. 平均数、方差 B. 中位数、方差 C. 平均数、中位数 D. 众数、中位数
7. 在平面直角坐标系xOy中，点P(2x−1,x+3)关于原点成中心对称的点的坐标在第四象限内，则x的取值范围是( )
A. x<12 B. −312 D. x>−3
8. 关于x的方程2x2−mx−3=0的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 不能确定
9. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.按以下步骤作图：①以点A为圆心、适当长为半径画弧，分别交边AB，AC于点M，N；②分别以点M和点N为圆心，以大于12MN的长为半径画弧，两弧在△ABC内交于点P；③作射线AP交边BC于点Q.若△ABQ的面积为50，AB=20，则CQ的长为( )
A. 52 B. 5 C. 7 D. 10
10. 如图1，在△ABC中，∠ABC=60°，点D是BC边上的中点，点P从△ABC的顶点A出发，沿A→B→D的路径以每秒1个单位长度的速度匀速运动到点D.线段DP的长度y随时间x变化的关系图象如图2所示，点N是曲线部分的最低点，则△ABC的面积为( )
A. 4 B. 4 3 C. 8 D. 16 33
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 若代数式x3−x无意义，则实数x的值是______ ．
12. 请写出一个函数解析式______，使它符合条件“当x>0时，y随x的增大而增大”．
13. 一元二次方程x2−x=0根的判别式的值为______ ．
14. 在矩形ABCD中，AB=4，AD=4 2，以BC为直径作半圆(如图1)，点P为边CD上一点．将矩形沿BP折叠，使得点C的对应点E恰好落在边AD上(如图2)，则阴影部分周长是______．
15. 折纸活动中含有大量数学知识，已知四边形ABCD是一张正方形彩纸．在一次折纸过程中，我们首先通过两次对折，得到了对开(二分之一)折痕EI和四开(四分之一)折痕KJ.然后将A，D分别沿EF，EG折叠到点H，并使H刚好落在KJ上，已知BF=6−3 3，则FG的长度为______．
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题10.0分)
(1)计算：|−3|+ 8−(π−3)0+(−2)；
(2)先化简再求值：(1−1x−1)÷x2−4x+4x2−1，其中x=3．
17. (本小题9.0分)
为了提高学生书写汉字的能力，增强保护汉字的意识，我市举办了首届“汉字听写大赛”，经选拔后有50名学生参加决赛，这50名学生同时听写50个汉字，若每正确听写出一个汉字得1分，根据测试成绩绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图如图表：
组别
成绩x分
频数(人数)
第1组
25≤x<30
4
第2组
30≤x<35
8
第3组
35≤x<40
16
第4组
40≤x<45
a
第5组
45≤x<50
10
请结合图表完成下列各题：
(1)求表中a的值；
(2)请把频数分布直方图补充完整；
(3)若测试成绩不低于40分为优秀，则本次测试的优秀率是多少？
(4)第5组10名同学中，有4名男同学，现将这10名同学平均分成两组进行对抗练习，且4名男同学每组分两人，求小宇与小强两名男同学能分在同一组的概率．
18. (本小题9.0分)
如图，已知y1与x的函数解析式为y1=kx；一次函数y2=ax+b与反比例函数y1=kx的图象交于A(1,6)，B(3,n)两点．
(1)求一次函数的解析式；
(2)根据图象直接写出使y1>y2成立的x的取值范围是______；
(3)连接OA、OB，求△OAB的面积．
19. (本小题9.0分)
如图1是某工厂生产的某种多功能儿童车，根据需要可变形为滑板车或三轮车，图2、图3是其示意图，已知前后车轮半径相同，车杆AB的长为60cm，点D是AB的中点，前支撑板DE=30cm，后支撑板EC=40cm，车杆AB与BC所成的∠ABC=53°．
(1)如图2，当支撑点E在水平线BC上时，支撑点E与前轮轴心B之间的距离BE的长；
(2)如图3，当座板DE与地面保持平行时，问变形前后两轴心BC的长度有没有发生变化？若不变，请通过计算说明；若变化，请求出变化量．(参考数据：sin53≈45，cos53°≈35，tan53°≈43)
20. (本小题9.0分)
2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆，三名航天员平安归来，神舟十三号任务取得圆满成功.飞箭航模店看准商机，推出了“神舟”和“天宫”模型.已知每个“神舟”模型的成本比“天宫”模型多10元，同样花费100元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多5个．
(1)“神舟”和“天宫”模型的成本各多少元？
(2)飞箭航模店计划购买两种模型共200个，且每个“神舟”模型的售价为30元，“天宫”模型的售价为15元.设购买“神舟”模型a个，销售这批模型的利润为w元．
①求w与a的函数关系式(不要求写出a的取值范围)；
②若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的13，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？
21. (本小题9.0分)
如图，有两块量角器完全重合在一起(量角器的直径AB=4，圆心为O)，保持下面一块不动，上面的一块沿AB所在的直线向右平移，当圆心与点B重合时，量角器停止平移，此时半⊙O与半⊙B交于点P，连接AP．
(1)AP与半⊙B有怎样的位置关系？请说明理由．
(2)在半⊙O的量角器上，A、B点的读数分别为180°、0°时，问点P在这块量角器上的读数是多少？
(3)求图中阴影部分的面积．
22. (本小题10.0分)
某公园在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，水柱从喷水头喷出到落于湖面的路径形状可以看作是抛物线的一部分，若记水柱上某一位置与水管的水平距离为d米，与湖面的垂直高度为h米，下面的表中记录了d与h的五组数据：
d(米)
0
1
2
3
4
h(米)
0.5
1.25
1.5
1.25
0.5
根据上述信息，解决以下问题：
(1)在如下网格中建立适当的平面直角坐标系，并根据表中所给数据画出表示h与d函数关系的图象；
(2)若水柱最高点距离湖面的高度为m米，则m=______；
(3)现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过只调节水管露出湖面的高度，使得游船能从水柱下方通过，如图所示，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.5米．已知游船顶棚宽度为3米，顶棚到湖面的高度为1.5米，那么公园应将水管露出湖面的高度(喷水头忽略不计)至少调节到多少米才能符合要求？请通过计算说明理由(结果保留一位小数)．
23. (本小题10.0分)
如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，CD是斜边AB上的中线，点E为射线BC上一点，将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点F．
(1)若DF⊥BC，垂足为G，点F与点D在直线CE的异侧，连接CF.如图2，判断四边形ADFC的形状，并说明理由；
(2)若DF⊥AB，AC=2，则DE的长度为______ ．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵|−3|=3，|− 2|= 2，|−π|=π，π>3> 2，
∴1>− 2>−3>−π，
则最小的实数为：−π，
故选：D．
正数>0>负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小；据此进行判断即可．
本题考查实数的大小比较，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
2.【答案】D
【解析】解：该几何体的左视图如图所示：
．
故选：D．
根据从左面看得到的图形是左视图，可得答案．
此题主要考查了简单组合体的三视图；用到的知识点为：主视图，左视图，俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形．
3.【答案】C
【解析】解：379.2万=3792000=3.792×106，
故选：C．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数．
此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．
4.【答案】C
【解析】解：∵已知白球有30个，搅匀后随机摸取，摸到白球的概率(频率)为0.3，
∴箱子内的乒乓球大约有：30÷0.3=100(个)，
故选：C．
直接利用白球的各数除以摸到白球的概率(频率)为0.3，即可得出答案．
此题主要考查了概率的意义，正确理解概率求法是解题关键．
5.【答案】C
【解析】解：A、原式=2a2，故此选项不符合题意；
B、原式=a2−2ab+b2，故此选项不符合题意；
C、原式=a2−1，故此选项符合题意；
D、原式=a12，故此选项不符合题意；
故选：C．
根据合并同类项运算法则判断A，根据完全平方公式判断B，根据平方差公式判断C，根据幂的乘方运算法则判断D．
本题考查整式的混合运算，掌握幂的乘方(am)n=amn运算法则，完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2和平方差公式(a+b)(a−b)=a2−b2是解题关键．
6.【答案】D
【解析】解：由表可知，年龄为15岁与年龄为16岁的频数和为x+10−x=10，
则总人数为：2+15+10=27，
故该组数据的众数为14岁，中位数为14岁，
即对于不同的x，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数，
故选：D．
由频数分布表可知后两组的频数和为10，即可得知总人数，结合前两组的频数知出现次数最多的数据及第14个数据，可得答案．
本题主要考查频数分布表及统计量的选择，由表中数据得出数据的总数是根本，熟练掌握平均数、中位数、众数及方差的定义和计算方法是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：点P(2x−1,x+3)关于原点成中心对称的点的坐标为(−2x+1,−x−3)，
根据题意，得−2x+1>0−x−3<0．
解得−3
让横纵坐标均互为相反数可得P点关于原点的对称点的坐标，然后根据第四象限点的坐标特征列出不等式组并解答．
本题主要考查了关于原点对称的点的坐标和解一元一次不等式组，解题的关键是掌握第四象限内点的坐标特征．
8.【答案】A
【解析】解：∵Δ=(−m)2−4×2×(−3)=m2+24>0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
先计算根的判别式的值，利用非负数的性质得到Δ>0，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
9.【答案】B
【解析】解：作QH⊥AB于H，如图，
由作法得AQ平分∠BAC，
而QC⊥AC，QH⊥AB，
∴QH=QC
∴△ABQ的面积=12×20×QH=50，
∴QH=CQ=5．
故选：B．
作QH⊥AB于H，如图，利用基本作图得到AQ平分∠BAC，则根据角平分线的性质得到QH=QC=5，然后根据三角形面积公式计算．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线).也考查了角平分线的性质．
10.【答案】D
【解析】解：由函数图象可知，当x=0时，即DP⊥AB，y最小，
∴AD=4，AP=2 3，
∴DP=2，AD=4，
∴∠ADP=60°，∠DAP=30°，
∵∠B=60°，
∴BD=PDsin60∘=4 33，
∵点D是BC的中点，
∴BC=8 33，
∴S△ABC=12BD⋅AD=16 33．
故选：D．
由函数图象可知AD=4，当DP⊥AC时，AP=2 3，然后利用勾股定理求得DP长的最小值，可得∠BAD=60°，进而结合∠B=60°，得△ABD是等边三角形，然后得点P是AB的中点，最后结合点D是BC的中点求△ABC的面积．
本题考查了垂线段最短、勾股定理、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形的中位线，解题的关键是数形结合．
11.【答案】3
【解析】解：要使代数式x3−x无意义，必须3−x=0，
解得：x=3．
故答案为：3．
根据分式无意义的条件得出3−x=0，再求出答案即可．
本题考查了分式有意义的条件，能熟记分式有意义的条件是解此题的关键，注意：当分母B=0时，式子AB无意义．
12.【答案】y=2x+3
【解析】解：∵y随x的增大而增大，
∴k>0，
∴y=2x+3，
故答案为：y=2x+3．
根据y随x的增大而增大可得k>0，写一个一次函数即可．
此题主要考查了一次函数的性质，关键是掌握一次函数y=kx+b(k≠0)，k>0时，y随x的增大而增大．
13.【答案】1
【解析】解：∵a=1，b=−1，c=0，
∴Δ=b2−4ac=(−1)2−4×1×0=1−0=1．
故答案为：1．
利用一元二次方程根的判别式(Δ=b2−4ac)进行计算即可得出答案．
本题主要考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式进行求解是解决本题的关键．
14.【答案】 2π+4
【解析】解：设半圆的圆心为O，
∵将矩形沿BP折叠，使得点C的对应点E恰好落在边AD上，
∴BE=BC=AD=4 2，
∵∠A=90°，
∴AE= BE2−AB2=4，
∴AB=AE=4，
∴∠ABE=∠AEB=45°，
∵∠ABC=90°，
∴∠OBF=45°，
∵OB=OF，
∴∠FBO=∠BFO=45°，
∴∠BOF=90°，
∴BF= 2OB=4，
∴BF的长度为90⋅π×2 2180= 2π，
∴阴影部分周长是 2π+4，
故答案为： 2π+4．
根据折叠和直角三角形的边角关系可求出∠ABE=45°，进而求出阴影部分所在圆心角的度数为90°，求出BF和BF的长再进行计算即可．
本题考查了翻折变换(折叠问题)，矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，弧长的计算，正确地作出辅助线是解题的关键．
15.【答案】4 3
【解析】解：由折叠得：∠AEF=∠HEF，∠DEG=∠HEG，EK=KD=14a，ED=EH=12a，
∴∠FEG=12平角=90°，
在Rt△EHK中，EK=14a，EH=12a，
∴∠EHK=30°，
∴∠HEK=90°−30°=60°，
∴∠DEG=∠HEG=30°，
∴∠DGE=∠HGE=60°，
在△EFG中，∠FEG=90°，∠HEG=30°，
∴∠EFG=90°−60°=30°，
∴∠EFG=∠EFA=30°，
在Rt△AEF中，AF= 3AE= 3×12a= 32a，
∵BF=6−3 3，
∴6−3 3=a− 32a，
解得a=6，
在Rt△DGE中，∠GED=30°，ED=12a，
∴EG=EDcos30∘=12a 32= 33a，
在Rt△FGE中，∠EFG=30°，EG= 33a，
∴FG=2EG=2 33a=2 33×6=4 3．
故答案为：4 3．
由折叠得到对应角相等，对应边相等，再由折叠得到EDEK与正方形的边长的关系，转化到直角三角形EHK中，由特殊的边角关系可得ZEHK−30，从而得到特殊锐角的直角三角形，通过解特殊锐角的直角三角形，求出边长即可．
考查轴对称的性质、正方形的性质，直角三角形的性质以及特殊锐角的直角三角形的边角关系等知识，理解折叠将问题转化到一个直角三角形中，通过解这个特殊锐角的直角三角形是解决问题的关键．
16.【答案】解：(1)原式=3+2 2−1−2
=2 2；
(2)原式=x−2x−1⋅(x+1)(x−1)(x−2)2
=x+1x−2．
当x=3时，原式=3+13−2=4．
【解析】(1)分别根据绝对值的性质、零指数幂的运算法则及数的开方法则计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可；
(2)先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值及实数的运算，绝对值的性质、零指数幂的运算法则及数的开方法则，熟知以上知识是解题的关键．
17.【答案】解：(1)表中a的值是：
a=50−4−8−16−10=12；
(2)根据题意画图如下：
(3)本次测试的优秀率是12+1050=0.44．
答：本次测试的优秀率是0.44；
(4)用A表示小宇，B表示小强，C、D表示其他两名同学，根据题意画树状图如下：
共有12种情况，小宇与小强两名男同学分在同一组的情况有4种，
则小宇与小强两名男同学分在同一组的概率是412=13．
【解析】(1)用总人数减去第1、2、3、5组的人数，即可求出a的值；
(2)根据(1)得出的a的值，补全统计图；
(3)用成绩不低于40分的频数乘以总数，即可得出本次测试的优秀率；
(4)用A表示小宇，B表示小强，C、D表示其他两名同学，画出树状图，再根据概率公式列式计算即可．
本题考查了频数分布直方图和概率，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题，概率=所求情况数与总情况数之比．
18.【答案】03
【解析】解：(1)∵反比例函数y1=kx的图象过点A(1,6)，B(3,n)两点，
∴k=1×6=6，
∴反比例函数解析式为y1=6x，
∴3n=6，解得n=2．
∵一次函数y2=ax+b的图象过A(1,6)，B(3,2)，
∴a+b=63a+b=2，解得a=−2b=8，
∴一次函数的解析式为y2=−2x+8；
(2)由图象可知，使y1>y2成立的x的取值范围是03．
故答案为：03；
(3)如图，设y2=−2x+8的图象与y轴交于点C．
令x=0，则y=8，
∴OC=8，
∴S△OAB=S△OBC−S△OAC
=12×8×3−12×8×1
=12−4
=8．
(1)把A(1,6)代入y1=kx，求出k，得到反比例函数解析式，再求出n，得到B点坐标．将A、B两点坐标代入y2=ax+b，利用待定系数法求出一次函数的解析式；
(2)找出反比例函数图象落在一次函数图象上方的部分对应的自变量的取值范围即可；
(3)设y2=−2x+8的图象与y轴交于点C，求出OC=8，根据S△OAB=S△OBC−S△OAC，即可求解．
此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用待定系数法求函数的解析式，三角形的面积．利用了数形结合思想．
19.【答案】解：(1)如图1，过点D作DF⊥BE于点F，
由题意知BD=DE=30cm，
∴BF=BDcos∠ABC=30×35=18(cm)，
∴BE=2BF=36(cm)．
(2)如图2，过点D作DM⊥BC于M，过点E作EN⊥BC于点N，
由题意知四边形DENM是矩形，
∴MN=DE=30cm，
在Rt△DBM中，BM=BDcos∠ABC=30×35=18(cm)，EN=DM=BDsin∠ABC=30×45=24(cm)，
在Rt△CEN中，CE=40cm，
∴由勾股定理可得CN= EC2−EN2= 402−242=32(cm)，
则BC=18+30+32=80(cm)，
原来BC=36+40=76(cm)，
80−76=4(cm)，
∴变形前后两轴心BC的长度增加了4cm．
【解析】(1)如图1，过点D作DF⊥BE于点F，由题意知BD=DE=30cm，根据三角函数的定义即可得到结论；
(2)如图2，过点D作DM⊥BC于M，过点E作EN⊥BC于点N，由题意知四边形DENM是矩形，求得MN=DE=30cm，解直角三角形即可得到结论．
本题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是结合题意构建出合适的直角三角形，并熟练掌握三角函数的应用
20.【答案】解：(1)设“天宫”模型成本为每个x元，则“神舟”模型成本为每个(x+10)元．
依题意得100x=100x+10+5．
解得x=10．
经检验，x=10是原方程的解．
答：“天宫”模型成本为每个10元，“神舟”模型每个20元；
(2)①∵“神舟”模型a个，则“天宫”模型为(200−a)个．
∴w=(30−20)a+(15−10)(200−a)=5a+1000．
②∵购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的13．
∴a≤13(200−a)．
解得：a≤50．
∵w=5a+1000.k=5>0．
∴当a=50时，wmax=5×50+1000=1250(元)．
即：购进“神舟”模型50个时，销售这批模型可以获得利润．最大利润为1250元．
【解析】(1)根据总数，设立未知数，建立分式方程，即可求解．
(2)①设“神舟”模型a个，则“天宫”模型为(200−a)个，根据利润关系即可表示w与a的关系式．
②根据购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的13，即可找到a的取值范围，利用一次函数性质即可求解．
本题考查了分式方程、一次函数的性质，关键在于找到等量关系，建立方程，不等式，函数模型．
21.【答案】解：(1)AP与半⊙B相切；
理由如下：
连接PB．
∵AB为半⊙O的直径，
∴∠APB=90°，
即AP切半⊙B于点P．
(2)连接OP.则△OPB为正三角形，
则∠POB=60°．
即点P在这块量角器上的读数为60°．
(3)∵S阴影=S扇形PBC−(S扇形POB−S正△POB)，
又∵∠POB=60°，∠PBO=60°，
∴∠PBC=120°，而正△POB的边长为2．
即S阴影=120⋅π⋅22360−(60⋅π⋅22360− 34×22)=4π3−2π3+ 3=2π3+ 3．
【解析】(1)连接PB.根据直径所对的圆周角是直角求得∠APB=90°，进而证得AP切半⊙B于点P；
(2)连接OP.则有△OPB为正三角形，从而求得点P在这块量角器上的读数是60°；
(3)根据S阴影=S扇形PBC−(S扇形POB−S正△POB)，即可求得；
本题考查了切线的判定，圆周角的定理，扇形面积的计算，正三角形面积的计算，圆周角定理和切线的判定定理是本题的关键；
22.【答案】(1)以喷泉与湖面的交点为原点，喷泉所在的直线为纵轴建立平面直角坐标系，如图1所示：
(2)1.5
(3)根据图象可设二次函数的解析式为：h=a(d−2)2+1.5，
将(0,0.5)代入h=a(d−2)2+1.5，得a=−14，
∴抛物线的解析式为：h=−14d2+d+0.5，
设调节后的水管喷出的抛物线的解析式为：h=−14d2+d+0.5+n，
由题意可知，当横坐标为2+32=72时，纵坐标的值大于1.5+0.5=2，
∴−14×(72)2+72+0.5+n≥2，
解得n≥1.1，
∴水管高度至少向上调节1.1米，
∴0.5+1.1=1.6(米)，
∴公园应将水管露出湖面的高度(喷水头忽略不计)至少调节到1.6米才能符合要求．
【解析】解：(1)见答案；
(2)根据题意可知，该抛物线的对称轴为x=2，此时最高，
即m=1.5，
故答案为：1.5；
(3)见答案；
(1)建立坐标系，描点．用平滑的曲线连接即可；
(2)观察图象即可得出结论；
(3)根据二次函数图象的性质求出最高点的高度，设二次函数的顶点式，求解原抛物线的解析式；设出二次函数图象平移后的解析式，根据题意求解即可．
本题属于二次函数的应用，主要考查待定函数求函数解析式，二次函数图象的平移，解题的关键在于掌握由二次函数的图象建立二次函数模型．
23.【答案】 6− 2
【解析】解：(1)四边形ADFC为菱形，理由如下：
∵∠ACB=90°，∠A=60°，
∴∠B=30°，
∵CD是斜边AB上的中线，
∴AC=AD=DB=CD，
由折叠的性质可得：DB=DF，
∴AC=DF，
∵∠ACB=∠DGE=90°，
∴AC//DF，
∴四边形ADFC为平行四边形，
∵AC=AD=DF，
∴四边形ADFC为菱形．
(2)∵∠ACB=90°，∠A=60°，
∴∠B=30°，
∵CD是斜边AB上的中线，
∴AC=AD=DB=CD=2，
∵DF⊥AB，
∴∠FDE=∠BDE=45°，
作EH⊥BD交于点H，
设DH=EH=m，则BH=2−m，
∵tan30°=EHHB=EH2−m= 33，
∴EH= 33(2−m)，
∵DH=EH=m，
∴m= 33(2−m)，
解得：m= 3−1，
∴DE= DH2+EH2= 6− 2．
故答案为： 6− 2．
(1)根据菱形的判定定理证明即可；
(2)证明∠FDE=∠BDE=45°，作EH⊥BD交于点H，设DH=EH=m，
则BH=2−m，求出M= 3−1，进一步可求出DE
本题考查菱形的判定定理，30°所对的直角边等于斜边的一半，斜边上的中线等于斜边的一半，正切值，勾股定理，折叠的性质．解题的关键是熟练掌握以上相关知识点，并能够综合运用．
2023年河南省南阳市镇平县六校联考中考数学三模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列四个实数1，−3，− 2，−π中，最小的实数是( )
A. 1 B. −3 C. − 2 D. −π
2. 如图所示的几何体的左视图是( )
A.
B.
C.
D.
3. 2022年3月23日，“天宫课堂”第二课在中国空间站开讲，神舟十三号三位航天员进行授课，央视新闻全程直播，某一时刻观看人数达到379.2万，“379.2万”用科学记数法可以表示为( )
A. 3792×103 B. 379.2×104 C. 3.792×106 D. 0.3792×107
4. 在一个箱子内放有同种规格的乒乓球若干个.已知白球有30个，搅匀后随机摸取，若摸到白球的概率(频率)为0.3.则箱子内的乒乓球大约有( )
A. 90个 B. 97个 C. 100个 D. 103个
5. 下列运算正确的是( )
A. a2+a2=a4 B. (a−b)2=a2+b2
C. (−a+1)(−a−1)=a2−1 D. (a3)4=a7
6. 小明得到数学课外兴趣小组成员的年龄情况统计如表，那么对于不同x的值，则下列关于年龄的统计量不会发生变化的是( )
年龄(岁)
13
14
15
16
人数(人)
2
15
x
10−x
A. 平均数、方差 B. 中位数、方差 C. 平均数、中位数 D. 众数、中位数
7. 在平面直角坐标系xOy中，点P(2x−1,x+3)关于原点成中心对称的点的坐标在第四象限内，则x的取值范围是( )
A. x<12 B. −3
8. 关于x的方程2x2−mx−3=0的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 不能确定
9. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.按以下步骤作图：①以点A为圆心、适当长为半径画弧，分别交边AB，AC于点M，N；②分别以点M和点N为圆心，以大于12MN的长为半径画弧，两弧在△ABC内交于点P；③作射线AP交边BC于点Q.若△ABQ的面积为50，AB=20，则CQ的长为( )
A. 52 B. 5 C. 7 D. 10
10. 如图1，在△ABC中，∠ABC=60°，点D是BC边上的中点，点P从△ABC的顶点A出发，沿A→B→D的路径以每秒1个单位长度的速度匀速运动到点D.线段DP的长度y随时间x变化的关系图象如图2所示，点N是曲线部分的最低点，则△ABC的面积为( )
A. 4 B. 4 3 C. 8 D. 16 33
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 若代数式x3−x无意义，则实数x的值是______ ．
12. 请写出一个函数解析式______，使它符合条件“当x>0时，y随x的增大而增大”．
13. 一元二次方程x2−x=0根的判别式的值为______ ．
14. 在矩形ABCD中，AB=4，AD=4 2，以BC为直径作半圆(如图1)，点P为边CD上一点．将矩形沿BP折叠，使得点C的对应点E恰好落在边AD上(如图2)，则阴影部分周长是______．
15. 折纸活动中含有大量数学知识，已知四边形ABCD是一张正方形彩纸．在一次折纸过程中，我们首先通过两次对折，得到了对开(二分之一)折痕EI和四开(四分之一)折痕KJ.然后将A，D分别沿EF，EG折叠到点H，并使H刚好落在KJ上，已知BF=6−3 3，则FG的长度为______．
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. (本小题10.0分)
(1)计算：|−3|+ 8−(π−3)0+(−2)；
(2)先化简再求值：(1−1x−1)÷x2−4x+4x2−1，其中x=3．
17. (本小题9.0分)
为了提高学生书写汉字的能力，增强保护汉字的意识，我市举办了首届“汉字听写大赛”，经选拔后有50名学生参加决赛，这50名学生同时听写50个汉字，若每正确听写出一个汉字得1分，根据测试成绩绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图如图表：
组别
成绩x分
频数(人数)
第1组
25≤x<30
4
第2组
30≤x<35
8
第3组
35≤x<40
16
第4组
40≤x<45
a
第5组
45≤x<50
10
请结合图表完成下列各题：
(1)求表中a的值；
(2)请把频数分布直方图补充完整；
(3)若测试成绩不低于40分为优秀，则本次测试的优秀率是多少？
(4)第5组10名同学中，有4名男同学，现将这10名同学平均分成两组进行对抗练习，且4名男同学每组分两人，求小宇与小强两名男同学能分在同一组的概率．
18. (本小题9.0分)
如图，已知y1与x的函数解析式为y1=kx；一次函数y2=ax+b与反比例函数y1=kx的图象交于A(1,6)，B(3,n)两点．
(1)求一次函数的解析式；
(2)根据图象直接写出使y1>y2成立的x的取值范围是______；
(3)连接OA、OB，求△OAB的面积．
19. (本小题9.0分)
如图1是某工厂生产的某种多功能儿童车，根据需要可变形为滑板车或三轮车，图2、图3是其示意图，已知前后车轮半径相同，车杆AB的长为60cm，点D是AB的中点，前支撑板DE=30cm，后支撑板EC=40cm，车杆AB与BC所成的∠ABC=53°．
(1)如图2，当支撑点E在水平线BC上时，支撑点E与前轮轴心B之间的距离BE的长；
(2)如图3，当座板DE与地面保持平行时，问变形前后两轴心BC的长度有没有发生变化？若不变，请通过计算说明；若变化，请求出变化量．(参考数据：sin53≈45，cos53°≈35，tan53°≈43)
20. (本小题9.0分)
2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆，三名航天员平安归来，神舟十三号任务取得圆满成功.飞箭航模店看准商机，推出了“神舟”和“天宫”模型.已知每个“神舟”模型的成本比“天宫”模型多10元，同样花费100元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多5个．
(1)“神舟”和“天宫”模型的成本各多少元？
(2)飞箭航模店计划购买两种模型共200个，且每个“神舟”模型的售价为30元，“天宫”模型的售价为15元.设购买“神舟”模型a个，销售这批模型的利润为w元．
①求w与a的函数关系式(不要求写出a的取值范围)；
②若购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的13，则购进“神舟”模型多少个时，销售这批模型可以获得最大利润？最大利润是多少？
21. (本小题9.0分)
如图，有两块量角器完全重合在一起(量角器的直径AB=4，圆心为O)，保持下面一块不动，上面的一块沿AB所在的直线向右平移，当圆心与点B重合时，量角器停止平移，此时半⊙O与半⊙B交于点P，连接AP．
(1)AP与半⊙B有怎样的位置关系？请说明理由．
(2)在半⊙O的量角器上，A、B点的读数分别为180°、0°时，问点P在这块量角器上的读数是多少？
(3)求图中阴影部分的面积．
22. (本小题10.0分)
某公园在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，水柱从喷水头喷出到落于湖面的路径形状可以看作是抛物线的一部分，若记水柱上某一位置与水管的水平距离为d米，与湖面的垂直高度为h米，下面的表中记录了d与h的五组数据：
d(米)
0
1
2
3
4
h(米)
0.5
1.25
1.5
1.25
0.5
根据上述信息，解决以下问题：
(1)在如下网格中建立适当的平面直角坐标系，并根据表中所给数据画出表示h与d函数关系的图象；
(2)若水柱最高点距离湖面的高度为m米，则m=______；
(3)现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过只调节水管露出湖面的高度，使得游船能从水柱下方通过，如图所示，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距离均不小于0.5米．已知游船顶棚宽度为3米，顶棚到湖面的高度为1.5米，那么公园应将水管露出湖面的高度(喷水头忽略不计)至少调节到多少米才能符合要求？请通过计算说明理由(结果保留一位小数)．
23. (本小题10.0分)
如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，CD是斜边AB上的中线，点E为射线BC上一点，将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点F．
(1)若DF⊥BC，垂足为G，点F与点D在直线CE的异侧，连接CF.如图2，判断四边形ADFC的形状，并说明理由；
(2)若DF⊥AB，AC=2，则DE的长度为______ ．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵|−3|=3，|− 2|= 2，|−π|=π，π>3> 2，
∴1>− 2>−3>−π，
则最小的实数为：−π，
故选：D．
正数>0>负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小；据此进行判断即可．
本题考查实数的大小比较，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
2.【答案】D
【解析】解：该几何体的左视图如图所示：
．
故选：D．
根据从左面看得到的图形是左视图，可得答案．
此题主要考查了简单组合体的三视图；用到的知识点为：主视图，左视图，俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形．
3.【答案】C
【解析】解：379.2万=3792000=3.792×106，
故选：C．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数．
此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要确定a的值以及n的值．
4.【答案】C
【解析】解：∵已知白球有30个，搅匀后随机摸取，摸到白球的概率(频率)为0.3，
∴箱子内的乒乓球大约有：30÷0.3=100(个)，
故选：C．
直接利用白球的各数除以摸到白球的概率(频率)为0.3，即可得出答案．
此题主要考查了概率的意义，正确理解概率求法是解题关键．
5.【答案】C
【解析】解：A、原式=2a2，故此选项不符合题意；
B、原式=a2−2ab+b2，故此选项不符合题意；
C、原式=a2−1，故此选项符合题意；
D、原式=a12，故此选项不符合题意；
故选：C．
根据合并同类项运算法则判断A，根据完全平方公式判断B，根据平方差公式判断C，根据幂的乘方运算法则判断D．
本题考查整式的混合运算，掌握幂的乘方(am)n=amn运算法则，完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2和平方差公式(a+b)(a−b)=a2−b2是解题关键．
6.【答案】D
【解析】解：由表可知，年龄为15岁与年龄为16岁的频数和为x+10−x=10，
则总人数为：2+15+10=27，
故该组数据的众数为14岁，中位数为14岁，
即对于不同的x，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数，
故选：D．
由频数分布表可知后两组的频数和为10，即可得知总人数，结合前两组的频数知出现次数最多的数据及第14个数据，可得答案．
本题主要考查频数分布表及统计量的选择，由表中数据得出数据的总数是根本，熟练掌握平均数、中位数、众数及方差的定义和计算方法是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：点P(2x−1,x+3)关于原点成中心对称的点的坐标为(−2x+1,−x−3)，
根据题意，得−2x+1>0−x−3<0．
解得−3
让横纵坐标均互为相反数可得P点关于原点的对称点的坐标，然后根据第四象限点的坐标特征列出不等式组并解答．
本题主要考查了关于原点对称的点的坐标和解一元一次不等式组，解题的关键是掌握第四象限内点的坐标特征．
8.【答案】A
【解析】解：∵Δ=(−m)2−4×2×(−3)=m2+24>0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
先计算根的判别式的值，利用非负数的性质得到Δ>0，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
9.【答案】B
【解析】解：作QH⊥AB于H，如图，
由作法得AQ平分∠BAC，
而QC⊥AC，QH⊥AB，
∴QH=QC
∴△ABQ的面积=12×20×QH=50，
∴QH=CQ=5．
故选：B．
作QH⊥AB于H，如图，利用基本作图得到AQ平分∠BAC，则根据角平分线的性质得到QH=QC=5，然后根据三角形面积公式计算．
本题考查了作图−基本作图：熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线).也考查了角平分线的性质．
10.【答案】D
【解析】解：由函数图象可知，当x=0时，即DP⊥AB，y最小，
∴AD=4，AP=2 3，
∴DP=2，AD=4，
∴∠ADP=60°，∠DAP=30°，
∵∠B=60°，
∴BD=PDsin60∘=4 33，
∵点D是BC的中点，
∴BC=8 33，
∴S△ABC=12BD⋅AD=16 33．
故选：D．
由函数图象可知AD=4，当DP⊥AC时，AP=2 3，然后利用勾股定理求得DP长的最小值，可得∠BAD=60°，进而结合∠B=60°，得△ABD是等边三角形，然后得点P是AB的中点，最后结合点D是BC的中点求△ABC的面积．
本题考查了垂线段最短、勾股定理、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形的中位线，解题的关键是数形结合．
11.【答案】3
【解析】解：要使代数式x3−x无意义，必须3−x=0，
解得：x=3．
故答案为：3．
根据分式无意义的条件得出3−x=0，再求出答案即可．
本题考查了分式有意义的条件，能熟记分式有意义的条件是解此题的关键，注意：当分母B=0时，式子AB无意义．
12.【答案】y=2x+3
【解析】解：∵y随x的增大而增大，
∴k>0，
∴y=2x+3，
故答案为：y=2x+3．
根据y随x的增大而增大可得k>0，写一个一次函数即可．
此题主要考查了一次函数的性质，关键是掌握一次函数y=kx+b(k≠0)，k>0时，y随x的增大而增大．
13.【答案】1
【解析】解：∵a=1，b=−1，c=0，
∴Δ=b2−4ac=(−1)2−4×1×0=1−0=1．
故答案为：1．
利用一元二次方程根的判别式(Δ=b2−4ac)进行计算即可得出答案．
本题主要考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式进行求解是解决本题的关键．
14.【答案】 2π+4
【解析】解：设半圆的圆心为O，
∵将矩形沿BP折叠，使得点C的对应点E恰好落在边AD上，
∴BE=BC=AD=4 2，
∵∠A=90°，
∴AE= BE2−AB2=4，
∴AB=AE=4，
∴∠ABE=∠AEB=45°，
∵∠ABC=90°，
∴∠OBF=45°，
∵OB=OF，
∴∠FBO=∠BFO=45°，
∴∠BOF=90°，
∴BF= 2OB=4，
∴BF的长度为90⋅π×2 2180= 2π，
∴阴影部分周长是 2π+4，
故答案为： 2π+4．
根据折叠和直角三角形的边角关系可求出∠ABE=45°，进而求出阴影部分所在圆心角的度数为90°，求出BF和BF的长再进行计算即可．
本题考查了翻折变换(折叠问题)，矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，弧长的计算，正确地作出辅助线是解题的关键．
15.【答案】4 3
【解析】解：由折叠得：∠AEF=∠HEF，∠DEG=∠HEG，EK=KD=14a，ED=EH=12a，
∴∠FEG=12平角=90°，
在Rt△EHK中，EK=14a，EH=12a，
∴∠EHK=30°，
∴∠HEK=90°−30°=60°，
∴∠DEG=∠HEG=30°，
∴∠DGE=∠HGE=60°，
在△EFG中，∠FEG=90°，∠HEG=30°，
∴∠EFG=90°−60°=30°，
∴∠EFG=∠EFA=30°，
在Rt△AEF中，AF= 3AE= 3×12a= 32a，
∵BF=6−3 3，
∴6−3 3=a− 32a，
解得a=6，
在Rt△DGE中，∠GED=30°，ED=12a，
∴EG=EDcos30∘=12a 32= 33a，
在Rt△FGE中，∠EFG=30°，EG= 33a，
∴FG=2EG=2 33a=2 33×6=4 3．
故答案为：4 3．
由折叠得到对应角相等，对应边相等，再由折叠得到EDEK与正方形的边长的关系，转化到直角三角形EHK中，由特殊的边角关系可得ZEHK−30，从而得到特殊锐角的直角三角形，通过解特殊锐角的直角三角形，求出边长即可．
考查轴对称的性质、正方形的性质，直角三角形的性质以及特殊锐角的直角三角形的边角关系等知识，理解折叠将问题转化到一个直角三角形中，通过解这个特殊锐角的直角三角形是解决问题的关键．
16.【答案】解：(1)原式=3+2 2−1−2
=2 2；
(2)原式=x−2x−1⋅(x+1)(x−1)(x−2)2
=x+1x−2．
当x=3时，原式=3+13−2=4．
【解析】(1)分别根据绝对值的性质、零指数幂的运算法则及数的开方法则计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可；
(2)先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值及实数的运算，绝对值的性质、零指数幂的运算法则及数的开方法则，熟知以上知识是解题的关键．
17.【答案】解：(1)表中a的值是：
a=50−4−8−16−10=12；
(2)根据题意画图如下：
(3)本次测试的优秀率是12+1050=0.44．
答：本次测试的优秀率是0.44；
(4)用A表示小宇，B表示小强，C、D表示其他两名同学，根据题意画树状图如下：
共有12种情况，小宇与小强两名男同学分在同一组的情况有4种，
则小宇与小强两名男同学分在同一组的概率是412=13．
【解析】(1)用总人数减去第1、2、3、5组的人数，即可求出a的值；
(2)根据(1)得出的a的值，补全统计图；
(3)用成绩不低于40分的频数乘以总数，即可得出本次测试的优秀率；
(4)用A表示小宇，B表示小强，C、D表示其他两名同学，画出树状图，再根据概率公式列式计算即可．
本题考查了频数分布直方图和概率，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题，概率=所求情况数与总情况数之比．
18.【答案】0
【解析】解：(1)∵反比例函数y1=kx的图象过点A(1,6)，B(3,n)两点，
∴k=1×6=6，
∴反比例函数解析式为y1=6x，
∴3n=6，解得n=2．
∵一次函数y2=ax+b的图象过A(1,6)，B(3,2)，
∴a+b=63a+b=2，解得a=−2b=8，
∴一次函数的解析式为y2=−2x+8；
(2)由图象可知，使y1>y2成立的x的取值范围是0
故答案为：0
(3)如图，设y2=−2x+8的图象与y轴交于点C．
令x=0，则y=8，
∴OC=8，
∴S△OAB=S△OBC−S△OAC
=12×8×3−12×8×1
=12−4
=8．
(1)把A(1,6)代入y1=kx，求出k，得到反比例函数解析式，再求出n，得到B点坐标．将A、B两点坐标代入y2=ax+b，利用待定系数法求出一次函数的解析式；
(2)找出反比例函数图象落在一次函数图象上方的部分对应的自变量的取值范围即可；
(3)设y2=−2x+8的图象与y轴交于点C，求出OC=8，根据S△OAB=S△OBC−S△OAC，即可求解．
此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，利用待定系数法求函数的解析式，三角形的面积．利用了数形结合思想．
19.【答案】解：(1)如图1，过点D作DF⊥BE于点F，
由题意知BD=DE=30cm，
∴BF=BDcos∠ABC=30×35=18(cm)，
∴BE=2BF=36(cm)．
(2)如图2，过点D作DM⊥BC于M，过点E作EN⊥BC于点N，
由题意知四边形DENM是矩形，
∴MN=DE=30cm，
在Rt△DBM中，BM=BDcos∠ABC=30×35=18(cm)，EN=DM=BDsin∠ABC=30×45=24(cm)，
在Rt△CEN中，CE=40cm，
∴由勾股定理可得CN= EC2−EN2= 402−242=32(cm)，
则BC=18+30+32=80(cm)，
原来BC=36+40=76(cm)，
80−76=4(cm)，
∴变形前后两轴心BC的长度增加了4cm．
【解析】(1)如图1，过点D作DF⊥BE于点F，由题意知BD=DE=30cm，根据三角函数的定义即可得到结论；
(2)如图2，过点D作DM⊥BC于M，过点E作EN⊥BC于点N，由题意知四边形DENM是矩形，求得MN=DE=30cm，解直角三角形即可得到结论．
本题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是结合题意构建出合适的直角三角形，并熟练掌握三角函数的应用
20.【答案】解：(1)设“天宫”模型成本为每个x元，则“神舟”模型成本为每个(x+10)元．
依题意得100x=100x+10+5．
解得x=10．
经检验，x=10是原方程的解．
答：“天宫”模型成本为每个10元，“神舟”模型每个20元；
(2)①∵“神舟”模型a个，则“天宫”模型为(200−a)个．
∴w=(30−20)a+(15−10)(200−a)=5a+1000．
②∵购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的13．
∴a≤13(200−a)．
解得：a≤50．
∵w=5a+1000.k=5>0．
∴当a=50时，wmax=5×50+1000=1250(元)．
即：购进“神舟”模型50个时，销售这批模型可以获得利润．最大利润为1250元．
【解析】(1)根据总数，设立未知数，建立分式方程，即可求解．
(2)①设“神舟”模型a个，则“天宫”模型为(200−a)个，根据利润关系即可表示w与a的关系式．
②根据购进“神舟”模型的数量不超过“天宫”模型数量的13，即可找到a的取值范围，利用一次函数性质即可求解．
本题考查了分式方程、一次函数的性质，关键在于找到等量关系，建立方程，不等式，函数模型．
21.【答案】解：(1)AP与半⊙B相切；
理由如下：
连接PB．
∵AB为半⊙O的直径，
∴∠APB=90°，
即AP切半⊙B于点P．
(2)连接OP.则△OPB为正三角形，
则∠POB=60°．
即点P在这块量角器上的读数为60°．
(3)∵S阴影=S扇形PBC−(S扇形POB−S正△POB)，
又∵∠POB=60°，∠PBO=60°，
∴∠PBC=120°，而正△POB的边长为2．
即S阴影=120⋅π⋅22360−(60⋅π⋅22360− 34×22)=4π3−2π3+ 3=2π3+ 3．
【解析】(1)连接PB.根据直径所对的圆周角是直角求得∠APB=90°，进而证得AP切半⊙B于点P；
(2)连接OP.则有△OPB为正三角形，从而求得点P在这块量角器上的读数是60°；
(3)根据S阴影=S扇形PBC−(S扇形POB−S正△POB)，即可求得；
本题考查了切线的判定，圆周角的定理，扇形面积的计算，正三角形面积的计算，圆周角定理和切线的判定定理是本题的关键；
22.【答案】(1)以喷泉与湖面的交点为原点，喷泉所在的直线为纵轴建立平面直角坐标系，如图1所示：
(2)1.5
(3)根据图象可设二次函数的解析式为：h=a(d−2)2+1.5，
将(0,0.5)代入h=a(d−2)2+1.5，得a=−14，
∴抛物线的解析式为：h=−14d2+d+0.5，
设调节后的水管喷出的抛物线的解析式为：h=−14d2+d+0.5+n，
由题意可知，当横坐标为2+32=72时，纵坐标的值大于1.5+0.5=2，
∴−14×(72)2+72+0.5+n≥2，
解得n≥1.1，
∴水管高度至少向上调节1.1米，
∴0.5+1.1=1.6(米)，
∴公园应将水管露出湖面的高度(喷水头忽略不计)至少调节到1.6米才能符合要求．
【解析】解：(1)见答案；
(2)根据题意可知，该抛物线的对称轴为x=2，此时最高，
即m=1.5，
故答案为：1.5；
(3)见答案；
(1)建立坐标系，描点．用平滑的曲线连接即可；
(2)观察图象即可得出结论；
(3)根据二次函数图象的性质求出最高点的高度，设二次函数的顶点式，求解原抛物线的解析式；设出二次函数图象平移后的解析式，根据题意求解即可．
本题属于二次函数的应用，主要考查待定函数求函数解析式，二次函数图象的平移，解题的关键在于掌握由二次函数的图象建立二次函数模型．
23.【答案】 6− 2
【解析】解：(1)四边形ADFC为菱形，理由如下：
∵∠ACB=90°，∠A=60°，
∴∠B=30°，
∵CD是斜边AB上的中线，
∴AC=AD=DB=CD，
由折叠的性质可得：DB=DF，
∴AC=DF，
∵∠ACB=∠DGE=90°，
∴AC//DF，
∴四边形ADFC为平行四边形，
∵AC=AD=DF，
∴四边形ADFC为菱形．
(2)∵∠ACB=90°，∠A=60°，
∴∠B=30°，
∵CD是斜边AB上的中线，
∴AC=AD=DB=CD=2，
∵DF⊥AB，
∴∠FDE=∠BDE=45°，
作EH⊥BD交于点H，
设DH=EH=m，则BH=2−m，
∵tan30°=EHHB=EH2−m= 33，
∴EH= 33(2−m)，
∵DH=EH=m，
∴m= 33(2−m)，
解得：m= 3−1，
∴DE= DH2+EH2= 6− 2．
故答案为： 6− 2．
(1)根据菱形的判定定理证明即可；
(2)证明∠FDE=∠BDE=45°，作EH⊥BD交于点H，设DH=EH=m，
则BH=2−m，求出M= 3−1，进一步可求出DE
本题考查菱形的判定定理，30°所对的直角边等于斜边的一半，斜边上的中线等于斜边的一半，正切值，勾股定理，折叠的性质．解题的关键是熟练掌握以上相关知识点，并能够综合运用．
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