2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市高二（下）期末数学试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市高二（下）期末数学试卷（含解析），共21页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在等差数列{an}中，若a2+a6=6，则a4=(    )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
2. 在(x−2x)6的展开式中，含x2的项的系数是(    )
A. −488 B. 60 C. 480 D. 45
3. 已知圆C：(x−1)2+(y−2)2=25，则直线3x+4y−1=0被圆截得的弦的长度为(    )
A. 2 B. 7 C. 21 D. 2 21
4. 已知平面α、β，直线m、n、l，则下列命题正确的个数是(    )
①若m//α，m⊂β，α∩β=l，则m//l
②若m//α，m//β，则α//β
③若α⊥β，m⊂α，则m⊥β
④若m⊥n，m⊥α，n⊄α，则n//α
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5. 已知各项均为正数的等比数列{an}的公比为2，若存在两项am、an使得 aman=8a1，则m+n=(    )
A. 3 B. 4 C. 8 D. 16
6. 今年“五一”期间人民群众出游热情高涨，某地为保障景区的安全有序，现增派6名警力去A、B两个景区执勤.要求A景区至少增派3名警力，B景区至少增派2名警力，则不同的分配方法的种数为(    )
A. 35 B. 60 C. 70 D. 120
7. 牛顿迭代法亦称切线法，它是求函数零点近似解的另一种方法.若定义xk(k∈N)是函数f(x)零点近似解的初始值，在点Pk(xk,f(xk))处的切线方程为y=f′(xk)(x−xk)+f(xk)，切线与x轴交点的横坐标为xk+1，即为函数f(x)零点近似解的下一个初始值.以此类推，满足精度的初始值即为函数零点近似解.设函数f(x)=x3+x−1，满足x0=0，应用上述方法，则x2=(    )
A. 1 B. 34 C. 1164 D. 5986
8. 现实世界中的很多随机变量遵循正态分布.例如反复测量某一个物理量，其测量误差X通常被认为服从正态分布.若某物理量做n次测量，最后结果的误差Xn∼N(0,2n)，要控制|Xn|⩾14的概率不大于0.0027，至少要测量的次数为[参考数据：P(μ−3σ⩽X⩽μ+3σ)=0.9973](    )
A. 141 B. 128 C. 288 D. 512
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知数列{an}的前n项和为Sn，则下列叙述正确的是(    )
A. 若an=2n−1，则Sn=n2
B. 若an=1n(n+1)，则Sn=1−1n
C. 若{an}是等差数列，则数列{2an}是等比数列
D. 若Sn=n2+1，则数列{an}是等差数列
10. 伟大的古希腊哲学家、百科式科学家阿基米德最早采用不断分割法求得椭圆的面积为椭圆的长半轴长和短半轴长乘积的π倍，这种方法已具有积分计算的雏形.已知椭圆C的面积为12 5π，离心率为23,F1,F2是椭圆C的两个焦点，A为椭圆C上的动点，则下列说法正确的是(    )
A. 椭圆C的标准方程可以为x236+y220=1
B. 若∠F1AF2=π3，则S△F1AF2=20 3
C. 存在点A，使得∠F1AF2=π2
D. 2|AF1|+1|AF2|的最小值为14+ 26
11. 为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，哈尔滨市某中学需要了解性别因素是否对本校学生体育锻炼的经常性有影响，随机抽取了300名学生，对他们是否经常锻炼的情况进行了调查，调查发现经常锻炼人数是不经常锻炼人数的2倍，绘制其等高堆积条形图，如图所示，则下列说法不正确的是(    )
参考公式：其中X2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，n=a+b+c+d.独立性检验中常用的小概率值和相应的临界值：
α
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828


A. 参与调查的男生中经常锻炼的人数比不经常锻炼的人数多
B. 从参与调查的学生中任取一人，已知该生为女生，则该生经常锻炼的概率为47
C. 依据α=0.1的独立性检验，认为性别因素影响学生体育锻炼的经常性，该推断犯错误的概率不超过0.1
D. 若经常锻炼人数与不经常锻炼人数的比例不变，统计得到的等高堆积条形图也不变，则无论参与调查的男生、女生人数为多少，依据α=0.1的独立性检验，都可以认为性别因素与学生体育锻炼的经常性无关
12. 定义：在区间I上，若函数y=f(x)是减函数，且y=xf(x)是增函数，则称y=f(x)在区间I上是“弱减函数”.根据定义可得(    )
A. f(x)=xex在(1,2)上是“弱减函数”
B. 若f(x)=lnxx在(m,+∞)上是“弱减函数”，则m>e
C. f(x)=sinxx在(0,π2)上是“弱减函数”
D. 若f(x)=cosx+kx2在(0,π2)上是“弱减函数”，则23π⩽k⩽1π
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 在直角△ABC中，AC=BC= 2，将△ABC绕斜边AB旋转一周形成的几何体的体积是______ ．
14. 抛物线y2=8x上的点A(x0,2 2)到焦点的距离为______ ．
15. 已知某品牌的新能源汽车的使用年限x(单位：年)与维护费用y(单位：千元)之间可以用模型y=c1ec2x(c1>0)去拟合，收集了4组数据，设z=lny，x与z的数据如表格所示：
x
4
6
8
10
z
2
3
5
6
利用最小二乘法得到x与z的线性回归方程z =0.6x+a ，则c1⋅c2= ______ ．
16. 函数f(x)=ex−ax−13，对于∀x∈(0,+∞),f(x)≥16x3−x恒成立，则a的取值范围是______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
某中学高二年级参加市数学联考，其中甲、乙两个班级优秀率分别为30%和40%，现在先从甲、乙两个班中选取一个班级，然后从选取的班级中再选出一名同学.选取甲、乙两个班级的规则如下：纸箱中有大小和质地完全相同的4个白球、2个黑球，从中摸出1个球，摸到白球就选甲班，摸到黑球就选乙班．
(1)分别求出选取甲班、乙班的概率；
(2)求选出的这名同学数学成绩优秀的概率．
18. (本小题12.0分)
如图所示，在直角梯形ABCD中，BC//AD，AD⊥CD，BC=2，AD=3,CD= 3，边AD上一点E满足DE=1.现将△ABE沿BE折起到△A1BE的位置，使平面A1BE⊥平面BCDE，如图所示．
(1)求证：A1C⊥BE；
(2)求A1E与平面A1CD所成角的余弦值．

19. (本小题12.0分)
已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0).四个点P1(3,1),P2(2,3),P3(−2,−3),P4(32, 152)中恰有三点在双曲线C上．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若直线l：y=kx+m与双曲线C交于M，N两点，且OM⊥ON，求原点O到直线l的距离．
20. (本小题12.0分)
某食盐厂为了检查一条自动流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的100袋食盐称出它们的质量(单位：克)作为样本数据，质量的分组区间为[394,396]，(396,398]，⋯，(404,406].由此得到样本的频率分布直方图如图：
(1)求a的值；
(2)从该流水线上任取2袋食盐，设X为质量超过402g的食盐数量，求随机变量X的分布列及数学期望；
(3)在上述抽取的100袋食盐中任取2袋，设Y为质量超过402g的食盐数量，求随机变量Y的分布列．

21. (本小题12.0分)
已知数列{an}的首项a1=29，且满足an+1=2an3an+1,n∈N*．
(1)求证：数列{1an−3}是等比数列；
(2)若1a1+1a2+1a3+⋯+1ant(0)=1，即h′(x)>0，
∴h(x)在(0,+∞)上单调递增，即g′(x)在(0,+∞)上单调递增，
由g′(x)=0得x=1，由g′(x)>0得x>1，由g′(x)0)，则p′(x)=1−1x=x−1x，
令p′(x)=0得x=1，
所以在(0,1)上p′(x)0，p(x)单调递增，
所以p(x)≥p(1)=1>0，即x>lnx，
因为h(ln(3a−1))=ae2ln(3a−1)+(a−2)eln(3a−1)−ln(3a−1)=3−aa−ln3−aa，
又因为当0lnx，
所以3−aa−ln3−aa>0，
所以h(ln(3a−1))>0，
由于ln3−aa>−lna，且h(−lna)0时，f′(x)的符号，f(x)的单调性．
(2)若f(x)=ae2x+2(a−1)ex−2x和g(x)=aex−x有两个不同交点，则ae2x+(a−2)ex−x=0有两个不同实根，设h(x)=ae2x+(a−2)ex−x，求导分析单调性，极值，只需使得h(x)在(−∞,+∞)上有两个零点，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．