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2022-2023学年江苏省苏州市八校高一（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年江苏省苏州市八校高一（下）期末数学试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年江苏省苏州市八校高一（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合A={x|−1≤x≤1}，B={x|3x<1}，则A∪B=( )
A. [−1,0) B. (−∞,0) C. [−1,1] D. (−∞,1]
2. 国家统计局公报显示绘制出的2017−2021年每年本专科、中等职业教育及普通高中的招生人数(单位：万)统计图如图所示，则下列关于2017−2021年说法正确的是( )
A. 每年本专科、中等职业教育和普通高中的招生人数都在增长
B. 中等职业教育和普通高中的招生人数差距最大的年份是2019年
C. 本专科每年的招生人数增幅最大的年份是2018年
D. 本专科的招生人数所占比例最高的年份是2021年
3. 已知向量a=(1,2),b=(k,3)，且a⊥(a+b)，则实数k的值为( )
A. −10 B. −11 C. −18 D. −21
4. 已知函数f(x)=12x+k−23,2k≤x<2k+43,2x−2k−83,2k+43≤x<2k+2,(k∈Z)，则下列说法错误的是( )
A. f(x)是单调递增函数 B. f(f(x+2))=x
C. f(x)≤x−1 D. f(x)+f(x+1)≤2x
5. 昆虫信息素是昆虫用来表示聚集、觅食、交配、警戒等信息的化学物质，是昆虫之间起化学通讯作用的化合物，是昆虫交流的化学分子语言，包括利它素、利己素、协同素、集合信息素、追踪信息素、告警信息素、疏散信息素、性信息素等.人工合成的昆虫信息素在生产中有较多的应用，尤其在农业生产中的病虫害的预报和防治中较多使用.研究发现，某昆虫释放信息素t秒后，在距释放处x米的地方测得的信息素浓度y满足lny=−12lnt−ktx2+a，其中k，a为非零常数.已知释放信息素1秒后，在距释放处2米的地方测得信息素浓度为m；若释放信息素4秒后，距释放处b米的位置，信息素浓度为m2，则b=( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
6. “cosθ=0”是“函数f(x)=sin(x+θ)+cosx为偶函数”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 在△ABC中，AB⋅AC=9，sinB=cosAsinC，S△ABC=6，P为线段AB上的动点，且CP=x⋅CA|CA|+y⋅CB|CB|，则2x+1y的最小值为( )
A. 116+ 63 B. 116 C. 1112+ 63 D. 1112
8. 已知等腰直角△ABC的斜边AB= 2，M，N分别为AC，AB上的动点，将△AMN沿MN折起，使点A到达点A′的位置，且平面A′MN⊥平面BCMN.若点A′，B，C，M，N均在球O的球面上，则球O表面积的最小值为( )
A. 8π3 B. 3π2 C. 6π3 D. 4π3
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知z−(1+i)=2−i，则在复平面内复数z对应的点不位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
10. 如图所示，在边长为3的等边三角形ABC中，AD=23AC，且点P在以AD的中点O为圆心，OA为半径的半圆上，若BP=xBA+yBC，则( )
A. BD=13BA+23BC
B. BD⋅BO=132
C. BP⋅BC存在最小值
D. x+y的最大值为1+ 77
11. 已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)+1(ω>0,|φ|<π2)，满足f(x)+f(−π3−x)=2，且对任意x∈R，都有f(x)≥f(−5π12)，当ω取最小值时，则下列错误的是( )
A. f(x)图像的对称轴方程为x=π12+kπ3,k∈Z
B. f(x)在[−π12,π6]上的值域为[ 3,2]
C. 将函数y=2sin(2x−π6)+1的图象向左平移π6个单位长度得到函数f(x)的图象
D. f(x)在[π6,π3]上单调递减
12. 已知四棱锥P−ABCD，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，点M在平面ABCD上，且AM=λAD(0<λ<1)，则( )
A. 存在λ，使得直线PB与AM所成角为π6
B. 不存在λ，使得平面PAB⊥平面PBM
C. 当λ一定时，点P与点M轨迹上所有的点连线和平面ABCD围成的几何体的外接球的表面积为4(λ2+1)2π
D. 若λ= 22，以P为球心，PM为半径的球面与四棱琟P−ABCD各面的交线长为 2+ 62π
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿对角线AC把矩形折成二面角D−AC−B的平面角为60°时，则|BD|= ．
14. 如图，在半径为1的圆O中，点A、B为圆O上的定点，且∠AOB=60°，点C为圆上的一个动点，若OC=xOA+yOB，则2x+( 3+1)y的取值范围是______ ．
15. 已知函数f(x)=ex,x≤0lnx,x>0，则f(f(1))=______；设g(x)=f(x)+x+a，若函数g(x)存在2个零点，则实数a的取值范围是______．
16. 已知a,b为平面上的单位向量，|c|= 26，且a⋅c=1，则|a⋅b|+|b⋅c|的最大值为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
如图所示，设Ox，Oy是平面内相交成60°角的两条数轴，e1，e2分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量，若向量OP=xe1+ye2(x,y∈R)，则把有序数对(x,y)叫做向量OP在坐标系xOy中的坐标．
(Ⅰ)设M(0,2)，N(3,0)，求OM⋅ON的值；
(Ⅱ)若OP=2e1+3e2，计算|OP|的大小．
18. (本小题12.0分)
已知复数z=m2(1+i)+(3i−4)m+2i−5(m∈R)．
(1)若z为纯虚数，求m的值；
(2)若复数zi的实部与虚部之和为14，求m的值．
19. (本小题12.0分)
某校为加强党史教育，进行了一次党史知识竞赛，随机抽取的100名学生的笔试成绩均在75分以上(满分100分)，分成[75,80)，[80,85)[85，90)，[90,95)，[95,100]共五组后，得到的频率分布表如下所示：
组号
分组
频数
频率
第1组
[75,80)
①
第2组
[80,85)
0.300
第3组
[85,90)
30
②
第4组
[90,95)
20
0.200
第5组
[95,100]
10
0.100
合计
100
1.00
(1)请先求出频率分布表中①、②位置的相应数据，再完成频率分布直方图(用阴影表示)；
(2)为能更好了解学生的知识掌握情况，学校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面答，最终从6位学生中随机抽取2位参加市安全知识答题决赛，求抽到的2位学生不同组的概率．
20. (本小题12.0分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，acosB+ 32b=c．
(1)求A的大小；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件选择一个作为已知，使得△ABC存在且唯一确定，求BC边上高线的长.条件①：cosB=3 2114，b=1；条件②：a=2，c=2 3；条件③：b=3，c= 3．
21. (本小题12.0分)
如图，四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，梯形ABCD满足AB//CD，∠BCD=90°，且PD=AD=DC=2，AB=3，E为PC中点，PF=13PB，PG=2GA．
(1)求证：D，E，F，G四点共面；
(2)求二面角F−DE−P的正弦值．
22. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=xex−1，g(x)=a(x+lnx)且f(x)−g(x)≥0恒成立.(提示：ex≥x+1，当且仅当x=0时等号成立)
(1)求a的值；
(2)证明：x3ex>(x2+3)lnx+2sinx．
(注：其中e=2.71828⋯为自然对数的底数)
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵集合A={x|−1≤x≤1}，B={x|3x<1}={x|x<0}=(−∞,0)，
∴A∪B=(−∞,1]．
故选：D．
求出集合B，利用交集定义能求出A∩B．
本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】D
【解析】解：对于选项A：中等职业教育2017年招生人数为582万人，2018年招生人数为557万人，所以2017−2018年中等职业教育招生人数出现减少，故选项A错误；
对于选项B：2017−2021年中等职业教育和普通高中的招生人数差为：218万人，236万人，239万人，231万人，249万人，所以中等职业教育和普通高中的招生人数差距最大的是2021年，故选项B错误；
对于选项C：2018−2021年本专科每年的招生人数增幅为：3.9%，15.7%，5.7%，3.5%，所以本专科每年的招生人数增幅最大的年份是2019年，故选项C错误；
对于选项D：2017−2021年本专科的招生人数所占比例为：35.5%，36.9%，38.9%，38.9%，39.1%，所以本专科的招生人数所占比例最高的年份是2021年，故选项D正确，
故选：D．
根据柱状图的数据，逐一分析选项即可得出答案．
本题主要考查了统计图表的应用，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：由向量a=(1,2),b=(k,3)，可得a2=|a|2=5,a⋅b=k+6，
又由a⊥(a+b)，可得a⋅(a+b)=a2+a⋅b=5+k+6=0，解得k=−11．
故选：B．
根据向量的数量积的运算公式，以及垂直的向量坐标表示，列出方程，即可求解．
本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：对于A：∵函数f(x)=12x+k−23,2k≤x<2k+43,2x−2k−83,2k+43≤x<2k+2,(k∈Z)，
∴当2k≤x<2k+43时，f(x)=12x+k−23单调递增，
当2k+43≤x<2k+2时，f(x)=2x−2k−83单调递增，
又f(x)为连续函数，故A正确；
对于B：f(x+2)=12x+k+43,2k≤x<2k+432x−2k−23,2k+43≤x<2k+2(k∈Z)，
∴f(f(x+2))=2(12x+k+43)−2k−83,2k≤x<2k+4312(2x−2k−23)+k+1−23,2k+43≤x<2k+43=x(k∈Z)，故B正确；
对于C：f(0)=−23>0−1=−1，故C错误；
对于D：f(x)−x=−12x+k−23,2k≤x<2k+43x−2k−83,2k+43≤x<2k+2≤−12×2k+k−23,2k≤x<2k+432k+2−2k−83,2k+43≤x<2k+2=−23，
∴f(x)+f(x+1)≤x−23+x+13≤2x，故D正确．
故选：C．
由函数解析式可判断函数为单调函数，且为增函数可判断A的正误；由f(x)的解析式求得f(x+2)的解析式，再求得f(f(x+2))的解析式，化简即可判断B的正误；将特殊值x=0代入即可排除C；由f(x)求得f(x)−x，在求得最值，可判断f(x)+f(x+1)≤2x，即可得出答案．
本题考查分段函数的性质，考查转化思想和整体思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
5.【答案】B
【解析】解：由题意lnm=−4k+a，lnm2=−12ln4−k4b2+a，
所以lnm−lnm2=−4k+a−(−12ln4−k4b2+a))，
即−4k+k4b2=0.又k≠0，所以b2=16．
因为b>0，所以b=4．
故选：B．
根据已知的浓度解析式，代入变量，结合对数的运算，化简求值．
本题主要考查函数在实际问题中的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及充分必要条件的判断，属于中档题．
根据题意，分析“cosθ=0”和“函数f(x)=sin(x+θ)+cosx为偶函数”的关系，结合充分必要条件的定义分析可得答案．
【解答】
解：根据题意，若cosθ=0，则θ=kπ+π2，k∈Z，故f(x)=sin(x+kπ+π2)+cosx，
当k为偶数时，f(x)=2cosx，是偶函数，
当k为奇数时，f(x)=0，也是偶函数，
故f(x)一定是偶函数，
反之，若f(x)=sin(x+θ)+cosx为偶函数，则f(−x)=f(x)，
即sin(x+θ)+cosx=sin(−x+θ)+cos(−x)，
变形可得：sinxcosθ+cosxsinθ+cosx=−sinxcosθ+cosxsinθ+cosx，必有cosθ=0；
故“cosθ=0”是“函数f(x)=sin(x+θ)+cosx为偶函数”的充分必要条件．
故选：C．
7.【答案】C
【解析】解：设|AB|=c，|AC|=b，根据题意得bccosA=9b=ccosA12bcsinA=6，
解得b=3，c=5，sinA=45，cosA=35，∴|CB|=4，∴CP=x⋅CA|CA|+y⋅CB|CB|=x3CA+y4CB，
又∵A、P、B三点共线，∴x3+y4=1，且x>0，y>0，
∴2x+1y=(x3+y4)(2x+1y)=1112+x3y+y2x≥1112+2 x3y⋅y2x=1112+ 63，
当且仅当x3+y4=1x3y=y2x，即x=6(4− 6)5y=4(2 6−3)5时，等号成立，
∴2x+1y的最小值为1112+ 63．
故选：C．
可设|AB|=c，|AC|=b，从而得出bccosA=9b=ccosA12bcsinA=6，然后可解出|CA|=3,|CB|=4，从而得出CP=x3CA+y4CB，由A，P，B三点共线即可得出x3+y4=1，然后可得出2x+1y=(x3+y4)(2x+1y)，然后根据基本不等式即可求出最小值．
本题考查了三角形的面积公式，向量数量积的计算公式，正弦定理，基本不等式，1的代换，三点共线的充要条件，考查了计算能力，属于基础题．
8.【答案】D
【解析】解：由点A′，B，C，M，N均在球O的球面上，且B.C，M，N共圆(M不与A重合)，
所以∠NMC+∠B=∠C+∠MNB=π(M不与C重合)，
又△ABC为等腰直角三角形，AB为斜边，即有MN⊥AB，
如上图，△ANM、△BNM、△BCM都为直角三角形，且∠ANM=∠MNB=∠C=π2，
由平面图到立体图知：MN⊥A′N，MN⊥BN，
又面A′MN⊥面BCMN，面A′MN∩面BCMN=MN，A′N⊂面A′MN，
所以A′N⊥面BCMN，同理可得BN⊥面A′MN，
将△AMN翻折后，A′M，BM的中点D，E分别为△A′MN，四边形BCMN外接圆圆心，
过D作DO⊥面A′MN，过E作EO⊥面BCMN，它们交于O，即为A′−BNMC外接球球心，如下图示，
再过D作DF⊥面BCMN，交NM于F，连接EF，则EFDO为矩形，
综上，DF//A′N，DO//BN，则F为MN中点，
所以，DO=EF=12BN，而A′C=BC=1，AB= 2，
令A′N=x且0
当x= 23时，rmin=1 3，故球O表面积的最小值为4πr2=4π3．
故选：D．
由题设B，C，M，N共圆( M不与A重合)，进而确定MN⊥AB，找到△A′NM，四边形BCMN外接圆圆心，由棱锥外接球、面面垂直的性质确定球心位置，设A′N=x，且0
9.【答案】BCD
【解析】解：z−(1+i)=2−i，
则z−=2−i1+i=(2−i)(1−i)(1+i)(1−i)=12−32i，
故z=12+32i，
故在复平面内复数z对应的点(12,32)位于第一象限．
故选：BCD．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题．
10.【答案】ABC
【解析】解：对于A，因为AD=23AC，且点P在以AD的中点O为圆心，OA为半径的半圆上，
所以OA=OD=DC=13AC=1，则BD=BC+CD=13BA+23BC，故A正确；
对于B，BO=BC+CO=BC+23CA=23BA+13BC，
则BD⋅BO=(13BA+23BC)(23BA+13BC)=29BA2+29BC2+59BA⋅BC=132，故B正确；
对于C，如图，以点O为原点建立平面直角坐标系，
则A(−1,0),B(12,3 32),C(2,0)，
因为点P在以AD的中点O为圆心，OA为半径的半圆上，
所以点P的轨迹方程为x²+y²=1，且在x轴的下半部分，
设P(cosα,sinα)，α∈[π,2π]，
则BP=(cosα−12,sinα−3 32),BC=(32,−3 32),BA=(−32,−3 32)，
所以BP⋅BC=32cosα−34−3 32sinα+274=3cos(α+π3)+6，
因为α∈[π,2π]，所以α+π3∈[4π3,7π3]，
所以当α+π3=4π3时，BP⋅BC取得最小值92，故C正确；
对于D，因为BP=xBA+yBC，
所以(cosα−12,sinα−3 32)=x(−32,− 32)+y(32,−3 32)，
即(cosα−12,sinα−3 32)=(32(x−y),−3 32(x+y))，
所以sinα−3 32=−3 32(x+y)，
所以x+y=−2 39sinα+1，
因为α∈[π,2π]，所以当α=3π2时，x+y取得最大值2 39+1，故D错误．
故选：ABC．
对于A，B，将BD,BO分别用BA,BC表示，再结合数量积的运算律即可判断；
对于C，D，以点O为原点建立平面直角坐标系，设P(cosα,sinα)，α∈[π,2π]，根据平面向量的坐标表示及坐标运算即可判断．
本题主要考查平面向量的数量积公式以及平面向量的坐标表示及运算，属于中档题．
11.【答案】ABC
【解析】解：因为f(x)+f(−π3−x)=2，所以f(x)的图象关于点(−π6,1)对称，
又对任意x∈R，都有f(x)≥f(−5π12)，所以当x=−5π12时，f(x)取得最小值，
当ω取最小值时，即周期T最大，
可得T4=−π6−(−5π12).得T=π，所以ω=2πT=2，
函数f(x)在x=−5π12时取得最小值，
所以2sin(−5π6+φ)+1=−1.因为|φ|<π2，所以φ=π3．
即f(x)=2sin(2x+π3)+1．
令2x+π3=π2+kπ,k∈Z，得x=π12+kπ2,h∈Z.故A错误；
当x∈[−π12,π6]时，2x+π3∈[π6,2π3]．
此时f(x)的值域为[2,3]，故B错误；
将y=2sin(2x−π6)+1的图象向左平移π6个单位长度得到函数
y=2sin(2x+π6)+1的图象，故C错误；
当x∈[π6,π3]时，2x+π3∈[2π3,π]，f(x)单调递减，故D正确．
故选：ABC．
根据题意f(x)的图象关于点(−π6,1)对称，又当x=−5π12时，f(x)取得最小值，当ω取最小值时，即周期T最大，可得T=π，所以ω=2πT=2，函数f(x)在x=−5π12时取得最小值，所以φ=π3.求得f(x)=2sin(2x+π3)+1，再逐项分析判断即可得解．
本题主要考查正弦函数的图象与性质，三角函数图象的平移变换，考查运算求解能力，属于中档题．
12.【答案】BCD
【解析】解：对A，如图，
由题意∠PBA=π4为直线与平面ABCD所成的角，所以PB与AM所成的角不小于π4，π4>π6，故A错误；
对B，PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD平面，∴BC⊥PA，又BC⊥AB，PA∩AB=A，AB，PA⊂平面PAB，
∴BC⊥面PAB，∴点M要在直线BC上，
因AM=λAD(0<λ<1)，所以不存在，故B正确．
对C，由题意知，几何体为圆锥，作圆锥及外接球的轴截面图，如图，
所以外接球的半径R满足R2=(2−R)2+(2λ)2，解得R=λ2+1，
所以外接球的表面积为S=4(λ2+1)2π，故C正确；
对D，将侧面展开，知球与侧面的交线为以点P为圆心， 6为半径的圆与侧面展开图的交线，即图中EMF，
因为tan∠APF= 22=tan∠BPC=22 2= 22，所以∠APF=∠BPC，
又∠APF+∠FPB=π4，所以∠FPC=∠BPC+∠FPB=π4，
由对称性知∠FPC=∠CPE，所以∠FPE=π2，
故EMF的长为π2× 6，
又球与底面交线为以点A为圆心， 2为半径的圆与底面ABCD的交线，
故长度为π2× 2，所以球面与四棱琟P−ABCD各面的交线长为 2+ 62π，D正确．
故选：BCD．
根据线面角是斜线与平面内直线所成角的最小角判断A，根据平面PBC⊥平面PAB判断B，根据圆锥与其外接球轴截面求球的半径判断C，利用侧面展开图求球与侧面交线长，再由球与底面交线为以点A为圆心， 2为半径的四分之一圆弧即可判断D．
本题考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查外接于的表面积的求法，考查轨迹问题，考查运算求解能力，属中档题．
13.【答案】 1935
【解析】
【分析】
本题考查了空间距离计算问题，也考查了运算求解能力与转化思想，是中档题．
【向量法】根据题意画出图形，结合图形过点D作DE⊥AC于点E，过点B作BF⊥AC于点F；利用直角三角形的边角关系和平面向量的线性表示，求出模长即可．
【公式法】利用余弦定理结合勾股定理求解即可．
【解答】
解：【向量法】矩形ABCD中，AB=4，BC=3，
过点D作DE⊥AC于点E，过点B作BF⊥AC于点F，如图所示，
则|DE|=|BF|=3×45=125，
|EF|=5−2×95=75；
沿对角线AC把矩形折成二面角D−AC−B的平面角为60°时，
则BD=BF+FE+ED，
BD2=BF2+FE2+ED2+2BF⋅FE+2FE⋅ED+2BF⋅ED
=(125)2×2+(75)2+0+0+2×125×125×cos(180°−60°)
=19325，
∴|BD|= 1935．
故答案为： 1935．
【公式法】DE=BF=125，EF=75;
如图，构造平行四边形EFBG，EG=BF，EF=BG，
可得∠DEG=60°，EF⊥平面DEG，即BG⊥平面DEG，
则BD2=DG2+BG2，
则BD= EF2+BF2+DE2−2BF⋅DE⋅cos 60∘
= 1935．
故答案为： 1935．
14.【答案】[−2 2,2 2]
【解析】解：如图所示，以O为原点，以OA为x轴建立平面直角坐标系，
因为圆的半径为1，且∠AOB=60°，可得A(1,0),B(12, 32)，
设点C(cosθ,sinθ)，其中θ∈[0,2π]，
因为OC=xOA+yOB，可得(cosθ,sinθ)=x⋅(1,0)+y⋅(12, 32)，
所以cosθ=x+12ysinθ= 32y，可得2x+( 3+1)y=2cosθ+2sinθ=2 2sin(θ+π4)，
因为−1≤sin(θ+π4)≤1，可得−2 2≤sin(θ+π4)≤2 2，
即2x+( 3+1)y的的取值范围是[−2 2,2 2]，
故答案为：[−2 2,2 2].
建立平面直角坐标系，根据OC=xOA+yOB，得到cosθ=x+12ysinθ= 32y，进而得到2x+( 3+1)y=2cosθ+2sinθ=2 2sin(θ+π4)，结合三角函数的性质，即可求解．
本题主要考查平面向量的线性运算和三角函数的取值范围，属于中档题．
15.【答案】1 [−1,+∞)
【解析】解：因为函数f(x)=ex,x≤0lnx,x>0，
所以f(1)=ln1=0，f(f(1))=f(0)=e0=1；
令g(x)=f(x)+x+a=0，得f(x)=−x−a，
若函数g(x)存在2个零点，则函数f(x)与y=−x−a有两个交点，
由指数函数的图象可得：y=ex恒过点(0,1)，
且函数y=−x−a恒过点(0,−a)，
画出函数的图像，如图所示：
由图像知，−a≤1，解得a≥−1，
所以实数a的取值范围是[−1,+∞)．
故答案为：1；[−1,+∞)．
利用分段函数的解析式求出f(1)和f(f(1))的值，再利用数形结合法求出实数a的取值范围．
本题考查了分段函数的零点问题，也考查了数形结合思想，是中档题．
16.【答案】 29
【解析】解：如图，设A，B是单位圆O上的点，OC= 26,OA⊥AC,OA=a,OB=b,OC=c．
设OC到OB的角为θ，则OA到OB的角为θ−arctan5，
进而|a⋅b|+|b⋅c|=|cos(θ−arctan5)|+ 26⋅|cosθ|
=|cosθ+5sinθ|+26|cosθ| 26≤27|cosθ|+5|sinθ| 26≤ 272+52 26= 29，
等号当θ=arctan527易时取得，因此所求最大值为 29．
故答案为： 29．
设A，B是单位圆O上的点，其中OC= 26,OA⊥AC,OA=a,OB=b,OC=c，设OC到OB的角为θ，则|a⋅b|+|b⋅c|=|cos(θ−arctan5)|+ 26⋅|cosθ|，利用绝对值不等式和柯西不等式可求最大值．
本题考查向量数量积的最值的求解，化归转化思想，数形结合思想，柯西不等式的应用，属中档题．
17.【答案】解：(Ⅰ)根据题意可得OM=2e2，ON=3e1，
∴OM⋅ON=6e1⋅e2=6×1×1×cos60°=3；
(Ⅱ)∵|OP|= OP2= (2e1+3e2)2
= 4e12+12e1⋅e2+9e22
= 4+12cos60°+9
= 19，
∴|OP|的大小为 19．
【解析】根据平面向量数量积的定义与性质即可求解．
本题考查平面向量数量积的定义与性质，属基础题．
18.【答案】解：(1)由题意得z=(m2−4m−5)+(m2+3m+2)i．
因为z为纯虚数，
所以m2−4m−5=0m2+3m+2≠0，解得m=5，
故m的值为5．
(2)由题意得zi=(m2+3m+2)+(−m2+4m+5)i，
因为复数zi的实部与虚部之和为14，
所以m2+3m+2+(−m2+4m+5)=14，
解㥂m=1，
故m的值为1．
【解析】(1)结合纯虚数的定义，即可求解．
(2)结合虚部和实部的定义，即可求解．
本题主要考查纯虚数和实部，虚部的定义，属于基础题．
19.【答案】解：(1)第2组的频数为100×0.300=30，
所以①处应填的数为100−30−30−20−10=10，
②处应填的数为30÷100=0.300，
频率分布直方图如图所示，
(2)因为第3、4、5组共有60名选手，所以利用分层抽样在60名选手中抽取6名选手进入第二轮面试，每组抽取的人数分别为：
第3组：3060×6=3人，第4组：2060×6=2人，第5组：1060×6=1人，
所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人进入第二轮面答，
设第3组的3位学生为A1，A2，A3，第4组的2位学生为B1，B2，第5组的1位学生为C1，则从这6位学生中抽取2位学生有：
(A1,A2)，(A1,A3)，(A1,B1)，(A1,B2)，(A1,C1)，
(A2,A3)，(A2,B1)，(A2,B2)，(A2,C1)，
(A3,B1)，(A3,B2)，(A3,C1)，
(B1,B2)，(B1,C1)，
(B2,C1)，共15种情况．
抽到的2位学生不同组的有：(A1,B1)，(A1,B2)，(A1,C1)，(A2,B1)，(A2,B2)，(A2,C1)，(A3,B1)，(A3,B2)，(A3,C1)，(B1,C1)，(B2,C1)，共11种情况．
所以抽到的2位学生不同组的概率为1115．
【解析】(1)由频数与频率的关系，结合表格求解即可，再求频率比组距，从而完成频率分布直方图，
(2)由分层抽样可得第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人进入第二轮面答，再列基本事件，从而求概率．
本题综合考查了频率分布直方图及概率的应用，注意保证基本事件的等可能性及列举不重不漏，属于基础题．
20.【答案】解：(1)因为acosB+ 32b=c，
由正弦定理得，sinAcosB+ 32sinB=sinC，
又sinC=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA，
所以 32sinB=sinBcosA，
由B为三角形内角得sinB>0，
所以cosA= 32，
由A为三角形内角可得A=π6；
(2)若选①：cosB=3 2114，b=1，
可得sinB= 1−cos2B= 714，
所sinC=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA=12×3 2114+ 32× 714= 217，
设BC边上的高为h，则h=bsinC= 217；
若选②：a=2，c=2 3，
由余弦定理得，a2=4=b2+12−2b×2 3× 32，
解得b=2或b=4，此时三角形解不唯一；
若选③：b=3，c= 3，
由余弦定理得，a2=b2+c2−2bccosA=9+3−2×3× 3× 32=3，
所以a= 3=c，
故C=A=π6，三角形的解唯一，
设BC边上的高为h，则h=bsinC=32．
【解析】(1)由已知结合正弦定理进行化简可求cosA，进而可求A；
(2)若选①：结合同角平方关系求出sinB，结合诱导公式及和差角公式求出sinC，然后结合锐角三角函数定义可求；
若选②：由余弦定理可求b，检验是否唯一即可；
若选③：由余弦定理可求a，然后结合锐角三角函数定义可求．
本题主要考查了正弦定理，和差角公式，余弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题．
21.【答案】(1)证明：以点C为坐标原点，
向量CD、CB、DP方向分别为x、y、z轴的正方向建立坐标系，
则D(2,0,0)，P(2,0,2)，C(0,0,0)，
B(0, 3,0)，A(3, 3,0)，E(1,0,1)，
所以PB=(−2, 3,−2)，因为PF=13PB，
设F(a,b,c)，则PF=(a−2,b,c−2)，
所以(a−2,b,c−2)=13(−2, 3,−2)，
解得a=43b= 33c=43，所以F(43, 33,43)，同理可得G(83,2 33,23)，
∴DE=(−1,0,1 )，DF=(−23, 33,43)，DG=(23,2 33,23)，
令DF=xDE+yDG，
则(−23, 33,43)=x(−1,0,1)+y(23,2 33,23)=(−x+23y,2 33y,x+23y)，
∴−23=−x+23y 33=2 33y43=x+23y，∴x=1y=12，
∴DF=DE+12DG，∴D、E、F、G四点共面．
(2)解：由(1)可知D(2,0,0)，E(1,0,1)，F(43, 33,43)，
∴DE=(−1,0,1)，DF=(−23, 33,43)．
设平面DEF的一个法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅DE=−x+z=0n⋅DF=−23x+ 33y+43z=0，
则x=− 32yz=− 32y，令y=2，则n=(− 3,2,− 3)．
取平面PDE的一个法向量为CB=(0, 3,0)，
则cos〈n,CB〉=n⋅CB|n||CB|=2 3 10× 3= 105，
所以sin〈n,CB〉= 1−cos2〈n,CB〉= 155，
∴二面角F−DE−P的正弦值为 155．
【解析】本题主要考查空间向量及其应用，二面角的相关计算，四点共面的证明等知识，属于中档题．
(1)如图建立空间直角坐标系，求出点的坐标即可得到DE，DF，DG，令DF=xDE+yDG，依题意得到方程组，解得x、y，即可得证；
(2)利用空间向量法求出二面角的余弦值，再根据同角三角函数的基本关系计算可得二面角的正弦值．
22.【答案】解：(1)因为不等式f(x)≥g(x)恒成立，
所以xex−a(lnx+x)≥1，
令h(x)=xex−a(lnx+x)，x>0，
h′(x)=ex+xex−a(1x+1)=(x+1)ex−a⋅x+1x=(x+1)⋅xex−ax，
当a<0时，h(x)单调递增，h(x)的值域为R，不符合题意，
当a=0时，则h(12)= e2<1，也不符合题意，
当a>0时，令xex−a=0，得a=xex，
令p(x)=xex，
p′(x)=ex+xex=(x+1)ex>0，
所以p(x)在(0,+∞)上单调递增，且p(0)=0，
所以a=xex有唯一实数根，
即h′(x)=0有唯一实数根，设为x0，即a=x0ex0，
所以h(x)在(0,x0)上为减函数，在(x0,+∞)上为增函数，
所以h(x)min=f(x0)=x0ex0−a(lnx0+x0)=a−alna，
所以只需a−alna≥1，
令t=1a，上式可转化为lnt≥t−1，
设h(t)=lnt−t+1，则h′(t)=1−tt，
所以h(t)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，
所以h(x)max=h(1)=0，
所以lnt≤t−1，
所以lnt=t−1，解得t=1，
所以1a=t=1，解得a=1，
所以满足条件的实数为a=1．
(2)证明：由(1)可知当a=1时，f(x)≥g(x)对任意x>0恒成立，
所以任意x∈(0,+∞)，xex≥x+lnx+1(当且仅当x=1时等号成立)，
则x3ex>(x2+3)lnx+2sinx(x>0)，
只需证x3+x2lnx+x2>(x2+3)lnx+2sinx(x>0)，
即证x3+x2>3lnx+2sinx(x>0)，
设G(x)=lnx−x+1，m(x)=sinx−x，
则G′(x)=1x−1=1−xx(x>0)，
所以G(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，
所以任意x∈(0,+∞)，G(x)≤G(1)=0，即lnx≤x−1(x>0)，
m′(x)=cosx−1≤0在(0,+∞)上恒成立，
所以m(x)在(0,+∞)上单调递减，
所以任意x∈(0,+∞)，m(x)0)，
所以要证x3+x2>3lnx+2sinx(x>0)，
只需x3+x2≥3(x−1)+2x(x>0)，
即x3+x2−5x+3≥0(x>0)，
令H(x)=x3+x2−5x+3，(x>0)，
则H′(x)=3x2+2x−5=(3x+5)(x−1)，
所以H(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，
所以当x∈(0,+∞)时，H(x)≥H(1)=0，
所以x3+x2−5x+3≥0(x>0)恒成立．
【解析】(1)问题可转化为不等式xex−a(lnx+x)≥1恒成立，令h(x)=xex−a(lnx+x)，x>0，求导分析单调性，最值，即可得出答案．
(2)由(1)可知任意x∈(0,+∞)，xex≥x+lnx+1(当且仅当x=1时等号成立)，只需证明x3+x2>3lnx+2sinx(x>0)，设G(x)=lnx−x+1，m(x)=sinx−x，求导分析可得lnx≤x−1(x>0)，sinx0)，只需证明x3+x2≥3(x−1)+2x(x>0)，即x3+x2−5x+3≥0(x>0)，令H(x)=x3+x2−5x+3，(x>0)，求导分析单调性，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
2022-2023学年江苏省苏州市八校高一（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合A={x|−1≤x≤1}，B={x|3x<1}，则A∪B=( )
A. [−1,0) B. (−∞,0) C. [−1,1] D. (−∞,1]
2. 国家统计局公报显示绘制出的2017−2021年每年本专科、中等职业教育及普通高中的招生人数(单位：万)统计图如图所示，则下列关于2017−2021年说法正确的是( )
A. 每年本专科、中等职业教育和普通高中的招生人数都在增长
B. 中等职业教育和普通高中的招生人数差距最大的年份是2019年
C. 本专科每年的招生人数增幅最大的年份是2018年
D. 本专科的招生人数所占比例最高的年份是2021年
3. 已知向量a=(1,2),b=(k,3)，且a⊥(a+b)，则实数k的值为( )
A. −10 B. −11 C. −18 D. −21
4. 已知函数f(x)=12x+k−23,2k≤x<2k+43,2x−2k−83,2k+43≤x<2k+2,(k∈Z)，则下列说法错误的是( )
A. f(x)是单调递增函数 B. f(f(x+2))=x
C. f(x)≤x−1 D. f(x)+f(x+1)≤2x
5. 昆虫信息素是昆虫用来表示聚集、觅食、交配、警戒等信息的化学物质，是昆虫之间起化学通讯作用的化合物，是昆虫交流的化学分子语言，包括利它素、利己素、协同素、集合信息素、追踪信息素、告警信息素、疏散信息素、性信息素等.人工合成的昆虫信息素在生产中有较多的应用，尤其在农业生产中的病虫害的预报和防治中较多使用.研究发现，某昆虫释放信息素t秒后，在距释放处x米的地方测得的信息素浓度y满足lny=−12lnt−ktx2+a，其中k，a为非零常数.已知释放信息素1秒后，在距释放处2米的地方测得信息素浓度为m；若释放信息素4秒后，距释放处b米的位置，信息素浓度为m2，则b=( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
6. “cosθ=0”是“函数f(x)=sin(x+θ)+cosx为偶函数”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7. 在△ABC中，AB⋅AC=9，sinB=cosAsinC，S△ABC=6，P为线段AB上的动点，且CP=x⋅CA|CA|+y⋅CB|CB|，则2x+1y的最小值为( )
A. 116+ 63 B. 116 C. 1112+ 63 D. 1112
8. 已知等腰直角△ABC的斜边AB= 2，M，N分别为AC，AB上的动点，将△AMN沿MN折起，使点A到达点A′的位置，且平面A′MN⊥平面BCMN.若点A′，B，C，M，N均在球O的球面上，则球O表面积的最小值为( )
A. 8π3 B. 3π2 C. 6π3 D. 4π3
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知z−(1+i)=2−i，则在复平面内复数z对应的点不位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
10. 如图所示，在边长为3的等边三角形ABC中，AD=23AC，且点P在以AD的中点O为圆心，OA为半径的半圆上，若BP=xBA+yBC，则( )
A. BD=13BA+23BC
B. BD⋅BO=132
C. BP⋅BC存在最小值
D. x+y的最大值为1+ 77
11. 已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)+1(ω>0,|φ|<π2)，满足f(x)+f(−π3−x)=2，且对任意x∈R，都有f(x)≥f(−5π12)，当ω取最小值时，则下列错误的是( )
A. f(x)图像的对称轴方程为x=π12+kπ3,k∈Z
B. f(x)在[−π12,π6]上的值域为[ 3,2]
C. 将函数y=2sin(2x−π6)+1的图象向左平移π6个单位长度得到函数f(x)的图象
D. f(x)在[π6,π3]上单调递减
12. 已知四棱锥P−ABCD，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，点M在平面ABCD上，且AM=λAD(0<λ<1)，则( )
A. 存在λ，使得直线PB与AM所成角为π6
B. 不存在λ，使得平面PAB⊥平面PBM
C. 当λ一定时，点P与点M轨迹上所有的点连线和平面ABCD围成的几何体的外接球的表面积为4(λ2+1)2π
D. 若λ= 22，以P为球心，PM为半径的球面与四棱琟P−ABCD各面的交线长为 2+ 62π
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿对角线AC把矩形折成二面角D−AC−B的平面角为60°时，则|BD|= ．
14. 如图，在半径为1的圆O中，点A、B为圆O上的定点，且∠AOB=60°，点C为圆上的一个动点，若OC=xOA+yOB，则2x+( 3+1)y的取值范围是______ ．
15. 已知函数f(x)=ex,x≤0lnx,x>0，则f(f(1))=______；设g(x)=f(x)+x+a，若函数g(x)存在2个零点，则实数a的取值范围是______．
16. 已知a,b为平面上的单位向量，|c|= 26，且a⋅c=1，则|a⋅b|+|b⋅c|的最大值为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题10.0分)
如图所示，设Ox，Oy是平面内相交成60°角的两条数轴，e1，e2分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量，若向量OP=xe1+ye2(x,y∈R)，则把有序数对(x,y)叫做向量OP在坐标系xOy中的坐标．
(Ⅰ)设M(0,2)，N(3,0)，求OM⋅ON的值；
(Ⅱ)若OP=2e1+3e2，计算|OP|的大小．
18. (本小题12.0分)
已知复数z=m2(1+i)+(3i−4)m+2i−5(m∈R)．
(1)若z为纯虚数，求m的值；
(2)若复数zi的实部与虚部之和为14，求m的值．
19. (本小题12.0分)
某校为加强党史教育，进行了一次党史知识竞赛，随机抽取的100名学生的笔试成绩均在75分以上(满分100分)，分成[75,80)，[80,85)[85，90)，[90,95)，[95,100]共五组后，得到的频率分布表如下所示：
组号
分组
频数
频率
第1组
[75,80)
①
第2组
[80,85)
0.300
第3组
[85,90)
30
②
第4组
[90,95)
20
0.200
第5组
[95,100]
10
0.100
合计
100
1.00
(1)请先求出频率分布表中①、②位置的相应数据，再完成频率分布直方图(用阴影表示)；
(2)为能更好了解学生的知识掌握情况，学校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面答，最终从6位学生中随机抽取2位参加市安全知识答题决赛，求抽到的2位学生不同组的概率．
20. (本小题12.0分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，acosB+ 32b=c．
(1)求A的大小；
(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件选择一个作为已知，使得△ABC存在且唯一确定，求BC边上高线的长.条件①：cosB=3 2114，b=1；条件②：a=2，c=2 3；条件③：b=3，c= 3．
21. (本小题12.0分)
如图，四棱锥P−ABCD中，PD⊥平面ABCD，梯形ABCD满足AB//CD，∠BCD=90°，且PD=AD=DC=2，AB=3，E为PC中点，PF=13PB，PG=2GA．
(1)求证：D，E，F，G四点共面；
(2)求二面角F−DE−P的正弦值．
22. (本小题12.0分)
已知函数f(x)=xex−1，g(x)=a(x+lnx)且f(x)−g(x)≥0恒成立.(提示：ex≥x+1，当且仅当x=0时等号成立)
(1)求a的值；
(2)证明：x3ex>(x2+3)lnx+2sinx．
(注：其中e=2.71828⋯为自然对数的底数)
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵集合A={x|−1≤x≤1}，B={x|3x<1}={x|x<0}=(−∞,0)，
∴A∪B=(−∞,1]．
故选：D．
求出集合B，利用交集定义能求出A∩B．
本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】D
【解析】解：对于选项A：中等职业教育2017年招生人数为582万人，2018年招生人数为557万人，所以2017−2018年中等职业教育招生人数出现减少，故选项A错误；
对于选项B：2017−2021年中等职业教育和普通高中的招生人数差为：218万人，236万人，239万人，231万人，249万人，所以中等职业教育和普通高中的招生人数差距最大的是2021年，故选项B错误；
对于选项C：2018−2021年本专科每年的招生人数增幅为：3.9%，15.7%，5.7%，3.5%，所以本专科每年的招生人数增幅最大的年份是2019年，故选项C错误；
对于选项D：2017−2021年本专科的招生人数所占比例为：35.5%，36.9%，38.9%，38.9%，39.1%，所以本专科的招生人数所占比例最高的年份是2021年，故选项D正确，
故选：D．
根据柱状图的数据，逐一分析选项即可得出答案．
本题主要考查了统计图表的应用，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：由向量a=(1,2),b=(k,3)，可得a2=|a|2=5,a⋅b=k+6，
又由a⊥(a+b)，可得a⋅(a+b)=a2+a⋅b=5+k+6=0，解得k=−11．
故选：B．
根据向量的数量积的运算公式，以及垂直的向量坐标表示，列出方程，即可求解．
本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．
4.【答案】C
【解析】解：对于A：∵函数f(x)=12x+k−23,2k≤x<2k+43,2x−2k−83,2k+43≤x<2k+2,(k∈Z)，
∴当2k≤x<2k+43时，f(x)=12x+k−23单调递增，
当2k+43≤x<2k+2时，f(x)=2x−2k−83单调递增，
又f(x)为连续函数，故A正确；
对于B：f(x+2)=12x+k+43,2k≤x<2k+432x−2k−23,2k+43≤x<2k+2(k∈Z)，
∴f(f(x+2))=2(12x+k+43)−2k−83,2k≤x<2k+4312(2x−2k−23)+k+1−23,2k+43≤x<2k+43=x(k∈Z)，故B正确；
对于C：f(0)=−23>0−1=−1，故C错误；
对于D：f(x)−x=−12x+k−23,2k≤x<2k+43x−2k−83,2k+43≤x<2k+2≤−12×2k+k−23,2k≤x<2k+432k+2−2k−83,2k+43≤x<2k+2=−23，
∴f(x)+f(x+1)≤x−23+x+13≤2x，故D正确．
故选：C．
由函数解析式可判断函数为单调函数，且为增函数可判断A的正误；由f(x)的解析式求得f(x+2)的解析式，再求得f(f(x+2))的解析式，化简即可判断B的正误；将特殊值x=0代入即可排除C；由f(x)求得f(x)−x，在求得最值，可判断f(x)+f(x+1)≤2x，即可得出答案．
本题考查分段函数的性质，考查转化思想和整体思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
5.【答案】B
【解析】解：由题意lnm=−4k+a，lnm2=−12ln4−k4b2+a，
所以lnm−lnm2=−4k+a−(−12ln4−k4b2+a))，
即−4k+k4b2=0.又k≠0，所以b2=16．
因为b>0，所以b=4．
故选：B．
根据已知的浓度解析式，代入变量，结合对数的运算，化简求值．
本题主要考查函数在实际问题中的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及充分必要条件的判断，属于中档题．
根据题意，分析“cosθ=0”和“函数f(x)=sin(x+θ)+cosx为偶函数”的关系，结合充分必要条件的定义分析可得答案．
【解答】
解：根据题意，若cosθ=0，则θ=kπ+π2，k∈Z，故f(x)=sin(x+kπ+π2)+cosx，
当k为偶数时，f(x)=2cosx，是偶函数，
当k为奇数时，f(x)=0，也是偶函数，
故f(x)一定是偶函数，
反之，若f(x)=sin(x+θ)+cosx为偶函数，则f(−x)=f(x)，
即sin(x+θ)+cosx=sin(−x+θ)+cos(−x)，
变形可得：sinxcosθ+cosxsinθ+cosx=−sinxcosθ+cosxsinθ+cosx，必有cosθ=0；
故“cosθ=0”是“函数f(x)=sin(x+θ)+cosx为偶函数”的充分必要条件．
故选：C．
7.【答案】C
【解析】解：设|AB|=c，|AC|=b，根据题意得bccosA=9b=ccosA12bcsinA=6，
解得b=3，c=5，sinA=45，cosA=35，∴|CB|=4，∴CP=x⋅CA|CA|+y⋅CB|CB|=x3CA+y4CB，
又∵A、P、B三点共线，∴x3+y4=1，且x>0，y>0，
∴2x+1y=(x3+y4)(2x+1y)=1112+x3y+y2x≥1112+2 x3y⋅y2x=1112+ 63，
当且仅当x3+y4=1x3y=y2x，即x=6(4− 6)5y=4(2 6−3)5时，等号成立，
∴2x+1y的最小值为1112+ 63．
故选：C．
可设|AB|=c，|AC|=b，从而得出bccosA=9b=ccosA12bcsinA=6，然后可解出|CA|=3,|CB|=4，从而得出CP=x3CA+y4CB，由A，P，B三点共线即可得出x3+y4=1，然后可得出2x+1y=(x3+y4)(2x+1y)，然后根据基本不等式即可求出最小值．
本题考查了三角形的面积公式，向量数量积的计算公式，正弦定理，基本不等式，1的代换，三点共线的充要条件，考查了计算能力，属于基础题．
8.【答案】D
【解析】解：由点A′，B，C，M，N均在球O的球面上，且B.C，M，N共圆(M不与A重合)，
所以∠NMC+∠B=∠C+∠MNB=π(M不与C重合)，
又△ABC为等腰直角三角形，AB为斜边，即有MN⊥AB，
如上图，△ANM、△BNM、△BCM都为直角三角形，且∠ANM=∠MNB=∠C=π2，
由平面图到立体图知：MN⊥A′N，MN⊥BN，
又面A′MN⊥面BCMN，面A′MN∩面BCMN=MN，A′N⊂面A′MN，
所以A′N⊥面BCMN，同理可得BN⊥面A′MN，
将△AMN翻折后，A′M，BM的中点D，E分别为△A′MN，四边形BCMN外接圆圆心，
过D作DO⊥面A′MN，过E作EO⊥面BCMN，它们交于O，即为A′−BNMC外接球球心，如下图示，
再过D作DF⊥面BCMN，交NM于F，连接EF，则EFDO为矩形，
综上，DF//A′N，DO//BN，则F为MN中点，
所以，DO=EF=12BN，而A′C=BC=1，AB= 2，
令A′N=x且0
当x= 23时，rmin=1 3，故球O表面积的最小值为4πr2=4π3．
故选：D．
由题设B，C，M，N共圆( M不与A重合)，进而确定MN⊥AB，找到△A′NM，四边形BCMN外接圆圆心，由棱锥外接球、面面垂直的性质确定球心位置，设A′N=x，且0
9.【答案】BCD
【解析】解：z−(1+i)=2−i，
则z−=2−i1+i=(2−i)(1−i)(1+i)(1−i)=12−32i，
故z=12+32i，
故在复平面内复数z对应的点(12,32)位于第一象限．
故选：BCD．
根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数的几何意义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题．
10.【答案】ABC
【解析】解：对于A，因为AD=23AC，且点P在以AD的中点O为圆心，OA为半径的半圆上，
所以OA=OD=DC=13AC=1，则BD=BC+CD=13BA+23BC，故A正确；
对于B，BO=BC+CO=BC+23CA=23BA+13BC，
则BD⋅BO=(13BA+23BC)(23BA+13BC)=29BA2+29BC2+59BA⋅BC=132，故B正确；
对于C，如图，以点O为原点建立平面直角坐标系，
则A(−1,0),B(12,3 32),C(2,0)，
因为点P在以AD的中点O为圆心，OA为半径的半圆上，
所以点P的轨迹方程为x²+y²=1，且在x轴的下半部分，
设P(cosα,sinα)，α∈[π,2π]，
则BP=(cosα−12,sinα−3 32),BC=(32,−3 32),BA=(−32,−3 32)，
所以BP⋅BC=32cosα−34−3 32sinα+274=3cos(α+π3)+6，
因为α∈[π,2π]，所以α+π3∈[4π3,7π3]，
所以当α+π3=4π3时，BP⋅BC取得最小值92，故C正确；
对于D，因为BP=xBA+yBC，
所以(cosα−12,sinα−3 32)=x(−32,− 32)+y(32,−3 32)，
即(cosα−12,sinα−3 32)=(32(x−y),−3 32(x+y))，
所以sinα−3 32=−3 32(x+y)，
所以x+y=−2 39sinα+1，
因为α∈[π,2π]，所以当α=3π2时，x+y取得最大值2 39+1，故D错误．
故选：ABC．
对于A，B，将BD,BO分别用BA,BC表示，再结合数量积的运算律即可判断；
对于C，D，以点O为原点建立平面直角坐标系，设P(cosα,sinα)，α∈[π,2π]，根据平面向量的坐标表示及坐标运算即可判断．
本题主要考查平面向量的数量积公式以及平面向量的坐标表示及运算，属于中档题．
11.【答案】ABC
【解析】解：因为f(x)+f(−π3−x)=2，所以f(x)的图象关于点(−π6,1)对称，
又对任意x∈R，都有f(x)≥f(−5π12)，所以当x=−5π12时，f(x)取得最小值，
当ω取最小值时，即周期T最大，
可得T4=−π6−(−5π12).得T=π，所以ω=2πT=2，
函数f(x)在x=−5π12时取得最小值，
所以2sin(−5π6+φ)+1=−1.因为|φ|<π2，所以φ=π3．
即f(x)=2sin(2x+π3)+1．
令2x+π3=π2+kπ,k∈Z，得x=π12+kπ2,h∈Z.故A错误；
当x∈[−π12,π6]时，2x+π3∈[π6,2π3]．
此时f(x)的值域为[2,3]，故B错误；
将y=2sin(2x−π6)+1的图象向左平移π6个单位长度得到函数
y=2sin(2x+π6)+1的图象，故C错误；
当x∈[π6,π3]时，2x+π3∈[2π3,π]，f(x)单调递减，故D正确．
故选：ABC．
根据题意f(x)的图象关于点(−π6,1)对称，又当x=−5π12时，f(x)取得最小值，当ω取最小值时，即周期T最大，可得T=π，所以ω=2πT=2，函数f(x)在x=−5π12时取得最小值，所以φ=π3.求得f(x)=2sin(2x+π3)+1，再逐项分析判断即可得解．
本题主要考查正弦函数的图象与性质，三角函数图象的平移变换，考查运算求解能力，属于中档题．
12.【答案】BCD
【解析】解：对A，如图，
由题意∠PBA=π4为直线与平面ABCD所成的角，所以PB与AM所成的角不小于π4，π4>π6，故A错误；
对B，PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD平面，∴BC⊥PA，又BC⊥AB，PA∩AB=A，AB，PA⊂平面PAB，
∴BC⊥面PAB，∴点M要在直线BC上，
因AM=λAD(0<λ<1)，所以不存在，故B正确．
对C，由题意知，几何体为圆锥，作圆锥及外接球的轴截面图，如图，
所以外接球的半径R满足R2=(2−R)2+(2λ)2，解得R=λ2+1，
所以外接球的表面积为S=4(λ2+1)2π，故C正确；
对D，将侧面展开，知球与侧面的交线为以点P为圆心， 6为半径的圆与侧面展开图的交线，即图中EMF，
因为tan∠APF= 22=tan∠BPC=22 2= 22，所以∠APF=∠BPC，
又∠APF+∠FPB=π4，所以∠FPC=∠BPC+∠FPB=π4，
由对称性知∠FPC=∠CPE，所以∠FPE=π2，
故EMF的长为π2× 6，
又球与底面交线为以点A为圆心， 2为半径的圆与底面ABCD的交线，
故长度为π2× 2，所以球面与四棱琟P−ABCD各面的交线长为 2+ 62π，D正确．
故选：BCD．
根据线面角是斜线与平面内直线所成角的最小角判断A，根据平面PBC⊥平面PAB判断B，根据圆锥与其外接球轴截面求球的半径判断C，利用侧面展开图求球与侧面交线长，再由球与底面交线为以点A为圆心， 2为半径的四分之一圆弧即可判断D．
本题考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查外接于的表面积的求法，考查轨迹问题，考查运算求解能力，属中档题．
13.【答案】 1935
【解析】
【分析】
本题考查了空间距离计算问题，也考查了运算求解能力与转化思想，是中档题．
【向量法】根据题意画出图形，结合图形过点D作DE⊥AC于点E，过点B作BF⊥AC于点F；利用直角三角形的边角关系和平面向量的线性表示，求出模长即可．
【公式法】利用余弦定理结合勾股定理求解即可．
【解答】
解：【向量法】矩形ABCD中，AB=4，BC=3，
过点D作DE⊥AC于点E，过点B作BF⊥AC于点F，如图所示，
则|DE|=|BF|=3×45=125，
|EF|=5−2×95=75；
沿对角线AC把矩形折成二面角D−AC−B的平面角为60°时，
则BD=BF+FE+ED，
BD2=BF2+FE2+ED2+2BF⋅FE+2FE⋅ED+2BF⋅ED
=(125)2×2+(75)2+0+0+2×125×125×cos(180°−60°)
=19325，
∴|BD|= 1935．
故答案为： 1935．
【公式法】DE=BF=125，EF=75;
如图，构造平行四边形EFBG，EG=BF，EF=BG，
可得∠DEG=60°，EF⊥平面DEG，即BG⊥平面DEG，
则BD2=DG2+BG2，
则BD= EF2+BF2+DE2−2BF⋅DE⋅cos 60∘
= 1935．
故答案为： 1935．
14.【答案】[−2 2,2 2]
【解析】解：如图所示，以O为原点，以OA为x轴建立平面直角坐标系，
因为圆的半径为1，且∠AOB=60°，可得A(1,0),B(12, 32)，
设点C(cosθ,sinθ)，其中θ∈[0,2π]，
因为OC=xOA+yOB，可得(cosθ,sinθ)=x⋅(1,0)+y⋅(12, 32)，
所以cosθ=x+12ysinθ= 32y，可得2x+( 3+1)y=2cosθ+2sinθ=2 2sin(θ+π4)，
因为−1≤sin(θ+π4)≤1，可得−2 2≤sin(θ+π4)≤2 2，
即2x+( 3+1)y的的取值范围是[−2 2,2 2]，
故答案为：[−2 2,2 2].
建立平面直角坐标系，根据OC=xOA+yOB，得到cosθ=x+12ysinθ= 32y，进而得到2x+( 3+1)y=2cosθ+2sinθ=2 2sin(θ+π4)，结合三角函数的性质，即可求解．
本题主要考查平面向量的线性运算和三角函数的取值范围，属于中档题．
15.【答案】1 [−1,+∞)
【解析】解：因为函数f(x)=ex,x≤0lnx,x>0，
所以f(1)=ln1=0，f(f(1))=f(0)=e0=1；
令g(x)=f(x)+x+a=0，得f(x)=−x−a，
若函数g(x)存在2个零点，则函数f(x)与y=−x−a有两个交点，
由指数函数的图象可得：y=ex恒过点(0,1)，
且函数y=−x−a恒过点(0,−a)，
画出函数的图像，如图所示：
由图像知，−a≤1，解得a≥−1，
所以实数a的取值范围是[−1,+∞)．
故答案为：1；[−1,+∞)．
利用分段函数的解析式求出f(1)和f(f(1))的值，再利用数形结合法求出实数a的取值范围．
本题考查了分段函数的零点问题，也考查了数形结合思想，是中档题．
16.【答案】 29
【解析】解：如图，设A，B是单位圆O上的点，OC= 26,OA⊥AC,OA=a,OB=b,OC=c．
设OC到OB的角为θ，则OA到OB的角为θ−arctan5，
进而|a⋅b|+|b⋅c|=|cos(θ−arctan5)|+ 26⋅|cosθ|
=|cosθ+5sinθ|+26|cosθ| 26≤27|cosθ|+5|sinθ| 26≤ 272+52 26= 29，
等号当θ=arctan527易时取得，因此所求最大值为 29．
故答案为： 29．
设A，B是单位圆O上的点，其中OC= 26,OA⊥AC,OA=a,OB=b,OC=c，设OC到OB的角为θ，则|a⋅b|+|b⋅c|=|cos(θ−arctan5)|+ 26⋅|cosθ|，利用绝对值不等式和柯西不等式可求最大值．
本题考查向量数量积的最值的求解，化归转化思想，数形结合思想，柯西不等式的应用，属中档题．
17.【答案】解：(Ⅰ)根据题意可得OM=2e2，ON=3e1，
∴OM⋅ON=6e1⋅e2=6×1×1×cos60°=3；
(Ⅱ)∵|OP|= OP2= (2e1+3e2)2
= 4e12+12e1⋅e2+9e22
= 4+12cos60°+9
= 19，
∴|OP|的大小为 19．
【解析】根据平面向量数量积的定义与性质即可求解．
本题考查平面向量数量积的定义与性质，属基础题．
18.【答案】解：(1)由题意得z=(m2−4m−5)+(m2+3m+2)i．
因为z为纯虚数，
所以m2−4m−5=0m2+3m+2≠0，解得m=5，
故m的值为5．
(2)由题意得zi=(m2+3m+2)+(−m2+4m+5)i，
因为复数zi的实部与虚部之和为14，
所以m2+3m+2+(−m2+4m+5)=14，
解㥂m=1，
故m的值为1．
【解析】(1)结合纯虚数的定义，即可求解．
(2)结合虚部和实部的定义，即可求解．
本题主要考查纯虚数和实部，虚部的定义，属于基础题．
19.【答案】解：(1)第2组的频数为100×0.300=30，
所以①处应填的数为100−30−30−20−10=10，
②处应填的数为30÷100=0.300，
频率分布直方图如图所示，
(2)因为第3、4、5组共有60名选手，所以利用分层抽样在60名选手中抽取6名选手进入第二轮面试，每组抽取的人数分别为：
第3组：3060×6=3人，第4组：2060×6=2人，第5组：1060×6=1人，
所以第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人进入第二轮面答，
设第3组的3位学生为A1，A2，A3，第4组的2位学生为B1，B2，第5组的1位学生为C1，则从这6位学生中抽取2位学生有：
(A1,A2)，(A1,A3)，(A1,B1)，(A1,B2)，(A1,C1)，
(A2,A3)，(A2,B1)，(A2,B2)，(A2,C1)，
(A3,B1)，(A3,B2)，(A3,C1)，
(B1,B2)，(B1,C1)，
(B2,C1)，共15种情况．
抽到的2位学生不同组的有：(A1,B1)，(A1,B2)，(A1,C1)，(A2,B1)，(A2,B2)，(A2,C1)，(A3,B1)，(A3,B2)，(A3,C1)，(B1,C1)，(B2,C1)，共11种情况．
所以抽到的2位学生不同组的概率为1115．
【解析】(1)由频数与频率的关系，结合表格求解即可，再求频率比组距，从而完成频率分布直方图，
(2)由分层抽样可得第3、4、5组分别抽取3人、2人、1人进入第二轮面答，再列基本事件，从而求概率．
本题综合考查了频率分布直方图及概率的应用，注意保证基本事件的等可能性及列举不重不漏，属于基础题．
20.【答案】解：(1)因为acosB+ 32b=c，
由正弦定理得，sinAcosB+ 32sinB=sinC，
又sinC=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA，
所以 32sinB=sinBcosA，
由B为三角形内角得sinB>0，
所以cosA= 32，
由A为三角形内角可得A=π6；
(2)若选①：cosB=3 2114，b=1，
可得sinB= 1−cos2B= 714，
所sinC=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA=12×3 2114+ 32× 714= 217，
设BC边上的高为h，则h=bsinC= 217；
若选②：a=2，c=2 3，
由余弦定理得，a2=4=b2+12−2b×2 3× 32，
解得b=2或b=4，此时三角形解不唯一；
若选③：b=3，c= 3，
由余弦定理得，a2=b2+c2−2bccosA=9+3−2×3× 3× 32=3，
所以a= 3=c，
故C=A=π6，三角形的解唯一，
设BC边上的高为h，则h=bsinC=32．
【解析】(1)由已知结合正弦定理进行化简可求cosA，进而可求A；
(2)若选①：结合同角平方关系求出sinB，结合诱导公式及和差角公式求出sinC，然后结合锐角三角函数定义可求；
若选②：由余弦定理可求b，检验是否唯一即可；
若选③：由余弦定理可求a，然后结合锐角三角函数定义可求．
本题主要考查了正弦定理，和差角公式，余弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题．
21.【答案】(1)证明：以点C为坐标原点，
向量CD、CB、DP方向分别为x、y、z轴的正方向建立坐标系，
则D(2,0,0)，P(2,0,2)，C(0,0,0)，
B(0, 3,0)，A(3, 3,0)，E(1,0,1)，
所以PB=(−2, 3,−2)，因为PF=13PB，
设F(a,b,c)，则PF=(a−2,b,c−2)，
所以(a−2,b,c−2)=13(−2, 3,−2)，
解得a=43b= 33c=43，所以F(43, 33,43)，同理可得G(83,2 33,23)，
∴DE=(−1,0,1 )，DF=(−23, 33,43)，DG=(23,2 33,23)，
令DF=xDE+yDG，
则(−23, 33,43)=x(−1,0,1)+y(23,2 33,23)=(−x+23y,2 33y,x+23y)，
∴−23=−x+23y 33=2 33y43=x+23y，∴x=1y=12，
∴DF=DE+12DG，∴D、E、F、G四点共面．
(2)解：由(1)可知D(2,0,0)，E(1,0,1)，F(43, 33,43)，
∴DE=(−1,0,1)，DF=(−23, 33,43)．
设平面DEF的一个法向量为n=(x,y,z)，
则n⋅DE=−x+z=0n⋅DF=−23x+ 33y+43z=0，
则x=− 32yz=− 32y，令y=2，则n=(− 3,2,− 3)．
取平面PDE的一个法向量为CB=(0, 3,0)，
则cos〈n,CB〉=n⋅CB|n||CB|=2 3 10× 3= 105，
所以sin〈n,CB〉= 1−cos2〈n,CB〉= 155，
∴二面角F−DE−P的正弦值为 155．
【解析】本题主要考查空间向量及其应用，二面角的相关计算，四点共面的证明等知识，属于中档题．
(1)如图建立空间直角坐标系，求出点的坐标即可得到DE，DF，DG，令DF=xDE+yDG，依题意得到方程组，解得x、y，即可得证；
(2)利用空间向量法求出二面角的余弦值，再根据同角三角函数的基本关系计算可得二面角的正弦值．
22.【答案】解：(1)因为不等式f(x)≥g(x)恒成立，
所以xex−a(lnx+x)≥1，
令h(x)=xex−a(lnx+x)，x>0，
h′(x)=ex+xex−a(1x+1)=(x+1)ex−a⋅x+1x=(x+1)⋅xex−ax，
当a<0时，h(x)单调递增，h(x)的值域为R，不符合题意，
当a=0时，则h(12)= e2<1，也不符合题意，
当a>0时，令xex−a=0，得a=xex，
令p(x)=xex，
p′(x)=ex+xex=(x+1)ex>0，
所以p(x)在(0,+∞)上单调递增，且p(0)=0，
所以a=xex有唯一实数根，
即h′(x)=0有唯一实数根，设为x0，即a=x0ex0，
所以h(x)在(0,x0)上为减函数，在(x0,+∞)上为增函数，
所以h(x)min=f(x0)=x0ex0−a(lnx0+x0)=a−alna，
所以只需a−alna≥1，
令t=1a，上式可转化为lnt≥t−1，
设h(t)=lnt−t+1，则h′(t)=1−tt，
所以h(t)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，
所以h(x)max=h(1)=0，
所以lnt≤t−1，
所以lnt=t−1，解得t=1，
所以1a=t=1，解得a=1，
所以满足条件的实数为a=1．
(2)证明：由(1)可知当a=1时，f(x)≥g(x)对任意x>0恒成立，
所以任意x∈(0,+∞)，xex≥x+lnx+1(当且仅当x=1时等号成立)，
则x3ex>(x2+3)lnx+2sinx(x>0)，
只需证x3+x2lnx+x2>(x2+3)lnx+2sinx(x>0)，
即证x3+x2>3lnx+2sinx(x>0)，
设G(x)=lnx−x+1，m(x)=sinx−x，
则G′(x)=1x−1=1−xx(x>0)，
所以G(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，
所以任意x∈(0,+∞)，G(x)≤G(1)=0，即lnx≤x−1(x>0)，
m′(x)=cosx−1≤0在(0,+∞)上恒成立，
所以m(x)在(0,+∞)上单调递减，
所以任意x∈(0,+∞)，m(x)
所以要证x3+x2>3lnx+2sinx(x>0)，
只需x3+x2≥3(x−1)+2x(x>0)，
即x3+x2−5x+3≥0(x>0)，
令H(x)=x3+x2−5x+3，(x>0)，
则H′(x)=3x2+2x−5=(3x+5)(x−1)，
所以H(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，
所以当x∈(0,+∞)时，H(x)≥H(1)=0，
所以x3+x2−5x+3≥0(x>0)恒成立．
【解析】(1)问题可转化为不等式xex−a(lnx+x)≥1恒成立，令h(x)=xex−a(lnx+x)，x>0，求导分析单调性，最值，即可得出答案．
(2)由(1)可知任意x∈(0,+∞)，xex≥x+lnx+1(当且仅当x=1时等号成立)，只需证明x3+x2>3lnx+2sinx(x>0)，设G(x)=lnx−x+1，m(x)=sinx−x，求导分析可得lnx≤x−1(x>0)，sinx
本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
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