高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.1 空间向量及其运算精品达标测试

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1.1.2 空间向量的数量积运算

课程标准
课标解读
1．会进行空间向量的线性运算，空间向量的数量积，空间向量的夹角的相关运算.
1．理解空间向量的相关概念的基础上进行与向量的加、减运算、数量积的运算、夹角的相关运算及空间距离的求解.





知识点1 空间向量的夹角
定义
如图，已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉

范围
0≤〈a，b〉≤π
向量垂直
如果〈a，b〉＝，那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b
拓展提升：
（1）当两个非零向量同向时，它们的夹角为多少度？反向时，它们的夹角为多少度？
只有两个非零空间向量才有夹角，当两个非零空间向量共线同向时，夹角为0，共线反向时，夹角为π.
（2）〈a，b〉，〈－a，b〉，〈a，－b〉，〈－a，－b〉，它们有什么关系？
对空间任意两个非零向量a，b有：
①〈a，b〉＝〈b，a〉；②〈－a，b〉＝〈a，－b〉；③〈－a，－b〉＝〈a，b〉．

【即学即练1】在正四面体ABCD中，与的夹角等于(　　)
A．30° B．60° C．150° D．120°
【解析】〈，〉＝180°－〈，〉＝180°－60°＝120°.故选D

知识点2 空间向量的数量积运算
1．(1)空间向量的数量积
已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉．零向量与任意向量的数量积为0，即0·a＝0.
(2)运算律
数乘向量与数量积的结合律
(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R
交换律
a·b＝b·a
分配律
a·(b＋c)＝a·b＋a·c

2.投影向量及直线与平面所成的角
(1)如图①，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉，向量c称为向量a在向量b上的投影向量．类似地，可以将向量a向直线l投影(如图②)．
(2)如图③，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量，向量称为向量a在平面β上的投影向量．这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角．


注意点：
(1)向量a，b的数量积记为a·b，而不能表示为a×b或者ab.
(2)向量的数量积的结果为实数，而不是向量，它可以是正数、负数或零，其符号由夹角θ的范围决定．
①当θ为锐角时，a·b>0；但当a·b>0时，θ不一定为锐角，因为θ也可能为0.
②当θ为钝角时，a·b<0；但当a·b<0时，θ不一定为钝角，因为θ也可能为π.
(3)空间向量的数量积运算不满足消去律和结合律．
【即学即练2】在棱长为的正方体中，设，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【解析】．故选B．

【即学即练3】如图，正方体的棱长为1，设，，，求：

（1）；（2）；（3）．
【解析】（1）在正方体中，，
故
（2）由（1）知，
（3）由（1）及知，


【即学即练4】如图，在三棱锥中，两两垂直，为的中点，则的值为（       ）

A．1 B． C． D．
【解析】由题意得，故.
故选：D.

知识点3 空间向量数量积的性质
(1)若a，b为非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0；
(2)a·a＝|a|2或|a|＝＝；
(3)若a，b为非零向量，则cos〈a，b〉＝；
(4)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a，b共线时等号成立)．
【即学即练5】已知在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝AD＝1，且这三条棱彼此之间的夹角都是60°，则AC1的长为(　　)
A．6 B. C．3 D.
【解析】设＝a，＝b，＝c，
则|a|＝|b|＝|c|＝1，
且〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
因此a·b＝b·c＝c·a＝.
由＝a＋b＋c，
得||2＝2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2c·a＝6.所以||＝.故选B

【即学即练6】已知是夹角为60°的两个单位向量，则=+与b=-2的夹角是（ ）
A．60° B．120° C．30° D．90°
【解析】由题意得=(+)·(2)==，
||=，
||=.
=.
°.
故选:B.

【即学即练7】在空间四边形OABC中，连接AC，OB，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求向量与所成角的余弦值．

【解析】，

＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°＝24－16，
∴
故答案为：



考点一 空间向量数量积的概念辨析
解题方略：
注意空间向量的夹角的定义及熟练掌握数量积的运算律

【例1-1】对于空间任意两个非零向量a，b，“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】显然〈a，b〉＝0⇒a∥b，但a∥b包括向量a，b同向共线和反向共线两种情况，即当a∥b时，〈a，b〉＝0或π，因此a∥b⇏〈a，b〉＝0.故“a∥b”是“〈a，b〉＝0”的必要不充分条件．故选B

【例1-2】如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，求向量分别与向量，，，，的夹角．

【解析】连接BD(图略)，
则在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AC⊥BD，∠BAC＝45°，AC＝AD′＝CD′，
所以〈，〉＝〈，〉＝45°，〈，〉＝180°－〈，〉＝135°，〈，〉＝∠D′AC＝60°，〈，〉＝180°－〈，〉＝180°－60°＝120°，〈，〉＝〈，〉＝90°.

【例1-3】设、为空间中的任意两个非零向量，有下列各式：
①；②；③；④.
其中正确的个数为（       ）
A． B． C． D．
【解析】对于①，，①正确；
对于②，向量不能作比值，即错误，②错误；
对于③，设、的夹角为，则，③错误；
对于④，由空间向量数量积的运算性质可得，④正确.
故选：B.


考点二 空间向量数量积的运算
解题方略：
求空间向量数量积的步骤
(1)将待求数量积的两向量的模长及它们的夹角理清；
(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角余弦值的乘积；
(3)代入a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求解．　　　　
注：在几何体中求空间向量的数量积，首先要充分利用向量所在的图形，将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式;其次利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积;最后利用数量积的定义求解即可.注意挖掘几何体中的垂直关系或特殊角.

【例2-1】已知a＝3p－2q，b＝p＋q，p和q是相互垂直的单位向量，则a·b＝(　　)
A．1　　　　　B．2 C．3 D．4
【解析】∵p⊥q且|p|＝|q|＝1，∴a·b＝(3p－2q)·(p＋q)＝3p2＋p·q－2q2＝3＋0－2＝1.故选A


【例2-2】已知四面体A-BCD的所有棱长都是2,点E,F分别是AD,DC的中点,则(　　)
A．1 B．-1 C． D．
【解析】由题意可得，所以．
故选B．


变式1：已知正四面体OABC的棱长为1，如图所示．求：
(1)·；
(2)(＋)·(＋)．
【解析】在正四面体OABC中，||＝||＝||＝1.
〈，〉＝〈，〉＝〈，〉＝60°.
(1)·＝||||cos∠AOB＝1×1×cos 60°＝.
(2)(＋)·(＋)
＝(＋)·(－＋－)
＝(＋)·(＋－2)
＝2＋2·－2·＋2－2·
＝12＋2×1×1×cos 60°－2×1×1×cos 60°＋12－2×1×1×cos 60°
＝1＋1－1＋1－1
＝1.

变式2：已知正四面体OABC的棱长为1，若E，F分别是OA，OC的中点，求值：
(1)·；(2)·；(3)·.
【解析】(1)·＝·
＝||||cos〈，〉
＝cos 60°＝.
(2)·＝·＝||2＝.
(3)·＝·＝||||cos〈，〉＝cos 120°＝－.

变式3：已知棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心为O1，则·的值为(　　)
A．－1 B．0
C．1 D．2
【解析】＝＋＝＋(＋)＝＋(＋)，＝＋，则·＝(||2＋||2)＝1，故选C.

【例2-3】已知空间向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b＋b·c＋c·a的值为________．
【解析】∵a＋b＋c＝0，∴(a＋b＋c)2＝0，
∴a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，
∴a·b＋b·c＋c·a＝－＝－13.


考点三 利用空间向量的数量积求夹角
解题方略：
1、求两个向量的夹角有两种方法：
①结合图形，平移向量，利用空间向量夹角的定义来求，但要注意向量夹角的范围；
②先求a·b，再利用公式cos〈a，b〉＝求出cos〈a，b〉的值，最后确定〈a，b〉的值．
2、利用数量积求夹角或其余弦值的步骤

注：求两向量夹角，必须特别关注两向量方向，应用向量夹角定义确定夹角是锐角、直角还是钝角．
【例3-1】如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，求与夹角的大小．
【解析】不妨设正方体的棱长为1，则·
＝(＋)·(＋)
＝(＋)·(＋)
＝·＋2＋·＋·
＝0＋2＋0＋0＝2＝1，
又∵||＝，||＝，
∴cos〈，〉＝＝＝.
∵〈，〉∈[0，π]，∴〈，〉＝.
即与夹角的大小为.

变式1：已知空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉的值为(　　)
A. B. C．－ D．0
【解析】·＝·(－)＝·－·＝||||cos∠AOC－||||cos∠AOB
＝||||－||||＝0，
所以⊥.
所以cos〈，〉＝0.
故选D

变式2：在边长及对角线都为1的空间四边形中，，分别是，的中点，则直线和夹角的余弦值为（       ）
A． B． C． D．
【解析】如图，连接对角线，，则可构成棱长均为1的正四面体
由，分别是，的中点，，


又，
则
所以直线和夹角的余弦值为.
故选：B


变式3：如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长度都为，且两两夹角为.求：

（1）的长；
（2）与夹角的余弦值.
【解析】（1）记，，，则，，
，
，
，即的长为；
（2），，
，，
，，
又，
，即与夹角的余弦值为.

【例3-2】已知，是空间两向量，若，则与的夹角为______．
【解析】设与的夹角为，
所以根据，
，
即，
又，．
故答案为：

变式1：已知，是两个空间单位向量，它们的夹角为，设向量，．求：
(1)；
(2)向量与的夹角.
【解析】(1)因为，是两个空间单位向量，它们的夹角为，
所以，
所以；
(2)因为，

所以，，
又因为
所以，
因为，所以，即向量与的夹角为.

【例3-3】已知空间向量、满足，，，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围．
【解析】因为向量与的夹角为钝角，
所以且与不共线，
因为，
所以，即，
解得①；
当与平行时，则存在实数k，使得，
即，
因为、不平行，
所以即，则②．
由①②得，实数的取值范围是．

【例3-4】如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，则异面直线与所成角的余弦值为_____________

【解析】三棱柱中，底面边长和侧棱长都相等，，设棱长为1，
则，，
.
又，，
所以

而，
，
所以.
故答案为：.

考点四 利用空间向量的数量积证明垂直
解题方略：
利用空间向量解决垂直问题的方法
(1)证明线线垂直的方法：证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量，看方向向量的数量积是否为0来判断两直线是否垂直．
(2)证明与空间向量a，b，c有关的向量m，n垂直的方法：先用向量a，b，c表示向量m，n，再求解向量m，n的数量积并判断是否为0.　　

【例4-1】已知空间四边形ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，求证：AD⊥BC.
【证明】∵AB⊥CD，AC⊥BD，
∴·＝0，·＝0.
∴·＝(＋)·(－)
＝·＋·－2－·
＝·－2－·
＝·(－－)＝·＝0.
∴⊥，从而AD⊥BC.

变式1：如图，四面体OABC各棱的棱长都是1，D，E分别是OC，AB的中点，记，，.

(1)用向量表示向量；
(2)求证.
【解析】(1)根据题意，
.
(2)根据题意，相互之间的夹角为，且模均为1，由（1）
，
所以.

变式2：如图所示，三棱柱中，，，，，，，是中点．

(1)用，，表示向量；
(2)在线段上是否存在点，使？若存在，求出的位置，若不存在，说明理由．
【解析】(1)；
(2)假设存在点，使，设，
显然，
，
因为，所以，
即，
，
因为，，，
所以有：，
即，
解得，所以当时， .

【例4-2】如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O⊥平面GBD.
证明：设＝a，＝b，＝c，则a·b＝0，b·c＝0，a·c＝0，|a|＝|b|＝|c|.
∵＝＋＝＋(＋)
＝c＋a＋b，
＝－＝b－a，
＝＋＝(＋)＋
＝a＋b－c.
∴·＝·(b－a)
＝c·b－c·a＋a·b－a2＋b2－b·a
＝(b2－a2)＝(|b|2－|a|2)＝0.
于是⊥，即A1O⊥BD.
同理可证⊥，
即A1O⊥OG.又BD∩OG＝O，
于是有A1O⊥平面GBD.

考点五 利用空间向量的数量积求距离(即线段长度)
解题方略：
求两点间的距离或线段长的方法
（1） 将相应线段用向量表示，通过向量运算来求对应向量的模．
（2） 用其他已知夹角和模的向量表示该向量；
（3）因为a·a＝|a|2，所以|a|＝，这是利用向量解决距离问题的基本公式．另外，该公式还可以推广为|a±b|＝．
（4）可用|a·e|＝|a||cosθ|(e为单位向量，θ为a，e的夹角)来求一个向量在另一个向量所在直线上的投影．
【例5-1】已知空间向量两两夹角均为，其模均为1，则（       ）
A． B． C．2 D．
【解析】

.
故选：B


【例5-2】如图所示，在▱ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠ADC＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝6，求线段PC的长．

【解析】∵＝＋＋，
∴||2＝(＋＋)2
＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝62＋42＋32＋2||||cos 120°＝61－12＝49.∴||＝7，即PC＝7.

变式1：如图，平行六面体中，，，，则（ ）

A． B． C． D．
【解析】，

,.
故选：D

变式2：如图，已知一个60°的二面角的棱上有两点A，B，AC，BD分别是在这两个面内且垂直于AB的线段．又知AB＝4，AC＝6，BD＝8，求CD的长．

【解析】∵CA⊥AB，BD⊥AB，
∴〈，〉＝120°.
∵＝＋＋，且·＝0，·＝0，
∴||2＝·＝(＋＋)·(＋＋)＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·
＝||2＋||2＋||2＋2||||cos〈，〉
＝62＋42＋82＋2×6×8×＝68，
∴||＝2，故CD的长为2.


变式3：如图，在平行四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠BAD＝120°，PA⊥平面ABCD，且PA＝6．求PC的长．

【解析】因为，所以

，
所以．
故PC的长为7．

变式4：如图，三棱锥各棱的棱长都是1，点D是棱AB的中点，点E在棱OC上，且，记，，．

(1)用向量，，表示向量；
(2)求的最小值．
【解析】(1)根据题意，连接OD，CD，点D是棱AB的中点，点E在棱OC上，如下图：

由题意可得，，记，，，
∴()＝.
(2)根据题意，点D是棱AB的中点，三棱锥的各个面是边长为1，
易得，，
在中，由余弦定理可得，，
，
当时，取得最小值，
则的最小值为．


变式5：已知正方形ABCD，ABEF的边长均为1，且平面ABCD⊥平面ABEF，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若|CM|＝|BN|＝a(0＜a＜)．

(1)求线段MN的长；
(2)当a为何值时，线段MN最短？
【解析】(1)由已知得||＝，||＝，
∴＝，＝，
∴＝＋＋
＝＋＋
＝(＋)－＋(－＋)
＝＋，
∴||＝
＝
＝
＝(0＜a＜)．
即MN的长度为 (0＜a＜)．
(2)由(1)知当a＝，即M，N分别是AC，BF的中点时，MN的长度最小，最小值为.

考点六 利用空间向量的数量积求投影
解题方略：
向量a在向量b上的投影数量|a|cos〈a，b〉
向量a在向量b上的投影向量|a|cos〈a，b〉
【例6-1】如图，在长方体中，已知，，，分别求向量在、、方向上的投影数量．

【解析】非零向量在非零向量方向上的投影数量为，
由空间向量的平行六面体法则可得，
在长方体中，，
因此，向量在方向上的投影数量为，
向量在方向上的投影数量为，
向量在方向上的投影数量为.

变式1：如图，已知正方体的棱长为1，E为的中点.

（1）求，的大小；
（2）求向量在向量方向上的投影的数量.
【解析】（1）在正方体中，
因为，
所以，
因为，
所以；
（2）连接，
因为平面，
所以，
又因为，
所以在向量方向上的投影为，
因为，
所以向量在向量方向上的投影的数量为1


【例6-2】已知正方体的棱长为1，E为棱上的动点.求向量在向量方向上投影的数量的取值范围.

【解析】由已知E为棱上的动点，设
因为
所以

所以向量在向量方向上投影的数量为，
又，，
所以向量在向量方向上投影的数量的取值范围为


题组A 基础过关练
1．在正方体中，有下列命题：
①；②；③与的夹角为．
其中正确的命题有（       ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．0个
【解析】对于①，
所以①正确；
对于②，，
所以②正确；
对于③，因为∥,分别为面的对角线，
所以,所以与的夹角为，所以③错误
故选：B


2．四边形ABCD为矩形，SA⊥平面ABCD，连接AC，BD，SB，SC，SD，下列各组运算中，不一定为零的是（       ）
A． B． C． D．
【解析】根据题意，依次分析选项：
对于：若与垂直，又与垂直，则平面与垂直，则与垂直，与与不一定垂直矛盾，所以与不一定垂直，即向量、不一定垂直，则向量、的数量积不一定为0；
对于：根据题意，有平面，则，又由，则有平面，进而有，即向量、一定垂直，则向量、的数量积一定为0；
对于：根据题意，有平面，则，又由，则有平面，进而有，即向量、一定垂直，则向量、的数量积一定为0；
对于：根据题意，有平面，则，即向量、一定垂直，则向量、的数量积一定为0.
故选：．

3．已知正三棱锥的底面的边长为2，M是空间中任意一点，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．
【解析】设中点为,连接,设中点为,则

,
当与重合时，取最小值0.此时有最小值，
故选：A
4．棱长为1的正四面体ABCD中，点E，F分别是线段BC，AD上的点，且满足，，则（       ）
A． B． C． D．
【解析】由已知，
因为，，
所以，
，

．
故选：D．

5．如图，P为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，圆锥PO的轴截面PAE是边长为2的等边三角形，是底面圆的内接正三角形．则（       ）

A． B． C． D．
【解析】由题得, ,
．
故选：B

6．我国古代数学名著《九章算术》商功中记载“斜解立方，得两堑堵”，堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱．在堑堵中，，P为的中点，则（       ）．
A．6 B． C．2 D．
【解析】根据堑堵的几何性质知：，，．

因为，，
所以.
故选：A．
7．已知平行六面体中，，，，，．则的长为（       ）
A． B． C．12 D．
【解析】，，，，
，．
，

，
，
即的长为.
故选：A．
8．已知正方体的棱长为a，对角线与相交于点O，则有（       ）．
A． B．
C． D．
【解析】
A：且，则，正确；
B：，错误；
C：，错误；
D：且，则，错误.
故选：A.
9．空间四边形中若则（       ）
A． B． C． D．
【解析】因为
,
因为,,所以,
所以,
故选:B
10．已知均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么等于（       ）
A． B． C． D．4
【解析】．故选：C.
11．若、、为空间三个单位向量，，且与、所成的角均为，则（       ）
A．5 B． C． D．
【解析】，
故，
故选：C
12．已知向量，，是两两垂直的单位向量，且，则（       ）．
A．15 B．3 C． D．5
【解析】向量，，是两两垂直的单位向量，且，，
.
故选：B
13．如图所示，在平行六面体中，各棱长均为2，，，则向量的长度为（       ）

A． B．
C． D．
【解析】，



故选：A

14.如图，在平行六面体中，为与的交点，若，，，则的值为（       ）

A． B． C． D．
【解析】因为四边形为平行四边形，且，则为的中点，
，
则

.
故选：D.


题组B 能力提升练
15．如图，空间四边形的每条边和对角线长都等于，点，，分别是，，的中点，则（       ）

A． B． C． D．
【解析】依题意，分别是的中点，
所以，
三角形是等边三角形，且边长为.
所以.
故选：B
16．若非零向量，满足， ，则与的夹角为（       ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【解析】设与的夹角为θ，
因为，所以，
所以，
因为非零向量，满足，
所以，
因为，所以，即，
故选：B
17．已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影的数量为（       ）
A．2 B． C． D．
【解析】由题意，，，，
则空间向量在向量方向上的投影为.
故选：B.

18.在平行六面体中，其中，，，则（       ）
A．25 B．5 C．14 D．
【解析】，
所以
，
所以，

故选：B.

19.在正方体中，P为上任意一点，则DP与的位置关系是______．
【解析】由题意，得，所以，即．故答案为：垂直.

20.如图，已知线段平面，平面，且，D与A在的同侧，若，求A，D两点间的距离.

【解析】

因为平面，平面，所以 ，
，所以与的夹角为，
因为，，
所以

，所以，即A，D两点间的距离为.

21.如图所示，在四棱锥中，底面，，E是的中点．证明：

（1）；
（2）平面．
【解析】证明：（1）因为底面，所以，所以，又，所以，又，所以，所以．
（2）设，因为，，所以．又，所以，得．
因为
，，所以，又，所以平面．


题组C 培优拔尖练
22.如图，已知平行六面体中，底面ABCD是边长为1的菱形，，.

(1)求线段的长；
(2)求异面直线与所成角的大小.
【解析】(1)设，，，
则，，，，，
∵，
∴
∴线段的长为.
(2)∵，，
∴，
∴，
故异面直线与所成的角为90°.

23.如图，在三棱锥中，平面，，，．

(1)确定在平面上的投影向量，并求；
(2)确定在上的投影向量，并求．
【解析】(1)因为平面，所以在平面上的投影向量为，
因为平面，面，可得，所以，
因为，所以，
所以
.
(2)由（1）知：，，
所以在上的投影向量为：
，
由数量积的几何意义可得：.

24.如图，在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，侧棱的长度为4，且.用向量法求:

(1)的长;
(2)直线与所成角的余弦值.
【解析】(1)，，故，所以的长为；
(2)

，由（1）知：，
设直线与所成角为
∴，
∴直线与所成角的余弦值为.

25.如图所示的平行六面体中，已知，，，为上一点，且，点棱上，且.

(1)用，，表示；
(2)若，求；
(3)若，求证：平面.
【解析】(1)


即
(2)因为，不妨取，


．
．
(3)过点作，交于点，连接，则，
平面，平面，所以平面，

因为，令，则，，，所以，所以，所以，又，，所以，所以，平面，平面，所以平面，
因为，平面，所以平面平面，平面，所以平面；