人教A版 (2019)选择性必修 第一册1.4 空间向量的应用精品同步训练题

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1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系

课程标准
课标解读
1. 理解与掌握直线的方向向量，平面的法向量.
2. 会用方向向量，法向量证明线线、线面、面面间的平行关系；会用平面法向量证明线面和面面垂直，并能用空间向量这一工具解决与平行、垂直有关的立体几问题.
1. 通过本节的学习，掌握直线的方向向量，平面的法向量的概念并会求出直线的方向向量与平面的法向量.
2. 能根据所给的条件利用空间向量这一重要工具进行空间几何体的平行、垂直关系的证明明.






知识点1 空间中点、直线和平面的向量表示
1．空间直线的向量表示式
设A是直线上一点，a是直线l的方向向量，在直线l上取＝a，设P是直线l上任意一点，
(1)点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝ta，即＝t.
(2)取定空间中的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t.使＝＋ta.
(3)取定空间中的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋t.

注意点：
(1)空间中，一个向量成为直线l的方向向量，必须具备以下两个条件：①是非零向量；②向量所在的直线与l平行或重合．
(2)直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量．与直线l平行的任意非零向量a都是直线的方向向量，且直线l的方向向量有无数个．
(3)空间任意直线都可以由直线上一点及直线的方向向量唯一确定．


2．空间平面的向量表示式
①如图，设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，P为平面α内任意一点，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使得＝xa＋yb.

②如图，取定空间任意一点O，空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使＝＋x＋y.我们把这个式子称为空间平面ABC的向量表示式．

③由此可知，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量唯一确定．
如图，直线l⊥α，取直线l的方向向量a，我们称向量a为平面α的法向量．给定一个点A和一个向量a，那么过点A，且以向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P|a·＝0}．

注意点：
(1)平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量．
(2)一个平面的法向量有无限多个，它们相互平行．

易错辨析：
（1）空间中给定一个点A和一个方向向量能唯一确定一条直线吗？能
（2）一个定点和两个定方向向量能否确定一个平面？不一定，若两个定方向向量共线时不能确定，若两个定方向向量不共线能确定．
（3）由空间点A和直线l的方向向量能表示直线上的任意一点？能
【即学即练1】【多选】若M(1,0，－1)，N(2,1,2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是(　　)
A．(2,2,6) B．(1,1,3)
C．(3,1,1) D．(－3,0,1)

【即学即练2】已知直线l的一个方向向量m＝(2，－1,3)，且直线l过A(0，y,3)和B(－1,2，z)两点，则y－z等于(　　)
A．0 B．1 C. D．3

【即学即练3】已知，，则平面ABC的一个单位法向量为（ ）
A． B．
C． D．


【即学即练4】在空间直角坐标系内，平面经过三点，向量是平面的一个法向量，则（ ）
A． B． C．5 D．7


【即学即练5】若直线l的方向向量a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0，－4)，则(　　)
A．l∥α B．l⊥α
C．l⊂α D．l与α斜交

【即学即练6】下列命题中，正确命题的个数为（ ）
①若分别是平面α，β的法向量，则⇔α∥β；
②若分别是平面α，β的法向量，则α⊥β ⇔；
③若是平面α的法向量，是直线l的方向向量，若l与平面α平行，则；
④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面不垂直．
A．1 B．2 C．3 D．4


知识点2 空间平行、垂直关系的向量表示
设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，n1，n2分别是平面α，β的法向量．
线线平行
l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2
注：此处不考虑线线重合的情况．但用向量方法证明线线平行时，必须说明两直线不重合
证明线线平行的两种思路：①用基向量表示出要证明的两条直线的方向向量，通过向量的线性运算，利用向量共线的充要条件证明．②建立空间直角坐标系，通过坐标运算，利用向量平行的坐标表示．
线面平行
l1∥α⇔u1⊥n1⇔u1·n1＝0
注：证明线面平行时，必须说明直线不在平面内；
(1)证明线面平行的关键看直线的方向向量与平面的法向量垂直．
(2)特别强调直线在平面外．
面面平行
α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2
注:证明面面平行时，必须说明两个平面不重合．
(1)利用空间向量证明面面平行，通常是证明两平面的法向量平行．
(2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明．
线线垂直
l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0
(1)两直线垂直分为相交垂直和异面垂直，都可转化为两直线的方向向量相互垂直．
(2)基向量法证明两直线垂直即证直线的方向向量相互垂直，坐标法证明两直线垂直即证两直线方向向量的数量积为0.
线面垂直
l1⊥α⇔u1∥n1⇔∃λ∈R，使得u1＝λn1
（1）基向量法：选取基向量，用基向量表示直线所在的向量，证明直线所在向量与两个不共线向量的数量积均为零，从而证得结论．
（2）坐标法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标，证明直线的方向向量与两个不共线向量的数量积均为零，从而证得结论．
（3）法向量法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标，然后说明直线方向向量与平面法向量共线，从而证得结论．
面面垂直
α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0
(1)常规法：利用面面垂直的判定定理转化为线面垂直、线线垂直去证明．
(2)法向量法：证明两个平面的法向量互相垂直
【即学即练7】已知向量a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1，l2的方向向量，若l1∥l2，则(　　)
A．x＝6，y＝15 B．x＝3，y＝
C．x＝3，y＝15 D．x＝6，y＝

【即学即练8】已知平面α的法向量是(2,3，－1)，平面β的法向量是(4，λ，－2)，若α∥β，则λ的值是(　　)
A．－ B．6 C．－6 D.

【即学即练9】设l1的方向向量为a＝(1,2，－2)，l2的方向向量为b＝(－2,3，m)，若l1⊥l2，则m＝________.

【即学即练10】已知＝(1,5，－2)，＝(3,1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且⊥平面ABC，则＝________.

考点一 求直线的方向向量
解题方略：
理解直线方向向量的概念
(1)直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量．
(2)直线的方向向量不唯一．
【例1-1】若A(－1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(　　)
A．(1,2,3) B．(1,3,2)
C．(2,1,3) D．(3,2,1)

变式1：已知向量a＝(2，－1,3)和b＝(－4,2x2,6x)都是直线l的方向向量，则x的值是(　　)
A．－1 B．1或－1
C．－3 D．1

变式2：从点A(2，－1,7)沿向量a＝(8,9，－12)的方向取线段长||＝34，则B点的坐标为(　　)
A．(18,17，－17) B. (－14，－19,17)
C. D.


考点二 求平面的法向量
解题方略：
利用待定系数法求法向量的步骤

【例2-1】在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD­A1B1C1D1是棱长为1的正方体，给出下列结论：
①平面ABB1A1的一个法向量为(0,1,0)；
②平面B1CD的一个法向量为(1,1,1)；
③平面B1CD1的一个法向量为(1,1,1)；
④平面ABC1D1的一个法向量为(0,1,1)．
其中正确结论的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4


【例2-2】在正方体ABCD­A1B1C1D1中，棱长为1，G，E，F分别为AA1，AB，BC的中点，求平面GEF的一个法向量．



变式1：如图所示，已知四边形ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，试建立适当的坐标系．

(1)求平面ABCD的一个法向量；
(2)求平面SAB的一个法向量；
(3)求平面SCD的一个法向量．




变式2：如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，P是DD1的中点，O为底面ABCD的中心，求证：是平面PAC的一个法向量．








变式3：已知A(1,1,0)，B(1,0,1)，C(0,1,1)，则平面ABC的一个单位法向量是(　　)
A．(1,1,1) B.
C. D.


【例2-3】已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是(　　)
A．(1，－1,1) B.
C. D.

考点三 用空间向量证明平行问题
解题方略：
用空间向量证明平行的方法
(1)线线平行：证明两直线的方向向量共线．
(2)线面平行：
①证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面，即可用平面内的一组基底表示．
②证明直线的方向向量与平面内某一向量共线，转化为线线平行，利用线面平行判定定理得证．
③先求直线的方向向量，然后求平面的法向量，证明直线的方向向量与平面的法向量垂直．
在证明线面平行时，需注意说明直线不在平面内．
(3)面面平行：①证明两平面的法向量为共线向量；②转化为线面平行、线线平行问题．　
（一）判断直线、平面的位置关系
【例3-1】已知直线l的方向向量是a＝(3,2,1)，平面α的法向量是u＝(－1,2，－1)，则l与α的位置关系是(　　)
A．l⊥α B．l∥α
C．l与α相交但不垂直 D．l∥α或l⊂α


变式1：在正方体ABCD­A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B，AC的中点，则MN与平面BB1C1C的位置关系是(　　)
A．相交　　　　　　　 B．平行
C．垂直 D．不能确定


（二）证明平行问题
【例3-2】在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，P，Q，R，S分别是AA1，D1C1，AB，CC1的中点．求证：PQ∥RS.




【例3-3】已知正方体ABCD­A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证：
(1)FC1∥平面ADE；
(2)平面ADE∥平面B1C1F.




变式1：在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点．证明：PA∥平面EDB.






变式2：如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，AA1＝2，F是棱AB的中点．

求证：平面AA1D1D∥平面FCC1.











变式3：如图，在长方体中，点E，F，G分别在棱，，上，；点P，Q，R分别在棱，CD，CB上，．求证：平面平面PQR．




考点四 利用空间向量证明垂直问题
解题方略：
用空间向量证明垂直的方法
(1)线线垂直：证明两直线的方向向量互相垂直，即证明它们的数量积为零．
(2)线面垂直：①基向量法：选取基向量，用基向量表示直线所在的向量，证明直线所在向量与两个不共线向量的数量积均为零，从而证得结论．
②坐标法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标，证明直线的方向向量与两个不共线向量的数量积均为零，从而证得结论．
③法向量法：建立空间直角坐标系，求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标，然后说明直线方向向量与平面法向量共线，从而证得结论．
(3)面面垂直：证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示．　　　　
（一）判断直线、平面的位置关系
【例4-1】在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是平行四边形，＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，＝(－1,2，－1)，则PA与底面ABCD的关系是(　　)
A．相交　　　　　　　 B．垂直
C．不垂直 D．成60°角


变式1：若平面α，β的法向量分别为a＝(2，－1,0)，b＝(－1，－2，0)，则α与β的位置关系是(　　)
A．平行 B．垂直
C．相交但不垂直 D．无法确定


（二）已知两向量垂直求参数
【例4-2】设l1的一个方向向量为a＝(1,3，－2)，l2的一个方向向量为b＝(－4,3，m)，若l1⊥l2，则m等于(　　)
A．1 B. C. D．3

变式1：已知平面α的法向量为a＝(1,2，－2)，平面β的法向量为b＝(－2，－4，k)，若α⊥β，则k等于(　　)
A．4 B．－4 C．5 D．－5

变式2：在△ABC中，A(1，－2，－1)，B(0，－3,1)，C(2，－2,1)．若向量n与平面ABC垂直，且|n|＝，则n的坐标为________________．



（三）证明垂直问题
【例4-3】已知正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AB＝1，AA1＝2，点E为CC1的中点，点F为BD1的中点．证明：EF⊥BD1，EF⊥CC1.



变式1：如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝CC1.求证：AB1⊥MN.







变式2：如图，由直三棱柱和四棱锥构成的几何体中，，平面平面

（1）求证：；
（2）若M为中点，求证：平面；




【例4-4】如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点．求证：EF⊥平面B1AC.








变式1：如图，在四棱锥P—ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点．

（1）求证：EF⊥CD；
（2）在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论．

变式2：如图所示，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点E在棱AA1上，要使CE⊥面B1DE，则AE＝________.








【例4-5】在四棱锥S­ABCD中，底面ABCD是正方形，AS⊥底面ABCD，且AS＝AB，E是SC的中点．求证：平面BDE⊥平面ABCD.







题组A 基础过关练
1、已知O为坐标原点，四面体OABC中，A(0,3,5)，B(1,2,0)，C(0,5,0)，直线AD∥BC，并且AD交坐标平面xOz于点D，则点D的坐标为________．


2、已知点A(0,1,0)，B(－1,0，－1)，C(2,1,1)，P(x,0，z)，若PA⊥平面ABC，则点P的坐标为(　　)
A．(1,0，－2) B．(1,0,2)
C．(－1,0,2) D．(2,0，－1)



3、平面的一个法向量是,,，平面的一个法向量是,6,，则平面与平面的关系是（ ）
A．平行 B．重合 C．平行或重合 D．垂直


4、已知平面α内的三点A(0,0,1)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，平面β的一个法向量为n＝(－1，－1，－1)，且β与α不重合，则β与α的位置关系是________．


5、已知直线l与平面α垂直，直线l的一个方向向量为u＝(1，－3，z)，向量v＝(3，－2,1)与平面α平行，则z等于(　　)
A．3　　　　　　　　　 B．6
C．－9 D．9


6、若平面α，β的法向量分别为a＝(－1,2,4)，b＝(x，－1，－2)，且α⊥β，则x的值为(　　)
A．10 B．－10
C. D．－

7、已知平面α的法向量为n＝(2，－2,4)，＝(－1,1，－2)，则直线AB与平面α的位置关系为(　　)
A．AB⊥α B．AB⊂α
C．AB与α相交但不垂直 D．AB∥α

题组B 能力提升练
8、 已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4,2,0)，
＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③是平面ABCD的法向量；④∥.其中正确的是_______(填序号)．

9、若a＝是平面α的一个法向量，且b＝(－1,2,1)，c＝均与平面α平行，则向量a＝________.
10、如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，△PAB是边长为1的正三角形，ABCD是菱形，∠ABC＝60°，E是PC的中点，F是AB的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面DEF的一个法向量．







11、在如图所示的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC＝2AD＝4，EF＝3，AE＝BE＝2，G是BC的中点，求证：AB∥平面DEG.








12、如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，E，F分别为A1C1和BC的中点．求证：C1F∥平面ABE.




题组C 培优拔尖练
13、如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E为PC的中点，EF⊥BP于点F.求证：
(1)PA∥平面EDB；
(2)PB⊥平面EFD.










14、如图，已知平面BCC1B1是圆柱的轴截面(经过圆柱的轴的截面)，BC是圆柱底面的直径，O为底面圆心，E为CC1的中点，A是底面圆周上异于B，C的一点，A1是上底面圆周上异于B1，C1的一点，且AA1⊥平面ABC，AB＝AC＝AA1＝4，求证：B1O⊥平面AEO.








15、如图，在四棱锥E－ABCD中，AB⊥平面BCE，CD⊥平面BCE，AB＝BC＝CE＝2CD＝2，∠BCE＝120°，

求证：平面ADE⊥平面ABE.

16、如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB＝AD＝2，CD＝4，M为CE的中点．

（1）求证：BM∥平面ADEF；
（2）求证：BC⊥平面BDE；
（3）证明：平面BCE⊥平面BDE.





17、如图所示，平面PAC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为PA，PB，AC的中点，AC＝16，PA＝PC＝10.
(1)设G是OC的中点，求证：FG∥平面BOE；
(2)求证：在△ABO内存在一点M，使得FM⊥平面BOE.并求出点M到OA，OB的距离．