高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册第二章 直线和圆的方程2.4 圆的方程精品巩固练习

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2.4 圆的方程

课程标准
核心素养
回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程.
直观想象
数学运算



知识点1 圆的标准方程
1．圆的定义：平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．
2．圆的要素：是圆心和半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小．如图所示．


3．圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以原点为圆心、半径为r的圆．
注：（1）圆的方程的推导：
设圆上任一点M(x，y)，则|MA|＝r，由两点间的距离公式，得＝r，

化简可得：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
(2)当圆心在原点即A(0,0)，半径长r＝1时，方程为x2＋y2＝1，称为单位圆．
(3)相同的圆，建立坐标系不同时，圆心坐标不同，导致圆的方程不同，但是半径是不变的．
(4)圆上的点都满足方程，满足方程的点都在圆上．

【即学即练1】圆心在x轴上，半径为5，且过点的圆的方程是________________．
【解析】设圆的标准方程为．
因为点在圆上，所以，解得a=-2或a=6，
所以所求圆的标准方程为或．

【即学即练2】与y轴相切，且圆心坐标为(－5，－3)的圆的标准方程为________________．
【解析】∵圆心坐标为(－5，－3)，又与y轴相切，
∴该圆的半径为5，
∴该圆的标准方程为(x＋5)2＋(y＋3)2＝25.

【即学即练3】以两点A(－3，－1)和B(5,5)为直径端点的圆的标准方程是________________．
【解析】∵AB为直径，∴AB的中点(1,2)为圆心，
|AB|＝＝5为半径，
∴该圆的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝25.
【即学即练4】已知直线与两坐标轴分别交于点，，求以线段为直径的圆的方程．
【解析】.由得，由得，
，，以为直径的圆的圆心是，半径，

知识点2 点与圆的位置关系
(1)根据点到圆心的距离d与圆的半径r的大小判断：d＞r⇔点在圆外；d＝r⇔点在圆上；d＜r⇔点在圆内．
(2)根据点M(x0，y0)的坐标与圆的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2的关系判断：
(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2⇔点在圆外；
(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点在圆上；
(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2⇔点在圆内．



【即学即练5】已知点P(2,1)和圆C：2＋(y－1)2＝1，若点P在圆C上，则实数a＝________.若点P在圆C外，则实数a的取值范围为________．
【解析】由题意，得2＋(y－1)2＝1，当点P在圆C上时，2＋(1－1)2＝1 ，解得a＝－2或－6.
当点P在圆C外时，2＋(1－1)2>1，
解得a<－6或a>－2.

【即学即练6】已知点M(5＋1，)在圆(x－1)2＋y2＝26的内部，则a的取值范围为________________．
【解析】由题意知
即解得0≤a<1.
答案　[0,1)

知识点3 圆的一般方程
1．圆的一般方程的概念
当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程．
注：将方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，配方可得2＋2＝，当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆．当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，表示一个点.

2．圆的一般方程对应的圆心和半径
圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示的圆的圆心为，半径长为 .
注：圆的一般方程表现出明显的代数结构形式，其方程是一种特殊的二元二次方程，圆心和半径长需要代数运算才能得出，且圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(其中D，E，F为常数)具有以下特点：
(1)x2，y2项的系数均为1；
(2)没有xy项；
(3)D2＋E2－4F＞0.

3．常见圆的方程的设法

标准方程的设法
一般方程的设法
圆心在原点
x2＋y2＝r2
x2＋y2－r2＝0
过原点
(x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2
x2＋y2＋Dx＋Ey＝0
圆心在x轴上
(x－a)2＋y2＝r2
x2＋y2＋Dx＋F＝0
圆心在y轴上
x2＋(y－b)2＝r2
x2＋y2＋Ey＋F＝0
与x轴相切
(x－a)2＋(y－b)2＝b2
x2＋y2＋Dx＋Ey＋D2＝0
与y轴相切
(x－a)2＋(y－b)2＝a2
x2＋y2＋Dx＋Ey＋E2＝0
4. 二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，则
5. 以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.


【即学即练7】(多选)下列结论正确的是(　　)
A．任何一个圆的方程都可以写成一个二元二次方程
B．圆的一般方程和标准方程可以互化
C．方程x2＋y2－2x＋4y＋5＝0表示圆
D．若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0
【解析】AB显然正确；C中方程可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝0，所以表示点(1，－2)；D正确．故选ABD

【即学即练8】(多选)若a∈，方程x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的值可以为(　　)
A．－2 B．0 C．1 D.
【解析】根据题意，若方程表示圆，则有(2a)2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)>0，解得a<1，又a∈，则a的值可以为－2,0，.


【即学即练9】若x2＋y2－x＋y－2m＝0是一个圆的方程，则实数m的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
【解析】根据题意，得(－1)2＋12－4×(－2m)>0，所以m>－.故选C

【即学即练10】圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是(　　)
A．(2,3)　　　　　　　　　 B．(－2,3)
C．(－2，－3) D．(2，－3)
【解析】圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标为，即(2，－3)．故选D

【即学即练11】过O(0,0)，A(3,0)，B(0,4)三点的圆的一般方程为______．
【解析】该圆的圆心为，半径为，故其标准方程为2＋(y－2)2＝.
化成一般方程为x2＋y2－3x－4y＝0.


知识点4 圆的轨迹问题
轨迹和轨迹方程区别：轨迹是指点在运动变化中形成的图形，比如直线、圆等．轨迹方程是点的坐标满足的关系式．
【即学即练12】已知圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1过点A(1,0)，则圆C的圆心的轨迹是(　　)
A．点 B．直线
C．线段 D．圆
【解析】∵圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝1过点A(1,0)，
∴(1－a)2＋(0－b)2＝1，
∴(a－1)2＋b2＝1，
∴圆C的圆心的轨迹是以(1,0)为圆心，1为半径的圆．故选D


【即学即练13】已知△ABC的顶点A(0,0)，B(4,0)，且AC边上的中线BD的长为3，则顶点C的轨迹方程是__________．
【解析】设C(x，y)(y≠0)，则D.∵B(4,0)，且AC边上的中线BD长为3，
∴2＋2＝9，即(x－8)2＋y2＝36(y≠0)．


考点一 求圆的标准方程
解题方略：
求圆的标准方程的方法
确定圆的标准方程就是设法确定圆心C(a，b)及半径r，其求解的方法：一是待定系数法，建立关于a，b，r的方程组，进而求得圆的方程；二是借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径．常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等．一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几何性质作转化较为简捷．　　　　

待定系数法求圆的标准方程的一般步骤

（一） 由圆的标准方程求圆心、半径
【例1-1】圆(x－1)2＋(y＋)2＝1的圆心坐标是(　　)
A．(1，) B．(－1，)
C．(1，－) D．(－1，－)
【解析】由圆的标准方程(x－1)2＋(y＋)2＝1，得圆心坐标为(1，－)．故选C

变式1：圆(x－1)2＋y2＝1的圆心到直线y＝x的距离是(　　)
A. B. C．1 D.
【解析】圆(x－1)2＋y2＝1的圆心坐标为(1,0)，所以圆心到直线y＝x的距离为d＝＝.故选A

（二）求圆的标准方程
【例1-2】圆心为直线x－y＋2＝0与直线2x＋y－8＝0的交点，且过原点的圆的标准方程是__________________．
【解析】由可得x＝2，y＝4，即圆心为(2,4)，从而r＝＝2，故圆的标准方程为(x－2)2＋(y－4)2＝20.

变式1：求经过点P(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0上的圆的方程．
【解析】(法一：待定系数法)
设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
则有解得
∴圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.
(法二：几何法)
由题意知OP是圆的弦，其垂直平分线为x＋y－1＝0.
∵弦的垂直平分线过圆心，
∴由得
即圆心坐标为(4，－3)，半径r＝＝5.
∴圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.

变式2：圆心在y轴上，半径为5，且过点(3，－4)，则圆的标准方程为________．
【解析】设圆心为C(0，b)，
则(3－0)2＋(－4－b)2＝52，
∴b＝0或b＝－8，
∴圆心为(0,0)或(0，－8)，
又r＝5，
∴圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25.
答案：x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25

变式3：求圆心在x轴上，且过A(1,4)，B(2，－3)两点的圆的方程．
【解析】设圆心为(a,0)，则＝，所以a＝－2.半径r＝＝5，
故所求圆的方程为(x＋2)2＋y2＝25.

变式4：已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(0,5)，B(1，－2)，C(－3，－4)，求该三角形的外接圆的方程．
【解析】法一：设所求圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
因为A(0,5)，B(1，－2)，C(－3，－4)都在圆上，所以它们的坐标都满足圆的标准方程，
于是有
解得
故所求圆的标准方程是(x＋3)2＋(y－1)2＝25.
法二：因为A(0,5)，B(1，－2)，所以线段AB的中点的坐标为，直线AB的斜率kAB＝＝－7，因此线段AB的垂直平分线的方程是y－＝，即x－7y＋10＝0.同理可得线段BC的垂直平分线的方程是2x＋y＋5＝0.
由得圆心的坐标为(－3,1)，
又圆的半径长r＝＝5，
故所求圆的标准方程是(x＋3)2＋(y－1)2＝25.


变式5：圆(x－3)2＋(y＋1)2＝1关于直线x＋y－3＝0对称的圆的标准方程是________________．
【解析】设圆心A(3，－1)关于直线x＋y－3＝0对称的点B的坐标为(a，b)，
则解得
故所求圆的标准方程为(x－4)2＋y2＝1.

考点二 点与圆的位置关系
解题方略：
圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其圆心为C(a，b)，半径为r，点P(x0，y0)，
设d＝|PC|＝.
位置关系
利用距离判断
利用方程判断
点在圆外
d>r
(x0－a)2＋(y0－b)2>r2
点在圆上
d＝r
(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2
点在圆内
d (x0－a)2＋(y0－b)2
判断点与圆的位置关系的方法
(1)确定圆的方程：化为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
(2)将点的坐标代入代数式(x－a)2＋(y－b)2，比较代数式的值与r2的大小关系．
(3)下结论：若(x－a)2＋(y－b)2＝r2，表示点在圆上；若(x－a)2＋(y－b)2＞r2，表示点在圆外；若(x－a)2＋(y－b)2＜r2，表示点在圆内．
此外，也可以利用点与圆心的距离d与半径r的大小关系来判断．当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d 【例2-1】已知圆(x－a)2＋(y－1)2＝2a(0＜a＜1)，则原点O在(　　)
A．圆内 B．圆外
C．圆上 D．圆上或圆外
【解析】由圆的方程(x－a)2＋(y－1)2＝2a，知圆心为(a,1)，
则原点与圆心的距离为.
∵0＜a＜1，∴＞＝r，即原点在圆外．故选B

变式1：点P(a,10)与圆(x－1)2＋(y－1)2＝2的位置关系是(　　)
A．在圆内　　　　　　　 B．在圆上
C．在圆外 D．不确定
【解析】　∵(a－1)2＋(10－1)2＝81＋(a－1)2>2，∴点P在圆外．故选C

变式2：已知a，b是方程x2－x－＝0的两个不相等的实数根，则点P(a，b)与圆C：x2＋y2＝8的位置关系是(　　)
A．点P在圆C内 B．点P在圆C外
C．点P在圆C上 D．无法确定
【解析】由题意，得a＋b＝1，ab＝－，∴a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1＋2<8，∴点P在圆C内．
故选A

【例2-2】若点(2a，a＋1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，则实数a的取值范围是________．
【解析】因为点(2a，a＋1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，则(2a)2＋[(a＋1)－1]2＜5，解得－1＜a＜1.
答案：(－1,1)

变式1：若点P(5a＋1,12a)在圆(x－1)2＋y2＝1的外部，则a的取值范围为________．
【解析】∵P在圆外，∴(5a＋1－1)2＋(12a)2>1,169a2>1，a2>，
∴a>或a＜－.


变式2：已知圆N的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a＞0)．
(1)若点M(6,9)在圆上，求a的值；
(2)已知点P(3,3)和点Q(5,3)，线段PQ(不含端点)与圆N有且只有一个公共点，求a的取值范围．
【解析】(1)因为点M在圆上，
所以(6－5)2＋(9－6)2＝a2，
又a＞0，可得a＝.
(2)由两点间距离公式可得，
|PN|＝＝，
|QN|＝＝3.
因为线段PQ与圆有且只有一个公共点，即P，Q两点一个在圆N内，另一个在圆N外，又3＜，所以3＜a＜.即a的取值范围是(3，)．

【例2-3】已知M(2,0)，N(10,0)，P(11,3)，Q(6,1)四点，试判断它们是否共圆，并说明理由．
【解析】设M，N，P三点确定的圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
∴解得
∴过点M，N，P的圆的方程为(x－6)2＋(y－3)2＝25.
将点Q的坐标(6,1)代入方程左端，得(6－6)2＋(1－3)2＝4＜25，
∴点Q不在圆(x－6)2＋(y－3)2＝25上，
∴M，N，P，Q四点不共圆.

考点三 与圆有关的最值问题
解题方略：
1、圆上的点到定点的最大、最小距离
设的方程，圆心，点是上的动点，点为平面内一点；记;
①若点在外，则;
②若点在上，则;
③若点在内，则;


2、与圆有关的最值问题常见的几种类型
(1)形如u＝形式的最值问题，可转化为过点(x，y)和(a，b)的动直线斜率的最值问题．
(2)形如l＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线y＝－x＋截距的最值问题．
(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题．　　　　
【例3-1】已知实数x，y满足方程(x－2)2＋y2＝3.求的最大值和最小值．
【解析】原方程表示以点(2,0)为圆心，以为半径的圆，设＝k，即y＝kx，
当直线y＝kx与圆相切时，斜率k取最大值和最小值，此时＝，解得k＝±.
故的最大值为，最小值为－.

变式1：已知实数x，y满足方程(x－2)2＋y2＝3.求y－x的最大值和最小值．
【解析】设y－x＝b，即y＝x＋b，
当y＝x＋b与圆相切时，纵截距b取得最大值和最小值，此时＝，
即b＝－2±.
故y－x的最大值为－2＋，
最小值为－2－.

变式2：已知实数x，y满足方程(x－2)2＋y2＝3.求x2＋y2的最大值和最小值．
【解析】x2＋y2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，它在原点与圆心所在直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为2，故(x2＋y2)max＝(2＋)2＝7＋4，
(x2＋y2)min＝(2－)2＝7－4.
【例3-2】已知圆C：(x－2)2＋(y＋m－4)2＝1，当m变化时，圆C上的点到原点的最短距离是________．
【解析】由题意可得，圆C的圆心坐标为(2,4－m)，半径为1，圆C上的点到原点的最短距离是圆心到原点的距离减去半径1，即求d＝－1的最小值，当m＝4时，d最小，dmin＝1.
答案：1

【例3-3】设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为(　　)
A．6 B．4
C．3 D．2
【解析】画出已知圆，利用数形结合的思想求解．如图，圆心M(3，－1)与定直线x＝－3的最短距离为|MQ|＝3－(－3)＝6.因为圆的半径为2，所以所求最短距离为6－2＝4.故选B







变式1：圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是________．
【解析】圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的圆心为C(1,1)，
则圆心到直线x－y＝2的距离d＝＝，
故圆上的点到直线x－y＝2的距离的最大值为＋1.


【例3-4】已知点P(x，y)为圆x2＋y2＝1上的动点，则x2－4y的最小值为________．
【解析】∵点P(x，y)为圆x2＋y2＝1上的动点，
∴x2－4y＝1－y2－4y＝－(y＋2)2＋5.
∵y∈[－1,1]，
∴当y＝1时，－(y＋2)2＋5有最小值－4.

考点四 圆的一般方程
解题方略：
1、圆的一般方程辨析
判断二元二次方程与圆的关系时，一般先看这个方程是否具备圆的一般方程的特征，当它具备圆的一般方程的特征时，再看它能否表示圆．此时有两种途径：一是看D2＋E2－4F是否大于零；二是直接配方变形，看方程等号右端是否为大于零的常数．
2、方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的图形
条件
图形
D2＋E2－4F<0
不表示任何图形
D2＋E2－4F＝0
表示一个点
D2＋E2－4F>0
表示以为圆心，以为半径的圆

3、利用待定系数法求圆的方程的解题策略
(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r.
(2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F.　　　　
（一） 圆的一般方程辨析
【例4-1】已知方程x2＋y2－2x＋2k＋3＝0表示圆，则k的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1) B．(3，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(3，＋∞) D.
【解析】方程可化为：(x－1)2＋y2＝－2k－2，只有－2k－2>0，即k<－1时才能表示圆．故选A

变式1：若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求：
(1)实数m的取值范围；
(2)圆心坐标和半径．
【解析】(1)据题意知
D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)＞0，
即4m2＋4－4m2－20m＞0，
解得m＜，
故m的取值范围为.
(2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，
故圆心坐标为(－m,1)，半径r＝.
变式2：如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)所表示的曲线关于直线y＝x对称，则必有(　　)
A．D＝E B．D＝F
C．E＝F D．D＝E＝F
【解析】由D2＋E2－4F＞0知，方程表示的曲线是圆，其圆心在直线y＝x上，故D＝E.

（二） 将圆的一般方程化为标准方程
【例4-2】圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的标准方程为(　　)
A．(x－2)2＋(y－3)2＝16 B．(x－2)2＋(y＋3)2＝16
C．(x＋2)2＋(y－3)2＝16 D．(x＋2)2＋(y＋3)2＝16
【解析】将x2＋y2＋4x－6y－3＝0配方，易得(x＋2)2＋(y－3)2＝16.故选C

（三） 由圆的一般方程求圆心、半径
【例4-3】已知圆的方程为x2＋y2＋2ax＋9＝0，圆心坐标为(5,0)，则它的半径为(　　)
A．3 B. C．5 D．4
【解析】圆的方程x2＋y2＋2ax＋9＝0，即(x＋a)2＋y2＝a2－9，
它的圆心坐标为(－a,0)，可得a＝－5，
故它的半径为＝＝4.故选D

变式1：将圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0平分的直线是(　　)
A．x＋y－1＝0　　　　 B．x＋y＋3＝0
C．x－y＋1＝0 D．x－y＋3＝0
【解析】要使直线平分圆，只要直线经过圆的圆心即可，圆心坐标为(1,2)．A、B、C、D四个选项中，只有C选项中的直线经过圆心，故选C.


变式2：已知圆C：x2＋y2－2x＋2y－3＝0，AB为圆C的一条直径，点A(0,1)，则点B的坐标为________．
【解析】由x2＋y2－2x＋2y－3＝0得，(x－1)2＋(y＋1)2＝5，所以圆心C(1，－1)．设B(x0，y0)，又A(0,1)，由中点坐标公式得解得所以点B的坐标为(2，－3)．

变式3：圆C：x2＋y2－2x－4y＋4＝0的圆心到直线3x＋4y＋4＝0的距离d＝________.
【解析】圆C：x2＋y2－2x－4y＋4＝0的圆心坐标为，即(1,2)，故圆心到直线3x＋4y＋4＝0的距离d＝＝＝3.

变式4：若圆C：x2＋y2－2(m－1)x＋2(m－1)y＋2m2－6m＋4＝0过坐标原点，则实数m的值为(　　)
A．2或1 B．－2或－1
C．2 D．1
【解析】∵x2＋y2－2(m－1)x＋2(m－1)y＋2m2－6m＋4＝0表示圆，∴[－2(m－1)]2＋[2(m－1)]2－4(2m2－6m＋4)＞0，∴m＞1.又圆C过原点，∴2m2－6m＋4＝0，∴m＝2或m＝1(舍去)，∴m＝2.故选C

变式5：点M，N在圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0上，且点M，N关于直线x－y＋1＝0对称，则该圆的面积为________．
【解析】圆x2＋y2＋kx＋2y－4＝0的圆心坐标是，
由圆的性质，知直线x－y＋1＝0经过圆心，
∴－＋1＋1＝0，得k＝4，
圆x2＋y2＋4x＋2y－4＝0的半径为＝3，
∴该圆的面积为9π.

（四）求圆的一般方程
【例4-4】已知一圆过P(4，－2)，Q(－1，3)两点，且在y轴上截得的线段长为4，求圆的方程．
【解析】(法一：待定系数法)
设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
将P，Q的坐标分别代入上式，
得
令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，③
由已知|y1－y2|＝4，其中y1，y2是方程③的两根．
∴(y1－y2)2＝(y1＋y2)2－4y1y2＝E2－4F＝48.④
联立①②④解得，或
故所求方程为x2＋y2－2x－12＝0或x2＋y2－10x－8y＋4＝0.
(法二：几何法)
由题意得线段PQ的中垂线方程为x－y－1＝0.
∴所求圆的圆心C在直线x－y－1＝0上，设其坐标为(a，a－1)．
又圆C的半径长r＝|CP|＝.　①
由已知圆C截y轴所得的线段长为4，而圆心C到y轴的距离为|a|.
∴r2＝a2＋2，代入①并将两端平方得a2－6a＋5＝0，解得a1＝1，a2＝5，∴r1＝，r2＝.
故所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝13或(x－5)2＋(y－4)2＝37.

变式1：过点M(－1,1)，且圆心与已知圆C：x2＋y2－4x＋6y－3＝0相同的圆的方程为________________．
【解析】将已知圆的方程化为标准方程(x－2)2＋(y＋3)2＝16，圆心C的坐标为(2，－3)，半径为4，故所求圆的半径为r＝|CM|＝＝5.所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25.

变式2：过三点O(0,0)，M(7,1)，N(4,2)的圆的方程为________________．　
【解析】设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.由已知，点O(0,0)，M(7,1)，N(4,2)的坐标满足上述方程，分别代入方程，可得关于D，E，F的三元一次方程组解方程组得D＝－8，E＝6，F＝0，于是得到所求圆的方程为x2＋y2－8x＋6y＝0.

变式3：已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)．
(1)求△ABC的外接圆的一般方程；
(2)若点M(a,2)在△ABC的外接圆上，求a的值．
【解析】(1)设△ABC外接圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
由题意，得
解得
即△ABC的外接圆的方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0.
(2)由(1)知，△ABC的外接圆的方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0，
∵点M(a,2)在△ABC的外接圆上，
∴a2＋22－8a－2×2＋12＝0，
即a2－8a＋12＝0，解得a＝2或6.

（五）点与圆的一般方程的位置关系
【例4-5】若点在圆的外部，则实数的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
【解析】由题意得，解得，
故选：C．

考点五 与圆有关的轨迹问题
解题方略：
求与圆有关的轨迹问题的方程
(1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程．
(2)定义法：根据圆、直线等定义列方程．
(3)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．
用代入法求轨迹方程的一般方法
　　

【例5-1】已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2，－2)，且圆心C在直线l：x－y＋1＝0上．
(1)求圆C的方程；
(2)线段PQ的端点P的坐标是(5,0)，端点Q在圆C上运动，求线段PQ的中点M的轨迹方程．
【解析】(1)设点D为线段AB的中点，直线m为线段AB的垂直平分线，则D.
又kAB＝－3，所以km＝，
所以直线m的方程为x－3y－3＝0.
由得圆心C(－3，－2)，
则半径r＝|CA|＝＝5，
所以圆C的方程为(x＋3)2＋(y＋2)2＝25.
(2)设点M(x，y)，Q(x0，y0)．
因为点P的坐标为(5,0)，
所以即
又点Q(x0，y0)在圆C：(x＋3)2＋(y＋2)2＝25上运动，
所以(x0＋3)2＋(y0＋2)2＝25，
即(2x－5＋3)2＋(2y＋2)2＝25.
整理得(x－1)2＋(y＋1)2＝.
即所求线段PQ的中点M的轨迹方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝.

变式1：如图，已知线段AB的中点C的坐标是(4,3)，端点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，求线段AB的端点B的轨迹方程．

【解析】设B点坐标是(x，y)，点A的坐标是(x0，y0)，由于点C的坐标是(4,3)且点C是线段AB的中点，所以4＝，3＝，
于是有x0＝8－x ，y0＝6－y.①
因为点A在圆(x＋1)2＋y2＝4上运动，
所以点A的坐标满足方程(x＋1)2＋y2＝4，
即(x0＋1)2＋y＝4，②
把①代入②，得(8－x＋1)2＋(6－y)2＝4，
整理，得(x－9)2＋(y－6)2＝4.
所以点B的轨迹方程为(x－9)2＋(y－6)2＝4.


变式2：已知△ABC的边AB长为4，若BC边上的中线为定长3，求顶点C的轨迹方程．
【解析】以直线AB为x轴，AB的中垂线为y轴建立坐标系(如图)，则A(－2,0)，B(2,0)，设C(x，y)，BC中点D(x0，y0)．
∴　　　　　　　　　　　　　　　　①
∵|AD|＝3，∴(x0＋2)2＋y＝9.②
将①代入②，整理得(x＋6)2＋y2＝36.
∵点C不能在x轴上，∴y≠0.
综上，点C的轨迹是以(－6,0)为圆心，6为半径的圆，去掉(－12,0)和(0,0)两点．
轨迹方程为(x＋6)2＋y2＝36(y≠0)．

【例5-2】设A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线且|PA|＝1，则P点的轨迹方程是________．
【解析】设P(x，y)是轨迹上任一点，圆(x－1)2＋y2＝1的圆心为B(1,0)，
则|PA|2＋1＝|PB|2，∴(x－1)2＋y2＝2.


变式1：已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于(　　)
A．π B．4π
C．8π D．9π
【解析】设动点P的轨迹坐标为(x，y)，则由|PA|＝2|PB|，知 ＝2，化简得(x－2)2＋y2＝4，得轨迹曲线为以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，该圆面积为4π.故选B


题组A 基础过关练
1、求满足下列条件的圆的标准方程：
(1)圆心是(4,0)，且过点(2,2)；
(2)圆心在y轴上，半径为5，且过点(3，－4)．
【解析】(1)r2＝(2－4)2＋(2－0)2＝8，
∴圆的标准方程为(x－4)2＋y2＝8.
(2)设圆心为C(0，b)，则(3－0)2＋(－4－b)2＝52，
∴b＝0或b＝－8，∴圆心为(0,0)或(0，－8)，
又r＝5，
∴圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25.

2、已知点A(1，－1)，B(－1,1)，则以线段AB为直径的圆的方程是(　　)
A．x2＋y2＝2　　　　　 B．x2＋y2＝
C．x2＋y2＝1 D．x2＋y2＝4
【解析】AB的中点坐标为(0,0)，|AB|＝＝2，所以圆的方程为x2＋y2＝2.故选A

3、与圆(x－2)2＋(y＋3)2＝16同圆心且过点P(0,1)的圆的方程为________．
【解析】因为已知圆的圆心为(2，－3)，所以所求圆的圆心为(2，－3)．又该圆的半径r＝＝2，所以所求圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝20.

4、若一圆的圆心坐标为(2，－3)，一条直径的端点分别在x轴和y轴上，则此圆的方程是(　　)
A．(x－2)2＋(y＋3)2＝13 B．(x＋2)2＋(y－3)2＝13
C．(x－2)2＋(y＋3)2＝52 D．(x＋2)2＋(y－3)2＝52
【解析】由中点坐标公式得直径两端点的坐标分别为(4,0)，(0，－6)，可得直径长为2，则半径长为，所以所求圆的方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝13.故选A

5、已知直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，则l的方程是(　　)
A．x＋y－2＝0 B．x－y＋2＝0
C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝0
【解析】圆x2＋(y－3)2＝4的圆心为点(0,3)．因为直线l与直线x＋y＋1＝0垂直，所以直线l的斜率k＝1.由点斜式得直线l的方程是y－3＝x－0，化简得x－y＋3＝0.故选D.

6、方程x2＋y2＋2ax＋2by＋a2＋b2＝0表示的图形为(　　)
A．以(a，b)为圆心的圆 B．以(－a，－b)为圆心的圆
C．点(a，b) D．点(－a，－b)
【解析】原方程可化为(x＋a)2＋(y＋b)2＝0，
∴即∴表示点(－a，－b)．故选D

7、已知圆心在点C(－3，－4)，且经过原点，求该圆的标准方程，并判断点P1(－1,0)，P2(1，－1)，P3(3，－4)和圆的位置关系．
【解析】因为圆心是C(－3，－4)，且经过原点，
所以圆的半径r＝＝5，
所以圆的标准方程是(x＋3)2＋(y＋4)2＝25.
因为|P1C|＝＝＝2<5，所以P1(－1,0)在圆内；
因为|P2C|＝＝5，
所以P2(1，－1)在圆上；
因为|P3C|＝＝6>5，
所以P3(3，－4)在圆外．

8、已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________．
【解析】由二元二次方程表示圆的条件可得a2＝a＋2，解得a＝2或－1.当a＝2时，方程为4x2＋4y2＋4x＋8y＋10＝0，即x2＋y2＋x＋2y＋＝0，配方得2＋(y＋1)2＝－＜0，不表示圆；
当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，配方得(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，则圆心坐标为(－2，－4)，半径是5.
答案：(－2，－4)　5

9、求圆心在直线2x－y－3＝0上，且过点(5,2)和(3，－2)的圆的一般方程．
【解析】设所求圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
则圆心为.
∵圆心在直线2x－y－3＝0上，
∴2×－－3＝0.①
又∵点(5,2)和(3，－2)在圆上，
∴52＋22＋5D＋2E＋F＝0.　②
32＋(－2)2＋3D－2E＋F＝0. ③
解①②③组成的方程组，得D＝－4，E＝－2，F＝－5.
∴所求圆的一般方程为x2＋y2－4x－2y－5＝0.

10、当a为任意实数时，直线(a－1)x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，为半径的圆的方程为(　　)
A．x2＋y2－2x＋4y＝0 B．x2＋y2＋2x＋4y＝0
C．x2＋y2＋2x－4y＝0 D．x2＋y2－2x－4y＝0
【解析】直线(a－1)x－y＋a＋1＝0可化为(－x－y＋1)＋a(1＋x)＝0，由得C(－1,2)．
∴圆的方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5，
即x2＋y2＋2x－4y＝0.故选C
题组B 能力提升练
11、若当方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆取得最大面积时，则直线y＝(k－1)x＋2的倾斜角α等于(　　)
A. B. C. D.
【解析】x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0化为标准式为2＋(y＋1)2＝1－k2，所以当k＝0时圆的半径最大，面积也最大，此时直线的斜率为－1，故倾斜角为.故选C

12、已知动点M到点(8,0)的距离等于点M到点(2,0)的距离的2倍，那么点M的轨迹方程是(　　)
A．x2＋y2＝32 B．x2＋y2＝16
C．(x－1)2＋y2＝16 D．x2＋(y－1)2＝16
【解析】设M(x，y)，则M满足＝2，整理得x2＋y2＝16.故选B

13、已知圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0关于直线y＝2x＋b成轴对称图形，则a－b的取值范围是________．
【解析】由题意知，直线y＝2x＋b过圆心，而圆心坐标为(－1,2)，代入直线方程，得b＝4，圆的方程化为标准方程为(x＋1)2＋(y－2)2＝5－a，所以a＜5，由此，得a－b＜1.
答案：(－∞，1)

14、已知直线(3＋2λ)x＋(3λ－2)y＋5－λ＝0恒过定点P，则与圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝16有公共的圆心且过点P的圆的标准方程为(　　)
A．(x－2)2＋(y＋3)2＝36
B．(x－2)2＋(y＋3)2＝25
C．(x－2)2＋(y＋3)2＝18
D．(x－2)2＋(y＋3)2＝9
【解析】由(3＋2λ)x＋(3λ－2)y＋5－λ＝0，
得(2x＋3y－1)λ＋(3x－2y＋5)＝0，
则
解得即P(－1,1)．
∵圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝16的圆心坐标是(2，－3)，
∴|PC|＝＝5，
∴所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25，故选B.

15、已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为(　　)
A．4 B．5 C．6 D．7
【解析】设圆心C(x，y)，则＝1，

化简得(x－3)2＋(y－4)2＝1，
所以圆心C的轨迹是以M(3,4)为圆心，1为半径的圆，
所以|OC|＋1≥|OM|＝＝5，
所以|OC|≥5－1＝4，当且仅当C在线段OM上时取等号．故选A

16、已知圆，则当圆的面积最小时，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为（       ）
A． B．6
C． D．
【解析】根据题意，圆，
变形可得．
其圆心为，半径为，则，
当圆的面积最小时，必有，此时．
圆的方程为，
圆心到原点为距离，
则圆上的点到坐标原点的距离的最大值为．
故选：D．
17、已知矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0)，AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，点T(－1,1)在AD边所在的直线上．
(1)求AD边所在直线的方程；
(2)求矩形ABCD外接圆的标准方程．
【解析】(1)因为AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，且AD与AB垂直，所以直线AD的斜率为－3.
又点T(－1,1)在直线AD上，
所以AD边所在直线的方程为y－1＝－3(x＋1)，
即3x＋y＋2＝0.
(2)由解得点A的坐标为(0，－2)，
因为矩形ABCD的两条对角线的交点为点M(2,0)，
所以M为矩形ABCD外接圆的圆心．
又r＝|AM|＝＝2，
所以矩形ABCD外接圆的方程为(x－2)2＋y2＝8.

18、已知曲线C：x2＋y2－4mx＋2my＋20m－20＝0.
求证：当m≠2时，曲线C是一个圆，且圆心在一条直线上．
证明：∵D＝－4m，E＝2m，F＝20m－20，
∴D2＋E2－4F＝16m2＋4m2－80m＋80＝20(m－2)2.
又m≠2，∴(m－2)2＞0，∴D2＋E2－4F＞0，
即曲线C是一个圆．
设圆心坐标为(x，y)，则由消去m，得x＋2y＝0，即圆心在直线x＋2y＝0上.

19、当实数m的值为多少时，关于x，y的方程(2m2＋m－1)·x2＋(m2－m＋2)y2＋m＋2＝0表示的图形是一个圆？
【解析】要使方程(2m2＋m－1)x2＋(m2－m＋2)y2＋m＋2＝0表示的图形是一个圆，需满足2m2＋m－1＝m2－m＋2，得m2＋2m－3＝0，
所以m＝－3或m＝1.
①当m＝1时，方程为x2＋y2＝－，不合题意，舍去；
②当m＝－3时，方程为14x2＋14y2＝1，即x2＋y2＝，表示以原点为圆心，以为半径的圆．
综上，m＝－3时满足题意．
20、已知圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上，且圆心在第二象限，半径长为，求圆的一般方程．
【解析】圆心C，∵圆心在直线x＋y－1＝0上，∴－－－1＝0，即D＋E＝－2.①
又∵半径长r＝＝，
∴D2＋E2＝20.②
由①②可得或
又∵圆心在第二象限，∴－＜0，即D＞0.
则
故圆的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.


21、已知圆过点A(1，－2)，B(－1,4)．
(1)求周长最小的圆的方程；
(2)求圆心在直线2x－y－4＝0上的圆的方程．
【解析】(1)当线段AB为圆的直径时，过点A，B的圆的半径最小，从而周长最小，即圆心为线段AB的中点(0,1)，半径r＝|AB|＝.
则所求圆的方程为x2＋(y－1)2＝10.
(2)法一：直线AB的斜率k＝＝－3，
即线段AB的垂直平分线的方程是y－1＝x，
即x－3y＋3＝0.
由解得
即圆心的坐标是C(3,2)．
∴r2＝|AC|2＝(3－1)2＋(2＋2)2＝20.
∴所求圆的方程是(x－3)2＋(y－2)2＝20.
法二：设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
则⇒
∴所求圆的方程为(x－3)2＋(y－2)2＝20.


题组C 培优拔尖练
22、已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，点A(0，－1)，B(0,1)，设P是圆C上的动点，令d＝|PA|2＋|PB|2，求d的最大值及最小值．
【解析】设P(x，y)，则d＝|PA|2＋|PB|2＝2(x2＋y2)＋2.
∵|CO|2＝32＋42＝25，∴(5－1)2≤x2＋y2≤(5＋1)2.即16≤x2＋y2≤36.
∴d的最小值为2×16＋2＝34.最大值为2×36＋2＝74.

23、点A(2,0)是圆x2＋y2＝4上的定点，点B(1,1)是圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1)求线段AP的中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ的中点的轨迹方程．
【解析】(1)设线段AP的中点为M(x，y)，
由中点公式得点P坐标为P(2x－2,2y)．
∵点P在圆x2＋y2＝4上，∴(2x－2)2＋(2y)2＝4，
故线段AP的中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
(2)设线段PQ的中点为N(x，y)，
在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.
设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，
∴|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，
∴x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4，
故线段PQ的中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.

24、已知圆C: x2＋y2－4x－14y＋45＝0，及点Q(－2,3)．
(1)P(a，a＋1)在圆上，求线段PQ的长及直线PQ的斜率；
(2)若M为圆C上的任一点，求|MQ|的最大值和最小值．
【解析】(1)∵点P(a，a＋1)在圆上，
∴a2＋(a＋1)2－4a－14(a＋1)＋45＝0，
∴a＝4，P(4,5)，
∴|PQ|＝＝2，
kPQ＝＝.
(2)∵圆心C的坐标为(2,7)，
∴|QC|＝＝4，
圆的半径是2，点Q在圆外，
∴|MQ|max＝4＋2＝6，
|MQ|min＝4－2＝2.

25、设圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段弧，其弧长比为3∶1.在满足上述条件的圆中，求圆心到直线l：x－2y＝0的距离最小时的圆的方程．
【解析】设圆心为(a，b)，半径长为r，
依题意，得
消去r，得2b2－a2＝1，①
圆心到直线l的距离d＝.
设a－2b＝k，则a＝2b＋k，代入①式，
整理得2b2＋4bk＋k2＋1＝0.
判别式Δ＝8(k2－1)≥0，解得|k|≥1，
当|k|＝1时，dmin＝.
当k＝1时，a＝b＝－1，圆的方程为(x＋1)2＋(y＋1)2＝2；
当k＝－1时，a＝b＝1，圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.