拓展三 圆锥曲线的面积问题 （人教A版2019选择性必修第一册）讲义

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 拓展三：圆锥曲线面积问题



知识点1 圆锥曲线中三角形（四边形）的面积
(一) 利用弦长与点到直线距离计算三角形面积
1、弦长公式
若在直线上，代入化简，得;
2、利用弦长与点到直线距离计算三角形面积公式
若直线与圆锥曲线交于点A，B，点P为定点或满足一定条件的动点，要表示△PAB的面积，一般是先利用弦长公式求出，再利用点到直线距离公式求出点P到直线AB的距离，则.
(二) 三角形中一个顶点到对边上某一点的距离为定值，可把三角形分为两个小三角形分别计算面积
若过定点Q的直线与圆锥曲线交于点A，B，点P为定点或满足一定条件的动点，要表示△PAB的面积，可先求出点A，B到直线PQ的距离之和d，则，特别的，若与y轴垂足，，利用这种方法求面积，可以避免使用弦长公式，减少运算量.
(三)对角线互相垂直的四边形面积的计算
对角线互相垂直的四边形的面积为两对角线长度乘积的.
(四)把四边形分割成两个三角形求面积
如果四边形的一条对角线所在直线的方程确定，通常把该四边形分割为以这条对角线为底边的两个三角形，分别表示出这两个三角形的面积再相加

知识点2 面积比值
通过两个三角形面积的作比，寻找等底或等高情况，将面积问题转化为底边长度或高度的比值，进行坐标或向量进行求解.

知识点3 圆锥曲线面积的最值问题
(一)利用函数性质求面积最值或范围
如果能把三角形或四边形的面积用某一个变量来表示，此时可把面积看作关于该变量的函数，若函数的单调性容易确定，可利用函数单调性求面积最值或范围.
(二)利用均值不等式求面积最值或范围
如果能把三角形或四边形的面积转化为某些变量的代数式，若对代数式进行恒等变形后能出现和为定值或乘积为定值的式子，可考虑利用均值不等式求最值或范围.

类型一 圆锥曲线中三角形（四边形）的面积
（一） 利用弦长和点到直线的距离求三角形的面积
1．（2022·贵州贵阳·高二期末（文））已知椭圆的离心率为，右焦点到上顶点的距离为.
(1)求椭圆的方程；
(2)斜率为2的直线经过椭圆的左焦点，且与椭圆相交于两点，求的面积.
【解析】(1)由题意可得，
解得，
所以椭圆的方程为.
(2)解法一：
由（1）得，则由题意可设直线，
代入椭圆方程整理可得，
设，则，
则由弦长公式知，
又设到的距离为，则由点到直线距离公式可得，
的面积，
即所求面积为.
解法二：
由（1）得，则由题意可设直线，即
代入椭圆方程整理可得，
设，则，
，
则的面积，
即所求面积为.
2．（2022·北京市第一五六中学高二期中）已知椭圆，左右焦点分别为，直线与椭圆相交于两点．
(1)求椭圆的焦点坐标及离心率；
(2)求的面积．
【解析】（1）椭圆知，该椭圆的焦点在 轴上，设焦距为，
由， 所以，所以焦点坐标为
离心率为：
（2）由直线与椭圆相交于两点，设
则消去得，，
所以
又到的距离为
所以的面积为：
3．（2022·河南·高二期中）已知椭圆的离心率为，左焦点为，过且垂直于轴的直线被椭圆所截得的线段长为 3 ．
(1)求椭圆的方程;
(2)若直线与椭圆交于两点，求的面积．
【解析】（1）解：由题知，代入得，
所以，根据题意得，解得，．
故椭圆的方程为．
（2）解：设，，
联立消去后整理可得．
所以，，．
所以，．
到直线的距离．
所以，的面积为．
4．（2022·重庆·高二期末）椭圆的左､右焦点分别为，短轴的一个端点到的距离为，且椭圆过点过且不与两坐标轴平行的直线交椭圆于两点，点与点关于轴对称.
(1)求椭圆的方程
(2)当直线的斜率为1时，求的面积；
(3)若点，求证：三点共线.
【解析】(1)解：由题得，所以椭圆方程为，
因为椭圆过点所以，所以
所以椭圆的方程为.
(2)解：由题得,所以直线的方程为即，
联立直线和椭圆方程得，
所以,点到直线的距离为.
所以的面积为.
(3)解：设直线的方程为，
联立直线和椭圆的方程得，
设，所以，
由题得，，
所以，
所以
，
所以,又有公共点,
所以三点共线.

（二） 由水平宽铅锤高求三角形面积
5．（2022·福建泉州·高二期末）已知椭圆，的左焦点，且离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若，过椭圆的左焦点F的直线交椭圆于、两点，且直线倾斜角为，求的面积．
【解析】（1）由已知得：；
解得，所求椭圆方程为
(2)设，直线的斜率，故直线的方程为：，
联立，消去得：，
法一：∴或．
联立得，
∴的面积为
法二：∴
联立得,
∴的面积为
法三：∴或．代入直线，得
∴N到直线QM：的距离，
∴的面积为.
6．（2022·福建·厦门外国语学校高二期末）如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，，设是第一象限内椭圆C上的一点，的延长线分别交椭圆C于点．当时，的面积为．

(1)求椭圆C的方程；
(2)分别记和的面积为和，求的最大值．
【解析】（1）设，则，
的面积为，解得，
在中，，由余弦定理，
即，
所以，则，椭圆C的方程为．
（2）设点P的坐标为，则直线的方程为，
将其代入椭圆方程中可得，
所以，所以，同理可求得，
，

，
，
当且仅当，即时取等号，
所以的最大值为.

（三） 对角线互相垂直的四边形面积
7．（2023届山东省青岛市高三上学期调研）在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，且与圆外切，记动圆的圆心的轨迹为.
(1)求轨迹的方程；
(2)不过圆心且与轴垂直的直线交轨迹于两个不同的点，连接交轨迹于点.
（i）若直线交轴于点，证明：为一个定点；
（ii）若过圆心的直线交轨迹于两个不同的点，且，求四边形面积的最小值.
【解析】（1）设动圆的半径为，圆心的坐标为
由题意可知：圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为.
动圆与圆内切，且与圆外切，

动圆的圆心的轨迹是以为焦点的椭圆，设其方程为：，
其中
从而轨迹的方程为：
（2）（i）设直线的方程为，则
由可得：

直线的方程为，
令可得点的横坐标为：


为一个定点，其坐标为
（ii）根据（i）可进一步求得：

.
，
则
，
四边形面积
（法一）
等号当且仅当时取，即时，
（法二）令，
则
当，即时，
（四） 把四边形分割成两个三角形的面积
8．（2022·云南曲靖·高二期末）设椭圆的左焦点为F，上顶点为B，离心率为，O是坐标原点，且．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线与椭圆C在第一象限内的交点为P，，直线BF与直线l的交点为Q，求的面积．
【解析】（1）由题意得：，则，解得，则椭圆C的方程为：；
（2）
由（1）得，则直线BF方程，又可得P在线段OB垂直平分线上，则，又P在椭圆上，解得，则，直线，联立和线BF可得，解得，则，则.

9．（2023届THUSSAT中学生标准学术能力高三9月测试）已知A、B分别为椭圆：）的上、下顶点，F是椭圆的右焦点，C是椭圆上异于A、B的点，点D在坐标平面内．
(1)若，求椭圆的标准方程；
(2)若，且，，求四边形CADB面积S的最大值．
【解析】（1）由已知是等边三角形，
因为，，所以，
得椭圆的标准方程为．
（2）设，，
因为，，所以，
则,所以，
，
所以，，
两式相减得，
带回原式得，
因为，所以，

（当时取等）
所以四边形CADB面积S的最大值为．

类型二 面积定值
10．（2022·江苏南通·高二期末）在平面直角坐标系xOy中，已知点，直线，点M满足到点F的距离与它到直线l的距离之比为，记M的轨迹为C．
(1)求C的方程；
(2)过点M且与C相切的直线交椭圆于A，B两点，射线MO交椭圆E于点N，试问的面积是否为定值?请说明理由．
【解析】(1)解：设，根据题意，，其中表示M到直线l的距离.
整理得，
曲线C的方程为：．
(2)解：的面积为定值，理由如下：
设，
①当直线斜率不存在时，过直线方程为，不妨令，则
此时，，由题可得，
故；
②当直线斜率不存在时，设过直线方程为该直线与椭圆C相切

得：①
，
，则直线MO的方程为：

，，
由题可得，M，N位于y轴两侧，故.即
设，，，，将直线代入椭圆的方程，可得
，由，可得，②
则有，，
所以，将①代入得：
由直线与轴交于，
则的面积为.
故
综上：面积为定值．
11．（2022·全国·益阳平高学校高二期末）已知双曲线的左、右焦点分别为、，双曲线的右顶点在圆上，且．
(1)求双曲线的方程；
(2)动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线分别交于点、，设为坐标原点．求证：的面积为定值．
【解析】（1）不妨设 , 因为,
从而 故由 ,
又因为, 所以 ,
又因为 在圆 上, 所以
所以双曲线的标准方程为：
（2）设直线与轴交于点，双曲线的渐近线方程为
由于动直线与双曲线恰有1个公共点, 且与双曲线的两条渐近线分别交于点,
当动直线的斜率不存在时, ,，,
当动直线的斜率存在时, 且斜率, 不妨设直线 ,
故由
依题意，且
,
化简得 ,
故由 ,
同理可求,,
所以
又因为原点到直线的距离,
所以,又由
所以,
故的面积是为定值,定值为
12．（2022·河南·封丘一中高二期末（文））已知椭圆的离心率为，短半轴长为．
(1)求C的标准方程；
(2)若不过坐标原点O的直线l与C交于A，B两点，延长线段AO，BO与C分别交于点M，N，若直线AM，BN的斜率之积为，证明：四边形ABMN的面积为定值．
【解析】(1)∵，，∴，
∴．
∴C的标准方程为．
(2)由椭圆的对称性可知，因此只需求的面积即可．
当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为，，．
联立得，
，，．
．
，即．
，
原点O到直线AB的距离，
∴．
当直线AB的斜率不存在时，，，
，，解得，．
∴．
综上，的面积为定值．
∴四边形ABMN的面积为定值．
13．（2022·河南·信阳高中高二期末（理））已知椭圆E：的离心率，且右焦点到直线的距离为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)四边形的顶点在椭圆上，且对角线，过原点，若，证明：四边形的面积为定值.
【解析】(1)．
(2)设，设，代入，
得，
∵，∴，，
∵，得，
即，
解得，
∵，
且，
又，，
整理得，
∴为定值．
14．（2022·广东汕尾·高二期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过左焦点的直线l与椭圆C交于A，B两点，的周长为8．

(1)求椭圆C的标准方程；
(2)如图，，是椭圆C的短轴端点，P是椭圆C上异于点，的动点，点Q满足，，求证与的面积之比为定值．
【解析】(1)解：∵的周长为8，
∴，即，
∵离心率，
∴，，
∴椭圆C的标准方程为．
(2)方法一：设，
则直线斜率，∵，
∴直线斜率，
∴直线的方程为：，
同理直线的方程为：，
联立上面两直线方程，消去y，得，
∵在椭圆上，
∴，即，
∴，
∴
所以与的面积之比为定值4．
方法二：设直线，的斜率分别为k，，点，，
则直线的方程为，
∵，∴直线的方程为，
将代入，得，
∵P是椭圆上异于点，的点，
∴，
又∵，即，
∴，即，
由，得直线的方程为，
联立得，
∴
所以与的面积之比为定值4．

类型三 面积比值
15．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二期末）如图，已知椭圆的左顶点，过右焦点的直线与椭圆相交于两点，当直线轴时，.

(1)求椭圆的方程；
(2)记,的面积分别为，求的取值范围；
(3)若的重心在圆上，求直线的斜率.
【解析】(1)因为左顶点，所以，
根据，可得，解得，所以；
(2)设直线为，
则，
则，，    
那么，
根据解得，
所以.
(3)设重心，则：，
，
所以，
所以，即所求直线的斜率为.
16．（2022·河南·信阳高中高二期末（文））已知椭圆的左、右焦点分别为，，实轴长为，且斜率为的直线与椭圆C交于A，B两点，且AB的中点为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)若椭圆C的左、右顶点分别为，，点P，Q为椭圆上异于，的两点，且以P，Q为直径的圆过点，设，的面积分别为，，计算的值.
【解析】(1)设点，，
代入椭圆C的方程得，，
两式相减得，
即，
所以.
因为，，
解得，，
所以椭圆C的方程为.；
(2)

根据题意可知直线PQ的斜率一定存在，
设直线PQ的方程为，
点，，
联立，消去y并整理得.
，，
，.
，，
则，
整理得，解得或.
当时，直线PQ的方程为，不符合题意；
当时，直线PQ的方程为，过定点，
，，
.
17．（2022·重庆·西南大学附中高二期末）设O为坐标原点，动点P在圆上，过点P作轴的垂线，垂足为Q且.
(1)求动点D的轨迹E的方程；
(2)直线与圆相切，且直线与曲线E相交于两不同的点A、B，T为线段AB的中点.线段OA、OB分别与圆O交于M、N两点，记的面积分别为，求的取值范围.
【解析】(1)设点，则，因，则有，又点P在圆上，即，
所以动点D的轨迹E的方程是.
(2)当直线的斜率存在时，设其方程为：，
因直线与圆相切，则，即，而时，直线与椭圆E相切，不符合题意，因此，
由消去x并整理得：，设，
则，而点T是线段AB中点，则有：



，
令，则，
而，当，即时，，当，即时，，而，于是得，
当直线的斜率不存在时，直线，，此时，
所以的取值范围是.
18．（2022·天津市西青区杨柳青第一中学高二期末）已知椭圆：（）的焦距为，且经过点，过点的直线与椭圆交于点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设为线段的中点，为原点，所在的直线与椭圆交于，两点（点在轴上方），问是否存在直线使得的面积是面积的倍？若存在，求直线的方程，并求此时四边形的面积，若不存在，请说明理由.
【解析】(1)因为知椭圆：（）的焦距为，
所以，又因为该椭圆过，
所以，因此，
因此该椭圆的方程为：；
(2)显然直线存在斜率，设为，该直线方程设为，与椭圆方程联立，得，或，
所以点的横坐标为：，则有成立，
因此点的纵坐标为：，即，
因为为线段的中点，所以点的横坐标为：，
点的纵坐标为： ，即，
所以直线的斜率为：，
所以直线的方程为：，把它代入椭圆方程中，
得：，因为点在轴上方，所以点的纵坐标为：，它的横坐标为：，即，
点到直线的距离为：，
点到直线的距离为：，假设存在直线使得的面积是面积的倍，则有：
，
因为为线段的中点，
所以有，于是有，显然满足
，直线的方程为，，或，
，
当直线的方程为，，此时和，
四边形的面积为：，
当直线的方程为，，此时和，
四边形的面积为：，
所以存在使得的面积是面积的倍的直线，方程为：
，或，四边形的面积为.
19．（2022·江苏·海门中学高二期末）已知圆，圆，动圆与圆外切，且与圆内切.
(1)求动圆圆心的轨迹的方程，并说明轨迹是何种曲线；
(2)设过点的直线与直线交于两点，且满足的面积是面积的一半，求的面积．
【解析】（1）解：圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，设圆的半径为，
由题意，，所以，
由椭圆的定义可知，动圆圆心的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆，
则，所以，
所以动圆圆心的轨迹的方程为；
（2）解：由题意，直线的斜率存在且不为0，设，，
由，可得，
所以①，②，且，即，
因为的面积是面积的一半，所以点为线段的中点，
所以，即③，
联立①②③可得，所以，
因为到直线AB的距离，，
所以，
所以当时，，当时，.
所以的面积为或.
20．（2022·海南华侨中学高二期末）设椭圆C：的左顶点为A，上顶点为B，，分别是左右焦点，N是C上一点且与x轴垂直，直线的斜率为.
(1)求椭圆C的离心率；
(2)若抛物线的焦点恰好是点B，设直线l：与椭圆C交于P，Q两点，l与直线AB交于点M，且点P，M均在第一象限，若（S表示面积），求k的值
【解析】(1)由题意知，，所以，由勾股定理可得，
由椭圆定义可得，故
(2)由题意知，则，联立，解得，则椭圆的标准方程为.设点，，则
由知，，即，知，即
已知直线AB的方程为，联立，解得
由，得，知
故有，解得或
由，知，故
类型四 已知面积求参
21．（2022·广西玉林·高二期末（文））已知椭圆的一个焦点坐标为，离心率为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)O为坐标原点，点P在椭圆C上，若的面积为，求点P的坐标．
【解析】(1)设椭圆C的焦距为，
由题意有，得，
，
故椭圆C的标准方程为；
(2)设点P的坐标为，
由的面积为，有，得，
有，得，
故点P的坐标为或或或．
22．（2022·浙江温州·高二期末）已知椭圆的离心率为，且过点．
(1)求椭圆的方程；
(2)直线与椭圆交于B，C两点，若面积为，求m．
【解析】(1)解：根据题意可知：
，解得，
所以椭圆的方程为；
(2)解：设，
联立，消整理得，
则，解得，
，
则，
点到直线的距离，
则，解得，
所以若面积为，.
23．（2022·河南开封·高二期末（文））已知椭圆，由C的上、下顶点，左、右焦点构成一个边长为的正方形．
(1)求C的方程；
(2)直线l过C的右焦点F，且和C交于点A，B，设O是坐标原点，若三角形OAB的面积是，求l的方程．
【解析】(1)由已知，，，所以C的方程为
(2)，
①若l斜率不存在，易知；
②若l斜率存在，设，，和C的方程联立得：
，，，
所以



点O到直线l的距离为，
所以，

解之得，，
所以l的方程为或，
24．（2022·福建·厦门外国语学校高二期末）已知为椭圆上任一点，，为椭圆的焦点，，离心率为．

(1)求椭圆的方程；
(2)若直线：与椭圆的两交点为A，，线段的中点在直线上，为坐标原点，当的面积等于时，求直线的方程．
【解析】（1）由椭圆定义得，，所以，故，
所以椭圆的方程为．
（2）设代入方程，
得
所以，，
所以，解得，
则式变为则，
底边上的高，所以的面积．
令，解得，
把，代入式，经检验，均满足，
此时直线的方程为或．
25．（2022·海南·高二期末）已知椭圆C：的离心率为，且短轴长为2，A，B是C的左、右顶点，G是C上异于A，B的任意一点，轴于H，延长线段HG到点Q，使得，直线AQ与直线l：交于点M，点N为线段MB的中点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设，平行四边形OQNR（点O为坐标原点）的面积为5，当时，求的取值范围
【解析】(1)由题可得，则，．
由题可知，．
∴椭圆C的标准方程为．
(2)由（1）可知，，直线l的方程为．
由题可知，．
∵点G在C上，
∴，即．
由题可知直线AQ的方程为．
由，解得，即，
∴．
∴直线QN的斜率为，
则直线QN的方程为，即．
∴点O到直线QN的距离为．
又，
∴．
由，可得，解得，
∴的取值范围是．

类型五 圆锥曲线面积的最值问题
（一） 利用函数性质求面积最值
26．（2022·江西南昌·高二期末（文））已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知直线与椭圆交于、两点，、是椭圆上位于直线两侧的动点，且直线的斜率为，求四边形面积的最大值.
【解析】(1)由题意，即；
抛物线，焦点为，故，
所以椭圆C的标准方程为：.
(2)由题意作图如下：

设AB直线的方程为：，并设点，，
联立方程：得：，
∴……①，
……②，
；
由于A，B两点在直线PQ的两边（如上图），所以，
即，将①②带入得：，
解得；即
由题意直线PQ的方程为，
联立方程解得，，
∴；
将线段PQ看做铅锤底，A，B两点的横坐标之差看做水平高，得四边形APBQ的面积为：
，
当且仅当m=0时取最大值，而，
所以的最大值为.
27．（2022·安徽省六安中学高二期末（文））已知椭圆 的焦点为 ，且长轴长是焦距的 倍．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若斜率为 1 的直线 与椭圆 相交于 两点，已知点 ，求面积的最大值．
【解析】(1)设椭圆的标准方程为，依题意，半焦距，，即，
所以椭圆的标准方程为.
(2)依题意，设直线，，
由消去y并整理得：，
由，解得，
则有，，
于是得，
而点到直线的距离为，
因此，的面积，
当且仅当，即时取“=”，
所以面积的最大值为1.
28．（2022·四川甘孜·高二期末（文））已知椭圆 ​与​轴的正半轴交于点​， 且离 心率​.
(1)求椭圆 ​的方程;
(2)若直线 ​过点​与椭圆​交于​两点， 求​面积的最大值并求此时的直线方程.
【解析】（1）椭圆​与​轴的正半轴交于点​，则
，则
​椭圆 的方程为: ​
（2）当直线 ​的斜率为 0 时，三点共线， 显然不满足题意.
当直线 ​的斜率不为 0 时，
设 ​代入，得到​
​设​
​
​
​
令 ​
令 在单调递增，
​当为最大
， 此时的方程为:​
29．（2022·四川南充·高二期末（文））如图所示：已知椭圆：的长轴长为4，离心率．是椭圆的右顶点，直线过点交椭圆于，两点，记的面积为．

(1)求椭圆的标准方程；
(2)求的最大值．
【解析】(1)解：由题意可得：，，离心率，则，
，
椭圆的方程为：；
(2)解：依题意知直线的斜率可能不存在，但直线的斜率不能为0，
则设直线方程为：，设，，，，
由，得，恒成立
则，，
则，
又点到直线的距离，
，
令，则
当且仅当，即，等号成立，
取等条件不成立，故当时，时，
故．
即的最大值为.
30．（2022·北京·首师大附属丽泽中学高二期末）已知椭圆，离心率为，它的短轴长等于双曲线的虚轴长
(1)求椭圆C的方程
(2)已知是椭圆上的两点，是椭圆上位于直线两侧的动点
①若直线的斜率为，求四边形面积的最大值
②当A，B运动时，满足，试问直线的斜率是否为定值？请说明理由．
【解析】(1)解：因为椭圆的短轴长等于双曲线的虚轴长，
所以，
又椭圆的离心率为，
所以，所以，
所以椭圆C的方程为；
(2)解：①设，直线的方程为，
联立，消得，
，解得，
，
则四边形面积
，
所以当时，；
②当时，的斜率之和为0，
设直线的斜率为，则直线的斜率为，
直线的方程为，
联立，消得，
则，
同理，
所以，
从而，
所以直线的斜率为定值.
31．（2022·四川自贡·高二期末（文））已知椭圆的一个焦点为，经过点，过焦点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，线段AB中点为D，O为坐标原点，过O，D的直线交椭圆于M，N两点.
(1)求椭圆C的方程；
(2)四边形AMBN面积是否有最大值，若有求最大值，若没有请说明理由.
【解析】
(1)解：由题意可得 ，解得,
故椭圆的方程为.
(2)解：当直线斜率不存在时 , 的坐标分别为,
四边形面积为；
当直线斜率存在时 , 设其方程为 ，点  , 点 到直线的距离分别为 ，
则四边形 面积为,
由得,
则 ，
所以  

，
因为
所以 中点 ,
当 时 , 直线 方程为 ,
解得  
所以




.
当 时 , 四边形 面积的最大值  
综上四边形 面积的最大值为 .

（二） 利用基本不等式求面积最值
32．（2022·黑龙江齐齐哈尔·高二期末）已知椭圆：（）经过点，离心率为.

(1)求椭圆的方程；
(2)如图所示，过椭圆上的点，（）的直线与，轴的交点分别为和，且，过原点的直线与平行，且与椭圆交于、两点，求面积的最大值.
【解析】（1）由题意知：，解得：，
∴椭圆的方程为.
（2）设，（），又直线的斜率存在且，
∴设直线为：，可得：，，
由，则，故，
联立，可得：，
又，故直线为，
联立，得：，即B、D的横坐标为，
∴，
∵点到直线的距离，
∴
当且仅当，即时等号成立.
∴面积的最大值为2.
33．（2022·内蒙古赤峰·高二期末（理））设椭圆的左、右焦点分别为、，点P，Q为椭圆C上任意两点，且，若的周长为8，面积的最大值为2．
(1)求椭圆C的方程；
(2)设椭圆C内切于矩形ABCD（椭圆与矩形四条边均相切），求矩形ABCD面积的最大值．
【解析】（1）解：由得P、、Q三点共线，
因为三角形的周长为8，即，
所以，则．
当P点为椭圆上或下顶点时的面积最大，
即，
由，解得，
所以椭圆C的方程为．
（2）
解：当矩形ABCD中有一条边与坐标轴平行时，则另外三条边也与坐标轴平行，
矩形ABCD的两条边长分别为，，
此时．
当矩形ABCD的边都不与坐标轴平行时，由对称性，
不妨设直线AB的方程为：，则CD的方程为：，
AD的方程为：，BC的方程为：．
由，得，
令得，同理得，
矩形ABCD的边长分别为，，
∴，
，
当且仅当时取等号，所以矩形ABCD面积的最大值是12．
综上所述，矩形ABCD面积的最大值是12．
34．（2022·四川成都·高二期末（理））已知椭圆与抛物线有相同的焦点.
(1)求椭圆的方程；
(2)为坐标原点，过焦点的直线交椭圆于，两点，求面积的最大值.
【解析】（1）椭圆与抛物线有相同的焦点，
即且，
，
椭圆的方程为：.
（2）由（1）可知的坐标为.
显然的斜率不为0.
设直线的方程为：，设，.
联立,可得,
恒成立，
，,
,

.
当且仅当,即时取等号,
面积的最大值为.
35．（2022·湖北·十堰市教育科学研究院高二期末）已知为圆上的一个动点，过作轴的垂线，垂足为Q，M为线段PQ的中点，M的轨迹为E.
(1)求E的方程；
(2)若不过原点的直线：与E交于A，B两点，O为坐标原点，以OA，OB为邻边作平行四边形，求这个平行四边形面积的最大值.
【解析】(1)设，，由题意知①，
由在圆上，故，将①代入化简可得.
由M为线段PQ的中点，可知与Q不能重合，
∴E的方程为.
(2)由题设，联立，得，则，又不经过原点，
∴.
设A，B两点的坐标分别为，，则，，
，又到直线的距离，
∴平行四边形的面积，
当且仅当，即（满足）时等号成立，
故这个平行四边形面积的最大值为8.