还剩18页未读，
继续阅读
2022-2023学年浙江省丽水市八年级（下）期末数学练习试卷
展开
这是一份2022-2023学年浙江省丽水市八年级（下）期末数学练习试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，四象限，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年浙江省丽水市八年级（下）期末数学练习试卷（二）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列式子一定不是二次根式的是( )
A. 2 B. x2+1 C. (x−1)2 D. −2
2. 点(−1,4)在反比例函数y=kx的图象上，则下列各点在此函数图象上的是( )
A. (4,−1) B. (−14,1) C. (−4,−1) D. (14,2)
3. 四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，下列条件中，一定能判定四边形ABCD为平行四边形的是( )
A. AD//BC B. AC⊥BC
C. AD//BC，AB=CD D. OA=OC，OB=OD
4. 某果园随机从甲、乙、丙、丁四个品种的葡萄树中各采摘了10颗葡萄，每品种质量的平均数(单位：千克)及方差如表：
甲
乙
丙
丁
平均数
24
24
23
20
方差
2.1
a
2
1.9
已知乙品种质量最稳定，且乙品种的10颗葡萄质量不都一样，则a的值可能是( )
A. 0 B. 2 C. 2.2 D. 1.6
5. 用反证法证明某个命题的结论“a>0”时，第一步应假设( )
A. a<0 B. a≠0 C. a≥0 D. a≤0
6. 用配方法解一元二次方程x2−4x+2=0，下列配方正确的是( )
A. (x+2)2=2 B. (x−2)2=−2 C. (x−2)2=2 D. (x−2)2=6
7. 已知m是 2的小数部分，则 m2+1m2−2的值是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
8. 在一次函数y=kx−6中，已知y随x的增大而减小．下列关于反比例函数y=k−2x的描述，其中正确的是( )
A. 当x>0时，y>0 B. y随x的增大而增大
C. y随x的增大而减小 D. 图象在第二、四象限
9. 如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=12，点E是BC的中点，连结AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点F处，连结FC，则CF的长是( )
A. 4.8 B. 3.6 C. 6 D. 7.2
10. 若关于x的方程ax2+4x−2=0有两个不相等的实数根，且关于x的分式方程12−x−1−axx−2=2有正数解，则符合条件的整数a的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 925= ______ ．
12. 若一个多边形的每一个外角都等于40°，则这个多边形的边数是 ．
13. 已知a，b是方程x2−3x+2=0的两个根，则数据：3，a，4，b，5的平均数是______ ．
14. 若A，B两点关于y轴对称，点A在反比例函数y=2x的图象上，点B在直线y=−x的图象上，则点B的坐标是______ ．
15. 已知关于x的一元二次方程x2−(k+2)x+2k=0，若等腰三角形的一边长为3，另两边长恰好是该方程的两个根，则k的值是______ ．
16. 如图，点O是矩形ABCD的对称中心，点P，点Q分别位于AD，BC上，且PQ经过点O，AB=6，AP=3，BQ=5，点E在AB上运动，点M，N在CD上运动，且MN=3.则：
(1)△EPQ周长的最小值是______ ．
(2)四边形PQMN周长的最小值是______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共52.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
计算：
(1)(− 2)2+ 9；
(2) 32−3 12+ 8．
18. (本小题6.0分)
解方程：
(1)2x2−8x=0；
(2)x2+10x=24．
19. (本小题6.0分)
为宣传节约用水，张华随机调查了某小区部分家庭5月份的用水情况，并将收集的数据整理成如下统计图．
请根据所给信息，解答下列问题：
(1)求所调查家庭5月份用水量的众数；
(2)若该小区有300户居民，请你估计这个小区5月份的用水量．
20. (本小题6.0分)
如图，反比例函数y=kx与一次函数y=x+b的图象在第一象限相交于点A(1,2)．
(1)求该反比例函数和一次函数的解析式；
(2)若x+b>kx，求x的取值范围．
21. (本小题6.0分)
如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，连结DE，BF，BD．
(1)求证：四边形DEBF是平行四边形．
(2)若AD⊥BD，则四边形BFDE是什么特殊四边形？请证明你的结论．
22. (本小题6.0分)
某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每辆汽车的进价与销售量有如下关系：若当月仅售出1辆汽车，则该辆汽车的进价为27万元；每多售出1辆，所有出售的汽车的进价均降低0.1万元/辆月底厂家会根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10辆以内(含10辆)，每辆返利0.5万元；销售量在10辆以上，每辆返利1万元．
(1)若该公司当月卖出三辆汽车，则每辆汽车的进价为多少万元：
(2)如果汽车的销售价为28万元/辆，该公司计划当月盈利12万元，那么要卖出多少辆汽车？(盈利=销售利润+返利)
23. (本小题8.0分)
如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x与函数y=2x(x>0)的图象交于点A．
(1)求点A的坐标．
(2)过点A作x轴的平行线l，直线y=2x+b与直线l交于点B，与函数y=2x(x>0)的图象交于点C，与x轴交于点D.①当点C是线段BD的中点时，求b的值；②当BC>BD时，求b的取值范围．
24. (本小题8.0分)
如图，在菱形ABCD中，AB=20，连结BD，点P是射线BC上的一点(不与点B重合)，AP与对角线BD交于点E，连结EC．
(1)求证：AE=CE；
(2)连结AC，若AC=8 5，BP=8，求△ABP的面积；
(3)若∠ABC=45°，当点P在线段BC的延长线上时，请求出△PEC是等腰三角形时BP的长．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A． 2是二次根式，故本选项不符合题意；
B. x2+1是二次根式，故本选项不符合题意；
C. (x−1)2是二次根式，故本选项不符合题意；
D. −2中−2<0，不是二次根式，故本选项符合题意；
故选：D．
根据二次根式的定义逐个判断即可．
本题考查了二次根式的定义，能熟记二次根式的定义是解此题的关键，形如 a(a≥0)的式子叫二次根式．
2.【答案】A
【解析】解：将点(−1,4)代入y=kx，
∴k=−4，
∴y=−4x，
∴点(4,−1)在函数图象上，
故选：A．
将点(−1,4)代入y=kx，求出函数解析式即可解题．
本题考查反比例函数的图象及性质；熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
故选：D．
由平行四边形的判定定理即可得出答案．
本题考查了平行四边形的判定定理；熟记对角线互相平分的四边形是平行四边形是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：∵乙品种产量最稳定，
∴a<1.9，
∵乙的10棵果树的产量不都一样，
∴a≠0，
故选：D．
根据“乙品种产量最稳定，且乙的10棵果树的产量不都一样“，即可得到结论．
本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
5.【答案】D
【解析】解：用反证法证明某个命题的结论“a>0”时，第一步应假设a≤0，
故选：D．
用反证法证明命题的真假，先假设命题的结论不成立，从这个结论出发，经过推理论证，得出矛盾；由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．
考查了反证法，反证法是指“证明某个命题时，先假设它的结论的否定成立，然后从这个假设出发，根据命题的条件和已知的真命题，经过推理，得出与已知事实(条件、公理、定义、定理、法则、公式等)相矛盾的结果．这样，就证明了结论的否定不成立，从而间接地肯定了原命题的结论成立．”
6.【答案】C
【解析】解：x2−4x+2=0，
x2−4x=−2，
x2−4x+4=−2+4，
(x−2)2=2，
故选：C．
移项，配方(方程两边都加上4)，即可得出选项．
本题考查了解一元二次方程−配方法，能正确配方是解此题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：∵m是 2的小数部分，
∴m= 2−1，
∴ m2+1m2−2= (m−1m)2= ( 2−1−1 2−1)2= 2−1− 2−1)2=2，
故选：C．
首先根据题意可得m= 2−1，再根据完全平方公式可得 m2+1m2−2= (m−1m)2，再代入求值即可．
此题主要考查了二次根式的性质，关键是掌握完全平方公式和 a2=|a|．
8.【答案】D
【解析】解：∵在一次函数y=kx−6中，y随x的增大而减小，
∴k<0，
∴k−2<0，
∴关于反比例函数y=k−2x的性质是图象①当x>0时，图象在第四象限，y<0，②在每个象限内，y随x的增大而减小，③图象在第二、四象限，
即只有选项D符合题意，选项A、B、C都不符合题意；
故选：D．
根据一次函数的性质得出k<0，求出k−2<0，再根据反比例函数的性质进行判断即可．
本题考查了一次函数和反比例函数的性质，能熟记一次函数和反比例函数的性质是解此题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：如图，连接BF于AE交于点O，
∵点E是BC的中点，
∴BE=EC=6，
∵将△ABE沿AE折叠，
∴BE=EF，
∴BE=EF=EC，
∴∠BFC=90°，
∴△BFC是直角三角形，
∵∠ABE=90°，AB=8，BE=6，
∴AE= AB2+BE2=10，
∵将△ABE沿AE折叠，
∴AE⊥BF，BO=FO，
∵S△ABE=12AB×BE=12AE×BO，
∴8×6=10OB，
∴BO=4.8，
∴BF=9.6，
∴FC= BC2−BF2= 122−9．62=7.2．
故选：D．
由折叠的性质和中点性质可得BE=EF=EC，所以∠BFC=90°，由勾股定理可求AE的长，由面积法可求BO，BF的长，进而根据勾股定理可求解．
本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，直角三角形的判定和性质，求BF的长是本题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：
∵方程ax2+4x−2=0有两个不相等的实数根，
∴a≠0且Δ=42−4⋅a⋅(−2)>0，解得a>−2且a≠0，
去分母得−1−(1−ax)=2(x−2)，解得x=−2a−2，
∵分式方程12−x−1−axx−2=2有正数解，
∴−2a−2>0且−2a−2≠2，解得a<2且a≠1，
∴a的范围为−2
故选：A．
先利用判别式的意义得到a≠0且Δ=42−4⋅a⋅(−2)>0，再解把分式方程化为整式方程得到x=−2a−2，利用分式方程有正数解可得到关于a的不等式组，则可求得a的取值范围，则可求得满足条件的整数a的个数．
本题主要考查根的判别式及分式方程的解法，求得a的取值范围是解题的关键．
11.【答案】35
【解析】解：原式= (35)2=35．
故答案为：35．
直接利用二次根式的性质化简求出答案．
此题主要考查了二次根式的化简，正确开平方是解题关键．
12.【答案】9
【解析】
【分析】
本题考查了多边形的外角和.根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数，是常见的题目，需要熟练掌握．
根据任何多边形的外角和都是360度，外角(或内角)都相等的多边形，用360度除以外角的度数就可以求出多边形的边数．
【解答】
解：360°÷40°=9，即这个多边形的边数是9．
13.【答案】5
【解析】解：∵a，b是方程x2−3x+2=0的两个根，
∴a+b=3，
∴3，a，4，b，5的平均数=3+a+4+b+55=153=5，
故答案为：5．
根据已知一元二次方程的解的意义可得a+b=3，然后求出它们的算术平均数，即可解答．
本题考查了一元二次方程的解，算术平方数，熟练掌握一元二次方程的解的意义是解题的关键．
14.【答案】(− 2, 2)或( 2,− 2)
【解析】解：设A点的坐标是(a,b)，
∵A，B两点关于y轴对称，
∴点B的坐标是(−a,b)，
∵点A在反比例函数y=2x的图象上，点B在直线y=−x的图象上，
∴ab=2，b=a，
解得：a=b=± 2，
即点B的坐标是(− 2, 2)或( 2,− 2).
故答案为：(− 2, 2)或( 2,− 2).
设A点的坐标是(a,b)，根据对称的性质得出点B的坐标是(−a,b)，根据点A在反比例函数y=2x的图象上和点B在直线y=−x的图象上得出ab=2，b=a，再求出a、b即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正比例函数图象上点的坐标特征和关于x轴、y轴对称的点的坐标等知识点，能根据题意得出ab=2和b=a是解此题的关键．
15.【答案】2或3
【解析】解：①若a=3为底边，设b，c为腰长，则b=c，则Δ=0．
∴b2−4ac=[−(k+2)]2−4×1×2k=0，
解得：k=2．
此时原方程化为x2−4x+4=0，
∴x1=x2=2，即b=c=2，
此时△ABC三边为3，2，2能构成三角形，
∴k=2；
②若b≠c，则b=a=3或c=a=3，即方程有一根为3，
把x=3代入方程x2−(k+2)x+2k=0，得9−3(k+2)+2k=0，
解得k=3，
∴此时方程为x2−5x+6=0，
解得x1=3，x2=2，
∴方程另一根为2，
∵3、3、2能构成三角形，
∴k=2，综上，k的值为2或3，
故答案为：2或3．
已知3可能是底，也可能是腰，分两种情况求得b，c的值后，可得结论．
此题主要考查了一元二次方程的应用、根的判别式及三角形三边关系定理，注意求出三角形的三边后，要用三边关系定理检验．
16.【答案】10+2 10 2 10+ 73+3
【解析】解：(1)如图，作P关于AB的对称点P′，连接P′Q，交AB于E，连接PE，
∴P′E=PE，
∴PE+QE′的最小值为P′Q，
∴△EPQ周长的最小值为P′Q+PQ，
作P′F⊥BC于F，PH⊥BC于H，
∵AP=3，
∴P′A=3=FB，
∵BQ=5，
∴FQ=8，
∵P′F=AB=6，
∴P′Q=10，
∵PH=AB=6，HQ=5−3=2，
∴PQ=2 10，
∴△EPQ周长的最小值为10+2 10．
故答案为：10+2 10．
(2)如图，将点Q向上平移3个单位至Q′，作Q′关于CD的对称点Q″连接Q″P交CD于N，在N的下方3个单位出找到M，
∴NM=QQ′，且NM//QQ′，
∴四边形NMQQ′为平行四边形，
∴QM=Q′N，由对称得，Q′N=Q″N，
∴PQ″为PN+QM的最小值，
∴四边形PQMN周长的最小值为PQ″+PQ+MN，
作Q″G⊥AD于点G，
∵DG=CQ=3，PD=BQ=5，
∴PG=8，
∵GQ″=6−3=3，
∴PQ″= 73，
∴四边形PQMN周长的最小值为：2 10+ 73+3．
故答案为：2 10+ 73+3．
(1)作P关于AB的对称点P′，连接P′Q，交AB于E，连接PE，则PE+QE′的最小值为P′Q，证明出△EPQ周长的最小值为P′Q+PQ，作P′F⊥BC于F，PH⊥BC于H，利用勾股定理求出P′Q和PQ即可．
(2)将点Q向上平移3个单位至Q′，作Q′关于CD的对称点Q″连接Q″P交CD于N，在N的下方3个单位出找到M，则PQ″为PN+QM的最小值，四边形PQMN周长的最小值为PQ″+PQ+MN，作Q″G⊥AD于点G，利用勾股定理求出PQ″即可解题．
本题考查了矩形的性质、最短路程的性质的应用，辅助线的应用及勾股定理的计算是解题关键．
17.【答案】解；(1)原式=2+3
=5；
(2)原式=4 2−3 22+2 2
=9 22．
【解析】(1)先根据二次根式的性质化简，然后进行有理数的加法运算；
(2)先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决问题的关键．
18.【答案】解：(1)2x2−8x=0，
2x(x−4)=0，
2x=0或x−4=0，
解得x1=0，x2=4；
(2)x2+10x=24，
x2+10x−24=0，
(x+12)(x−2)=0，
x+12=0或x−2=0，
解得x1=−12，x2=2．
【解析】(1)方程利用因式分解法求解即可；
(2)方程利用因式分解法求解即可．
本题考查了解一元二次方程，掌握因式分解法是解答本题的关键．
19.【答案】解：(1)由条形图可知，每月用水4吨的户数最多，有6户，故众数为4吨；
(2)1+1+3+6+4+2+2+1=20，
∴一共调查了20户家庭．
所调查家庭5月份用水量平均数是：(1×1+1×2+3×3+4×6+5×4+6×2+7×2+8×1)÷20=4.5(吨)；
根据题意得：300×4.5=1350(吨)，
答：估计这个小区5月份的用水量为1350吨．
【解析】(1)根据众数定义：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，即可得出答案；
(2)先根据平均数的计算公式求出样本平均数，再利用样本估计总体的方法，用300乘以样本中所调查的20户家庭的平均用水量即可．
此题主要考查了条形统计图，众数，平均数，以及用样本估计总体，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
20.【答案】解：(1)∵A(1,2)是两个函数的交点，
∴k=1×2=2，反比例函数解析式为y=2x，
2=1+b，b=1，一次函数解析式为：y=x+1，
(2)联立方程组为yy=2xy=x+1，解得x=−2y=−1，x=1y=2，
根据图象当x+b>kx时x的取值范围为：−21．
【解析】(1)将A(1,2)分别代入两个函数解析式即可；
(2)联立方程组，求出两个函数的交点坐标，根据图象直接写出x+b>kx解集即可．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是联立方程组求出交点坐标．
21.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD，
∵E、F分别为边AB、CD的中点，
∴EB=DF，EB//DF，
∴四边形DEBF为平行四边形；
(2)解：若AD⊥BD，则四边形BFDE是菱形．
证明：∵AD⊥BD，
∴△ABD是直角三角形，且∠ADB=90°．
∵E是AB的中点，
∴DE=12AB=BE．
∵在▱ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，
∴EB//DF且EB=DF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
∴四边形BFDE是菱形．
【解析】(1)根据平行四边形的性质得到AB=CD，AB//CD，根据平行四边形的判定定理即可得到结论；
(2)直角三角形ADB中，DE是斜边上的中线，因此DE=BE，又由DE=BF，FD//BE那么可得出四边形BFDE是个菱形．
本题主要考查了平行四边形的性质，以及菱形的判定，利用好E、F是中点是解题的关键．
22.【答案】解：(1)∵若当月仅售出1辆汽车，则该辆汽车的进价为27万元，每多售出1辆，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部，
∴若该公司当月售出3辆汽车，则每辆汽车的进价为：27−0.1×(3−1)=26.8，
答：若该公司当月卖出三辆汽车，则每辆汽车的进价为26.8万元，
(2)设要卖x辆汽车，
若x≤10，根据题意得：
{28−[27−0.1(x−1)]}x+0.5x=12，
整理，得x2+14x−120=0，
解这个方程，得x1=−20(不合题意，舍去)，x2=6，
若x>10，根据题意得：
{28−[27−0.1(x−1)]}x+x=12，
整理，得x2+19x−120=0，
解这个方程，得x1=−24(不合题意，舍去)，x2=5(不合题意，舍去)，
答：要卖6辆汽车．
【解析】(1)根据若当月仅售出1辆汽车，则该辆汽车的进价为27万元，每多售出1辆，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/辆，得出该公司当月售出3辆汽车时，则每辆汽车的进价为：27−0.1×(3−1)，即可得出答案，
(2)利用设要卖x辆汽车，由题意可知，结合盈利=销售利润+返利，列出一元二次方程，解之，舍去不合题意得答案．
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键：(1)根据题意，列出等式计算，(2)正确找出等量关系，列出一元二次方程．
23.【答案】解：(1)由题意得y=2xy=2x，
解得x=1y=2或x=−1y=−2，
∵x>0，
∴负值舍去，
∴A(1,2)；
(2)①过点C作x轴的垂线，交直线l于点E，交x轴于点F．
当点C是线段BD的中点时，
∴CE=CF=1．
∴点C的纵坐标为1，
把y=1代入函数y=2x中，
得x=2．
∴点C的坐标为(2,1)，
把C(2,1)代入函数y=2x+b中得：1=4+b，
解得b=−3；
②当BC>BD，即C在AB的上方时，
当BC=BD时，B为线段CD的中点，
∴C点的纵坐标为4，
∴C点的横坐标为y=24=12，
∴C(12,4)，
把C(12,4)代入函数y=2x+b中得：4=1+b，
得b=3，
∴当BC>BD时，b>3，
故b的取值范围为b>3．
【解析】(1)联立两函数的解析式，求出x、y的值即可；
(2)①根据题意求得C点的坐标，然后根据待定系数法即可求得b的值；
②根据①结合图象即可求得．
本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，待定系数法求反比例的解析式，求得C点的坐标是解题的关键．
24.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABE=∠CBE，AB=BC，
在△ABE和△CBE中，
AB=BC∠ABE=∠CBEBE=BE，
∴△ABE≌△CBE(SAS)，
∴AE=CE；
(2)解：连接AC，交BD于O，如图1所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BO，AC=8 5，
∴AO=12AC=4 5，
∴BO= AB2−AO2= 400−80=8 5，
BD=2OB=2×8 5=16 5，
∴S菱形ABCD=12AC⋅BD=12×8 5×16 5=320
∴S△ABC=12S菱形ABCD=12×320=160，
∵BP=8，
∴CP=BC−BP=20−8=12，
∵S△ABPS△ACP=BPCP=812=23，
∴S△ABP=25S△ABC=25×160=64，
(3)①由(1)得：△ABE≌△CBE，
∴∠BAE=∠BCE，
当∠BAE=90°时，则∠BCE=90°，
∴∠ECP=90°，
∵∠ABC=45°，
∴∠EBC=22.5°，∠CPE=45°，
∴△PEC是等腰直角三角形，
∴CE=CP，∠BEC=90°−22.5°=67.5°，
过点E作∠FEC=45°交BC于F，如图2所示，
则△FCE为等腰直角三角形，
∴CE=CP=CF，EF= 2CF，∠BEF=∠BEC−∠FEC=67.5°−45°=22.5°，
∴∠BEF=∠EBC，
∴EF=BF，
∴ 2CF+CF=BC=20，
∴CF=201+ 2=20( 2−1)，
∴BP=BC+CP=BC+CF=20+20( 2−1)=20 2；
②由(1)得：△ABE≌△CBE，
∴∠AEB=∠CEB，
当∠BAE=105°时，∠AEB=180°−105°−22.5°=52.5°，
∴∠AEC=2∠AEB=105°，
∴∠CEP=180°−105°=75°，
∵∠APB=180°−105°−45°=30°，
∴∠ECP=180°−75°−30°=75°，
∴∠ECP=∠CEP，
∴△PEC是等腰三角形，
过点A作AN⊥BP于N，如图3所示：
则△ABN是等腰直角三角形，
∴AN=BN= 22AB=10 2，
∵∠APB=30°，
∴tan30°=ANPN，即 33=10 2PN，
∴PN=10 6，
∴BP=BN+PN=10 2+10 6；
综上所述，△PEC是等腰三角形时BP的长为20 2或10 2+10 6．
【解析】(1)由SAS证得△ABE≌△CBE，即可得出结论；
(2)连接AC，交BD于O，AC=8 5，BD=16 5，S菱形ABCD=320，S△ABC=160，S△ABPS△ACP=BPCP=23，则S△ABP=25S△ABC=64；
(3)①由(1)得△ABE≌△CBE，则∠BAE=∠BCE，当∠BAE=90°时，得△PEC是等腰直角三角形，过点E作∠FEC=45°交BC于F，则△FCE为等腰直角三角形，得出CE=CP=CF，EF= 2CF，证明∠BEF=∠EBC，得出EF=BF，则 2CF+CF=BC=20，求出CF=20( 2−1)，即可得出结果；
②由(1)得△ABE≌△CBE，则∠AEB=∠CEB，当∠BAE=105°时，∠AEB=52.5°，得出∠AEC=105°，∠CEP=75°，证明∠ECP=∠CEP，得出△PEC是等腰三角形，过点A作AN⊥BP于N，则△ABN是等腰直角三角形，得出AN=BN= 22AB=10 2，由tan30°=ANPN，求出PN=10 6，即可得出结果．
本题是四边形综合题，主要考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数、菱形面积的计算、三角形面积的计算等知识；本题综合性强，有一定难度．
2022-2023学年浙江省丽水市八年级（下）期末数学练习试卷（二）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下列式子一定不是二次根式的是( )
A. 2 B. x2+1 C. (x−1)2 D. −2
2. 点(−1,4)在反比例函数y=kx的图象上，则下列各点在此函数图象上的是( )
A. (4,−1) B. (−14,1) C. (−4,−1) D. (14,2)
3. 四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O，下列条件中，一定能判定四边形ABCD为平行四边形的是( )
A. AD//BC B. AC⊥BC
C. AD//BC，AB=CD D. OA=OC，OB=OD
4. 某果园随机从甲、乙、丙、丁四个品种的葡萄树中各采摘了10颗葡萄，每品种质量的平均数(单位：千克)及方差如表：
甲
乙
丙
丁
平均数
24
24
23
20
方差
2.1
a
2
1.9
已知乙品种质量最稳定，且乙品种的10颗葡萄质量不都一样，则a的值可能是( )
A. 0 B. 2 C. 2.2 D. 1.6
5. 用反证法证明某个命题的结论“a>0”时，第一步应假设( )
A. a<0 B. a≠0 C. a≥0 D. a≤0
6. 用配方法解一元二次方程x2−4x+2=0，下列配方正确的是( )
A. (x+2)2=2 B. (x−2)2=−2 C. (x−2)2=2 D. (x−2)2=6
7. 已知m是 2的小数部分，则 m2+1m2−2的值是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
8. 在一次函数y=kx−6中，已知y随x的增大而减小．下列关于反比例函数y=k−2x的描述，其中正确的是( )
A. 当x>0时，y>0 B. y随x的增大而增大
C. y随x的增大而减小 D. 图象在第二、四象限
9. 如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=12，点E是BC的中点，连结AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点F处，连结FC，则CF的长是( )
A. 4.8 B. 3.6 C. 6 D. 7.2
10. 若关于x的方程ax2+4x−2=0有两个不相等的实数根，且关于x的分式方程12−x−1−axx−2=2有正数解，则符合条件的整数a的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 925= ______ ．
12. 若一个多边形的每一个外角都等于40°，则这个多边形的边数是 ．
13. 已知a，b是方程x2−3x+2=0的两个根，则数据：3，a，4，b，5的平均数是______ ．
14. 若A，B两点关于y轴对称，点A在反比例函数y=2x的图象上，点B在直线y=−x的图象上，则点B的坐标是______ ．
15. 已知关于x的一元二次方程x2−(k+2)x+2k=0，若等腰三角形的一边长为3，另两边长恰好是该方程的两个根，则k的值是______ ．
16. 如图，点O是矩形ABCD的对称中心，点P，点Q分别位于AD，BC上，且PQ经过点O，AB=6，AP=3，BQ=5，点E在AB上运动，点M，N在CD上运动，且MN=3.则：
(1)△EPQ周长的最小值是______ ．
(2)四边形PQMN周长的最小值是______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共52.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
计算：
(1)(− 2)2+ 9；
(2) 32−3 12+ 8．
18. (本小题6.0分)
解方程：
(1)2x2−8x=0；
(2)x2+10x=24．
19. (本小题6.0分)
为宣传节约用水，张华随机调查了某小区部分家庭5月份的用水情况，并将收集的数据整理成如下统计图．
请根据所给信息，解答下列问题：
(1)求所调查家庭5月份用水量的众数；
(2)若该小区有300户居民，请你估计这个小区5月份的用水量．
20. (本小题6.0分)
如图，反比例函数y=kx与一次函数y=x+b的图象在第一象限相交于点A(1,2)．
(1)求该反比例函数和一次函数的解析式；
(2)若x+b>kx，求x的取值范围．
21. (本小题6.0分)
如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，连结DE，BF，BD．
(1)求证：四边形DEBF是平行四边形．
(2)若AD⊥BD，则四边形BFDE是什么特殊四边形？请证明你的结论．
22. (本小题6.0分)
某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每辆汽车的进价与销售量有如下关系：若当月仅售出1辆汽车，则该辆汽车的进价为27万元；每多售出1辆，所有出售的汽车的进价均降低0.1万元/辆月底厂家会根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10辆以内(含10辆)，每辆返利0.5万元；销售量在10辆以上，每辆返利1万元．
(1)若该公司当月卖出三辆汽车，则每辆汽车的进价为多少万元：
(2)如果汽车的销售价为28万元/辆，该公司计划当月盈利12万元，那么要卖出多少辆汽车？(盈利=销售利润+返利)
23. (本小题8.0分)
如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x与函数y=2x(x>0)的图象交于点A．
(1)求点A的坐标．
(2)过点A作x轴的平行线l，直线y=2x+b与直线l交于点B，与函数y=2x(x>0)的图象交于点C，与x轴交于点D.①当点C是线段BD的中点时，求b的值；②当BC>BD时，求b的取值范围．
24. (本小题8.0分)
如图，在菱形ABCD中，AB=20，连结BD，点P是射线BC上的一点(不与点B重合)，AP与对角线BD交于点E，连结EC．
(1)求证：AE=CE；
(2)连结AC，若AC=8 5，BP=8，求△ABP的面积；
(3)若∠ABC=45°，当点P在线段BC的延长线上时，请求出△PEC是等腰三角形时BP的长．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：A． 2是二次根式，故本选项不符合题意；
B. x2+1是二次根式，故本选项不符合题意；
C. (x−1)2是二次根式，故本选项不符合题意；
D. −2中−2<0，不是二次根式，故本选项符合题意；
故选：D．
根据二次根式的定义逐个判断即可．
本题考查了二次根式的定义，能熟记二次根式的定义是解此题的关键，形如 a(a≥0)的式子叫二次根式．
2.【答案】A
【解析】解：将点(−1,4)代入y=kx，
∴k=−4，
∴y=−4x，
∴点(4,−1)在函数图象上，
故选：A．
将点(−1,4)代入y=kx，求出函数解析式即可解题．
本题考查反比例函数的图象及性质；熟练掌握待定系数法求函数解析式的方法是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】解：∵OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形；
故选：D．
由平行四边形的判定定理即可得出答案．
本题考查了平行四边形的判定定理；熟记对角线互相平分的四边形是平行四边形是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：∵乙品种产量最稳定，
∴a<1.9，
∵乙的10棵果树的产量不都一样，
∴a≠0，
故选：D．
根据“乙品种产量最稳定，且乙的10棵果树的产量不都一样“，即可得到结论．
本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
5.【答案】D
【解析】解：用反证法证明某个命题的结论“a>0”时，第一步应假设a≤0，
故选：D．
用反证法证明命题的真假，先假设命题的结论不成立，从这个结论出发，经过推理论证，得出矛盾；由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．
考查了反证法，反证法是指“证明某个命题时，先假设它的结论的否定成立，然后从这个假设出发，根据命题的条件和已知的真命题，经过推理，得出与已知事实(条件、公理、定义、定理、法则、公式等)相矛盾的结果．这样，就证明了结论的否定不成立，从而间接地肯定了原命题的结论成立．”
6.【答案】C
【解析】解：x2−4x+2=0，
x2−4x=−2，
x2−4x+4=−2+4，
(x−2)2=2，
故选：C．
移项，配方(方程两边都加上4)，即可得出选项．
本题考查了解一元二次方程−配方法，能正确配方是解此题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：∵m是 2的小数部分，
∴m= 2−1，
∴ m2+1m2−2= (m−1m)2= ( 2−1−1 2−1)2= 2−1− 2−1)2=2，
故选：C．
首先根据题意可得m= 2−1，再根据完全平方公式可得 m2+1m2−2= (m−1m)2，再代入求值即可．
此题主要考查了二次根式的性质，关键是掌握完全平方公式和 a2=|a|．
8.【答案】D
【解析】解：∵在一次函数y=kx−6中，y随x的增大而减小，
∴k<0，
∴k−2<0，
∴关于反比例函数y=k−2x的性质是图象①当x>0时，图象在第四象限，y<0，②在每个象限内，y随x的增大而减小，③图象在第二、四象限，
即只有选项D符合题意，选项A、B、C都不符合题意；
故选：D．
根据一次函数的性质得出k<0，求出k−2<0，再根据反比例函数的性质进行判断即可．
本题考查了一次函数和反比例函数的性质，能熟记一次函数和反比例函数的性质是解此题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：如图，连接BF于AE交于点O，
∵点E是BC的中点，
∴BE=EC=6，
∵将△ABE沿AE折叠，
∴BE=EF，
∴BE=EF=EC，
∴∠BFC=90°，
∴△BFC是直角三角形，
∵∠ABE=90°，AB=8，BE=6，
∴AE= AB2+BE2=10，
∵将△ABE沿AE折叠，
∴AE⊥BF，BO=FO，
∵S△ABE=12AB×BE=12AE×BO，
∴8×6=10OB，
∴BO=4.8，
∴BF=9.6，
∴FC= BC2−BF2= 122−9．62=7.2．
故选：D．
由折叠的性质和中点性质可得BE=EF=EC，所以∠BFC=90°，由勾股定理可求AE的长，由面积法可求BO，BF的长，进而根据勾股定理可求解．
本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，直角三角形的判定和性质，求BF的长是本题的关键．
10.【答案】A
【解析】解：
∵方程ax2+4x−2=0有两个不相等的实数根，
∴a≠0且Δ=42−4⋅a⋅(−2)>0，解得a>−2且a≠0，
去分母得−1−(1−ax)=2(x−2)，解得x=−2a−2，
∵分式方程12−x−1−axx−2=2有正数解，
∴−2a−2>0且−2a−2≠2，解得a<2且a≠1，
∴a的范围为−2
故选：A．
先利用判别式的意义得到a≠0且Δ=42−4⋅a⋅(−2)>0，再解把分式方程化为整式方程得到x=−2a−2，利用分式方程有正数解可得到关于a的不等式组，则可求得a的取值范围，则可求得满足条件的整数a的个数．
本题主要考查根的判别式及分式方程的解法，求得a的取值范围是解题的关键．
11.【答案】35
【解析】解：原式= (35)2=35．
故答案为：35．
直接利用二次根式的性质化简求出答案．
此题主要考查了二次根式的化简，正确开平方是解题关键．
12.【答案】9
【解析】
【分析】
本题考查了多边形的外角和.根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数，是常见的题目，需要熟练掌握．
根据任何多边形的外角和都是360度，外角(或内角)都相等的多边形，用360度除以外角的度数就可以求出多边形的边数．
【解答】
解：360°÷40°=9，即这个多边形的边数是9．
13.【答案】5
【解析】解：∵a，b是方程x2−3x+2=0的两个根，
∴a+b=3，
∴3，a，4，b，5的平均数=3+a+4+b+55=153=5，
故答案为：5．
根据已知一元二次方程的解的意义可得a+b=3，然后求出它们的算术平均数，即可解答．
本题考查了一元二次方程的解，算术平方数，熟练掌握一元二次方程的解的意义是解题的关键．
14.【答案】(− 2, 2)或( 2,− 2)
【解析】解：设A点的坐标是(a,b)，
∵A，B两点关于y轴对称，
∴点B的坐标是(−a,b)，
∵点A在反比例函数y=2x的图象上，点B在直线y=−x的图象上，
∴ab=2，b=a，
解得：a=b=± 2，
即点B的坐标是(− 2, 2)或( 2,− 2).
故答案为：(− 2, 2)或( 2,− 2).
设A点的坐标是(a,b)，根据对称的性质得出点B的坐标是(−a,b)，根据点A在反比例函数y=2x的图象上和点B在直线y=−x的图象上得出ab=2，b=a，再求出a、b即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，正比例函数图象上点的坐标特征和关于x轴、y轴对称的点的坐标等知识点，能根据题意得出ab=2和b=a是解此题的关键．
15.【答案】2或3
【解析】解：①若a=3为底边，设b，c为腰长，则b=c，则Δ=0．
∴b2−4ac=[−(k+2)]2−4×1×2k=0，
解得：k=2．
此时原方程化为x2−4x+4=0，
∴x1=x2=2，即b=c=2，
此时△ABC三边为3，2，2能构成三角形，
∴k=2；
②若b≠c，则b=a=3或c=a=3，即方程有一根为3，
把x=3代入方程x2−(k+2)x+2k=0，得9−3(k+2)+2k=0，
解得k=3，
∴此时方程为x2−5x+6=0，
解得x1=3，x2=2，
∴方程另一根为2，
∵3、3、2能构成三角形，
∴k=2，综上，k的值为2或3，
故答案为：2或3．
已知3可能是底，也可能是腰，分两种情况求得b，c的值后，可得结论．
此题主要考查了一元二次方程的应用、根的判别式及三角形三边关系定理，注意求出三角形的三边后，要用三边关系定理检验．
16.【答案】10+2 10 2 10+ 73+3
【解析】解：(1)如图，作P关于AB的对称点P′，连接P′Q，交AB于E，连接PE，
∴P′E=PE，
∴PE+QE′的最小值为P′Q，
∴△EPQ周长的最小值为P′Q+PQ，
作P′F⊥BC于F，PH⊥BC于H，
∵AP=3，
∴P′A=3=FB，
∵BQ=5，
∴FQ=8，
∵P′F=AB=6，
∴P′Q=10，
∵PH=AB=6，HQ=5−3=2，
∴PQ=2 10，
∴△EPQ周长的最小值为10+2 10．
故答案为：10+2 10．
(2)如图，将点Q向上平移3个单位至Q′，作Q′关于CD的对称点Q″连接Q″P交CD于N，在N的下方3个单位出找到M，
∴NM=QQ′，且NM//QQ′，
∴四边形NMQQ′为平行四边形，
∴QM=Q′N，由对称得，Q′N=Q″N，
∴PQ″为PN+QM的最小值，
∴四边形PQMN周长的最小值为PQ″+PQ+MN，
作Q″G⊥AD于点G，
∵DG=CQ=3，PD=BQ=5，
∴PG=8，
∵GQ″=6−3=3，
∴PQ″= 73，
∴四边形PQMN周长的最小值为：2 10+ 73+3．
故答案为：2 10+ 73+3．
(1)作P关于AB的对称点P′，连接P′Q，交AB于E，连接PE，则PE+QE′的最小值为P′Q，证明出△EPQ周长的最小值为P′Q+PQ，作P′F⊥BC于F，PH⊥BC于H，利用勾股定理求出P′Q和PQ即可．
(2)将点Q向上平移3个单位至Q′，作Q′关于CD的对称点Q″连接Q″P交CD于N，在N的下方3个单位出找到M，则PQ″为PN+QM的最小值，四边形PQMN周长的最小值为PQ″+PQ+MN，作Q″G⊥AD于点G，利用勾股定理求出PQ″即可解题．
本题考查了矩形的性质、最短路程的性质的应用，辅助线的应用及勾股定理的计算是解题关键．
17.【答案】解；(1)原式=2+3
=5；
(2)原式=4 2−3 22+2 2
=9 22．
【解析】(1)先根据二次根式的性质化简，然后进行有理数的加法运算；
(2)先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决问题的关键．
18.【答案】解：(1)2x2−8x=0，
2x(x−4)=0，
2x=0或x−4=0，
解得x1=0，x2=4；
(2)x2+10x=24，
x2+10x−24=0，
(x+12)(x−2)=0，
x+12=0或x−2=0，
解得x1=−12，x2=2．
【解析】(1)方程利用因式分解法求解即可；
(2)方程利用因式分解法求解即可．
本题考查了解一元二次方程，掌握因式分解法是解答本题的关键．
19.【答案】解：(1)由条形图可知，每月用水4吨的户数最多，有6户，故众数为4吨；
(2)1+1+3+6+4+2+2+1=20，
∴一共调查了20户家庭．
所调查家庭5月份用水量平均数是：(1×1+1×2+3×3+4×6+5×4+6×2+7×2+8×1)÷20=4.5(吨)；
根据题意得：300×4.5=1350(吨)，
答：估计这个小区5月份的用水量为1350吨．
【解析】(1)根据众数定义：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，即可得出答案；
(2)先根据平均数的计算公式求出样本平均数，再利用样本估计总体的方法，用300乘以样本中所调查的20户家庭的平均用水量即可．
此题主要考查了条形统计图，众数，平均数，以及用样本估计总体，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
20.【答案】解：(1)∵A(1,2)是两个函数的交点，
∴k=1×2=2，反比例函数解析式为y=2x，
2=1+b，b=1，一次函数解析式为：y=x+1，
(2)联立方程组为yy=2xy=x+1，解得x=−2y=−1，x=1y=2，
根据图象当x+b>kx时x的取值范围为：−2
【解析】(1)将A(1,2)分别代入两个函数解析式即可；
(2)联立方程组，求出两个函数的交点坐标，根据图象直接写出x+b>kx解集即可．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是联立方程组求出交点坐标．
21.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD，
∵E、F分别为边AB、CD的中点，
∴EB=DF，EB//DF，
∴四边形DEBF为平行四边形；
(2)解：若AD⊥BD，则四边形BFDE是菱形．
证明：∵AD⊥BD，
∴△ABD是直角三角形，且∠ADB=90°．
∵E是AB的中点，
∴DE=12AB=BE．
∵在▱ABCD中，E，F分别为边AB，CD的中点，
∴EB//DF且EB=DF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
∴四边形BFDE是菱形．
【解析】(1)根据平行四边形的性质得到AB=CD，AB//CD，根据平行四边形的判定定理即可得到结论；
(2)直角三角形ADB中，DE是斜边上的中线，因此DE=BE，又由DE=BF，FD//BE那么可得出四边形BFDE是个菱形．
本题主要考查了平行四边形的性质，以及菱形的判定，利用好E、F是中点是解题的关键．
22.【答案】解：(1)∵若当月仅售出1辆汽车，则该辆汽车的进价为27万元，每多售出1辆，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部，
∴若该公司当月售出3辆汽车，则每辆汽车的进价为：27−0.1×(3−1)=26.8，
答：若该公司当月卖出三辆汽车，则每辆汽车的进价为26.8万元，
(2)设要卖x辆汽车，
若x≤10，根据题意得：
{28−[27−0.1(x−1)]}x+0.5x=12，
整理，得x2+14x−120=0，
解这个方程，得x1=−20(不合题意，舍去)，x2=6，
若x>10，根据题意得：
{28−[27−0.1(x−1)]}x+x=12，
整理，得x2+19x−120=0，
解这个方程，得x1=−24(不合题意，舍去)，x2=5(不合题意，舍去)，
答：要卖6辆汽车．
【解析】(1)根据若当月仅售出1辆汽车，则该辆汽车的进价为27万元，每多售出1辆，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/辆，得出该公司当月售出3辆汽车时，则每辆汽车的进价为：27−0.1×(3−1)，即可得出答案，
(2)利用设要卖x辆汽车，由题意可知，结合盈利=销售利润+返利，列出一元二次方程，解之，舍去不合题意得答案．
本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键：(1)根据题意，列出等式计算，(2)正确找出等量关系，列出一元二次方程．
23.【答案】解：(1)由题意得y=2xy=2x，
解得x=1y=2或x=−1y=−2，
∵x>0，
∴负值舍去，
∴A(1,2)；
(2)①过点C作x轴的垂线，交直线l于点E，交x轴于点F．
当点C是线段BD的中点时，
∴CE=CF=1．
∴点C的纵坐标为1，
把y=1代入函数y=2x中，
得x=2．
∴点C的坐标为(2,1)，
把C(2,1)代入函数y=2x+b中得：1=4+b，
解得b=−3；
②当BC>BD，即C在AB的上方时，
当BC=BD时，B为线段CD的中点，
∴C点的纵坐标为4，
∴C点的横坐标为y=24=12，
∴C(12,4)，
把C(12,4)代入函数y=2x+b中得：4=1+b，
得b=3，
∴当BC>BD时，b>3，
故b的取值范围为b>3．
【解析】(1)联立两函数的解析式，求出x、y的值即可；
(2)①根据题意求得C点的坐标，然后根据待定系数法即可求得b的值；
②根据①结合图象即可求得．
本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，待定系数法求反比例的解析式，求得C点的坐标是解题的关键．
24.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABE=∠CBE，AB=BC，
在△ABE和△CBE中，
AB=BC∠ABE=∠CBEBE=BE，
∴△ABE≌△CBE(SAS)，
∴AE=CE；
(2)解：连接AC，交BD于O，如图1所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BO，AC=8 5，
∴AO=12AC=4 5，
∴BO= AB2−AO2= 400−80=8 5，
BD=2OB=2×8 5=16 5，
∴S菱形ABCD=12AC⋅BD=12×8 5×16 5=320
∴S△ABC=12S菱形ABCD=12×320=160，
∵BP=8，
∴CP=BC−BP=20−8=12，
∵S△ABPS△ACP=BPCP=812=23，
∴S△ABP=25S△ABC=25×160=64，
(3)①由(1)得：△ABE≌△CBE，
∴∠BAE=∠BCE，
当∠BAE=90°时，则∠BCE=90°，
∴∠ECP=90°，
∵∠ABC=45°，
∴∠EBC=22.5°，∠CPE=45°，
∴△PEC是等腰直角三角形，
∴CE=CP，∠BEC=90°−22.5°=67.5°，
过点E作∠FEC=45°交BC于F，如图2所示，
则△FCE为等腰直角三角形，
∴CE=CP=CF，EF= 2CF，∠BEF=∠BEC−∠FEC=67.5°−45°=22.5°，
∴∠BEF=∠EBC，
∴EF=BF，
∴ 2CF+CF=BC=20，
∴CF=201+ 2=20( 2−1)，
∴BP=BC+CP=BC+CF=20+20( 2−1)=20 2；
②由(1)得：△ABE≌△CBE，
∴∠AEB=∠CEB，
当∠BAE=105°时，∠AEB=180°−105°−22.5°=52.5°，
∴∠AEC=2∠AEB=105°，
∴∠CEP=180°−105°=75°，
∵∠APB=180°−105°−45°=30°，
∴∠ECP=180°−75°−30°=75°，
∴∠ECP=∠CEP，
∴△PEC是等腰三角形，
过点A作AN⊥BP于N，如图3所示：
则△ABN是等腰直角三角形，
∴AN=BN= 22AB=10 2，
∵∠APB=30°，
∴tan30°=ANPN，即 33=10 2PN，
∴PN=10 6，
∴BP=BN+PN=10 2+10 6；
综上所述，△PEC是等腰三角形时BP的长为20 2或10 2+10 6．
【解析】(1)由SAS证得△ABE≌△CBE，即可得出结论；
(2)连接AC，交BD于O，AC=8 5，BD=16 5，S菱形ABCD=320，S△ABC=160，S△ABPS△ACP=BPCP=23，则S△ABP=25S△ABC=64；
(3)①由(1)得△ABE≌△CBE，则∠BAE=∠BCE，当∠BAE=90°时，得△PEC是等腰直角三角形，过点E作∠FEC=45°交BC于F，则△FCE为等腰直角三角形，得出CE=CP=CF，EF= 2CF，证明∠BEF=∠EBC，得出EF=BF，则 2CF+CF=BC=20，求出CF=20( 2−1)，即可得出结果；
②由(1)得△ABE≌△CBE，则∠AEB=∠CEB，当∠BAE=105°时，∠AEB=52.5°，得出∠AEC=105°，∠CEP=75°，证明∠ECP=∠CEP，得出△PEC是等腰三角形，过点A作AN⊥BP于N，则△ABN是等腰直角三角形，得出AN=BN= 22AB=10 2，由tan30°=ANPN，求出PN=10 6，即可得出结果．
本题是四边形综合题，主要考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数、菱形面积的计算、三角形面积的计算等知识；本题综合性强，有一定难度．
相关试卷
2022-2023学年浙江省丽水市青田县八年级（上）期末数学试卷： 这是一份2022-2023学年浙江省丽水市青田县八年级（上）期末数学试卷，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年浙江省丽水市八年级下学期数学期末监测试卷： 这是一份2022-2023学年浙江省丽水市八年级下学期数学期末监测试卷，文件包含浙江省丽水市八年级下学期数学期末监测试卷docx、浙江省丽水市八年级下学期数学期末监测试卷参考答案docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共10页， 欢迎下载使用。
2022-2023学年浙江省金华、丽水市数学七下期末调研试题含答案： 这是一份2022-2023学年浙江省金华、丽水市数学七下期末调研试题含答案，共7页。试卷主要包含了如图，将点P等内容，欢迎下载使用。
