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2022-2023学年辽宁省大连市金普新区八年级（下）期末数学试卷（含解析）
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这是一份2022-2023学年辽宁省大连市金普新区八年级（下）期末数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年辽宁省大连市金普新区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若二次根式 6−x有意义，则x的取值范围是( )
A. x≠6 B. x=6 C. x≥6 D. x≤6
2. 下列二次根式中，最简二次根式是( )
A. 13 B. 8 C. 15 D. 18
3. 下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是( )
A. 1， 3，2 B. 2，4，6 C. 4，5，6 D. 6，7，8
4. 矩形、菱形、正方形都具有的性质是( )
A. 对角线相等 B. 对角战互相平分 C. 对角线互相垂直 D. 对角线平分对角
5. 直角三角形的两直角边的长分别为5和12，则斜边上的中线长是( )
A. 17 B. 13 C. 8.5 D. 6.5
6. 一次函数y=3x+7的图象不经过( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
7. 将函数y=2x的图象向上平移3个单位，则平移后的函数解析式是( )
A. y=2x−3 B. y=2x+3 C. y=2(x+3) D. y=2(x−3)
8. P1(−6.y1)，P2(5,y2)是一次函数y=−x+b的图象上的两个点，则y1，y2的大小关系是( )
A. y1y2 C. y1=y2 D. 不能确定
9. 某校演讲比赛，有9名学生参加决赛，他们的决赛成绩各不相同，其中一名学生想要知道自己能否进入前5名，他不仅要了解自己的成绩还应该关注的是下列能计量中的( )
A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差
10. 在▱ABCD中，AB= 3，AC=2，BD=4，则BC的长是( )
A. 7 B. 3 C. 2 3 D. 5
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 若 18n是整数，则正整数n的最小值是______．
12. 在▱ABCD中，∠A−∠B=20°，则∠C= ______ °.
13. 顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得的四边形一定是____．
14. 已知点A(6,0)及在第一象限的动点P(x,y)，且x+y=8.设△OPA的面积为S，则S关于x的函数解析式为______．
15. 菱形的两条对角线长分别为12，16，则这个菱形的周长是______ ．
16. 一次越野赛跑中，当小明跑了1600m时，小强跑了1500m.此后两人分别以a m/s和b m/s匀速跑，又过100s时小强追上小明，250s时小强到达终点，300s时小明到达终点，这次越野赛跑的全程为______ m.
三、解答题（本大题共9小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
计算：( 6+2)( 6−2)+( 7−1)2÷14 7．
18. (本小题8.0分)
已知一次函数的图象过点(6,−4)与(12,4)．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)直接写出这个一次函数的图象与两坐标轴的交点坐标．
19. (本小题8.0分)
如图，E、F是▱ABCD对角线AC上两点，AE=CF，求证：四边形BFDE是平行四边形．
20. (本小题8.0分)
如图，在四边形ABCD中，AB=4，BC=3，CD=12，AD=13，∠B=90°，求四边形ABCD的面积．
21. (本小题8.0分)
甲、乙两个舞蹈队队员的身高(单位：cm)如下：
甲163 164 164 165 165 166 166 167
乙163 165 165 166 166 167 168 168
经过计算说明哪个舞蹈队队员的身高更整齐？
22. (本小题10.0分)
该表给出A、B、C三种上宽带网的收费方式．
收费方式
月使用费/元
包时上网时间/h
超时费/(元/min)
A
25
30
0.05
B
50
80
0.05
C
90
不限时
(1)设月上网时间为x h，方式A、B、C的收费金额分别为y1、y2、y3.直接写出y1、y2、y3的解析式，并写出自变量x的取值范围；
(2)填空：①当上网时间______ 时，选择方式A最省线；
②当上网时间______ 时，选择方式B最省钱；
③当上网时间______ 时，选择方式C最省线．
23. (本小题11.0分)
如图1，直线y=x+2与x轴、y轴交于点A、B，与直线y=12x交于点C，点D坐标为(m,0)，过点D且垂直于x轴的直线与直线AC、OC分别交于点E、F，设EF=t．
(1)求点C的坐标；
(2)求t关于m的函数解析式；
(3)如图2，连接BF，当BF⊥BC时，求t的值以及△BCF的面积．
24. (本小题11.0分)
如图，在△ABC中，AC=BC=11，∠C=90°，点D在AC上，且AD=92，点P、Q同时从点D出发，以相同的速度分别沿射线DC、射线DA运动，以PQ为边向AC上方作正方形PQEF.当点P到达C点时，点Q同时停止运动，设PQ=x，正方形PQEF与△ABC重叠部分的面积为S．
(1)填空；当点E在AB上时，PQ的长为______ ；
(2)求S关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围．
25. (本小题12.0分)
四边形ABCD是正方形，点E是直线BC上的点(与B、C不重合).点F在正方形外角∠DCG的平分线所在直线CH上．
(1)如图1，点E在线段CB延长线上，且∠AEF=90°.求证：AE=EF；
(2)如图2，点E在线段BC延长线上，且AE=EF，求证：∠AEF=90°．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵二次根式 6−x有意义，
∴6−x≥0，
则x≤6，
故选：D．
二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，据此即可求得答案．
本题考查二次根式有意义的条件，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
2.【答案】C
【解析】解：A． 13=13 3， 13的被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B. 8=2 2， 8的被开方数中含有能开方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C. 15是最简二次根式，故本选项符合题意；
D. 18=3 2， 18的被开方数中含有能开方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：C．
根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足下列两个条件的二次根式叫最简二根式：①被开方数中的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式．
3.【答案】A
【解析】解：A、∵12+( 3)2=22，
∴以1， 3，2为边能组成直角三角形，故本选项符合题意；
B、∵2+4=6，
∴以2，4，6为边不能组成三角形，故本选项不符合题意；
C、∵42+52≠62，
∴以4，5，6为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、∵62+72≠82，
∴以6，7，8为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：A．
根据三角形的三边关系定理和勾股定理的逆定理逐个判断即可．
本题考查了勾股定理的逆定理等知识点，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：对于选项A，矩形、正方形具有对角线相等的性质，而菱形不具有；
对于选项B，矩形、菱形、正方形都具有对角线互相平分；
对于选项C，菱形、正方形具有对角线互相垂直，而矩形不具有；
对于选项D，菱形、正方形具有对角线平分对角，而矩形不具有．
综上所述：矩形、菱形、正方形都具有的性质是对角线互相平分．
故选：B．
根据题目中给出的四个选项，对照矩形、菱形、正方形关于对角线的性质逐一进行甄别即可得出答案．
此题主要考查了矩形、菱形、正方形关于对角线的性质，理解矩形的对角线互相平分且相等；菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线都平分一组内角；正方形的对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线都平分一组内角．
5.【答案】D
【解析】解：∵直角三角形两直角边长为5和12，
∴斜边= 52+122=13，
∴此直角三角形斜边上的中线的长=132=6.5．
故选：D．
根据勾股定理可求得直角三角形斜边的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．
此题主要考查勾股定理及直角三角形斜边上的中线的性质；熟练掌握勾股定理，熟记直角三角形斜边上的中线的性质是解决问题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：∵k=3>0，b=7>0，
∴一次函数y=3x+5的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限．
故选：D．
利用一次函数的性质求解．
本题考查了一次函数的性质：对于一次函数y=kx+b，当k>0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k<0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．由于y=kx+b与y轴交于(0,b)．
7.【答案】B
【解析】解：将函数y=2x的图象向上平移3个单位，则平移后的函数解析式是：y=2x+3．
故选：B．
直接利用一次函数“上加下减”的平移规律即可得出答案．
此题主要考查了一次函数图象与几何变换，正确记忆“左加右减，上加下减”的平移规律是解题关键．
8.【答案】B
【解析】解：对于y=−x+b，
∵k=−1<0，
∴y随x的增大而减小，
又∵−6<5，
∴y1>y2．
故选：B．
首先根据一次函数的解析式y=−x+b得y随x的增大而减小，然后比较P1，P2横坐标的大小即可得出纵坐标的大小，进而可得出结论．
此题主要考查了一次函数的性质，解答此题的关键是理解一次函数的性质：对于一次函数y=kx+b(k≠0)，当k>0时，y随x的增大而增大，当k<0时，y随x的增大而减小．
9.【答案】C
【解析】解：由于总共有9个人，且他们的成绩互不相同，第5的成绩是中位数，要判断是否进入前5名，故应知道中位数的多少．
故选：C．
9人成绩的中位数是第5名的成绩．参赛学生要想知道自己是否能进入前5名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．
此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．
10.【答案】A
【解析】解：设AC与BD的交点为O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO=1，BO=DO=2，
∵BO2=4，AB2+AO2=1+3=4，
∴BO2=AB2+AO2，
∴∠BAC=90°，
∴BC= AB2+AC2= 3+4= 7，
故选：A．
由平行四边形的性质可得AO=CO=1，BO=DO=2，由勾股定理的逆定理可求∠BAC=90°，即可求解．
本题考查了平行四边形的性质，勾股定理逆定理，证明∠BAC=90°是解题的关键．
11.【答案】2
【解析】解：当n=2时， 18n= 18×2=6．
所以最小的正整数为2．
故填2．
18=32×2，所以要想让18能开平方为整数，n最小要为2．
本题主要考查了开平方的定义．
12.【答案】100
【解析】解：在平行四边形ABCD中，∠A+∠B=180°，
∵∠A−∠B=20°，
∴2∠A=200°，
解得∠A=∠C=100°，
故答案为：100．
利用平行四边形的邻角互补，和已知∠A−∠B=50°，就可建立方程求出两角．
本题考查了平行四边形的性质：邻角互补，对角相等，建立方程组求解．
13.【答案】矩形
【解析】已知：AC⊥BD，E、F、G、H分别为各边的中点，连接点E、F、G、H．
求证：四边形EFGH是矩形
证明：∵E、F、G、H分别为各边的中点，
∴EF//AC，GH//AC，EH//BD，FG//BD，(三角形的中位线平行于第三边)
∴四边形EFGH是平行四边形，(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)
∵AC⊥BD，EF//AC，EH//BD，
∴∠EMO=∠ENO=90°，
∴四边形EMON是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形)，
∴∠MEN=90°，
∴四边形EFGH是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形)．
根据三角形中位线的性质，可得到这个四边形是平行四边形，再由对角线垂直，能证出有一个角等于90°，则这个四边形为矩形．
本题考查的是矩形的判定方法，常用的方法有三种：
①一个角是直角的平行四边形是矩形．
②三个角是直角的四边形是矩形．
③对角线相等的平行四边形是矩形．
14.【答案】S=−3x+24(0
∴x>0，y>0，
∴S△OPA=12×OA×y，
∵A(6,0)，x+y=8，
∴OA=6，y=8−x，
∴S=12×6×(8−x)=−3x+24(0
本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△=12×底×高．也考查了函数关系式．
15.【答案】40
【解析】解：如图四边形ABCD是菱形，AC=12，BD=16，
∴AC⊥BD，AO=12AC=6，BO=12BD=8，
∴AB= OA2+OB2= 62+82=10，
∴菱形的周长为40．
故答案为：40．
如图四边形ABCD是菱形，AC=12，BD=16，利用菱形的性质先求出AO和BO，再利用勾股定理求出AB的长即可求解．
本题考查菱形的性质、解题的关键是记住菱形的面积公式，记住菱形的对角线互相垂直，属于中考常考题型．
16.【答案】2500
【解析】解：由题意得：
100b−100a=1600−1500①250b−(1600−1500)=300a②，
由①得，b=a+1③，
由②得，5b−2=6a④，
③代入④得，5a+5−2=6a，
解得a=3，
故这次越野赛的赛跑全程=1600+300×3=1600+900=2500m．
故答案为：2500．
设小明、小刚新的速度分别是am/s、bm/s，根据100s后两人相遇和两人到达终点的路程列出关于a、b的二元一次方程组，求解后再根据小明所跑的路程等于越野赛的全程列式计算即可得解．
本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题目信息，仔细观察图形确定出追击问题的两个等量关系，然后列出方程组是解题的关键．
17.【答案】解：( 6+2)( 6−2)+( 7−1)2÷14 7
=6−4+(8−2 7)× 714
=2+8× 714−2 7× 714
=2+4 77−1
=4 77+1．
【解析】先计算二次根式的乘除法，再算加减，即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18.【答案】解：(1)设一次函数为y=kx+b，
∵一次函数的图象过点(6,−4)与(12,4)，
∴6k+b=−412k+b=4，
解得k=43b=−12，
∴所求的解析式为y=43x−12．
(2)令x=0，则y=−12，
令y=0，则43x−12=0，解得x=9，
∴这个一次函数的图象与两坐标轴的交点为(9,0)，(0,−12)．
【解析】(1)设出一次函数的解析式是y=kx+b，然后把经过的点的坐标代入，求解得到k、b的值即可得解；
(2)根据一次函数的解析式即可求出图象与两坐标轴的交点坐标．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特点，待定系数法是求函数解析式常用的方法之一，需要熟练掌握．
19.【答案】证明：连接BD，交AC于点O．
∵ABCD是平行四边形，
∴OA=OC OB=OD，
又∵AE=CF，
∴OA−AE=OC−CF，即OE=OF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
【解析】连接BD，交AC于点O.根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明．
本题考查平行四边形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定与性质，属于中考常考题型．
20.【答案】解：连接AC，
∵∠B=90°，
∴AC= 42+32=5，
∵52+122=132，
∴∠ACD=90°，
∴四边形ABCD的面积=12×5×12−12×3×4=24．
【解析】先根据勾股定理求出AC的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出△ACD的形状，再利用三角形的面积公式求解即可．
本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形的面积，能根据勾股定理的逆定理判断出△ACD的形状是解答此题的关键．
21.【答案】解：甲队的平均数为：18×(163+164×2+165×2+166×2+167)=165，
乙队的平均数为：18×(163+165×2+166×2+167+168×2)=166，
∴s甲2=18×[(163−165)2+2×(164−165)2+2×(165−165)2+2×(166−165)2+(167−165)2]=1.5，
s乙2=18×[(163−166)2+2×(165−166)2+2×(166−166)2+(167−166)2+2×(168−166)2]=2.5，
因为s甲2
【解析】分别计算两组数据的平均数后代入方差的公式求得两组数据的方差，方差较小的一队身高更整齐．
本题考查了方差的公式，掌握方差的计算公式是解答本题的关键．
22.【答案】不超过30h 超过30h时小于80h 超过80h
【解析】解：(1)A种上网方式的费用为：当上网时间在包时上网时间以内时，费用为：y1=25，(0≤x≤30)，
当上网时间超出包时上网时间时，费用为：y1=25+60×(x−30)×0.05=3x−65，(x>30)，
B种上网方式的费用为：当上网时间在包时上网时间以内时，费用为：y2=50，(0≤x≤80)，
当上网时间超出包时上网时间时，费用为：y2=50+60×(x−80)×0.05=3x−190，(x>80)，
C种上网方式的费用为：当上网时间在包时上网时间以内时，费用为：y3=90，(x≥0)，
故：月上网时间为x h与上网方式A、B、C的收费金额分别为：
y1=25,(0≤x≤30)3x−65,(x>30)，
y2=50,(0≤x≤80)3x−190,(x>80)，
y3=90，(x≥0)；
(2)①当上网时间不超过30时，A种上网方式的费用为：30元，B种上网方式的费用为：50元，C种上网方式的费用为：90元，
∴选择方式A最省钱；
②当上网时间超过30h时小于80小时时，3×80−65=175元，A种上网方式的费用在25元和175元之间，B种上网方式的费用为：50元，C种上网方式的费用为：90元，
∴选择方式B最省钱；
③当上网时间超过80h时，A种上网方式的费用大于3×80−65=175元，B种上网方式的费用大于3×80−190=50元，C种上网方式的费用为：90元，
选择方式C最省钱．
故答案为：不超过30h；超过30h时小于80；超过80h．
(1)根据上网时间的不同分段列出函数关系；
(2)在规定的上网时间内上网费用最少，进行解答．
本题考查了一次分段函数的应用，掌握一次函数的特点是关键．
23.【答案】解：(1)解方程组y=x+2y=12x，
解得x=−4y=−2，
∴点C的坐标为(−4,−2)；
(2)∵点D坐标为(m,0)，EF⊥x轴，
∴E(m,m+2)，F(m,12m)，
∴EF=|m+2−12m|=|12m+2|=t，
∴12m+2=±t，
∴求t关于m的函数解析式为t=12m+2或t=−12m−2；
(3)∵直线y=x+2与x轴、y轴交于点A、B，
∴当x=0时，y=2，当y=0时，x=−2，
∴A(−2,0)，B(0,2)，
∴OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO=45°，
∵DE⊥x轴，
∴DE//y轴，
∴∠BED=∠ABO=45°，
∵BF⊥BC，
∴∠EBF=90°，
∴△BEF是等腰直角三角形，
过B作BH⊥EF于H，
∴BH=12EF=OD，
∴12t=m，
由(2)知t=12m+2或t=−12m−2，
∴t=14t+2或t=−14t−2，
解得t=83或t=−85(不合题意舍去)；
∵△BEF是等腰直角三角形，
∴BF= 22t=4 23，
∵BC= (−4)2+(−2−2)2=4 2，
∴△BCF的面积=12BC⋅BF=12×4 2×4 23=163．
【解析】(1)解方程组即可得到点C的坐标为(−4,−2)；
(2)根据点D坐标为(m,0)，求得E(m,m+2)，F(m,12m)，得到EF=|m+2−12m|=|12m+2|=t于是得到结论；
(3)解方程得到A(−2,0)，B(0,2)，求得OA=OB，得到∠ABO=∠BAO=45°，求得∠BED=∠ABO=45°，推出△BEF是等腰直角三角形，过B作BH⊥EF于H，求得BH=12EF=OD，于是得到t=14t+2或t=−14t−2，解方程得到t=83或t=−85(不合题意舍去)；根据勾股定理得到BC= (−4)2+(−2−2)2=4 2，根据三角形 打麻将公式求得△BCF的面积=12BC⋅BF=12×4 2×4 23=163．
本题是一次函数的综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，求函数的解析式，等腰直角三角形的判定和性质，三角形面积的计算，勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
24.【答案】3
【解析】解：(1)∵AC=BC，∠C=90°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
如图1，当点E在AB上时，△BPE为等腰直角三角形，
∵PQ=x，点P与点Q的速度相同、时间相同，
∴PD=DQ=12PQ=x2，EP=x，
∴BP=BD−PD=92−x2，
∴92−x2=x，
∴x=3，
故答案为：3．
(2)①如图2，当正方形EPQF在△ABC内部，即0
②当点P与点B重合时，PD=BD，
∴x2=92，
解得：x=9，
如图3，当正方形EPQF与△ABC重叠部分为五边形，即3
∴BP=MP=92−x2，EM=EN=x−(92−x2)=3x−92，
∴S=S正方形EPQF−S△EMN=x2−12(3x−92)2=−18x2+274x−818；
③当点Q到达点C时，DQ=DC，
∴x2=11−92，
解得：x=13，
如图4，点P在CB延长线上，即9
∴BQ=QR=BD+DQ=92+x2，
∴S=S△BQR=12(92+x2)2=18x2+94x+818；
综上所述，S=x2(0
(2)先求出点E在AB上、点Q在AB上、点Q到达点C时的x值，然后分三种情况讨论，①正方形EPQF在△ABC内部，②正方形EPQF与△ABC重叠部分为五边形，③点P在CB延长线上，再利用正方形与等腰直角三角形的面积解题．
本题考查了等腰三角形的性质、正方形的面积，解题的关键是分情况讨论，作出对应的图形方便求解．
25.【答案】证明：(1)延长AB到M，使BM=BE，连接EM，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°，
∴∠ABE=∠EBM=∠DCG=90°，
∴△BEM为等腰直角三角形，
∴∠M=45°，
∵FH平分∠DCG，
∠DCH=∠GCH=12∠DCG=45°，
∴∠ECF=∠GCH=45°，
∴∠M=∠ECF=45°，
∵AB=BC，BM=BE，
∴AB+BM=BC+BE，
∴AM=EC，
∵∠ABE=90°，∠AEF=90°，
∴∠EAM+∠AEB=90°，∠AEB+∠FEC=90°，
∴∠EAM=∠FEC，
在△AEM和△EFC中，
∠EAM=∠FECAM=EC∠M=∠ECF=45°，
∴△AEM≌△EFC(ASA)，
∴AE=EF；
(2)延长AB交CF于点N，连接EN，
由(1)可知：∠BCN=45°，
∴△BNC为等腰直角三角形，
∴BC=NB=AB，
在△ABE和△NBE中，
AB=NB∠ABE=∠NBE=90°BE=BE，
∴△ABE≌△NBE(SAS)，
∴∠AEB=∠BEN，AE=NE，
∴∠AEN=2∠BEN，
∵AE=NE，
∴∠EFN=∠ENF，
∵∠BEN+∠ENF=∠BCN=45°，
∴2∠BEN+2∠ENF)=90°，
即：∠AEN+∠EFN+∠ENF=90°，
∵∠AEN+∠EFN+∠ENF+∠AEF=180°，
∴∠AEF=90°．
【解析】(1)延长AB到M，使BM=BE，连接EM，先证△BEM为等腰直角三角形，进而得∠M=∠ECF=45°，再证AM=EC，∠EAM=∠FEC，据此可依据“ASA”判定△AEM和△EFC全等，然后由全等三角形的性质可得出结论；
(2)延长AB交CF于点N，连接EN，先证△BNC为等腰直角三角形，进而得BC=NB=AB，再证△ABE和△NBE全等得∠AEB=∠BEN，AE=NE，则∠AEN=2∠BEN，∠EFN=∠ENF，由∠BEN+∠ENF=∠BCN=45°得∠AEN+∠EFN+∠ENF=90°，然后由三角形的内角和定理得∠AEN+∠EFN+∠ENF+∠AEF=180°，据此可得出结论．
此题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解答此题的关键是熟练掌握全等三角形三角形的判定方法；理解理解正方形的四条边都相等、四个角都是直角；难点是正确的作出辅助线，构造全等三角形．
2022-2023学年辽宁省大连市金普新区八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共10小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若二次根式 6−x有意义，则x的取值范围是( )
A. x≠6 B. x=6 C. x≥6 D. x≤6
2. 下列二次根式中，最简二次根式是( )
A. 13 B. 8 C. 15 D. 18
3. 下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是( )
A. 1， 3，2 B. 2，4，6 C. 4，5，6 D. 6，7，8
4. 矩形、菱形、正方形都具有的性质是( )
A. 对角线相等 B. 对角战互相平分 C. 对角线互相垂直 D. 对角线平分对角
5. 直角三角形的两直角边的长分别为5和12，则斜边上的中线长是( )
A. 17 B. 13 C. 8.5 D. 6.5
6. 一次函数y=3x+7的图象不经过( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
7. 将函数y=2x的图象向上平移3个单位，则平移后的函数解析式是( )
A. y=2x−3 B. y=2x+3 C. y=2(x+3) D. y=2(x−3)
8. P1(−6.y1)，P2(5,y2)是一次函数y=−x+b的图象上的两个点，则y1，y2的大小关系是( )
A. y1
9. 某校演讲比赛，有9名学生参加决赛，他们的决赛成绩各不相同，其中一名学生想要知道自己能否进入前5名，他不仅要了解自己的成绩还应该关注的是下列能计量中的( )
A. 平均数 B. 众数 C. 中位数 D. 方差
10. 在▱ABCD中，AB= 3，AC=2，BD=4，则BC的长是( )
A. 7 B. 3 C. 2 3 D. 5
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11. 若 18n是整数，则正整数n的最小值是______．
12. 在▱ABCD中，∠A−∠B=20°，则∠C= ______ °.
13. 顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得的四边形一定是____．
14. 已知点A(6,0)及在第一象限的动点P(x,y)，且x+y=8.设△OPA的面积为S，则S关于x的函数解析式为______．
15. 菱形的两条对角线长分别为12，16，则这个菱形的周长是______ ．
16. 一次越野赛跑中，当小明跑了1600m时，小强跑了1500m.此后两人分别以a m/s和b m/s匀速跑，又过100s时小强追上小明，250s时小强到达终点，300s时小明到达终点，这次越野赛跑的全程为______ m.
三、解答题（本大题共9小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
计算：( 6+2)( 6−2)+( 7−1)2÷14 7．
18. (本小题8.0分)
已知一次函数的图象过点(6,−4)与(12,4)．
(1)求这个一次函数的解析式；
(2)直接写出这个一次函数的图象与两坐标轴的交点坐标．
19. (本小题8.0分)
如图，E、F是▱ABCD对角线AC上两点，AE=CF，求证：四边形BFDE是平行四边形．
20. (本小题8.0分)
如图，在四边形ABCD中，AB=4，BC=3，CD=12，AD=13，∠B=90°，求四边形ABCD的面积．
21. (本小题8.0分)
甲、乙两个舞蹈队队员的身高(单位：cm)如下：
甲163 164 164 165 165 166 166 167
乙163 165 165 166 166 167 168 168
经过计算说明哪个舞蹈队队员的身高更整齐？
22. (本小题10.0分)
该表给出A、B、C三种上宽带网的收费方式．
收费方式
月使用费/元
包时上网时间/h
超时费/(元/min)
A
25
30
0.05
B
50
80
0.05
C
90
不限时
(1)设月上网时间为x h，方式A、B、C的收费金额分别为y1、y2、y3.直接写出y1、y2、y3的解析式，并写出自变量x的取值范围；
(2)填空：①当上网时间______ 时，选择方式A最省线；
②当上网时间______ 时，选择方式B最省钱；
③当上网时间______ 时，选择方式C最省线．
23. (本小题11.0分)
如图1，直线y=x+2与x轴、y轴交于点A、B，与直线y=12x交于点C，点D坐标为(m,0)，过点D且垂直于x轴的直线与直线AC、OC分别交于点E、F，设EF=t．
(1)求点C的坐标；
(2)求t关于m的函数解析式；
(3)如图2，连接BF，当BF⊥BC时，求t的值以及△BCF的面积．
24. (本小题11.0分)
如图，在△ABC中，AC=BC=11，∠C=90°，点D在AC上，且AD=92，点P、Q同时从点D出发，以相同的速度分别沿射线DC、射线DA运动，以PQ为边向AC上方作正方形PQEF.当点P到达C点时，点Q同时停止运动，设PQ=x，正方形PQEF与△ABC重叠部分的面积为S．
(1)填空；当点E在AB上时，PQ的长为______ ；
(2)求S关于x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围．
25. (本小题12.0分)
四边形ABCD是正方形，点E是直线BC上的点(与B、C不重合).点F在正方形外角∠DCG的平分线所在直线CH上．
(1)如图1，点E在线段CB延长线上，且∠AEF=90°.求证：AE=EF；
(2)如图2，点E在线段BC延长线上，且AE=EF，求证：∠AEF=90°．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵二次根式 6−x有意义，
∴6−x≥0，
则x≤6，
故选：D．
二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，据此即可求得答案．
本题考查二次根式有意义的条件，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．
2.【答案】C
【解析】解：A． 13=13 3， 13的被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
B. 8=2 2， 8的被开方数中含有能开方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
C. 15是最简二次根式，故本选项符合题意；
D. 18=3 2， 18的被开方数中含有能开方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意；
故选：C．
根据最简二次根式的定义逐个判断即可．
本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足下列两个条件的二次根式叫最简二根式：①被开方数中的因数是整数，因式是整式，②被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式．
3.【答案】A
【解析】解：A、∵12+( 3)2=22，
∴以1， 3，2为边能组成直角三角形，故本选项符合题意；
B、∵2+4=6，
∴以2，4，6为边不能组成三角形，故本选项不符合题意；
C、∵42+52≠62，
∴以4，5，6为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
D、∵62+72≠82，
∴以6，7，8为边不能组成直角三角形，故本选项不符合题意；
故选：A．
根据三角形的三边关系定理和勾股定理的逆定理逐个判断即可．
本题考查了勾股定理的逆定理等知识点，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：对于选项A，矩形、正方形具有对角线相等的性质，而菱形不具有；
对于选项B，矩形、菱形、正方形都具有对角线互相平分；
对于选项C，菱形、正方形具有对角线互相垂直，而矩形不具有；
对于选项D，菱形、正方形具有对角线平分对角，而矩形不具有．
综上所述：矩形、菱形、正方形都具有的性质是对角线互相平分．
故选：B．
根据题目中给出的四个选项，对照矩形、菱形、正方形关于对角线的性质逐一进行甄别即可得出答案．
此题主要考查了矩形、菱形、正方形关于对角线的性质，理解矩形的对角线互相平分且相等；菱形的对角线互相垂直平分，且每一条对角线都平分一组内角；正方形的对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线都平分一组内角．
5.【答案】D
【解析】解：∵直角三角形两直角边长为5和12，
∴斜边= 52+122=13，
∴此直角三角形斜边上的中线的长=132=6.5．
故选：D．
根据勾股定理可求得直角三角形斜边的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．
此题主要考查勾股定理及直角三角形斜边上的中线的性质；熟练掌握勾股定理，熟记直角三角形斜边上的中线的性质是解决问题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：∵k=3>0，b=7>0，
∴一次函数y=3x+5的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限．
故选：D．
利用一次函数的性质求解．
本题考查了一次函数的性质：对于一次函数y=kx+b，当k>0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k<0，y随x的增大而减小，函数从左到右下降．由于y=kx+b与y轴交于(0,b)．
7.【答案】B
【解析】解：将函数y=2x的图象向上平移3个单位，则平移后的函数解析式是：y=2x+3．
故选：B．
直接利用一次函数“上加下减”的平移规律即可得出答案．
此题主要考查了一次函数图象与几何变换，正确记忆“左加右减，上加下减”的平移规律是解题关键．
8.【答案】B
【解析】解：对于y=−x+b，
∵k=−1<0，
∴y随x的增大而减小，
又∵−6<5，
∴y1>y2．
故选：B．
首先根据一次函数的解析式y=−x+b得y随x的增大而减小，然后比较P1，P2横坐标的大小即可得出纵坐标的大小，进而可得出结论．
此题主要考查了一次函数的性质，解答此题的关键是理解一次函数的性质：对于一次函数y=kx+b(k≠0)，当k>0时，y随x的增大而增大，当k<0时，y随x的增大而减小．
9.【答案】C
【解析】解：由于总共有9个人，且他们的成绩互不相同，第5的成绩是中位数，要判断是否进入前5名，故应知道中位数的多少．
故选：C．
9人成绩的中位数是第5名的成绩．参赛学生要想知道自己是否能进入前5名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可．
此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．
10.【答案】A
【解析】解：设AC与BD的交点为O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO=1，BO=DO=2，
∵BO2=4，AB2+AO2=1+3=4，
∴BO2=AB2+AO2，
∴∠BAC=90°，
∴BC= AB2+AC2= 3+4= 7，
故选：A．
由平行四边形的性质可得AO=CO=1，BO=DO=2，由勾股定理的逆定理可求∠BAC=90°，即可求解．
本题考查了平行四边形的性质，勾股定理逆定理，证明∠BAC=90°是解题的关键．
11.【答案】2
【解析】解：当n=2时， 18n= 18×2=6．
所以最小的正整数为2．
故填2．
18=32×2，所以要想让18能开平方为整数，n最小要为2．
本题主要考查了开平方的定义．
12.【答案】100
【解析】解：在平行四边形ABCD中，∠A+∠B=180°，
∵∠A−∠B=20°，
∴2∠A=200°，
解得∠A=∠C=100°，
故答案为：100．
利用平行四边形的邻角互补，和已知∠A−∠B=50°，就可建立方程求出两角．
本题考查了平行四边形的性质：邻角互补，对角相等，建立方程组求解．
13.【答案】矩形
【解析】已知：AC⊥BD，E、F、G、H分别为各边的中点，连接点E、F、G、H．
求证：四边形EFGH是矩形
证明：∵E、F、G、H分别为各边的中点，
∴EF//AC，GH//AC，EH//BD，FG//BD，(三角形的中位线平行于第三边)
∴四边形EFGH是平行四边形，(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)
∵AC⊥BD，EF//AC，EH//BD，
∴∠EMO=∠ENO=90°，
∴四边形EMON是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形)，
∴∠MEN=90°，
∴四边形EFGH是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形)．
根据三角形中位线的性质，可得到这个四边形是平行四边形，再由对角线垂直，能证出有一个角等于90°，则这个四边形为矩形．
本题考查的是矩形的判定方法，常用的方法有三种：
①一个角是直角的平行四边形是矩形．
②三个角是直角的四边形是矩形．
③对角线相等的平行四边形是矩形．
14.【答案】S=−3x+24(0
∴x>0，y>0，
∴S△OPA=12×OA×y，
∵A(6,0)，x+y=8，
∴OA=6，y=8−x，
∴S=12×6×(8−x)=−3x+24(0
本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△=12×底×高．也考查了函数关系式．
15.【答案】40
【解析】解：如图四边形ABCD是菱形，AC=12，BD=16，
∴AC⊥BD，AO=12AC=6，BO=12BD=8，
∴AB= OA2+OB2= 62+82=10，
∴菱形的周长为40．
故答案为：40．
如图四边形ABCD是菱形，AC=12，BD=16，利用菱形的性质先求出AO和BO，再利用勾股定理求出AB的长即可求解．
本题考查菱形的性质、解题的关键是记住菱形的面积公式，记住菱形的对角线互相垂直，属于中考常考题型．
16.【答案】2500
【解析】解：由题意得：
100b−100a=1600−1500①250b−(1600−1500)=300a②，
由①得，b=a+1③，
由②得，5b−2=6a④，
③代入④得，5a+5−2=6a，
解得a=3，
故这次越野赛的赛跑全程=1600+300×3=1600+900=2500m．
故答案为：2500．
设小明、小刚新的速度分别是am/s、bm/s，根据100s后两人相遇和两人到达终点的路程列出关于a、b的二元一次方程组，求解后再根据小明所跑的路程等于越野赛的全程列式计算即可得解．
本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题目信息，仔细观察图形确定出追击问题的两个等量关系，然后列出方程组是解题的关键．
17.【答案】解：( 6+2)( 6−2)+( 7−1)2÷14 7
=6−4+(8−2 7)× 714
=2+8× 714−2 7× 714
=2+4 77−1
=4 77+1．
【解析】先计算二次根式的乘除法，再算加减，即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18.【答案】解：(1)设一次函数为y=kx+b，
∵一次函数的图象过点(6,−4)与(12,4)，
∴6k+b=−412k+b=4，
解得k=43b=−12，
∴所求的解析式为y=43x−12．
(2)令x=0，则y=−12，
令y=0，则43x−12=0，解得x=9，
∴这个一次函数的图象与两坐标轴的交点为(9,0)，(0,−12)．
【解析】(1)设出一次函数的解析式是y=kx+b，然后把经过的点的坐标代入，求解得到k、b的值即可得解；
(2)根据一次函数的解析式即可求出图象与两坐标轴的交点坐标．
本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特点，待定系数法是求函数解析式常用的方法之一，需要熟练掌握．
19.【答案】证明：连接BD，交AC于点O．
∵ABCD是平行四边形，
∴OA=OC OB=OD，
又∵AE=CF，
∴OA−AE=OC−CF，即OE=OF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
【解析】连接BD，交AC于点O.根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可证明．
本题考查平行四边形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定与性质，属于中考常考题型．
20.【答案】解：连接AC，
∵∠B=90°，
∴AC= 42+32=5，
∵52+122=132，
∴∠ACD=90°，
∴四边形ABCD的面积=12×5×12−12×3×4=24．
【解析】先根据勾股定理求出AC的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出△ACD的形状，再利用三角形的面积公式求解即可．
本题考查的是勾股定理的逆定理及三角形的面积，能根据勾股定理的逆定理判断出△ACD的形状是解答此题的关键．
21.【答案】解：甲队的平均数为：18×(163+164×2+165×2+166×2+167)=165，
乙队的平均数为：18×(163+165×2+166×2+167+168×2)=166，
∴s甲2=18×[(163−165)2+2×(164−165)2+2×(165−165)2+2×(166−165)2+(167−165)2]=1.5，
s乙2=18×[(163−166)2+2×(165−166)2+2×(166−166)2+(167−166)2+2×(168−166)2]=2.5，
因为s甲2
【解析】分别计算两组数据的平均数后代入方差的公式求得两组数据的方差，方差较小的一队身高更整齐．
本题考查了方差的公式，掌握方差的计算公式是解答本题的关键．
22.【答案】不超过30h 超过30h时小于80h 超过80h
【解析】解：(1)A种上网方式的费用为：当上网时间在包时上网时间以内时，费用为：y1=25，(0≤x≤30)，
当上网时间超出包时上网时间时，费用为：y1=25+60×(x−30)×0.05=3x−65，(x>30)，
B种上网方式的费用为：当上网时间在包时上网时间以内时，费用为：y2=50，(0≤x≤80)，
当上网时间超出包时上网时间时，费用为：y2=50+60×(x−80)×0.05=3x−190，(x>80)，
C种上网方式的费用为：当上网时间在包时上网时间以内时，费用为：y3=90，(x≥0)，
故：月上网时间为x h与上网方式A、B、C的收费金额分别为：
y1=25,(0≤x≤30)3x−65,(x>30)，
y2=50,(0≤x≤80)3x−190,(x>80)，
y3=90，(x≥0)；
(2)①当上网时间不超过30时，A种上网方式的费用为：30元，B种上网方式的费用为：50元，C种上网方式的费用为：90元，
∴选择方式A最省钱；
②当上网时间超过30h时小于80小时时，3×80−65=175元，A种上网方式的费用在25元和175元之间，B种上网方式的费用为：50元，C种上网方式的费用为：90元，
∴选择方式B最省钱；
③当上网时间超过80h时，A种上网方式的费用大于3×80−65=175元，B种上网方式的费用大于3×80−190=50元，C种上网方式的费用为：90元，
选择方式C最省钱．
故答案为：不超过30h；超过30h时小于80；超过80h．
(1)根据上网时间的不同分段列出函数关系；
(2)在规定的上网时间内上网费用最少，进行解答．
本题考查了一次分段函数的应用，掌握一次函数的特点是关键．
23.【答案】解：(1)解方程组y=x+2y=12x，
解得x=−4y=−2，
∴点C的坐标为(−4,−2)；
(2)∵点D坐标为(m,0)，EF⊥x轴，
∴E(m,m+2)，F(m,12m)，
∴EF=|m+2−12m|=|12m+2|=t，
∴12m+2=±t，
∴求t关于m的函数解析式为t=12m+2或t=−12m−2；
(3)∵直线y=x+2与x轴、y轴交于点A、B，
∴当x=0时，y=2，当y=0时，x=−2，
∴A(−2,0)，B(0,2)，
∴OA=OB，
∴∠ABO=∠BAO=45°，
∵DE⊥x轴，
∴DE//y轴，
∴∠BED=∠ABO=45°，
∵BF⊥BC，
∴∠EBF=90°，
∴△BEF是等腰直角三角形，
过B作BH⊥EF于H，
∴BH=12EF=OD，
∴12t=m，
由(2)知t=12m+2或t=−12m−2，
∴t=14t+2或t=−14t−2，
解得t=83或t=−85(不合题意舍去)；
∵△BEF是等腰直角三角形，
∴BF= 22t=4 23，
∵BC= (−4)2+(−2−2)2=4 2，
∴△BCF的面积=12BC⋅BF=12×4 2×4 23=163．
【解析】(1)解方程组即可得到点C的坐标为(−4,−2)；
(2)根据点D坐标为(m,0)，求得E(m,m+2)，F(m,12m)，得到EF=|m+2−12m|=|12m+2|=t于是得到结论；
(3)解方程得到A(−2,0)，B(0,2)，求得OA=OB，得到∠ABO=∠BAO=45°，求得∠BED=∠ABO=45°，推出△BEF是等腰直角三角形，过B作BH⊥EF于H，求得BH=12EF=OD，于是得到t=14t+2或t=−14t−2，解方程得到t=83或t=−85(不合题意舍去)；根据勾股定理得到BC= (−4)2+(−2−2)2=4 2，根据三角形 打麻将公式求得△BCF的面积=12BC⋅BF=12×4 2×4 23=163．
本题是一次函数的综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，求函数的解析式，等腰直角三角形的判定和性质，三角形面积的计算，勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
24.【答案】3
【解析】解：(1)∵AC=BC，∠C=90°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
如图1，当点E在AB上时，△BPE为等腰直角三角形，
∵PQ=x，点P与点Q的速度相同、时间相同，
∴PD=DQ=12PQ=x2，EP=x，
∴BP=BD−PD=92−x2，
∴92−x2=x，
∴x=3，
故答案为：3．
(2)①如图2，当正方形EPQF在△ABC内部，即0
②当点P与点B重合时，PD=BD，
∴x2=92，
解得：x=9，
如图3，当正方形EPQF与△ABC重叠部分为五边形，即3
∴BP=MP=92−x2，EM=EN=x−(92−x2)=3x−92，
∴S=S正方形EPQF−S△EMN=x2−12(3x−92)2=−18x2+274x−818；
③当点Q到达点C时，DQ=DC，
∴x2=11−92，
解得：x=13，
如图4，点P在CB延长线上，即9
∴BQ=QR=BD+DQ=92+x2，
∴S=S△BQR=12(92+x2)2=18x2+94x+818；
综上所述，S=x2(0
(2)先求出点E在AB上、点Q在AB上、点Q到达点C时的x值，然后分三种情况讨论，①正方形EPQF在△ABC内部，②正方形EPQF与△ABC重叠部分为五边形，③点P在CB延长线上，再利用正方形与等腰直角三角形的面积解题．
本题考查了等腰三角形的性质、正方形的面积，解题的关键是分情况讨论，作出对应的图形方便求解．
25.【答案】证明：(1)延长AB到M，使BM=BE，连接EM，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠BCD=90°，
∴∠ABE=∠EBM=∠DCG=90°，
∴△BEM为等腰直角三角形，
∴∠M=45°，
∵FH平分∠DCG，
∠DCH=∠GCH=12∠DCG=45°，
∴∠ECF=∠GCH=45°，
∴∠M=∠ECF=45°，
∵AB=BC，BM=BE，
∴AB+BM=BC+BE，
∴AM=EC，
∵∠ABE=90°，∠AEF=90°，
∴∠EAM+∠AEB=90°，∠AEB+∠FEC=90°，
∴∠EAM=∠FEC，
在△AEM和△EFC中，
∠EAM=∠FECAM=EC∠M=∠ECF=45°，
∴△AEM≌△EFC(ASA)，
∴AE=EF；
(2)延长AB交CF于点N，连接EN，
由(1)可知：∠BCN=45°，
∴△BNC为等腰直角三角形，
∴BC=NB=AB，
在△ABE和△NBE中，
AB=NB∠ABE=∠NBE=90°BE=BE，
∴△ABE≌△NBE(SAS)，
∴∠AEB=∠BEN，AE=NE，
∴∠AEN=2∠BEN，
∵AE=NE，
∴∠EFN=∠ENF，
∵∠BEN+∠ENF=∠BCN=45°，
∴2∠BEN+2∠ENF)=90°，
即：∠AEN+∠EFN+∠ENF=90°，
∵∠AEN+∠EFN+∠ENF+∠AEF=180°，
∴∠AEF=90°．
【解析】(1)延长AB到M，使BM=BE，连接EM，先证△BEM为等腰直角三角形，进而得∠M=∠ECF=45°，再证AM=EC，∠EAM=∠FEC，据此可依据“ASA”判定△AEM和△EFC全等，然后由全等三角形的性质可得出结论；
(2)延长AB交CF于点N，连接EN，先证△BNC为等腰直角三角形，进而得BC=NB=AB，再证△ABE和△NBE全等得∠AEB=∠BEN，AE=NE，则∠AEN=2∠BEN，∠EFN=∠ENF，由∠BEN+∠ENF=∠BCN=45°得∠AEN+∠EFN+∠ENF=90°，然后由三角形的内角和定理得∠AEN+∠EFN+∠ENF+∠AEF=180°，据此可得出结论．
此题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解答此题的关键是熟练掌握全等三角形三角形的判定方法；理解理解正方形的四条边都相等、四个角都是直角；难点是正确的作出辅助线，构造全等三角形．
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