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2023年湖南省郴州市资兴市中考数学二模试卷（含解析）
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这是一份2023年湖南省郴州市资兴市中考数学二模试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年湖南省郴州市资兴市中考数学二模试卷
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. −2023的相反数是( )
A. 2023 B. 12023 C. −12023 D. −2023
2. 2022年4月16日，神舟十三号载人飞船圆满完成全部既定任务，顺利返回地球家园．六个月的飞天之旅展现了中国航天科技的新高度．下列航天图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是( )
A. 中国探火 B. 中国火箭
C. 中国行星探测 D. 航天神舟
3. 粮食是人类赖以生存的物质基础，2022年我国粮食总产量再创新高，达68653万吨，该数据可用科学记数法表示为( )
A. 6.8653×104吨 B. 68653×104吨 C. 6.8653×107吨 D. 6.8653×108吨
4. 下列事件中是必然事件的是( )
A. 翻开九年级(上)数学教材，恰好翻到第58页
B. 在一张纸上任意画两条直线，这两条直线必相交
C. 在一个只装有白球的盒子里摸出黑球
D. 三角形的内角和等于180°
5. 计算3aa−b−3ba−b的结果是( )
A. 3 B. 3a+3b C. 1 D. 6aa−b
6. 如图，点A，B，C在⊙O上，若∠BAC=40°，则∠BOC=( )
A. 40°
B. 50°
C. 70°
D. 80°
7. 将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为( )
A. 60° B. 65° C. 75° D. 85°
8. 如图，A是双曲线y=8x(x>0)上的一点，点C是OA的中点，过点C作y轴的垂线，垂足为D，交双曲线于点B，则△ABD的面积是( )
A. 2
B. 8
C. 4
D. 16
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
9. 函数y= 4x−2中，自变量x的取值范围是______．
10. 计算：a3⋅a= ______ ．
11. 因式分解：xy2−4x=______．
12. 郴州正稳步推进碧道建设，营造“水清岸绿、鱼翔浅底、水草丰美、白鹭成群”的生态廊道，使之成为老百姓美好生活的好去处.到今年底各县市区完成碧道试点建设的长度分别为(单位：千米)：5，5.2，5，5，5，6.4，6，5，6.68，48.4，6.3，这组数据的众数是______ ．
13. 若x=1是方程x2−2x+a=0的根，则a=______．
14. 如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB=3，AC=4，分别以A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线，与BC交于点E，与AD交于点F，连接AE，CF，则四边形AECF的周长为______ ．
15. 若扇形的半径为2，圆心角为90°，则这个扇形的面积为______ ．
16. 如图，在平行四边形ABCD中，∠C=135°，AD=3，AB= 2，点H、G分别是边CD、BC上的动点，连接AH、GH，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF，则EF的最大值与最小值的差为______ ．
三、解答题（本大题共10小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
计算：(2023−π)0+| 3−3|+2sin60°−(13)−1．
18. (本小题6.0分)
解不等式组：4(x−1)
19. (本小题6.0分)
如图，AB=DE，BF=EC，∠B=∠E，求证：AC//DF．
20. (本小题8.0分)
某校为积极响应“福城圣地，郴州有礼”城市品牌建设，在每周五下午第三节课开展了丰富多彩的走班选课活动.其中综合实践类共开设了“礼行”“礼知”“礼思”“礼艺”“礼源”等五门课程，要求全校学生必须参与其中一门课程.为了解学生参与综合实践类课程活动情况，随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果绘制了如图所示不完整的条形统计图和扇形统计图．
(1)随机抽取的学生共有______ 名，在扇形统计图中，选择“礼行“课程的学生人数所对应的扇形圆心角的度数______ .并补全条形统计图．
(2)若该校共有学生2400人，估计其中参与“礼源”课程的学生共有多少人？
(3)小军计划从“礼行”“礼知”“礼思”“礼艺”“礼源”等五门课程中，任选两门参加，求选到“礼行”和“礼思”两门课程的概率.(要求画树状图或列表求概率)
21. (本小题8.0分)
某数学兴趣小组到高椅岭风景区对巨石阵(巨石阵中高者)的高度进行测量.如图所示，巨石阵中高者DE在高55m的小山EC上，在A处测得巨石阵中高者的底部E的仰角为34°，再沿AC方向前进40m到达B处，测得巨石阵中高者的顶部D的仰角为60°，求巨石阵中高者DE的高度.(精确到1m.参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67， 3≈1.73)
22. (本小题8.0分)
“30天无理由退货”是营造我省“诚信旅游”良好环境，进一步提升旅游形象的创新举措.机场、车站、出租车、景区、手机短信……，“30天无理由退货”的提示随处可见，它已成为一张云南旅行的“安心卡”，极大地提高了旅游服务的品质.刚刚过去的“五⋅一”假期，旅游线路、住宿、餐饮、生活服务、购物等旅游消费的供给更加多元，同步的是云南旅游市场强劲复苏.某旅行社今年5月1日租用A、B两种客房一天，供当天使用.下面是有关信息：
请根据上述信息，分别求今年5月1日该旅行社租用的A、B两种客房每间客房的租金．
23. (本小题8.0分)
如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，E是AD延长线上一点，连接CD，CE.且∠DCE=∠CAD．
(1)求证：CE是⊙O的切线；
(2)若cosB=35，AD=10，求ED的长．
24. (本小题10.0分)
若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数.下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数y=−2x(x≤−1)|x−1|(x>−1)的图象与性质.列表：
x
…
−3
−52
−2
−32
−1
−12
0
12
1
32
2
52
3
…
y
…
23
45
1
43
2
32
1
12
0
12
1
32
2
…
描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示．
(1)如图，在平面直角坐标系中，观察描出的这些点的分布，作出函数图象；
(2)研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：
①点A(−5,y1)，B(−72,y2)，C(x1,52)，D(x2,6)在函数图象上，则y1 ______ y2，x1 ______ x2；(填“>”，“=”或“<”)
②当函数值y=2时，求自变量x的值；
③若直线y=a与函数图象有三个不同的交点，求a的取值范围．
25. (本小题10.0分)
已知：如图1，在面积为3的正方形ABCD中，E、F分别是BC和CD边上的两点，AE⊥BF于点G，且BE=1．
(1)求证：△ABE≌△BCF；
(2)求出△ABE和△BCF重叠部分(即△BEG)的面积；
(3)现将△ABE绕点A逆时针方向旋转到△AB′E′(如图2)，使点E落在CD边上的点E′处，问△ABE在旋转前后与△BCF重叠部分的面积是否发生了变化？请说明理由．
26. (本小题12.0分)
如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(−1,0)，B(3,0)两点，过点A的直线L交抛物线于点C(2,m)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P是直线AC下方抛物线y=x2+bx+c的一个动点，当△PAC面积最大时，求点P的坐标及△PAC面积最大值．
(3)若点M是抛物线上的动点，在抛物线y=x2+bx+c的对称轴上是否存在点D，使得以点A，C，D，M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接求出所有满足条件的点D的坐标；如果不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：−2023的相反数是2023，
故选：A．
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
本题考查相反数的概念，关键是掌握相反数的定义．
2.【答案】B
【解析】解：选项A、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，
选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，
故选：B．
根据中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
3.【答案】D
【解析】解：68653万吨
=6.8653×104×104
=6.8653×108(吨)，
故选：D．
将较大的数写成科学记数法形式：a×10n，其中1≤a<10，n为正整数即可．
本题考查了科学记数法−表示较大的数，掌握am⋅an=am+n是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：A.翻开九年级(上)数学教材，恰好翻到第58页，是随机事件，因此选项A不符合题意；
B.在一张纸上任意画两条直线，这两条直线必相交，是随机事件，因此选项B不符合题意；
C.在一个只装有白球的盒子里摸出黑球，是不可能事件，因此选项C不符合题意；
D.三角形的内角和等于180°，是必然事件，因此选项D符合题意．
故选：D．
根据随机事件，必然事件，不可能事件的定义结合具体的问题情境进行判断即可．
本题考查随机事件，理解随机事件，必然事件，不可能事件的定义是正确判断的前提．
5.【答案】A
【解析】解：3aa−b−3ba−b
=3a−3ba−b
=3(a−b)a−b
=3，
故选：A．
根据同分母的分式相减的法则进行计算即可．
本题考查了分式的加减，能熟记分式的加减法则是解此题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：∵∠BOC=2∠BAC，∠BAC=40°，
∴∠BOC=80°，
故选：D．
利用圆周角定理解决问题即可．
本题考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握圆周角定理，属于中考常考题型．
7.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查的是平行线性质和平角定义的有关知识，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
首先根据平角的定义求得∠2的度数，再利用平行线的性质即可求得∠1的度数．
【解答】
解：如图：
∵∠BCA=60°，∠DCE=45°，
∴∠2=180°−60°−45°=75°，
∵HF//BC，
∴∠1=∠2=75°，
故选C．
8.【答案】C
【解析】解：∵C是AO的中点，
∴S△ADC=S△ODC，S△ABC=S△OBC，
∴S△ABD=S△OBD，
∵双曲线y=8x(x>0)在第一象限，
∴S△OBD=12×8=4．
故选：C．
利用中点产生三角形中线，中线均分三角形面积，△ADB的面积等于△BDO的面积，△BDO的面积是8的一半．
本题考查了反比例函数中k值的几何意义，k的绝对值是反比例函数图象上一点与坐标轴围成的长方形的面积．
9.【答案】x≥12
【解析】
【分析】
本题主要考查函数自变量的取值范围，考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
根据二次根式的有意义的条件：被开方数大于等于0，就可以求解．
【解答】
解：依题意，得4x−2≥0，
解得：x≥12，
故答案为x≥12．
10.【答案】a4
【解析】解：a3⋅a=a3+1=a4．
故答案为：a4．
根据同底数幂的乘法法则计算即可，同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
本题主要考查了同底数幂的乘法，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
11.【答案】x(y+2)(y−2)
【解析】解：xy2−4x，
=x(y2−4)，
=x(y+2)(y−2)．
先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键，难点在于要进行二次因式分解．
12.【答案】5
【解析】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：5，5，5，5，5，5.2，6，6.4，6.68，48.3，63，
则众数是5，
故答案为：5．
根据众数的概念求解．
本题考查了众数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
13.【答案】1
【解析】解：把x=1代入方程x2−2x+a=0中，
得1−2+a=0，
解得a=1．
故答案为：1．
把x=1代入方程x2−2x+a=0中，计算即可得出答案．
本题主要考查了一元二次方程的解，应用一元二次方程的解的定义进行求解是解决本题的关键．
14.【答案】10
【解析】解：∵AB⊥AC，AB=3，AC=4，
∴BC= AB2+AC2=5，
由作图可知，MN是线段AC的垂直平分线，
∴EC=EA，AF=CF，
∴∠EAC=∠ACE，
∵∠B+∠ACB=∠BAE+∠CAE=90°，
∴∠B=∠BAE，
∴AE=BE，
∴AE=CE=12BC=2.5，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=5，CD=AB=3，∠ACD=∠BAC=90°，
同理证得AF=CF=2.5，
∴四边形AECF的周长=EC+EA+AF+CF=10，
故答案为：10．
根据勾股定理得到BC= AB2+AC2=5，由作图可知，MN是线段AC的垂直平分线，求得EC=EA，AF=CF，推出AE=CE=12BC=2.5，根据平行四边形的性质得到AD=BC=5，CD=AB=3，∠ACD=∠BAC=90°，同理证得AF=CF=2.5，于是得到结论．
本题考查了平行四边形的性质，作图−基本作图，勾股定理，线段垂直平分线的性质．利用勾股定理列出方程是解题的关键．
15.【答案】π
【解析】解：这个扇形的面积=90π×22360=π．
故答案为π．
直接利用扇形的面积公式计算．
本题考查了扇形的面积计算，能熟记扇形的面积公式是解此题的关键．
16.【答案】 5−12
【解析】解：连接AC、AG、作AH⊥BC于H，
∵点E为AH的中点，点F为GH的中点，
∴EF为△AGH的中位线，
∴AG=2EF，
在平行四边形ABCD中，∵∠C=135°，
∴∠B=45°，
∴AH=BH=1，
∴CH=2，
由勾股定理得AC= 5，
∴AG的最大值为 5，最小值为1，
∴EF的最大值与最小值的差为 5−12，
故答案为： 5−12．
连接AC、AG、作AH⊥BC于H，根据三角形中位线定理得AG=2EF，再求出AH和AC的长即可．
本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，三角形中位线定理等知识，作辅助线构造三角形中位线是解题的关键．
17.【答案】解：(2023−π)0+| 3−3|+2sin60°−(13)−1
=1+3− 3+2× 32−3
=1+3− 3+ 3−3
=1．
【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18.【答案】解：由①去括号得：4x−4
系数化为1得：x<2，
由②去分母得：6−x≥−3x，
移项、合并同类项得：2x≥−6，
系数化为1得：x≥−3，
∴不等式组的解集为−3≤x<2，
表示在数轴上，如图所示：
【解析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可．
此题考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式组的解集，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
19.【答案】证明：∵BF=EC，
∴BF+FC=EC+FC，
∴BC=EF．
在△ABC和△DEF中，
AB=DE,∠B=∠E,BC=EF,
∴△ABC≌△DEF(SAS)，
∴∠ACB=∠DFE，
∴AC//DF．
【解析】本题考查全等三角形的判定与性质、平行线的判定，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题的条件，利用数形结合的思想解答．
要证明AC//DF，只要证明∠ACB=∠DFE即可，要证明∠ACB=∠DFE，只要证明△ABC≌△DEF即可，根据题目中的条件可以证明△ABC≌△DEF，本题得以解决．
20.【答案】40 36°
【解析】解：(1)随机抽取的学生共有：12÷30%=40(名)，
在扇形统计图中，选择“礼行“课程的学生人数所对应的扇形圆心角的度数为：360°×440=36°，
选择“礼艺”课程的学生人数为：40×15%=6(名)，
故答案为：40，36°，
补全条形统计图如下：
(2)2400×840=480(人)，
答：估计参与“礼源”课程的学生共有480人；
(3)把“礼行”“礼知”“礼思”“礼艺”“礼源”五门课程分别记为A、B、C、D、E，
画树状图如下：
共有20种等可能的结果，其中选到“礼行”和“礼思”两门课程的结果有2种，
∴选到“礼行”和“礼思”两门课程的概率为220=110．
(1)由选择“礼思“课程的学生人数除以所占百分比得出随机抽取的学生人数，即可解决问题；
(2)由该校共有学生人数乘以参与“礼源”课程的学生所占的比例即可；
(3)画树状图，共有20种等可能的结果，其中选到“礼行”和“礼思”两门课程的结果有2种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21.【答案】解：由题意得：DC⊥AC，
在Rt△ECA中，∠EAC=34°，EC=55m，
∴AC=ECtan34∘≈550.67≈82.1(m)，
∵AB=40m，
∴BC=AC−AB=42.1(m)，
在Rt△BCD中，∠DBC=60°，
∴DC=BC⋅tan60°=42.1 3(m)，
∴DE=DC−EC=42.1 3−5≈18(m)，
∴巨石阵中高者DE的高度约为18m．
【解析】根据题意可得：DC⊥AC，然后在Rt△ECA中，利用锐角三角函数的定义求出AC的长，从而求出BC的长，再在Rt△BCD中，利用锐角三角函数的定义求出DC的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
22.【答案】解：设每间B客房租金为x元，则每间A客房租金为(x+40)元，根据题意可得：
2000x+40=1600x，
解得：x=160，
经检验：x=160是原分式方程的解，且符合实际，
160+40=200(元)，
∴每间A客房租金为200元，每间B客房租金为160元．
【解析】设每间B客房租金为x元，则每间A客房的租金为(x+40)元，根据“用2000元租到A客房数量与用1600元租到B客房数量相同”列出方程并解答．
本题考查了分式方程的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．
23.【答案】(1)证明：连接OC，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD=90°，
∴∠ADC+∠CAD=90°，
又∵OC=OD，
∴∠ADC=∠OCD，
又∵∠DCE=∠CAD．
∴∠DCE+∠OCD=90°，
即半径OC⊥EC，
∴FC是⊙O的切线；
(2)解：∵∠B=∠ADC，cosB=35，
∴cos∠ADC=35，
在Rt△ACD中，
∵cos∠ADC=35=CDAD，AD=10，
∴CD=AD⋅cos∠ADC=10×35=6，
∴AC= AD2−CD2=8，
∴CDAC=34，
∵∠ECD=∠EAC，∠E=∠E，
∴△ECD∽△EAC，
∴CDAC=ECEA=EDEC=34，
设ED=3x，
则EC=4x，AE=3x+10，
又∵EC2=ED⋅EA，
即(4x)2=3x⋅(3x+10)，
解得x=307(取正值)，
∴ED=3x=907．
【解析】(1)根据切线的判定，连接OC，证明出OC⊥EC即可，利用直径所得的圆周角为直角，三角形的内角和以及等腰三角形的性质可得答案；
(2)由cosB=35，根据锐角三角函数的意义和勾股定理可得CD：AC：AD=3：4：5，再根据相似三角形的性质可求出答案．
本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，直角三角形的边角关系以及相似三角形，掌握切线的判定方法，直角三角形的边角关系以及相似三角形的性质是正确解答的前提．
24.【答案】< <
【解析】解：(1)如图所示：
(2)①∵A点A(−5,y1)，B(−72,y2)在y=−2x上，y随x的增大而增大，
∴y1
②当y=2时，x≤−1时，有2=−2x，
∴x=−1；
当y=2时，x>−1时，有2=|x−1|，
∴x=3或x=−1(舍去)，
∴自变量x的值为x=−1或x=3，
③由图象可知，0
(2)①A与B在y=−2x上，y随x的增大而增大，所以y1x2；
②③当y=2时，2=|x−1|，则有x=3或x=−1；
③由图象可知，0
25.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABE=∠BCF=90°，AB=BC，
∴∠ABF+∠CBF=90°，
∵AE⊥BF，
∴∠ABF+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠CBF，
在△ABE和△BCF中，
∠ABE=∠BCFAB=BC∠BAE=∠CBF
∴△ABE≌△BCF；
(2)解：∵正方形面积为3，
∴AB= 3，
在△BGE与△ABE中，
∵∠GBE=∠BAE，∠EGB=∠EBA=90°，
∴△BGE∽△ABE，
∴S△BGES△ABE=(BEAE)2，
又∵BE=1，
∴AE2=AB2+BE2=3+1=4，
∴S△BGE=BE2AE2×S△ABE=14× 32= 38；
(3)解：没有变化．
理由：∵AB= 3，BE=1，
∴tan∠BAE=1 3= 33，∠BAE=30°，
∵AB′=AB=AD，∠AB′E′=∠ADE′=90°，AE′公共，
∴Rt△ABE≌Rt△AB′E′≌Rt△ADE′，
∴∠DAE′=∠B′AE′=∠BAE=30°，
∴AB′与AE在同一直线上，即BF与AB′的交点是G，
设BF与AE′的交点为H，
则∠BAG=∠HAG=30°，而∠AGB=∠AGH=90°，AG公共，
∴△BAG≌△HAG(ASA)，
∴S四边形GHE′B′=S△AB′E′−S△AGH=S△ABE−S△ABG=S△BGE．
∴△ABE在旋转前后与△BCF重叠部分的面积没有变化．
【解析】此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及三角函数等知识．此题综合性较强，难度较大，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．
(1)由四边形ABCD是正方形，可得∠ABE=∠BCF=90°，AB=BC，又由AE⊥BF，由同角的余角相等，即可证得∠BAE=∠CBF，然后利用ASA，即可判定：△ABE≌△BCF；
(2)由正方形ABCD的面积等于3，即可求得此正方形的边长，由在△BGE与△ABE中，∠GBE=∠BAE，∠EGB=∠EBA=90°，可证得△BGE∽△ABE，由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案；
(3)首先由正切函数，求得∠BAE=30°，易证得Rt△ABE≌Rt△AB′E′≌Rt△ADE′，可得AB′与AE在同一直线上，即BF与AB′的交点是G，然后设BF与AE′的交点为H，可证得△BAG≌△HAG，继而证得结论．
26.【答案】解：(1)将A(−1,0)，B(3,0)代入y=x2+bx+c，
得到1−b+c=09+3b+c=0，
解得b=−2c=−3，
∴抛物线的解析式为y=x2−2x−3；
(2)将C点的横坐标x=2代入y=x2−2x−3，得y=−3，
∴C(2,−3)，
∴直线AC的函数解析式是y=−x−1．
过点P作PE//y轴交AC于点E．
设P点的横坐标为m(−1≤m≤2)，则P、Q的坐标分别为：P(m,−m−1)，Q(m,m2−2m−3)；
∵P点在Q点的下方，PQ=(−m−1)−(m2−2m−3)=−m2+m+2，
∴S△APC=S△PCQ+S△APQ=12PQ⋅(xC−xA)=12(−m2+m+2)×3=−32(m−12)2+278．
∴当m=12时，S△APC最大，最大值为278，此时点P(12,−32)；
(3)存在．
理由：如图，
∵抛物线的解析式为y=x2−2x−3，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
设D(1,n)，M(t,t2−2t−3)，
当AC是平行四边形ACM1D1的边时，
∵A(−1,0)，C(2,−3)，
∴2+1=−1+t，解得t=4，
∴M(4,5)，
∴0+5=−3+n，解得n=8，
∴D1(1,8)；
当AC是平行四边形ACD2M2的边时，
∵A(−1,0)，C(2,−3)，
∴−1+1=2+t，解得t=−2，
∴M(−2,5)，
∴−3+5=0+n，解得n=2，
∴D2(1,2)；
当AC是平行四边形AM3CD3的对角线时，
∵A(−1,0)，C(2,−3)，
∴−1+2=1+t，解得t=0，
∴M(0,−3)，
∴−3+n=0−3，解得n=0，
∴D3(1,0)；
综上所述，所有满足条件的点D的坐标为(1,8)或(1,8)或(1,0)．
【解析】(1)将A、B的坐标代入抛物线中，即可求出抛物线的解析式；
(2)将C点横坐标代入抛物线的解析式中，即可求出C点的坐标，再由待定系数法可求出直线AC的解析式．可设P点的横坐标为m，用m分别表示出P、Q的纵坐标，即可得到关于PQ的长、m的函数关系式，由S△APC=S△PCQ+S△APQ=12PQ⋅(xA−xC)，即可求解；
(3)存在．如图，得出抛物线的对称轴为直线x=1，设D(1,n)，M(t,t2−2t−3)，分图中三种情形，利用平行四边形的性质以及平移变换的性质求解即可．
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
2023年湖南省郴州市资兴市中考数学二模试卷
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. −2023的相反数是( )
A. 2023 B. 12023 C. −12023 D. −2023
2. 2022年4月16日，神舟十三号载人飞船圆满完成全部既定任务，顺利返回地球家园．六个月的飞天之旅展现了中国航天科技的新高度．下列航天图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是( )
A. 中国探火 B. 中国火箭
C. 中国行星探测 D. 航天神舟
3. 粮食是人类赖以生存的物质基础，2022年我国粮食总产量再创新高，达68653万吨，该数据可用科学记数法表示为( )
A. 6.8653×104吨 B. 68653×104吨 C. 6.8653×107吨 D. 6.8653×108吨
4. 下列事件中是必然事件的是( )
A. 翻开九年级(上)数学教材，恰好翻到第58页
B. 在一张纸上任意画两条直线，这两条直线必相交
C. 在一个只装有白球的盒子里摸出黑球
D. 三角形的内角和等于180°
5. 计算3aa−b−3ba−b的结果是( )
A. 3 B. 3a+3b C. 1 D. 6aa−b
6. 如图，点A，B，C在⊙O上，若∠BAC=40°，则∠BOC=( )
A. 40°
B. 50°
C. 70°
D. 80°
7. 将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为( )
A. 60° B. 65° C. 75° D. 85°
8. 如图，A是双曲线y=8x(x>0)上的一点，点C是OA的中点，过点C作y轴的垂线，垂足为D，交双曲线于点B，则△ABD的面积是( )
A. 2
B. 8
C. 4
D. 16
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）
9. 函数y= 4x−2中，自变量x的取值范围是______．
10. 计算：a3⋅a= ______ ．
11. 因式分解：xy2−4x=______．
12. 郴州正稳步推进碧道建设，营造“水清岸绿、鱼翔浅底、水草丰美、白鹭成群”的生态廊道，使之成为老百姓美好生活的好去处.到今年底各县市区完成碧道试点建设的长度分别为(单位：千米)：5，5.2，5，5，5，6.4，6，5，6.68，48.4，6.3，这组数据的众数是______ ．
13. 若x=1是方程x2−2x+a=0的根，则a=______．
14. 如图，在平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB=3，AC=4，分别以A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线，与BC交于点E，与AD交于点F，连接AE，CF，则四边形AECF的周长为______ ．
15. 若扇形的半径为2，圆心角为90°，则这个扇形的面积为______ ．
16. 如图，在平行四边形ABCD中，∠C=135°，AD=3，AB= 2，点H、G分别是边CD、BC上的动点，连接AH、GH，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF，则EF的最大值与最小值的差为______ ．
三、解答题（本大题共10小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
计算：(2023−π)0+| 3−3|+2sin60°−(13)−1．
18. (本小题6.0分)
解不等式组：4(x−1)
19. (本小题6.0分)
如图，AB=DE，BF=EC，∠B=∠E，求证：AC//DF．
20. (本小题8.0分)
某校为积极响应“福城圣地，郴州有礼”城市品牌建设，在每周五下午第三节课开展了丰富多彩的走班选课活动.其中综合实践类共开设了“礼行”“礼知”“礼思”“礼艺”“礼源”等五门课程，要求全校学生必须参与其中一门课程.为了解学生参与综合实践类课程活动情况，随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果绘制了如图所示不完整的条形统计图和扇形统计图．
(1)随机抽取的学生共有______ 名，在扇形统计图中，选择“礼行“课程的学生人数所对应的扇形圆心角的度数______ .并补全条形统计图．
(2)若该校共有学生2400人，估计其中参与“礼源”课程的学生共有多少人？
(3)小军计划从“礼行”“礼知”“礼思”“礼艺”“礼源”等五门课程中，任选两门参加，求选到“礼行”和“礼思”两门课程的概率.(要求画树状图或列表求概率)
21. (本小题8.0分)
某数学兴趣小组到高椅岭风景区对巨石阵(巨石阵中高者)的高度进行测量.如图所示，巨石阵中高者DE在高55m的小山EC上，在A处测得巨石阵中高者的底部E的仰角为34°，再沿AC方向前进40m到达B处，测得巨石阵中高者的顶部D的仰角为60°，求巨石阵中高者DE的高度.(精确到1m.参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67， 3≈1.73)
22. (本小题8.0分)
“30天无理由退货”是营造我省“诚信旅游”良好环境，进一步提升旅游形象的创新举措.机场、车站、出租车、景区、手机短信……，“30天无理由退货”的提示随处可见，它已成为一张云南旅行的“安心卡”，极大地提高了旅游服务的品质.刚刚过去的“五⋅一”假期，旅游线路、住宿、餐饮、生活服务、购物等旅游消费的供给更加多元，同步的是云南旅游市场强劲复苏.某旅行社今年5月1日租用A、B两种客房一天，供当天使用.下面是有关信息：
请根据上述信息，分别求今年5月1日该旅行社租用的A、B两种客房每间客房的租金．
23. (本小题8.0分)
如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，E是AD延长线上一点，连接CD，CE.且∠DCE=∠CAD．
(1)求证：CE是⊙O的切线；
(2)若cosB=35，AD=10，求ED的长．
24. (本小题10.0分)
若一个函数当自变量在不同范围内取值时，函数表达式不同，我们称这样的函数为分段函数.下面我们参照学习函数的过程与方法，探究分段函数y=−2x(x≤−1)|x−1|(x>−1)的图象与性质.列表：
x
…
−3
−52
−2
−32
−1
−12
0
12
1
32
2
52
3
…
y
…
23
45
1
43
2
32
1
12
0
12
1
32
2
…
描点：在平面直角坐标系中，以自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值y为纵坐标，描出相应的点，如图所示．
(1)如图，在平面直角坐标系中，观察描出的这些点的分布，作出函数图象；
(2)研究函数并结合图象与表格，回答下列问题：
①点A(−5,y1)，B(−72,y2)，C(x1,52)，D(x2,6)在函数图象上，则y1 ______ y2，x1 ______ x2；(填“>”，“=”或“<”)
②当函数值y=2时，求自变量x的值；
③若直线y=a与函数图象有三个不同的交点，求a的取值范围．
25. (本小题10.0分)
已知：如图1，在面积为3的正方形ABCD中，E、F分别是BC和CD边上的两点，AE⊥BF于点G，且BE=1．
(1)求证：△ABE≌△BCF；
(2)求出△ABE和△BCF重叠部分(即△BEG)的面积；
(3)现将△ABE绕点A逆时针方向旋转到△AB′E′(如图2)，使点E落在CD边上的点E′处，问△ABE在旋转前后与△BCF重叠部分的面积是否发生了变化？请说明理由．
26. (本小题12.0分)
如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A(−1,0)，B(3,0)两点，过点A的直线L交抛物线于点C(2,m)．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点P是直线AC下方抛物线y=x2+bx+c的一个动点，当△PAC面积最大时，求点P的坐标及△PAC面积最大值．
(3)若点M是抛物线上的动点，在抛物线y=x2+bx+c的对称轴上是否存在点D，使得以点A，C，D，M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接求出所有满足条件的点D的坐标；如果不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：−2023的相反数是2023，
故选：A．
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，由此即可得到答案．
本题考查相反数的概念，关键是掌握相反数的定义．
2.【答案】B
【解析】解：选项A、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，
选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，
故选：B．
根据中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．
本题考查中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
3.【答案】D
【解析】解：68653万吨
=6.8653×104×104
=6.8653×108(吨)，
故选：D．
将较大的数写成科学记数法形式：a×10n，其中1≤a<10，n为正整数即可．
本题考查了科学记数法−表示较大的数，掌握am⋅an=am+n是解题的关键．
4.【答案】D
【解析】解：A.翻开九年级(上)数学教材，恰好翻到第58页，是随机事件，因此选项A不符合题意；
B.在一张纸上任意画两条直线，这两条直线必相交，是随机事件，因此选项B不符合题意；
C.在一个只装有白球的盒子里摸出黑球，是不可能事件，因此选项C不符合题意；
D.三角形的内角和等于180°，是必然事件，因此选项D符合题意．
故选：D．
根据随机事件，必然事件，不可能事件的定义结合具体的问题情境进行判断即可．
本题考查随机事件，理解随机事件，必然事件，不可能事件的定义是正确判断的前提．
5.【答案】A
【解析】解：3aa−b−3ba−b
=3a−3ba−b
=3(a−b)a−b
=3，
故选：A．
根据同分母的分式相减的法则进行计算即可．
本题考查了分式的加减，能熟记分式的加减法则是解此题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：∵∠BOC=2∠BAC，∠BAC=40°，
∴∠BOC=80°，
故选：D．
利用圆周角定理解决问题即可．
本题考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握圆周角定理，属于中考常考题型．
7.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查的是平行线性质和平角定义的有关知识，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
首先根据平角的定义求得∠2的度数，再利用平行线的性质即可求得∠1的度数．
【解答】
解：如图：
∵∠BCA=60°，∠DCE=45°，
∴∠2=180°−60°−45°=75°，
∵HF//BC，
∴∠1=∠2=75°，
故选C．
8.【答案】C
【解析】解：∵C是AO的中点，
∴S△ADC=S△ODC，S△ABC=S△OBC，
∴S△ABD=S△OBD，
∵双曲线y=8x(x>0)在第一象限，
∴S△OBD=12×8=4．
故选：C．
利用中点产生三角形中线，中线均分三角形面积，△ADB的面积等于△BDO的面积，△BDO的面积是8的一半．
本题考查了反比例函数中k值的几何意义，k的绝对值是反比例函数图象上一点与坐标轴围成的长方形的面积．
9.【答案】x≥12
【解析】
【分析】
本题主要考查函数自变量的取值范围，考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
根据二次根式的有意义的条件：被开方数大于等于0，就可以求解．
【解答】
解：依题意，得4x−2≥0，
解得：x≥12，
故答案为x≥12．
10.【答案】a4
【解析】解：a3⋅a=a3+1=a4．
故答案为：a4．
根据同底数幂的乘法法则计算即可，同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
本题主要考查了同底数幂的乘法，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
11.【答案】x(y+2)(y−2)
【解析】解：xy2−4x，
=x(y2−4)，
=x(y+2)(y−2)．
先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键，难点在于要进行二次因式分解．
12.【答案】5
【解析】解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：5，5，5，5，5，5.2，6，6.4，6.68，48.3，63，
则众数是5，
故答案为：5．
根据众数的概念求解．
本题考查了众数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
13.【答案】1
【解析】解：把x=1代入方程x2−2x+a=0中，
得1−2+a=0，
解得a=1．
故答案为：1．
把x=1代入方程x2−2x+a=0中，计算即可得出答案．
本题主要考查了一元二次方程的解，应用一元二次方程的解的定义进行求解是解决本题的关键．
14.【答案】10
【解析】解：∵AB⊥AC，AB=3，AC=4，
∴BC= AB2+AC2=5，
由作图可知，MN是线段AC的垂直平分线，
∴EC=EA，AF=CF，
∴∠EAC=∠ACE，
∵∠B+∠ACB=∠BAE+∠CAE=90°，
∴∠B=∠BAE，
∴AE=BE，
∴AE=CE=12BC=2.5，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=5，CD=AB=3，∠ACD=∠BAC=90°，
同理证得AF=CF=2.5，
∴四边形AECF的周长=EC+EA+AF+CF=10，
故答案为：10．
根据勾股定理得到BC= AB2+AC2=5，由作图可知，MN是线段AC的垂直平分线，求得EC=EA，AF=CF，推出AE=CE=12BC=2.5，根据平行四边形的性质得到AD=BC=5，CD=AB=3，∠ACD=∠BAC=90°，同理证得AF=CF=2.5，于是得到结论．
本题考查了平行四边形的性质，作图−基本作图，勾股定理，线段垂直平分线的性质．利用勾股定理列出方程是解题的关键．
15.【答案】π
【解析】解：这个扇形的面积=90π×22360=π．
故答案为π．
直接利用扇形的面积公式计算．
本题考查了扇形的面积计算，能熟记扇形的面积公式是解此题的关键．
16.【答案】 5−12
【解析】解：连接AC、AG、作AH⊥BC于H，
∵点E为AH的中点，点F为GH的中点，
∴EF为△AGH的中位线，
∴AG=2EF，
在平行四边形ABCD中，∵∠C=135°，
∴∠B=45°，
∴AH=BH=1，
∴CH=2，
由勾股定理得AC= 5，
∴AG的最大值为 5，最小值为1，
∴EF的最大值与最小值的差为 5−12，
故答案为： 5−12．
连接AC、AG、作AH⊥BC于H，根据三角形中位线定理得AG=2EF，再求出AH和AC的长即可．
本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，三角形中位线定理等知识，作辅助线构造三角形中位线是解题的关键．
17.【答案】解：(2023−π)0+| 3−3|+2sin60°−(13)−1
=1+3− 3+2× 32−3
=1+3− 3+ 3−3
=1．
【解析】先化简各式，然后再进行计算即可解答．
本题考查了实数的运算，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
18.【答案】解：由①去括号得：4x−4
系数化为1得：x<2，
由②去分母得：6−x≥−3x，
移项、合并同类项得：2x≥−6，
系数化为1得：x≥−3，
∴不等式组的解集为−3≤x<2，
表示在数轴上，如图所示：
【解析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可．
此题考查了解一元一次不等式组，以及在数轴上表示不等式组的解集，熟练掌握不等式组的解法是解本题的关键．
19.【答案】证明：∵BF=EC，
∴BF+FC=EC+FC，
∴BC=EF．
在△ABC和△DEF中，
AB=DE,∠B=∠E,BC=EF,
∴△ABC≌△DEF(SAS)，
∴∠ACB=∠DFE，
∴AC//DF．
【解析】本题考查全等三角形的判定与性质、平行线的判定，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题的条件，利用数形结合的思想解答．
要证明AC//DF，只要证明∠ACB=∠DFE即可，要证明∠ACB=∠DFE，只要证明△ABC≌△DEF即可，根据题目中的条件可以证明△ABC≌△DEF，本题得以解决．
20.【答案】40 36°
【解析】解：(1)随机抽取的学生共有：12÷30%=40(名)，
在扇形统计图中，选择“礼行“课程的学生人数所对应的扇形圆心角的度数为：360°×440=36°，
选择“礼艺”课程的学生人数为：40×15%=6(名)，
故答案为：40，36°，
补全条形统计图如下：
(2)2400×840=480(人)，
答：估计参与“礼源”课程的学生共有480人；
(3)把“礼行”“礼知”“礼思”“礼艺”“礼源”五门课程分别记为A、B、C、D、E，
画树状图如下：
共有20种等可能的结果，其中选到“礼行”和“礼思”两门课程的结果有2种，
∴选到“礼行”和“礼思”两门课程的概率为220=110．
(1)由选择“礼思“课程的学生人数除以所占百分比得出随机抽取的学生人数，即可解决问题；
(2)由该校共有学生人数乘以参与“礼源”课程的学生所占的比例即可；
(3)画树状图，共有20种等可能的结果，其中选到“礼行”和“礼思”两门课程的结果有2种，再由概率公式求解即可．
此题考查的是树状图法求概率以及条形统计图和扇形统计图等知识．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21.【答案】解：由题意得：DC⊥AC，
在Rt△ECA中，∠EAC=34°，EC=55m，
∴AC=ECtan34∘≈550.67≈82.1(m)，
∵AB=40m，
∴BC=AC−AB=42.1(m)，
在Rt△BCD中，∠DBC=60°，
∴DC=BC⋅tan60°=42.1 3(m)，
∴DE=DC−EC=42.1 3−5≈18(m)，
∴巨石阵中高者DE的高度约为18m．
【解析】根据题意可得：DC⊥AC，然后在Rt△ECA中，利用锐角三角函数的定义求出AC的长，从而求出BC的长，再在Rt△BCD中，利用锐角三角函数的定义求出DC的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
22.【答案】解：设每间B客房租金为x元，则每间A客房租金为(x+40)元，根据题意可得：
2000x+40=1600x，
解得：x=160，
经检验：x=160是原分式方程的解，且符合实际，
160+40=200(元)，
∴每间A客房租金为200元，每间B客房租金为160元．
【解析】设每间B客房租金为x元，则每间A客房的租金为(x+40)元，根据“用2000元租到A客房数量与用1600元租到B客房数量相同”列出方程并解答．
本题考查了分式方程的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系．
23.【答案】(1)证明：连接OC，
∵AD是⊙O的直径，
∴∠ACD=90°，
∴∠ADC+∠CAD=90°，
又∵OC=OD，
∴∠ADC=∠OCD，
又∵∠DCE=∠CAD．
∴∠DCE+∠OCD=90°，
即半径OC⊥EC，
∴FC是⊙O的切线；
(2)解：∵∠B=∠ADC，cosB=35，
∴cos∠ADC=35，
在Rt△ACD中，
∵cos∠ADC=35=CDAD，AD=10，
∴CD=AD⋅cos∠ADC=10×35=6，
∴AC= AD2−CD2=8，
∴CDAC=34，
∵∠ECD=∠EAC，∠E=∠E，
∴△ECD∽△EAC，
∴CDAC=ECEA=EDEC=34，
设ED=3x，
则EC=4x，AE=3x+10，
又∵EC2=ED⋅EA，
即(4x)2=3x⋅(3x+10)，
解得x=307(取正值)，
∴ED=3x=907．
【解析】(1)根据切线的判定，连接OC，证明出OC⊥EC即可，利用直径所得的圆周角为直角，三角形的内角和以及等腰三角形的性质可得答案；
(2)由cosB=35，根据锐角三角函数的意义和勾股定理可得CD：AC：AD=3：4：5，再根据相似三角形的性质可求出答案．
本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，直角三角形的边角关系以及相似三角形，掌握切线的判定方法，直角三角形的边角关系以及相似三角形的性质是正确解答的前提．
24.【答案】< <
【解析】解：(1)如图所示：
(2)①∵A点A(−5,y1)，B(−72,y2)在y=−2x上，y随x的增大而增大，
∴y1
②当y=2时，x≤−1时，有2=−2x，
∴x=−1；
当y=2时，x>−1时，有2=|x−1|，
∴x=3或x=−1(舍去)，
∴自变量x的值为x=−1或x=3，
③由图象可知，0
(2)①A与B在y=−2x上，y随x的增大而增大，所以y1
②③当y=2时，2=|x−1|，则有x=3或x=−1；
③由图象可知，0
25.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABE=∠BCF=90°，AB=BC，
∴∠ABF+∠CBF=90°，
∵AE⊥BF，
∴∠ABF+∠BAE=90°，
∴∠BAE=∠CBF，
在△ABE和△BCF中，
∠ABE=∠BCFAB=BC∠BAE=∠CBF
∴△ABE≌△BCF；
(2)解：∵正方形面积为3，
∴AB= 3，
在△BGE与△ABE中，
∵∠GBE=∠BAE，∠EGB=∠EBA=90°，
∴△BGE∽△ABE，
∴S△BGES△ABE=(BEAE)2，
又∵BE=1，
∴AE2=AB2+BE2=3+1=4，
∴S△BGE=BE2AE2×S△ABE=14× 32= 38；
(3)解：没有变化．
理由：∵AB= 3，BE=1，
∴tan∠BAE=1 3= 33，∠BAE=30°，
∵AB′=AB=AD，∠AB′E′=∠ADE′=90°，AE′公共，
∴Rt△ABE≌Rt△AB′E′≌Rt△ADE′，
∴∠DAE′=∠B′AE′=∠BAE=30°，
∴AB′与AE在同一直线上，即BF与AB′的交点是G，
设BF与AE′的交点为H，
则∠BAG=∠HAG=30°，而∠AGB=∠AGH=90°，AG公共，
∴△BAG≌△HAG(ASA)，
∴S四边形GHE′B′=S△AB′E′−S△AGH=S△ABE−S△ABG=S△BGE．
∴△ABE在旋转前后与△BCF重叠部分的面积没有变化．
【解析】此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及三角函数等知识．此题综合性较强，难度较大，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．
(1)由四边形ABCD是正方形，可得∠ABE=∠BCF=90°，AB=BC，又由AE⊥BF，由同角的余角相等，即可证得∠BAE=∠CBF，然后利用ASA，即可判定：△ABE≌△BCF；
(2)由正方形ABCD的面积等于3，即可求得此正方形的边长，由在△BGE与△ABE中，∠GBE=∠BAE，∠EGB=∠EBA=90°，可证得△BGE∽△ABE，由相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得答案；
(3)首先由正切函数，求得∠BAE=30°，易证得Rt△ABE≌Rt△AB′E′≌Rt△ADE′，可得AB′与AE在同一直线上，即BF与AB′的交点是G，然后设BF与AE′的交点为H，可证得△BAG≌△HAG，继而证得结论．
26.【答案】解：(1)将A(−1,0)，B(3,0)代入y=x2+bx+c，
得到1−b+c=09+3b+c=0，
解得b=−2c=−3，
∴抛物线的解析式为y=x2−2x−3；
(2)将C点的横坐标x=2代入y=x2−2x−3，得y=−3，
∴C(2,−3)，
∴直线AC的函数解析式是y=−x−1．
过点P作PE//y轴交AC于点E．
设P点的横坐标为m(−1≤m≤2)，则P、Q的坐标分别为：P(m,−m−1)，Q(m,m2−2m−3)；
∵P点在Q点的下方，PQ=(−m−1)−(m2−2m−3)=−m2+m+2，
∴S△APC=S△PCQ+S△APQ=12PQ⋅(xC−xA)=12(−m2+m+2)×3=−32(m−12)2+278．
∴当m=12时，S△APC最大，最大值为278，此时点P(12,−32)；
(3)存在．
理由：如图，
∵抛物线的解析式为y=x2−2x−3，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
设D(1,n)，M(t,t2−2t−3)，
当AC是平行四边形ACM1D1的边时，
∵A(−1,0)，C(2,−3)，
∴2+1=−1+t，解得t=4，
∴M(4,5)，
∴0+5=−3+n，解得n=8，
∴D1(1,8)；
当AC是平行四边形ACD2M2的边时，
∵A(−1,0)，C(2,−3)，
∴−1+1=2+t，解得t=−2，
∴M(−2,5)，
∴−3+5=0+n，解得n=2，
∴D2(1,2)；
当AC是平行四边形AM3CD3的对角线时，
∵A(−1,0)，C(2,−3)，
∴−1+2=1+t，解得t=0，
∴M(0,−3)，
∴−3+n=0−3，解得n=0，
∴D3(1,0)；
综上所述，所有满足条件的点D的坐标为(1,8)或(1,8)或(1,0)．
【解析】(1)将A、B的坐标代入抛物线中，即可求出抛物线的解析式；
(2)将C点横坐标代入抛物线的解析式中，即可求出C点的坐标，再由待定系数法可求出直线AC的解析式．可设P点的横坐标为m，用m分别表示出P、Q的纵坐标，即可得到关于PQ的长、m的函数关系式，由S△APC=S△PCQ+S△APQ=12PQ⋅(xA−xC)，即可求解；
(3)存在．如图，得出抛物线的对称轴为直线x=1，设D(1,n)，M(t,t2−2t−3)，分图中三种情形，利用平行四边形的性质以及平移变换的性质求解即可．
本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构建二次函数解决最值问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
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