2023年湖南省株洲市荷塘区中考数学模拟试卷（含解析）

这是一份2023年湖南省株洲市荷塘区中考数学模拟试卷（含解析），共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年湖南省株洲市荷塘区中考数学模拟试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. −2的相反数是(    )
A. 2 B. −2 C. 12 D. −12
2. 下列计算正确的是(    )
A. (2a4)3=6a12 B. 5a−4a=1
C. 3a⋅a2=3a2 D. (a+3)(a−3)=a2−9
3. 五一期间，株洲醴陵市炒粉节3天时间共接待游客783000人次，783000用科学记数法表示为(    )
A. 7.83×104 B. 78.3×104 C. 7.83×105 D. 7.83×106
4. 如图是某企业2020年5～10月份月利润变化情况的折线统计图，下列说法与图中反映的信息相符的是(    )

A. 5～6月份月利润增长量大于9～10月份月利润增长量
B. 5～10月份月利润的中位数是700万元
C. 5～10月份月利润的平均数是760万元
D. 5～10月份月利润的众数是1000万元
5. 关于x的不等式12x−a>0的一个解是x=6，则a的值可能是(    )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
6. 如图，将木条a、b和c用螺丝钉在一起，且∠1=70°，∠2=50°，若木条b、c位置不动，将木条a绕固定点顺时针旋转，使得a//b，则旋转的角度可以是(    )
A. 10°
B. 20°
C. 30°
D. 50°
7. 若a>b，则下列不等式不一定成立的是(    )
A. 2a>2b B. −ab+1 D. a2>b2
8. 如图，以正五边形ABCDE的顶点A为圆心作⊙A分别与边AE、AB交于点F、G，点P是劣弧FG上一点，连接PF、PG，则∠FPG的度数为(    )
A. 116°
B. 120°
C. 124°
D. 126°
9. 在平面直角坐标系中，若点P的横坐标与纵坐标的和为零，则称点P为“零和点”.已知二次函数y=x2+3x+m的图象上有且只有一个“零和点”，则下列结论正确的是(    )
A. m=94 B. m=49 C. m=1 D. m=4
10. 如图，在▱ABCD中,BC=8,AB=AC=4 5，点E为BC边上一点，BE=6，点F是AB边上的动点，将△BEF沿直线EF折叠得到△GEF，点B的对应点为点G，连接DE，有下列4个结论：①tanB=2；②DE=10；③当GE⊥BC时，BF=3 2；④若点G恰好落在线段DE上时，则AFBF=13.其中正确的是(    )
A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④
二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）
11. 因式分解：3x2−12=______．
12. 从1，2，3，…，10这十个整数中任意取一个数，这个数是3的倍数的概率是______ ．
13. 计算：( 8− 12)× 2= ______ ．
14. 方程5x−2=3x的解是______ ．
15. 某中学举办“学雷锋见行动”青少年演讲比赛，要从甲、乙、丙、丁四位同学中选一名同学参加，下表是这四名同学五次校演讲比赛成绩统计表，如果从这四位同学中，选出一位同学参赛，那么应选的同学是______ ．

甲
乙
丙
丁
平均分
85
90
90
85
方差
50
42
50
42

16. 如图，在▱ABCD中，点E在AD上，且BE平分∠ABC，交AC于点O，若AB=3，BC=4，则AOOC= ______ ．


17. 如图，矩形ABCD的边AB与y轴平行，顶点A的坐标为(1,m)，C(3,m+6)，反比例函数y=kx(x>0)的图象同时经过点B与点D，则k的值为______．


18. 如图，在矩形ABCD中，E为AB中点，以BE为边作正方形BEFG，边EF交CD于点H，在边BE上取点M使BM=BC，作MN//BG交CD于点L，交FG于点N，欧几里得在《几何原本》中利用该图解释了(a+b)(a−b)=a2−b2，现以点F为圆心，FE为半径作圆弧交线段DH于点P，连接EP，记△EPH的面积为S1，图中阴影部分的面积为S2.若点A，L，G在同一直线上，
①若b=1，则a= ______ ；
②S1S2的值为______ ．

三、解答题（本大题共8小题，共78.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
19. (本小题6.0分)
计算：(π−2023)0+ 3tan30°−(13)−1．
20. (本小题8.0分)
先化简，再求值：(1+ba−b)⋅a2−b2a2，其中a=2，b=4．
21. (本小题8.0分)
如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．
(1)求证：△ABE≌△ADF；
(2)已知tanB=43,CE=4，求AC的长．

22. (本小题10.0分)
如图1是某商场的入口，它是由立桂、斜杆、支撑杆组成的支架撑起的，如图2是它的示意图，点P、A、C在同一水平线上，经过测量，支架的立柱BC与地面PC垂直(∠ACB=90°)，BC=3米，支撑杆DE⊥AB于点E，∠BDE=α且sinα=25，从点B观测点D的仰角为45°，又测得BE=4米．
(1)求该支架的边BD的长；
(2)求支架的边BD的顶端点D到地面PC的距离DF.(结果保留根号)

23. (本小题10.0分)
荷塘区教育局开展中小学“与阅读同行伴书香成长”阅读话动，某校组织对全校八年级“大阅读”五星级评选工作进行抽样调查，随机抽取20名学生阅读的积分情况(积分为整数)进行分析：
【收集数据】20名学生的“大阅读”积分如下(单位：分)：
32 43 34 35 15 56 48 24 45 10 25 40 59 42 55 30 47 28 37 42
【整理数据】请你按如下表格分组整理、描述样本数据，并把下列表格补充完整
积分/分
星级
频数
10≤x≤19
红
2
20≤x≤29
橙
3
30≤x≤39
黄
5
40≤x≤49
绿
m
50≤x≤59
青
n
根据以上数据可制成不完整的频数分布直方图．
(1)填空：m= ______ ，n= ______ ；
(2)补全频数分布直方图；
【得出结论】
(3)估计该校八年级600名学生中获得绿星级以上的人数．
(4)已知该校八年级学生小明的积分为a分，是绿星级；小红的积分为b分，是青星级.如果俩人的积分与上述20名学生的积分都不一样，那么b−a的最大值是______ ．

24. (本小题10.0分)
如图，在平面直角坐标系Oxy中，一次函数y=12x+1的图象与反比例函数y=kx(x>0)的图象交于点A(m,3)，交y轴于点B．
(1)求m、k的值；
(2)过点A的直线DE，交反比例函数y=kx(x>0)的图象于点C，分别交x、y轴于点D、点E.若AC=AD，求△BEC的面积．

25. (本小题13.0分)
四边形ABCD内接于⊙O，BD为⊙O的直径，点E在BC的延长线上，且∠BDC=∠DEC．
(1)如图1，求证：DE是⊙O的切线；
(2)如图1，若AC//DE，当AB=8，⊙O的半径为2 5时，求DE的长；
(3)如图2，AD、BC的延长线交于点F，若AB=AC，求证：ED=EF．


26. (本小题13.0分)
已知二次函数y=ax2+bx+c(ab，
∴2a>2b，−ab+1，
当a>b>0时，a2>b2，
故选：D．
根据不等式性质知直接判断即可得到答案．
本题考查不等式的性质，解题的关键是熟练掌握不等式的基本性质．

8.【答案】D 
【解析】解：如图所示：在⊙A上取一点A′，连接FA′，CA′，
∵正五边形ABCDE，
∴∠EAB=(5−2)×180°5=108°，
∴∠FA′G=54°，
∴∠FPG=180°−54°=126°．
故选：D．
直接利用正多边形的性质得出∠EAB的度数，再利用圆周角定理以及圆内接四边形的性质得出答案．
此题主要考查了正多边形和圆以及圆周角定理，正确得出∠FA′G度数是解题关键．

9.【答案】D 
【解析】
【分析】
由“零和点”的定义可得点P在直线y=−x上，令x2+3x+m=−x，根据Δ=b2−4ac=0求解．
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是理解题意，掌握二次函数与方程的关系．
【解答】
解：由题意得点P在直线y=−x上，
∴y=x2+3x+m的图象上有且只有一个“零和点”时，方程x2+3x+m=−x有两个相同的解，
∴Δ=b2−4ac=42−4m=0，
解得m=4，
故选：D．  
10.【答案】D 
【解析】解：①等腰△ABC，AB=AC=4 5，BC=8，底边上的高AM为8，BM=12BC=4，
∴①tanB=AMBM=2，故①正确；
②如图1，BC=8，BM=4，得EN=EC+CN=EC+BM=6，DN=AM=8，DE= EN2+DN2= 62+82=10.故②正确；
③如图1，作FH⊥BC，垂足为H，当GE⊥BC时，∠BEF=∠GEF=45°，
∴EH=FH，BH=6−EH，
∵FHBH=2．
∴FH=4，BH=2．
BF= BH2+FH2= 22+42=2 5，故③错误．
④如图2，分别延长EF，DA交于点P，由翻折可知，∠BEP=∠DEP=∠DPE，
∴DE=DP=10，
∴PA=10−8=2，
∵PD//BC，
∴AFBF=PABE=26=13.故④正确．
故选：D．
根据翻折的性质，利用正切的值判断①，构造直角三角形，利用勾股定理判断②，构造直角三角形利用∠B的正切值计算BF的长度可判断③，利用相似转化比例关系可判断④．
本题考查了翻折背景下勾股定理和相似三角形性质和判定的运用，画出不同条件下的图形是突破该题的关键．

11.【答案】3(x+2)(x−2) 
【解析】解：原式=3(x2−4)
=3(x+2)(x−2)．
故答案为：3(x+2)(x−2)．
原式先用提取公因式，再利用平方差公式分解即可．
此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

12.【答案】310 
【解析】解：∵1，2，3，…，9，10这十个整数中，是3的倍数的有：3、6、9共三个，
∴这个数是3的倍数的概率是：310．
故答案为：310．
让10个数中3的倍数的个数除以数的总数即为所求的概率．
此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率P(A)=mn．

13.【答案】3 
【解析】解：( 8− 12)× 2
= 8× 2− 12× 2
=4−1
=3．
故答案为：3．
先运用乘法分配律展开，再利用二次根式的乘法法则计算即可．
本题考查了二次根式的混合运算，掌握运算法则是关键．

14.【答案】x=−3 
【解析】解：去分母，得5x=3(x−2)，
去括号，得5x=3x−6，
 移项、合并，得2x=−6，
解得x=−3，
检验：当x=−3时，x(x−2)≠0，
所以，原方程的解为x=−3，
故答案为：x=−3．
公分母为x(x−2)，去分母转化为整式方程求解，结果要检验．
本题考查了解分式方程．(1)解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，(2)解分式方程一定注意要验根．

15.【答案】乙 
【解析】解：从平均分看，乙、丙的平均分相同且都高于甲、丁的平均数，
故应从乙、丙中选择一人参赛，
从方差来看，乙、丁的方差相同且都低于甲、丙的方差，
故应从乙、丁中选择一人参赛，
综上所述，应选择乙同学参赛．
故答案为：乙．
根据应选择平均分大且方差小的同学参赛进行求解即可．
本题主要考查了根据平均数和方差做决策，掌握平均数和方差的定义是解题的关键．

16.【答案】34 
【解析】解：在▱ABCD中，AD//BC，
∴∠AEB=∠CBE，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠AEB=∠ABE，
∴AE=AB=3，
∵AD//BC，
∴△AOE∽△COB，
∴AOOC=AEBC=34，
故答案为：34．
证明△AOE∽△COB，根据相似三角形对应边的比相等列式即可解决问题．
本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解决本题的关键是得到△AOE∽△COB．

17.【答案】9 
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，顶点A的坐标为(1,m)，C(3,m+6)，
∴设B、D两点的坐标分别为(1,m+6)、(3,m)，
∵点B与点D在反比例函数y=kx(x>0)的图象上，
∴k=m+6=3m，
∴m=3，
∴k=3×3=9．
故答案是：9．
设B、D两点的坐标分别为(1,y)、(x,2)，再根据点B与点D在反比例函数数y=kx(x>0)的图象上求出m的值，进而可得出k的值．
本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数中k=xy为定值是解答此题的关键．

18.【答案】3  24 
【解析】解：①连接AL，LG，
∵A、L、G共线，AM//NG，
∴△AML∽△GNL，
∴AM：GN=ML：NL，
∴(a+b)：(a−b)=(a−b)：b，
∴a=3b=3×1=3．
故答案为：3．
②∵PH= PF2−FH2= a2−b2，
∴△PEH的面积=12PH⋅EH=12(a−b) a2−b2，
∵矩形ADHE的面积=矩形MNGB的面积，
∴阴影的面积=矩形ADLM的面积，
∵矩形ADLM的面积=AM⋅ML=(a+b)(a−b)=a2−b2，
∴S1S2=12(a−b) a2−b2a2−b2，
∵a=3b，
∴S1S2= 24．
故答案为： 24．
①由△AML∽△GNL，得到AM：GN=ML：NL，代入有关数据，即可求出a的值．
②由勾股定理求出PH的长，即可求出△PEH的面积，求出矩形ADLM的面积，即可得到阴影的面积，从而求出S1S2的值．
本题考查矩形的面积，勾股定理，三角形的面积，平方差公式，相似三角形的判定和性质，关键是由△AML∽△GNL，求出a的值；由阴影的面积=矩形ADLM的面积，求出矩形ADLM的面积，即可得到阴影的面积．

19.【答案】解：原式=1+ 3× 33−3
=1+1−3
=−1． 
【解析】根据零指数幂，特殊角的三角函数值，负整数指数幂进行计算即可求解．
本题考查了实数的混合运算，熟练掌握零指数幂，特殊角的三角函数值，负整数指数幂是解题的关键．

20.【答案】解：原式=(a−ba−b+ba−b)⋅(a+b)(a−b)a2
=aa−b⋅(a+b)(a−b)a2
=a+ba
=1+ba，
当a=2，b=4时，原式=1+42=1+2=3． 
【解析】根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a，b的值代入进行计算．
本题考查的是分式的化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解决问题的关键．

21.【答案】(1)证明：∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AEB=∠AFD=90°，
∵四边形ABCD是菱形
∴∠B=∠D，AB=AD，
在△ABE和△EHF中，
∠AEB=∠AFD∠B=∠DAB=AD
∴△ABE≌△ADF(AAS)；
(2)解：∵在Rt△ABE中，tanB=AEBE=43，
设AE=4x，BE=3x(x>0)，
在Rt△ABE中，AB= AE2+EC2=5x，
∴BC=AB=5x，
∵CE=4，
∴3x+4=5x，
解得：x=2，
∴AE=8，
∵AE⊥BC，
在Rt△AEC中，AE= AE2+EC2= 82+42=4 5． 
【解析】(1)根据菱形的性质得出AB=AD，∠B=∠D，即可证明△ABE≌△ADF；
(2)设AE=4x，BE=3x(x>0)，勾股定理得出BC=AB=5x，进而求得x=2，则AE=8，在Rt△AEC中，勾股定理即可求解．
本题考查了菱形的性质，勾股定理，已知正切求边长，熟练掌握菱形的性质，勾股定理是解题的关键．

22.【答案】解：(1)∵DE⊥AB，
∴△DBE是直角三角形，
在Rt△DBE中，sinα=BEDB=25，
∵BE=4，
∴BD=10，
即该支架的边BD的长为10米；
(2)根据已知可得，在Rt△DBG中∠DBG=45°，且BD=10，
∴sin∠DBG=sin45°=DGDB，
即DG10= 22，
解得：DG=5 2，
在矩形GFCB中，GF=BC=3，
∴DF=DG+GF=(5 2+3)米． 
【解析】(1)在Rt△DBE中，sinα=BEDB=25，根据已知可得BE=4，即可求解．
(2)由sin∠DBG=sin45°=DGDB代入数据求得DG，进而根据DF=DG+GF=5 2+3，即可求解．
本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键．

23.【答案】7  3  17 
【解析】解：(1)由样本数据得40≤x≤49的有7人，50≤x≤59的有3人，则m=7，n=3，
故答案为：7；3；
(2)由(1)中m=7，n=3，补全频数分布直方图如下：

(3)样本中，积分在绿星级以上的人数，占抽样人数的7+320=12，
∴600×12=300(人)，
答：估计该校八年级600名学生中获得绿星级以上的人数约为300人；
(4)俩人的积分与上述20名学生的积分都不一样，由题意知，b的最大值为58，a的最小值为41，
∴b−a的最大值为58−41=17，
故答案为：17．
(1)整理样本中的数据，得满足40≤x≤49的共7个；满足50≤x≤59有共3个；即可得到答案；
(2)根据(1)中所得的数据，绿星级对应的频数是7，青星级对应的频数是3，画图即可；
(3)总人数乘以样本中绿星级以上的人数所占比例即可；
(4)找到b的最大值、a的最小值，相减即可得出答案．
本题考查频数分布直方图和利用统计图表获取信息的能力，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．

24.【答案】解：(1)∵一次函数y=12x+1的图象经过点A(m,3)，
∴12m+1=3，
解得：m=4，
∴A(4,3)，
∵反比例函数y=kx经过点A(4,3)，
∴k=3×4=12；
(2)由(1)可得反比例函数解析式为y=12x，
设C(xC,12xC),D(x2,0)，
∵AC=AD，A(4,3)，
∴12(12xC+0)=3，
解得：xC=2，
∴C(2,6)，
设直线DE的解析式为y=ax+b，
将A(4,3)，C(2,6)代入得，4a+b=32a+b=6，
解得：a=−32b=9，
∴直线DE的表达式为y=−32x+9，
当x=0时，y=9，
∴E(0,9)，
由y=12x+1，当x=0时，y=1，则B(0,1)，
∴BE=8，
∴S△BEF=12BE⋅xC=12×8×2=8． 
【解析】(1)先将点A(m,3)代入一次函数解析式，待定系数法求反比例函数解析式即可求解；
(2)由(1)可得反比例函数解析式，进而设C(xC,12xC),D(x2,0)，根据AC=AD，求得C(2,6)，继而求得直线DE的表达式为y=−32x+9，得出E(0,9)，进而根据三角形面积公式即可求解．
本题考查了反比例函数与一次函数综合，熟练掌握反比例函数与一次函数的性质是解题的关键．

25.【答案】(1)证明：∵BD为⊙O的直径，
∴∠BCD=90°，
∴∠DBC+∠BDC=90°，
∵∠BDC=∠DEC，
∴∠BED+∠DBE=90°，
∴∠BDE=90°，
∴OD⊥DE，
∵OD为⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线．
(2)解：∵BD为⊙O的直径，
∴∠BAD=90°，BD=4 5，
∴AD= BD2−AB2=4，
∵AC//DE，
∴∠ACB=∠DEB，
∵∠BDC=∠DEC，∠ACB=∠ADB，
∴∠ACB=∠BDC=∠ADB，
∵∠BCD=∠BAD=90°，BD=BD，
∴△BAD≌△BCD，
∴AD=CD=4，
∵∠BDC+∠CDE=∠ADB+∠ABD=90°，
∴∠CDE=∠ABD，
∴cos∠CDE=cos∠ABD，即：CDDE=ABBD，
∴4DE=84 5，
∴DE=2 5．
(3)证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠ACB=∠ADB，
∴∠ABC=∠ADB，
∵∠BAD=∠BDE=90°，
∴∠ABC+∠F=∠ADB+∠EDF=90°，
∴∠F=∠EDF，
∴ED=EF． 
【解析】(1)由圆周角定理∠BCD=90°，得到∠DBC+∠BDC=90°，进而得到∠BED+∠DBE=90°，即可得出结论；
(2)由勾股定理求出AD的长，平行得到∠ACB=∠DEB，进而得到∠ACB=∠BDC=∠ADB，证明△BAD≌△BCD，得到AD=CD，同角的余角相等，得到∠CDE=∠DBC=∠ABD，解Rt△ECD，即可得解；
(3)等边对等角得到∠ABC=∠ACB，圆周角定理，得到∠ACB=∠ADB，利用等角的余角相等，得到∠F=∠EDF，即可得证．
本题考查圆周角定理，切线的判定，等边对等角，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形．熟练掌握同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，是解题的关键．

26.【答案】(1)解：∵a=−1，c=3，且该二次函数的图象经过点(1,−2)，
∴a+b+c=−2，
∴b=−2+1−3=−4，
∴Δ=b2−4ac=16+12=28；

(2)①证明：由y=ax2+bx+c(a