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2023年江苏省南京市秦淮区中考数学二模试卷（含解析）
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这是一份2023年江苏省南京市秦淮区中考数学二模试卷（含解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023年江苏省南京市秦淮区中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若式子 x+2在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )
A. x>−2 B. x<−2 C. x≠−2 D. x≥−2
2. 一个数的算术平方根是4，这个数是( )
A. ±16 B. 16 C. ±2 D. 2
3. 如图，在数轴上，点A，B分别表示实数a，b，C是线段AB的中点.若|a|>|b|且ab<0，则原点在( )
A. 点A的右边 B. 点B的左边 C. 线段BC上 D. 线段CA上
4. 甲、乙两名同学5次数学成绩如图，他们成绩的方差s甲2和S乙2的大小关系是( )
A. S甲2>S乙2 B. S甲2=S乙2 C. S甲2
A. (x−1)2+a=0 B. (x−1)(x−a)=0
C. a(x+1)2=0 D. x2−x−a=0
6. 如图，将图中的正方形纸盒切去一角得到右图，下列选项中，不能作为纸盒剩余部分的展开图的是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）
7. −12的相反数是______．
8. 计算 2 6+ 6 2的结果是______ ．
9. 在2023年“五一”全国最热景区排名中，南京夫子庙秦淮风光带和钟山风景区均位列前三，5天假期全南京市景区景点、乡村旅游等文旅场所共接待游客总量达9052500人次，用科学记数法表示9052500是______ ．
10. 已知一元二次方程2x2−mx+4=0的一个根是1，则另一个根是______ ．
11. 若一个圆锥的侧面展开图是圆心角为90°、弧长为6π的扇形，则该圆锥的母线长为______ ．
12. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E在AD上，连接EO并延长，交BC于点F.若AB=5，OE=2，则四边形CDEF的周长是______ ．
13. 如图，A，B，C，D均为正方形网格的格点，线段AB和CD相交于点P，则S△PBDS△PAC的值是______ ．
14. 若一个数a大于它的倒数，结合y=1x和y=x的图象(如图)，可知a的取值范围是______ ．
15. 如图，已知二次函数y=−3(x+m)2+k(m,k为常数，且k>0)的图象与x轴交于A，B两点，若线段AB的长为4，则k的值是______ ．
16. 如图，正方形ABCD的边长是4cm，E是CD边的中点.将该正方形沿BE折叠，点C落在点C′处.⊙O分别与AB，AD，BC′相切，切点分别为F，G，H，则⊙O的半径为______ cm．
三、解答题（本大题共11小题，共88.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
计算：(x2x−1−21−2x)÷x2+2x2x−1．
18. (本小题6.0分)
解不等式组5−2x>13(x+2)≥6，并写出它的整数解．
19. (本小题8.0分)
某工人计划加工300个零件，在加工完120个零件时，由于接到新的任务，该工人之后的工作效率提高了1倍，结果比原计划提前5个小时完成这批零件的加工，该工人原计划每小时加工多少个零件？
20. (本小题8.0分)
3支业余足球队即将比赛，他们各派出一名代表甲、乙、丙，3人都随意并且同时做出“石头、剪刀、布”(如图)3种手势中的1种来决定比赛顺序．
(1)求甲、乙都做出“石头”手势的概率；
(2)甲、乙、丙做出的手势均不相同的概率是______ ．
21. (本小题8.0分)
2023年2月和3月，某地区5家烧烤店平均日营业额如下表：
烧烤店
平均日营业额(万元)
月份
A
B
C
D
E
2月
3
1
5
3
15
3月
2
4
5
8
17
(1)2月份这5家烧烤店平均日营业额的平均数是______ 万元，3月份这5家烧烤店平均日营业额的平均数是______ 万元；
(2)烧烤店B，D，E通过改良配方、增加营业时间等措施，3月份平均日营业额都比2月份有所增长，对比其他4家烧烤店的营业额后，他们3家都说自己3月份实施相关措施的效果最好，请你分别写出一条支持他们观点的理由．
22. (本小题8.0分)
阅读下面的题目和小亮的解答．
题目
如图，已知直线l和直线l外一点A.用直尺和圆规作直线AB，使AB//1.(不写作法，保留作图痕迹)
小亮的解答
如图，直线AB即为所求．
(1)小亮的解答正确吗？说明理由．
(2)请你用一种与小亮不同的方法完成题目．
23. (本小题8.0分)
哥哥和弟弟在同一所学校上学.一天，弟弟与哥哥先后从家出发沿同一道路匀速去往学校，哥哥用时12min到达学校，弟弟比哥哥早出发5min，却在哥哥到达时还距离学校180m.哥哥、弟弟所走的路程y1(m)，y2(m)与哥哥所用的时间x(min)之间的函数关系如图所示．
(1)学校与家的距离是______ m；
(2)求点A的坐标，并解释它的实际意义；
(3)哥哥出发多久后，追上弟弟？
24. (本小题8.0分)
如图，一艘潜艇在海面AB下沿水平方向保持同一深度航行，其潜望镜的最高点P距海面28m.潜艇水手在航程为78m(即PQ=78m)的两个位置分别透过潜望镜观测正前方岸上凸起的崖壁M，测量到入射光线MC，MD与海面的夹角分别是19.8°，38.7°，折射光线CP，DQ与海面的夹角分别是45°，54.4°.求崖壁M到海面的距离．
(说明：图中点M，C，D，P，Q在同一平面内，参考数据：tan19.8°≈0.4，tan38.7°≈0.8，tan54.4°≈1.4 )
25. (本小题9.0分)
如图，⊙O经过▱ABCD的三个顶点A，B，D，且与BC相切，切点为B，并交CD边于点E．
(1)求证：∠ABD=∠EBC；
(2)若⊙O的半径为5，BE=6，则DE的长为______ ．
26. (本小题9.0分)
在第一阶段质量监测的选择题中，我们发现在三边长分别为a，b，c(a c．
(1)推导该结论的一种思路可以用如图的框图表示，请填写其中的空格．
(2)推导该结论的其他思路还有：
①利用a+b>c，a=( a)2，b=( b)2，再配方，…
②利用a+b>c，使用平方差公式，…
③利用a+b>c，…
上述思路都不完整，请写出一种完整的推导思路．
27. (本小题10.0分)
三角尺是几何学习中常用的学具．
【重温旧知】
(1)图①～③是课本上三角尺的3种摆放方式.借助图①中的∠α和∠β，课本定义了一种两个角的关系，这种关系叫做______ ；图②中，∠DBC的度数是______ °，三角尺DEF的直角边DF和三角尺ABC的直角边AC之间的数量关系是______ ，图③中确认弦MN是圆的直径的定理是______ ．
【探索研究】
(2)如图④，将图②中的一副三角尺ABC和DEF叠放在一起，使得点D，F分别在AC，BC边上，我们在同一平面内研究下面两个问题．
①当DF//AB时，求CFCB的值；
②若AB的长为a，直接写出顶点C和E的距离的最大值(用含a的代数式表示)．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：根据题意得：x+2≥0，解得x≥−2．
故选：D．
根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，即可求解．
主要考查了二次根式的意义和性质．
概念：式子 a(a≥0)叫二次根式．
性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
2.【答案】B
【解析】解：4是16的算术平方根．
故选：B．
根据算术平方根的定义得到4是16的算术平方根，然后分别进行判断．
本题考查了算术平方根：一个正数的正的平方根叫这个数的算术平方根，0的算术平方根为0．
3.【答案】C
【解析】解：由数轴可知：a>b，且ab<0．
∴a>0>b．
∵|a|>|b|，
∴AO>BO，
∴AO>12AB，
∵C是线段AB的中点．
∴AC=BC=12AB．
∴AO>AC
∴原点应在线段BC上．
故选：C．
由数轴可知：a>b，且ab<0.所以得出a>0>b.故A、B错误．题中|a|>|b|，根据绝对值的几何意义，a离原点距离大于b离原点距离．当C是线段AB的中点，所以原点应在线段BC上．
本题以数轴为背景考查了绝对值的几何意义，考核了学生在数轴中的数形结合的能力，解题关键是理解绝对值的几何意义：一个数的绝对值表示这个数与原点的距离，绝对值越大离原点越远．
4.【答案】A
【解析】解：由折线统计图得甲同学的成绩波动较大，
所以S甲2>S乙2．
故选：A．
利用折线统计图可判断甲同学的成绩波动较大，然后根据方差的意义可得到甲乙的方差的大小．
本题考查了折线统计图：折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化．折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况．也考查了方差的意义．
5.【答案】D
【解析】解：A、∵(x−1)2+a=0，
∴x2−2x+1+a=0
∵Δ=(−2)2−4×1×(1+a)=−4a<0，
∴该方程没有实数根，
B、解方程(x−1)(x−a)=0，
得x1=1，x2=a>0，
∴该方程有两个同号的实数根；
C、由a(x+1)2=0，解得x1=x2=−1，
∴该方程有两个同号的实数根；
D、∵x2−x−a=0，
∴Δ=(−1)2−4×1×(−a)=1+4a>0，
∴该方程有两个不相等的实数根，
∵方程x2−x−a=0的两个根的积温−a<0，
∴该方程有两个异号的实数根；
故选：D．
逐一分析四个选项中一元二次方程根的判别式的符号以及根与系数的关系，由此即可得出结论．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
6.【答案】C
【解析】解：根据正方体的展开图知，A选项折叠后三条斜边形成闭合的三角形，能复原图形，故不符合题意，
B选项折叠后三条斜边形成闭合的三角形，能复原图形，故不符合题意，
C选项折叠后三条斜边不能形成闭合的三角形，不能复原图形，故符合题意，
D选项折叠后三条斜边形成闭合的三角形，能复原图形，故不符合题意，
故选：C．
根据正方体的展开图得出结论即可．
本题主要考查正方体的展开图，熟练掌握正方体的展开图是解题的关键．
7.【答案】12
【解析】解：−12的相反数是12，
故答案为：12．
根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．
本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
8.【答案】43 3
【解析】解： 2 6+ 6 2
= 2× 6( 6)2+ 3
=2 36+ 3
=13 3+ 3
=43 3．
故答案为：43 3．
先分母有理化，再根据二次根式的加法法则进行计算即可．
本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
9.【答案】9.0525×106
【解析】解：9052500=9.0525×106．
故答案为：9.0525×106．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
10.【答案】2
【解析】解：设方程的另一根为p，
根据根与系数的关系可得：1⋅p=42=2，
解得p=2．
故答案为：2．
根据根与系数的关系进行计算．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系：若方程两根为x1，x2，则x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca．
11.【答案】12
【解析】解：设圆锥的母线长为l，由题意得：90πl180=6π，
解得：l=12．
故答案为：12．
直接利用扇形的半径的长等于圆锥的母线长计算即可．
考查了圆锥的计算，解题的关键是了解扇形的半径的长等于圆锥的母线长，难度不大．
12.【答案】14
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC，AD//BC，AD=BC=AB=5，
∴∠OAE=∠OCF，∠OEA=∠OFC，
∴△OAE≌△OCF(AAS)，
∴OE=OF=2，AE=CF，
∴四边形CDEF的周长=CF+EF+DE+CD=AE+EF+DE+CD=AD+EF+CD=5+4+5=14．
故答案为：14．
根据菱形的性质证明△OAE≌△OCF，得OE=OF=2，AE=CF，进而可以 解决问题．
本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△OAE≌△OCF．
13.【答案】4
【解析】解：连接AE、BC，设每个小正方形的边长都为1，
由勾股定理得AC=BE= 12+22= 5，AE=BC= 32+32=3 2，
∴四边形ACBE是平行四边形，
∴BE//AC，
∵B、E、D三点在同一条直线上，
∴BD//AC，
∴△PBD∽△PAC，
∵BE=DE，
∴BD=2BE=2AC，
∴BDAC=2，
∴S△PBDS△PAC=(BDAC)2=22=4，
故答案为：4．
先证明BD//AC，再根据“平行于三角形一边的直线与其它两边或两边的延长线相交所构成的三角形与原三角形相似”证明△PBD∽△PAC，即可根据“相似三角形面积的比等于相似比的平方”求得S△PBDS△PAC=(BDAC)2=22=4，于是得到问题的答案．
此题重点考查相似三角形的判定与性质，根据“平行于三角形一边的直线与其它两边或两边的延长线相交所构成的三角形与原三角形相似”证明△PBD∽△PAC是解题的关键．
14.【答案】−11
【解析】解：令1x=x，解得x=±1，
∴函数y=1x和y=x的图象的交点的横坐标为−1和1，
由图象可知当−11时，一次函数y=x的图象在反比例函数y=1x的上方，
∴根据图象可知a的取值范围是−11．
故答案为：−11．
求得函数y=1x和y=x的图象的交点的横坐标，结合函数的图象即可求得a的取值范围．
本题考查了反比例函数图象与正比例函数的图象，数形结合是解题的关键．
15.【答案】12
【解析】解：设抛物线顶点C，将抛物线向左平移，
令顶点C落在y轴点C′处，点A、B对应点A′、B′，
设平移后的二次函数关系式：y=−3x2+k，
∵AB=4，
∴A′B′=4，
∴OB′=2，即点B′坐标(2,0)，
把x=2代入关系式得，0=−3×22+k，
∴k=12，
故答案为：12．
将二次函数向左平移，让顶点至y轴上，再把点B′代入关系式求出k即可．
本题考查了二次函数图象及性质的应用，函数平移的性质是解题关键．
16.【答案】1
【解析】解：连接OG，OF，OH，延长BC′交AD于点M，连接EM，如图，
由题意得：△BC′E≌△BCE，
∴BC′=BC=4cm，EC′=EC=12CD=2cm，∠BEC′=∠BEC．
在Rt△MC′E和Rt△MDE中，
EC′=ED=2EM=EM，
∴Rt△MC′E≌Rt△MDE(HL)，
∴MC′=MD，∠C′EM=∠DEM，
∵∠BEC+∠BEC′+∠MEC′+∠DEM=180°，
∴∠BEC′+∠MEC′=90°，
即∠BEM=90°．
∵EC′⊥BM，
∴△BC′E∽△EC′M，
∴BC′EC′=EC′C′M，
∴42=2C′M，
∴C′M=1，
∴BM=BC′+C′M=5，MD=C′M=1，
∴AM=AD−MD=4−1=3．
∵⊙O分别与AB，AD，BC′相切，切点分别为F，G，H，
∴OH=OF=OG=⊙O的半径r，OH⊥BM，OF⊥AB，OG⊥AD，
连接OA，OB，OM，
∵S△ABM=S△OAB+S△OBM+S△OAM，
∴12AB⋅AM=12AB⋅OF+12BM⋅OH+12AM⋅OG，
∴4×3=4r+5r+3r，
∴r=1．
即⊙O的半径为1cm．
故答案为：1．
连接OG，OF，OH，延长BC′交AD于点M，连接EM，利用折叠的性质和全等三角形的判定与性质得到∠BEM=90°，了由相似三角形的判定与性质求得C′M，DM，则AM，BM可求；利用圆的切线的性质可得OH=OF=OG=⊙O的半径r，OH⊥BM，OF⊥AB，OG⊥AD，再利用S△ABM=S△OAB+S△OBM+S△OAM，列出关于r的方程，解方程即可得出结论．
本题主要考查了正方形的性质，折叠的性质，圆的有关性质，圆的切线的性质定理，三角形的面积，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
17.【答案】解：原式=x+22x−1⋅2x−1x(x+2)
=1x．
【解析】先计算括号内同分母的加法运算，再把除法运算化为乘法运算，然后约分即可．
本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程．
18.【答案】解：5−2x>1①3(x+2)≥6②，
解不等式①得：x<2；
解不等式②得：x≥0；
∴0≤x<2，
∴不等式的整数解为0，1．
【解析】先求出每个不等式的解集，再求出公共解集，最后取符合条件的整数即可．
本题考查解不等式组，解题的关键是掌握求公共解集的方法．
19.【答案】解：设原计划每小时加工x个零件，
依题意得：300−120x−300−1202x=5，
解得：x=18，
经检验，x=18是原方程的解，且符合题意，
答：原计划每小时加工18个零件．
【解析】设原计划每小时加工x个零件，根据在加工完120个零件时，该工人之后的工作效率提高了1倍，结果比原计划提前5个小时完成这批零件的加工，列出分式方程，解方程即可．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
20.【答案】29
【解析】解：(1)画树状图为：(1、2、3分别表示“石头、剪刀、布”三中手势)
共有9种等可能的结果，其中甲、乙都做出“石头”手势的结果数为1种，
所以甲、乙都做出“石头”手势的概率=19；
(2)共有27种等可能的结果，其中甲、乙、丙做出的手势均不相同的结果数为6，
所以甲、乙、丙做出的手势均不相同的概率是=627=29．
故答案为：29．
(1)画树状图(1、2、3分别表示“石头、剪刀、布”三中手势)展示所有可能的结果数；共有9种等可能的结果，找出甲、乙都做出“石头”手势的结果数，然后根据概率公式计算；
(2)共有27种等可能的结果，找出甲、乙、丙做出的手势均不相同的结果数，然后根据概率公式计算．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．
21.【答案】5.4 7.2
【解析】解：15×(3+1+5+3+15)=5.4(万元)，
15×(2+4+5+8+17)=7.2(万元)，
故答案为：5.4，7.2；
(2)B：增加的百分比最大；
D：增加的营业额最大；
E：营业额最大．
(1)根据平均数公式计算求解；
(2)分别从增加的百分比、增加的营业额、营业额的值说明原因．
本题考查了百分数的应用，理解题意计算解题的关键．
22.【答案】解：(1)错误，理由如下：
由作图可知，AC=AB，
∴∠ACB=∠ABC，
但由作图得不出∠ACB=∠BCD，
∴不能得出直线AB//l；
(2)以A为圆心，任意长为半径画圆，交直线l于C，以AC为长，在直线l上取D，使AC=CD，以D为圆心，CD长为半径画圆，交B点，
直线AB即为所求，
【解析】原理一通过用尺规作出内错角构造平行线，原理二通过作菱形构造平行线．
本题考查了圆的有关性质，尺规作图构造平行线等，解题关键是能够结合平行线的判定，菱形的判定进行尺规作图．
23.【答案】1200
【解析】解：(1)∵哥哥用时12min到达学校，
∴学校与家的距离是1200m，
故答案为：1200；
(2对于弟弟：路程为1200−180=1020( m)，时间为12+5=17(min)，
则速度为102017=60 (m/min )
∴60×5=300 (m)，
∴A(0,300)，
实际意义：当哥哥出发时，弟弟已经离家300m；
(3)设哥哥所走的路程y1与哥哥所用的时间x之间的函数关系式为y1=k1x，(k1≠0)，
将点(12,1200)代入，得1200=12k1，
解得k1=100，
则哥哥所走的路程y1与哥哥所用的时间x之间的函数关系式为y1=100x；
设弟弟所走的路程y2与哥哥所用的时间x之间的函数关系式为y2=k2x+b，(k2≠0)，
将点A(0,300)，(12,1020)代入，得b=30012k2+b=1020，
解得k2=60b=300，
则弟弟所走的路程y2与弟弟所用的时间x之间的函数关系式为y2=60x+300，
令100x=60ax+300，
解得x=7.5，
故哥哥出发7.5min后，追上弟弟．
(1)哥哥用时12min到达学校，结合图象可知，学校与家的距离是1200m；
(2)先根据题意求出哥哥到达学校时，弟弟所走路程，再根据速度=路程÷时间求出弟弟的速度，在求出弟弟5分钟所走路程即可；
(3)待定系数法可求得y1=1000，y2=600+300，进而令y1=y2，解方程即可．
本题考查一次函数的应用以及速度、时间、路程之间的关系，关键是求出函数解析式．
24.【答案】解：如图，过点P作PF⊥AB于点E，过点Q作QF⊥AB于点F，过点M作MG⊥AB于点G，连接PQ，
则四边形PQFE为矩形，
由题意可得，PE=FQ=28m，PQ=78m，
∴EF=PQ=78m，
∵∠ECP=45°，
∴CE=PE=28m，
在Rt△DFQ中，DF=FQtan54.4∘=281.4=20(m)，
∴CF=EF−CE=78−28=50(m)，
∴CD=CF+DF=50+20=70(m)，
在Rt△DGM中，DG=MGtan38.7∘=MG0.8=54MG，
在Rt△CGM中，CG=MGtan19.8∘=MG0.4=52MG，
∵CG−DG=CD，
∴52MG−54MG=70，
∴MG=56m．
∴崖壁M到海面的距离为56m．
【解析】过点P作PF⊥AB于点E，过点Q作QF⊥AB于点F，过点M作MG⊥AB于点G，连接PQ，易得PE=FQ=28m，EF=PQ=78m，易得△CEP为等腰直角三角形，CE=PE=28m，在Rt△DFQ中，DF=FQtan54.4∘=20(m)，进而求得CD=70m，在Rt△DGM中，DG=MGtan38.7∘=54MG，在Rt△CGM中，CG=MGtan19.8∘=52MG，由CG−DG=CD可得52MG−54MG=70，求解即可．
本题主要考查解直角三角形的应用，解题关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，利用锐角三角函数计算出所要求的物体的高度或长度．
25.【答案】9 105
【解析】(1)证明：连接OB，延长BO交AD于H，连接OA，
∵BC切圆于B，
∴BH⊥BC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，∠C=∠BAD，
∴BH⊥AD，
∴AH=DH，
∴BA=BD，
∴∠BAD=∠BDA，
∵四边形ABED是圆内接四边形，
∴∠BAD+∠BED=180°，
∵∠BEC+∠BED=180°，
∴∠BEC=∠BAD，
∴∠ABD=∠EBC；
(2)解：由(1)知∠BEC=∠C，
∴BC=BE=6，
∴AD=BC=6，
∴AH=12AD=3，
∴OH= OA2−AH2=4，
∴BH=OB+OH=9，
∴AB= AH2+BH2=3 10，
∴DC=AB=3 10，
∵AB//CD，
∴∠BDC=∠ABD，
∵∠EBC=∠ABD，
∴∠EBC=∠BDC，
∵∠BCE=∠BCD，
∴△CBE∽△CDB，
∴BC：CD=CE：BC，
∴6：3 10=CE：6，
∴CE=6 105，
∴DE=CD−CE=9 105．
故答案为：9 105．
(1)连接OB，延长BO交AD于H，连接OA，由平行四边形的性质，切线的性质推出BH垂直平分AD，得到BA=BD，因此∠BAD=∠BDA，由圆内接四边形的性质，推出∠BAD+∠BED=180°，又∠BEC+∠BED=180°，得到∠BEC=∠BAD，即可证明∠ABD=∠EBC；
(2)由勾股定理，垂径定理求出AB的长，得到CD的长，由△CBE∽△CDB，得到BC：CD=CE：BC，即可求出CE的长，于是得到DE的长．
本题考查切线的性质，平行四边形的性质，垂径定理，相似三角形的判定和性质，关键是垂径定理，勾股定理求出AB的长，由△CBE∽△CDB，求出CE的长．
26.【答案】解：(1)①( a+ b)2=a+2 ab+b，
故答案为：a+2 ab+b．
②( a+b)2=a+b，
故答案为：a+b．
∵a，b，c是三角形的三边，
∴a+b>c，
∴ a+b> c，
故答案为：a+b>c a+b> c．
(2)选①，
∵a+b>c，
∴( a)2+( b)2>c，
∴( a+ b)2>c+2 ab，
∵2 ab>0，
∴( a+ b)2>c，
∴ a+ b> c．
【解析】(1)①根据完全平方公式即可得出结论；
②根据二次根式的性质可以得出结果；
③根据①②得出的结果很容易可以得出两个代数式的大小关系；
根据三边关系以及二次根式的性质即可得出两个空的不等关系；
(2)可以选择①②③中的任意一种进行作答即可．
本题主要考查了运用完全平方公式进行配方，以及运用平方差公式进行因式分解的内容，要能灵活运用因式分解解决问题．
27.【答案】互补 75 3DF= 2AC 90度圆周角所对的弦为直径
【解析】解：(1)由图可知，三角板的两个直角顶点重合，
∴∠α+∠β=180°，则∠a和∠β互补；
由图可知：∠DBC=∠DBA+∠CBA=30°+45°=75°；
∵∠DBF=30°，∠CBA=45°，
∴EF=DFtan30∘= 3DF，AB=ACsin45∘= 2AC，
∵EF=AB，
∴ 3DF= 2AC，
∵∠MFN=90°，
∴弦MN是圆的直径(90度圆周角所对的弦为直径)，
故答案为：互补，75， 3DF= 2AC，90度圆周角所对的弦为直径；
(2)①根据题意可得：EF=AB，
由(1)可知EF= 3DF，则AB= 3DF，
∴DFAB= 33，
∴DF//AB，
∴∠CDF=∠A，∠CFD=∠B，
∴△CDF∽△CAB，
∴CFCB=DFAB= 33；
②连接点C和DF中点M，连接点E和DF中点M，
∵AB=EF=a，DFAB= 33，
∴DF= 33a，
∵点M为DF中点，
∴CM=MF=12DF=12× 33a= 36a，
根据勾股定理可得：EM= MF2+EF2= 396a，
在△CME中，CE
∴顶点C和E的距离的最大值=CM+EM= 36a+ 396a= 3+ 396a．
(1)根据互补的定义，即可得出∠a和∠β的关系；根据三角板中各个角的度数，即可求出∠DBC；根据EF=AB，即可得出DF和AC之间的数量关系；根据直径所对的圆周角为直角，即可得出弦MN是圆的直径；
(2)①证明△CDF∽△CAB，即可根据相似三角形对应边成比例得出结论；②连接点C和DF中点M，连接点E和DF中点M，在△CME中，CE
2023年江苏省南京市秦淮区中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 若式子 x+2在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )
A. x>−2 B. x<−2 C. x≠−2 D. x≥−2
2. 一个数的算术平方根是4，这个数是( )
A. ±16 B. 16 C. ±2 D. 2
3. 如图，在数轴上，点A，B分别表示实数a，b，C是线段AB的中点.若|a|>|b|且ab<0，则原点在( )
A. 点A的右边 B. 点B的左边 C. 线段BC上 D. 线段CA上
4. 甲、乙两名同学5次数学成绩如图，他们成绩的方差s甲2和S乙2的大小关系是( )
A. S甲2>S乙2 B. S甲2=S乙2 C. S甲2
A. (x−1)2+a=0 B. (x−1)(x−a)=0
C. a(x+1)2=0 D. x2−x−a=0
6. 如图，将图中的正方形纸盒切去一角得到右图，下列选项中，不能作为纸盒剩余部分的展开图的是( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）
7. −12的相反数是______．
8. 计算 2 6+ 6 2的结果是______ ．
9. 在2023年“五一”全国最热景区排名中，南京夫子庙秦淮风光带和钟山风景区均位列前三，5天假期全南京市景区景点、乡村旅游等文旅场所共接待游客总量达9052500人次，用科学记数法表示9052500是______ ．
10. 已知一元二次方程2x2−mx+4=0的一个根是1，则另一个根是______ ．
11. 若一个圆锥的侧面展开图是圆心角为90°、弧长为6π的扇形，则该圆锥的母线长为______ ．
12. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E在AD上，连接EO并延长，交BC于点F.若AB=5，OE=2，则四边形CDEF的周长是______ ．
13. 如图，A，B，C，D均为正方形网格的格点，线段AB和CD相交于点P，则S△PBDS△PAC的值是______ ．
14. 若一个数a大于它的倒数，结合y=1x和y=x的图象(如图)，可知a的取值范围是______ ．
15. 如图，已知二次函数y=−3(x+m)2+k(m,k为常数，且k>0)的图象与x轴交于A，B两点，若线段AB的长为4，则k的值是______ ．
16. 如图，正方形ABCD的边长是4cm，E是CD边的中点.将该正方形沿BE折叠，点C落在点C′处.⊙O分别与AB，AD，BC′相切，切点分别为F，G，H，则⊙O的半径为______ cm．
三、解答题（本大题共11小题，共88.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题6.0分)
计算：(x2x−1−21−2x)÷x2+2x2x−1．
18. (本小题6.0分)
解不等式组5−2x>13(x+2)≥6，并写出它的整数解．
19. (本小题8.0分)
某工人计划加工300个零件，在加工完120个零件时，由于接到新的任务，该工人之后的工作效率提高了1倍，结果比原计划提前5个小时完成这批零件的加工，该工人原计划每小时加工多少个零件？
20. (本小题8.0分)
3支业余足球队即将比赛，他们各派出一名代表甲、乙、丙，3人都随意并且同时做出“石头、剪刀、布”(如图)3种手势中的1种来决定比赛顺序．
(1)求甲、乙都做出“石头”手势的概率；
(2)甲、乙、丙做出的手势均不相同的概率是______ ．
21. (本小题8.0分)
2023年2月和3月，某地区5家烧烤店平均日营业额如下表：
烧烤店
平均日营业额(万元)
月份
A
B
C
D
E
2月
3
1
5
3
15
3月
2
4
5
8
17
(1)2月份这5家烧烤店平均日营业额的平均数是______ 万元，3月份这5家烧烤店平均日营业额的平均数是______ 万元；
(2)烧烤店B，D，E通过改良配方、增加营业时间等措施，3月份平均日营业额都比2月份有所增长，对比其他4家烧烤店的营业额后，他们3家都说自己3月份实施相关措施的效果最好，请你分别写出一条支持他们观点的理由．
22. (本小题8.0分)
阅读下面的题目和小亮的解答．
题目
如图，已知直线l和直线l外一点A.用直尺和圆规作直线AB，使AB//1.(不写作法，保留作图痕迹)
小亮的解答
如图，直线AB即为所求．
(1)小亮的解答正确吗？说明理由．
(2)请你用一种与小亮不同的方法完成题目．
23. (本小题8.0分)
哥哥和弟弟在同一所学校上学.一天，弟弟与哥哥先后从家出发沿同一道路匀速去往学校，哥哥用时12min到达学校，弟弟比哥哥早出发5min，却在哥哥到达时还距离学校180m.哥哥、弟弟所走的路程y1(m)，y2(m)与哥哥所用的时间x(min)之间的函数关系如图所示．
(1)学校与家的距离是______ m；
(2)求点A的坐标，并解释它的实际意义；
(3)哥哥出发多久后，追上弟弟？
24. (本小题8.0分)
如图，一艘潜艇在海面AB下沿水平方向保持同一深度航行，其潜望镜的最高点P距海面28m.潜艇水手在航程为78m(即PQ=78m)的两个位置分别透过潜望镜观测正前方岸上凸起的崖壁M，测量到入射光线MC，MD与海面的夹角分别是19.8°，38.7°，折射光线CP，DQ与海面的夹角分别是45°，54.4°.求崖壁M到海面的距离．
(说明：图中点M，C，D，P，Q在同一平面内，参考数据：tan19.8°≈0.4，tan38.7°≈0.8，tan54.4°≈1.4 )
25. (本小题9.0分)
如图，⊙O经过▱ABCD的三个顶点A，B，D，且与BC相切，切点为B，并交CD边于点E．
(1)求证：∠ABD=∠EBC；
(2)若⊙O的半径为5，BE=6，则DE的长为______ ．
26. (本小题9.0分)
在第一阶段质量监测的选择题中，我们发现在三边长分别为a，b，c(a
(1)推导该结论的一种思路可以用如图的框图表示，请填写其中的空格．
(2)推导该结论的其他思路还有：
①利用a+b>c，a=( a)2，b=( b)2，再配方，…
②利用a+b>c，使用平方差公式，…
③利用a+b>c，…
上述思路都不完整，请写出一种完整的推导思路．
27. (本小题10.0分)
三角尺是几何学习中常用的学具．
【重温旧知】
(1)图①～③是课本上三角尺的3种摆放方式.借助图①中的∠α和∠β，课本定义了一种两个角的关系，这种关系叫做______ ；图②中，∠DBC的度数是______ °，三角尺DEF的直角边DF和三角尺ABC的直角边AC之间的数量关系是______ ，图③中确认弦MN是圆的直径的定理是______ ．
【探索研究】
(2)如图④，将图②中的一副三角尺ABC和DEF叠放在一起，使得点D，F分别在AC，BC边上，我们在同一平面内研究下面两个问题．
①当DF//AB时，求CFCB的值；
②若AB的长为a，直接写出顶点C和E的距离的最大值(用含a的代数式表示)．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：根据题意得：x+2≥0，解得x≥−2．
故选：D．
根据二次根式的定义可知被开方数必须为非负数，即可求解．
主要考查了二次根式的意义和性质．
概念：式子 a(a≥0)叫二次根式．
性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
2.【答案】B
【解析】解：4是16的算术平方根．
故选：B．
根据算术平方根的定义得到4是16的算术平方根，然后分别进行判断．
本题考查了算术平方根：一个正数的正的平方根叫这个数的算术平方根，0的算术平方根为0．
3.【答案】C
【解析】解：由数轴可知：a>b，且ab<0．
∴a>0>b．
∵|a|>|b|，
∴AO>BO，
∴AO>12AB，
∵C是线段AB的中点．
∴AC=BC=12AB．
∴AO>AC
∴原点应在线段BC上．
故选：C．
由数轴可知：a>b，且ab<0.所以得出a>0>b.故A、B错误．题中|a|>|b|，根据绝对值的几何意义，a离原点距离大于b离原点距离．当C是线段AB的中点，所以原点应在线段BC上．
本题以数轴为背景考查了绝对值的几何意义，考核了学生在数轴中的数形结合的能力，解题关键是理解绝对值的几何意义：一个数的绝对值表示这个数与原点的距离，绝对值越大离原点越远．
4.【答案】A
【解析】解：由折线统计图得甲同学的成绩波动较大，
所以S甲2>S乙2．
故选：A．
利用折线统计图可判断甲同学的成绩波动较大，然后根据方差的意义可得到甲乙的方差的大小．
本题考查了折线统计图：折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化．折线图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况．也考查了方差的意义．
5.【答案】D
【解析】解：A、∵(x−1)2+a=0，
∴x2−2x+1+a=0
∵Δ=(−2)2−4×1×(1+a)=−4a<0，
∴该方程没有实数根，
B、解方程(x−1)(x−a)=0，
得x1=1，x2=a>0，
∴该方程有两个同号的实数根；
C、由a(x+1)2=0，解得x1=x2=−1，
∴该方程有两个同号的实数根；
D、∵x2−x−a=0，
∴Δ=(−1)2−4×1×(−a)=1+4a>0，
∴该方程有两个不相等的实数根，
∵方程x2−x−a=0的两个根的积温−a<0，
∴该方程有两个异号的实数根；
故选：D．
逐一分析四个选项中一元二次方程根的判别式的符号以及根与系数的关系，由此即可得出结论．
本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
6.【答案】C
【解析】解：根据正方体的展开图知，A选项折叠后三条斜边形成闭合的三角形，能复原图形，故不符合题意，
B选项折叠后三条斜边形成闭合的三角形，能复原图形，故不符合题意，
C选项折叠后三条斜边不能形成闭合的三角形，不能复原图形，故符合题意，
D选项折叠后三条斜边形成闭合的三角形，能复原图形，故不符合题意，
故选：C．
根据正方体的展开图得出结论即可．
本题主要考查正方体的展开图，熟练掌握正方体的展开图是解题的关键．
7.【答案】12
【解析】解：−12的相反数是12，
故答案为：12．
根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数．
本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．
8.【答案】43 3
【解析】解： 2 6+ 6 2
= 2× 6( 6)2+ 3
=2 36+ 3
=13 3+ 3
=43 3．
故答案为：43 3．
先分母有理化，再根据二次根式的加法法则进行计算即可．
本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键．
9.【答案】9.0525×106
【解析】解：9052500=9.0525×106．
故答案为：9.0525×106．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
10.【答案】2
【解析】解：设方程的另一根为p，
根据根与系数的关系可得：1⋅p=42=2，
解得p=2．
故答案为：2．
根据根与系数的关系进行计算．
本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与系数的关系：若方程两根为x1，x2，则x1+x2=−ba，x1⋅x2=ca．
11.【答案】12
【解析】解：设圆锥的母线长为l，由题意得：90πl180=6π，
解得：l=12．
故答案为：12．
直接利用扇形的半径的长等于圆锥的母线长计算即可．
考查了圆锥的计算，解题的关键是了解扇形的半径的长等于圆锥的母线长，难度不大．
12.【答案】14
【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA=OC，AD//BC，AD=BC=AB=5，
∴∠OAE=∠OCF，∠OEA=∠OFC，
∴△OAE≌△OCF(AAS)，
∴OE=OF=2，AE=CF，
∴四边形CDEF的周长=CF+EF+DE+CD=AE+EF+DE+CD=AD+EF+CD=5+4+5=14．
故答案为：14．
根据菱形的性质证明△OAE≌△OCF，得OE=OF=2，AE=CF，进而可以 解决问题．
本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△OAE≌△OCF．
13.【答案】4
【解析】解：连接AE、BC，设每个小正方形的边长都为1，
由勾股定理得AC=BE= 12+22= 5，AE=BC= 32+32=3 2，
∴四边形ACBE是平行四边形，
∴BE//AC，
∵B、E、D三点在同一条直线上，
∴BD//AC，
∴△PBD∽△PAC，
∵BE=DE，
∴BD=2BE=2AC，
∴BDAC=2，
∴S△PBDS△PAC=(BDAC)2=22=4，
故答案为：4．
先证明BD//AC，再根据“平行于三角形一边的直线与其它两边或两边的延长线相交所构成的三角形与原三角形相似”证明△PBD∽△PAC，即可根据“相似三角形面积的比等于相似比的平方”求得S△PBDS△PAC=(BDAC)2=22=4，于是得到问题的答案．
此题重点考查相似三角形的判定与性质，根据“平行于三角形一边的直线与其它两边或两边的延长线相交所构成的三角形与原三角形相似”证明△PBD∽△PAC是解题的关键．
14.【答案】−1
【解析】解：令1x=x，解得x=±1，
∴函数y=1x和y=x的图象的交点的横坐标为−1和1，
由图象可知当−1
∴根据图象可知a的取值范围是−1
故答案为：−1
求得函数y=1x和y=x的图象的交点的横坐标，结合函数的图象即可求得a的取值范围．
本题考查了反比例函数图象与正比例函数的图象，数形结合是解题的关键．
15.【答案】12
【解析】解：设抛物线顶点C，将抛物线向左平移，
令顶点C落在y轴点C′处，点A、B对应点A′、B′，
设平移后的二次函数关系式：y=−3x2+k，
∵AB=4，
∴A′B′=4，
∴OB′=2，即点B′坐标(2,0)，
把x=2代入关系式得，0=−3×22+k，
∴k=12，
故答案为：12．
将二次函数向左平移，让顶点至y轴上，再把点B′代入关系式求出k即可．
本题考查了二次函数图象及性质的应用，函数平移的性质是解题关键．
16.【答案】1
【解析】解：连接OG，OF，OH，延长BC′交AD于点M，连接EM，如图，
由题意得：△BC′E≌△BCE，
∴BC′=BC=4cm，EC′=EC=12CD=2cm，∠BEC′=∠BEC．
在Rt△MC′E和Rt△MDE中，
EC′=ED=2EM=EM，
∴Rt△MC′E≌Rt△MDE(HL)，
∴MC′=MD，∠C′EM=∠DEM，
∵∠BEC+∠BEC′+∠MEC′+∠DEM=180°，
∴∠BEC′+∠MEC′=90°，
即∠BEM=90°．
∵EC′⊥BM，
∴△BC′E∽△EC′M，
∴BC′EC′=EC′C′M，
∴42=2C′M，
∴C′M=1，
∴BM=BC′+C′M=5，MD=C′M=1，
∴AM=AD−MD=4−1=3．
∵⊙O分别与AB，AD，BC′相切，切点分别为F，G，H，
∴OH=OF=OG=⊙O的半径r，OH⊥BM，OF⊥AB，OG⊥AD，
连接OA，OB，OM，
∵S△ABM=S△OAB+S△OBM+S△OAM，
∴12AB⋅AM=12AB⋅OF+12BM⋅OH+12AM⋅OG，
∴4×3=4r+5r+3r，
∴r=1．
即⊙O的半径为1cm．
故答案为：1．
连接OG，OF，OH，延长BC′交AD于点M，连接EM，利用折叠的性质和全等三角形的判定与性质得到∠BEM=90°，了由相似三角形的判定与性质求得C′M，DM，则AM，BM可求；利用圆的切线的性质可得OH=OF=OG=⊙O的半径r，OH⊥BM，OF⊥AB，OG⊥AD，再利用S△ABM=S△OAB+S△OBM+S△OAM，列出关于r的方程，解方程即可得出结论．
本题主要考查了正方形的性质，折叠的性质，圆的有关性质，圆的切线的性质定理，三角形的面积，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
17.【答案】解：原式=x+22x−1⋅2x−1x(x+2)
=1x．
【解析】先计算括号内同分母的加法运算，再把除法运算化为乘法运算，然后约分即可．
本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律运算，会简化运算过程．
18.【答案】解：5−2x>1①3(x+2)≥6②，
解不等式①得：x<2；
解不等式②得：x≥0；
∴0≤x<2，
∴不等式的整数解为0，1．
【解析】先求出每个不等式的解集，再求出公共解集，最后取符合条件的整数即可．
本题考查解不等式组，解题的关键是掌握求公共解集的方法．
19.【答案】解：设原计划每小时加工x个零件，
依题意得：300−120x−300−1202x=5，
解得：x=18，
经检验，x=18是原方程的解，且符合题意，
答：原计划每小时加工18个零件．
【解析】设原计划每小时加工x个零件，根据在加工完120个零件时，该工人之后的工作效率提高了1倍，结果比原计划提前5个小时完成这批零件的加工，列出分式方程，解方程即可．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
20.【答案】29
【解析】解：(1)画树状图为：(1、2、3分别表示“石头、剪刀、布”三中手势)
共有9种等可能的结果，其中甲、乙都做出“石头”手势的结果数为1种，
所以甲、乙都做出“石头”手势的概率=19；
(2)共有27种等可能的结果，其中甲、乙、丙做出的手势均不相同的结果数为6，
所以甲、乙、丙做出的手势均不相同的概率是=627=29．
故答案为：29．
(1)画树状图(1、2、3分别表示“石头、剪刀、布”三中手势)展示所有可能的结果数；共有9种等可能的结果，找出甲、乙都做出“石头”手势的结果数，然后根据概率公式计算；
(2)共有27种等可能的结果，找出甲、乙、丙做出的手势均不相同的结果数，然后根据概率公式计算．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．
21.【答案】5.4 7.2
【解析】解：15×(3+1+5+3+15)=5.4(万元)，
15×(2+4+5+8+17)=7.2(万元)，
故答案为：5.4，7.2；
(2)B：增加的百分比最大；
D：增加的营业额最大；
E：营业额最大．
(1)根据平均数公式计算求解；
(2)分别从增加的百分比、增加的营业额、营业额的值说明原因．
本题考查了百分数的应用，理解题意计算解题的关键．
22.【答案】解：(1)错误，理由如下：
由作图可知，AC=AB，
∴∠ACB=∠ABC，
但由作图得不出∠ACB=∠BCD，
∴不能得出直线AB//l；
(2)以A为圆心，任意长为半径画圆，交直线l于C，以AC为长，在直线l上取D，使AC=CD，以D为圆心，CD长为半径画圆，交B点，
直线AB即为所求，
【解析】原理一通过用尺规作出内错角构造平行线，原理二通过作菱形构造平行线．
本题考查了圆的有关性质，尺规作图构造平行线等，解题关键是能够结合平行线的判定，菱形的判定进行尺规作图．
23.【答案】1200
【解析】解：(1)∵哥哥用时12min到达学校，
∴学校与家的距离是1200m，
故答案为：1200；
(2对于弟弟：路程为1200−180=1020( m)，时间为12+5=17(min)，
则速度为102017=60 (m/min )
∴60×5=300 (m)，
∴A(0,300)，
实际意义：当哥哥出发时，弟弟已经离家300m；
(3)设哥哥所走的路程y1与哥哥所用的时间x之间的函数关系式为y1=k1x，(k1≠0)，
将点(12,1200)代入，得1200=12k1，
解得k1=100，
则哥哥所走的路程y1与哥哥所用的时间x之间的函数关系式为y1=100x；
设弟弟所走的路程y2与哥哥所用的时间x之间的函数关系式为y2=k2x+b，(k2≠0)，
将点A(0,300)，(12,1020)代入，得b=30012k2+b=1020，
解得k2=60b=300，
则弟弟所走的路程y2与弟弟所用的时间x之间的函数关系式为y2=60x+300，
令100x=60ax+300，
解得x=7.5，
故哥哥出发7.5min后，追上弟弟．
(1)哥哥用时12min到达学校，结合图象可知，学校与家的距离是1200m；
(2)先根据题意求出哥哥到达学校时，弟弟所走路程，再根据速度=路程÷时间求出弟弟的速度，在求出弟弟5分钟所走路程即可；
(3)待定系数法可求得y1=1000，y2=600+300，进而令y1=y2，解方程即可．
本题考查一次函数的应用以及速度、时间、路程之间的关系，关键是求出函数解析式．
24.【答案】解：如图，过点P作PF⊥AB于点E，过点Q作QF⊥AB于点F，过点M作MG⊥AB于点G，连接PQ，
则四边形PQFE为矩形，
由题意可得，PE=FQ=28m，PQ=78m，
∴EF=PQ=78m，
∵∠ECP=45°，
∴CE=PE=28m，
在Rt△DFQ中，DF=FQtan54.4∘=281.4=20(m)，
∴CF=EF−CE=78−28=50(m)，
∴CD=CF+DF=50+20=70(m)，
在Rt△DGM中，DG=MGtan38.7∘=MG0.8=54MG，
在Rt△CGM中，CG=MGtan19.8∘=MG0.4=52MG，
∵CG−DG=CD，
∴52MG−54MG=70，
∴MG=56m．
∴崖壁M到海面的距离为56m．
【解析】过点P作PF⊥AB于点E，过点Q作QF⊥AB于点F，过点M作MG⊥AB于点G，连接PQ，易得PE=FQ=28m，EF=PQ=78m，易得△CEP为等腰直角三角形，CE=PE=28m，在Rt△DFQ中，DF=FQtan54.4∘=20(m)，进而求得CD=70m，在Rt△DGM中，DG=MGtan38.7∘=54MG，在Rt△CGM中，CG=MGtan19.8∘=52MG，由CG−DG=CD可得52MG−54MG=70，求解即可．
本题主要考查解直角三角形的应用，解题关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边的长度，利用锐角三角函数计算出所要求的物体的高度或长度．
25.【答案】9 105
【解析】(1)证明：连接OB，延长BO交AD于H，连接OA，
∵BC切圆于B，
∴BH⊥BC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，∠C=∠BAD，
∴BH⊥AD，
∴AH=DH，
∴BA=BD，
∴∠BAD=∠BDA，
∵四边形ABED是圆内接四边形，
∴∠BAD+∠BED=180°，
∵∠BEC+∠BED=180°，
∴∠BEC=∠BAD，
∴∠ABD=∠EBC；
(2)解：由(1)知∠BEC=∠C，
∴BC=BE=6，
∴AD=BC=6，
∴AH=12AD=3，
∴OH= OA2−AH2=4，
∴BH=OB+OH=9，
∴AB= AH2+BH2=3 10，
∴DC=AB=3 10，
∵AB//CD，
∴∠BDC=∠ABD，
∵∠EBC=∠ABD，
∴∠EBC=∠BDC，
∵∠BCE=∠BCD，
∴△CBE∽△CDB，
∴BC：CD=CE：BC，
∴6：3 10=CE：6，
∴CE=6 105，
∴DE=CD−CE=9 105．
故答案为：9 105．
(1)连接OB，延长BO交AD于H，连接OA，由平行四边形的性质，切线的性质推出BH垂直平分AD，得到BA=BD，因此∠BAD=∠BDA，由圆内接四边形的性质，推出∠BAD+∠BED=180°，又∠BEC+∠BED=180°，得到∠BEC=∠BAD，即可证明∠ABD=∠EBC；
(2)由勾股定理，垂径定理求出AB的长，得到CD的长，由△CBE∽△CDB，得到BC：CD=CE：BC，即可求出CE的长，于是得到DE的长．
本题考查切线的性质，平行四边形的性质，垂径定理，相似三角形的判定和性质，关键是垂径定理，勾股定理求出AB的长，由△CBE∽△CDB，求出CE的长．
26.【答案】解：(1)①( a+ b)2=a+2 ab+b，
故答案为：a+2 ab+b．
②( a+b)2=a+b，
故答案为：a+b．
∵a，b，c是三角形的三边，
∴a+b>c，
∴ a+b> c，
故答案为：a+b>c a+b> c．
(2)选①，
∵a+b>c，
∴( a)2+( b)2>c，
∴( a+ b)2>c+2 ab，
∵2 ab>0，
∴( a+ b)2>c，
∴ a+ b> c．
【解析】(1)①根据完全平方公式即可得出结论；
②根据二次根式的性质可以得出结果；
③根据①②得出的结果很容易可以得出两个代数式的大小关系；
根据三边关系以及二次根式的性质即可得出两个空的不等关系；
(2)可以选择①②③中的任意一种进行作答即可．
本题主要考查了运用完全平方公式进行配方，以及运用平方差公式进行因式分解的内容，要能灵活运用因式分解解决问题．
27.【答案】互补 75 3DF= 2AC 90度圆周角所对的弦为直径
【解析】解：(1)由图可知，三角板的两个直角顶点重合，
∴∠α+∠β=180°，则∠a和∠β互补；
由图可知：∠DBC=∠DBA+∠CBA=30°+45°=75°；
∵∠DBF=30°，∠CBA=45°，
∴EF=DFtan30∘= 3DF，AB=ACsin45∘= 2AC，
∵EF=AB，
∴ 3DF= 2AC，
∵∠MFN=90°，
∴弦MN是圆的直径(90度圆周角所对的弦为直径)，
故答案为：互补，75， 3DF= 2AC，90度圆周角所对的弦为直径；
(2)①根据题意可得：EF=AB，
由(1)可知EF= 3DF，则AB= 3DF，
∴DFAB= 33，
∴DF//AB，
∴∠CDF=∠A，∠CFD=∠B，
∴△CDF∽△CAB，
∴CFCB=DFAB= 33；
②连接点C和DF中点M，连接点E和DF中点M，
∵AB=EF=a，DFAB= 33，
∴DF= 33a，
∵点M为DF中点，
∴CM=MF=12DF=12× 33a= 36a，
根据勾股定理可得：EM= MF2+EF2= 396a，
在△CME中，CE
∴顶点C和E的距离的最大值=CM+EM= 36a+ 396a= 3+ 396a．
(1)根据互补的定义，即可得出∠a和∠β的关系；根据三角板中各个角的度数，即可求出∠DBC；根据EF=AB，即可得出DF和AC之间的数量关系；根据直径所对的圆周角为直角，即可得出弦MN是圆的直径；
(2)①证明△CDF∽△CAB，即可根据相似三角形对应边成比例得出结论；②连接点C和DF中点M，连接点E和DF中点M，在△CME中，CE
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