2022-2023学年江苏省常州市八年级（下）期末数学预热试卷（含解析）

这是一份2022-2023学年江苏省常州市八年级（下）期末数学预热试卷（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2022-2023学年江苏省常州市八年级（下）期末数学预热试卷
一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 下面几种中式窗户图形既是轴对称又是中心对称的是(    )
A. B. C. D.
2. 下列调查最适合普查的是(    )
A. 了解大运河被污染情况 B. 了解一个班学生一分钟跳绳成绩
C. 调查一批灯泡的使用寿命 D. 了解全国中小学生书面作业总量
3. 下列运算正确的是(    )
A. 12=3 2 B. 2+ 3= 5 C. 62= 3 D. ( 2)2=2
4. 若分式|x|−1x−1的值等于0，则x的值为(    )
A. −1 B. 0 C. 1 D. ±1
5. 已知反比例函数y=kx(k≠0)的图象与正比例函数y=ax(a≠0)的图象相交于A，B两点，若点A的坐标是(1,2)，则点B的坐标是(    )
A. (−1,2) B. (1,−2) C. (−1,−2) D. (2,1)
6. 如图，在平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD且交BC于点E，∠D=58°，则∠AEC的度数是(    )

A. 61° B. 109° C. 112° D. 119°
7. 已知432=1849，442=1936，452=2025，462=2116.若n为整数且n< 2022 A. 43 B. 44 C. 45 D. 46
8. 如图，AC，BD是菱形ABCD的两条对角线，反比例函数y=kx(x>0)的图象经过点A，C且关于直线BD对称.若AO=2 5，AC=2 2，则k的值是(    )
A. 8
B. 10
C. 6 3
D. 6 2
二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）
9. 式子 a+2在实数范围内有意义，则a的取值范围是______ ．
10. 计算：a−1a+1a=______．
11. 计算：( 2+1)2= ______ ．
12. “任意画一个三角形，它是等腰三角形”是______ 事件(填“随机”、“不可能”或“必然”)．
13. 已知点A(−1,y1)和点B(−4,y2)在反比例函数y=6x的图象上，则y1与y2的大小关系是______ ．
14. 如图，在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC和AC边的中点，请添加一个条件           ，使四边形BEFD为矩形.(填一个即可)


15. 如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N.若四边形MOND的面积是1，则AB的长为______．


16. 如图，已知一次函数y=ax+b(a≠0)的图象与反比例函数y=kx(k≠0,x>0)的图象交于第一象限内点A，与x轴负半轴交于点B，过点A作AC⊥x轴于点C，D为AB的中点，线段CD交y轴于点E，连接BE.若△BEC的面积是6，则k的值是______ ．


三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）
17. 解方程：
(1)2x+2=3x−2
(2)34−x+2=1−xx−4
四、解答题（本大题共8小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
18. (本小题8.0分)
计算：(1) 8− 12+3 2；
(2)(2 12−3 13)× 6．
19. (本小题8.0分)
计算：(1)a−1a÷(a−1a)；
(2)2xx2−4−xx−2．
20. (本小题6.0分)
某机构为了解全市人口年龄结构情况，对全市的人口数据进行随机抽样分析，绘制了尚不完整的统计表和如图所示的统计图．
人口年龄结构统计表
类别
A
B
C
D
年龄t/岁
0≤t<15
15≤t<60
60≤t<65
t≥65
人数/万
4.7
11.6
m
2.7
(1)本次抽样调查，共调查了______ 万人；
(2)统计表中m= ______ (万)，扇形统计图中“C”对应的圆心角度数是______ °；
(3)本市现有人口约600万人，请根据此次抽查结果，估计全市现有60岁及以上的人数．

21. (本小题6.0分)
六一儿童节来临之际，某商店用3000元购进一批玩具，很快售完；第二次购进时，每件的进价提高了20%，同样用3000元购进的数量比第一次少了10件.求第一次每件的进价为多少元？
22. (本小题6.0分)
如图，在6×4的方格纸ABCD中，请按要求画格点线段(端点在格点上)，且线段的端点均不与点A，B，C，D重合．
(1)在图1中画格点线段EF，GH各一条，使点E，F，G，H分别落在边AB，BC，CD，DA上，且EF=GH，EF不平行GH．
(2)在图2中画格点线段MN，PQ各一条，使点M，N，P，Q分别落在边AB，BC，CD，DA上，且PQ= 5MN．


23. (本小题8.0分)
如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，且AO=CO，点E在BD上，满足∠EAO=∠DCO．
(1)求证：四边形AECD是平行四边形；
(2)若AB=BC，CD=5，AC=8，求四边形AECD的面积．





24. (本小题8.0分)
实验研究发现：学生在数学课上的听课注意力指标y随上课时间x(分钟)的变化而变化，上课开始时，学生的注意力指标激增，中间一段时间，学生的注意力指标保持平稳状态，随后开始分散注意力.学生的注意力指标y随时间x(分钟)变化的函数图象如图所示，当0≤x<10和10≤x<20时，图象是线段；当20≤x≤40时，图象是反比例函数图象的一部分．
(1)求点A对应的指标值；
(2)张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要15分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32？请说明理由．

25. (本小题10.0分)
背景：点A是反比例函数y=kx(k>0)的图象上一个动点，连接AO，将线段AO绕点A逆时针方向旋转90°到AB.如图1，已知A(1,t)，小李测得点B(5,3)．

(1)填空：k= ______ ；
(2)探究：通过改变点A的位置，小李发现点B的纵坐标与点A的横坐标之间存在函数关系.请帮助小李解决下列问题：设点B的纵坐标与点A的横坐分别为z，x，将z关于x的函数称为“Z函数”.如图2，小李画出了x>0时的“Z函数”的图象．
①求这个“Z函数”的表达式；
②补画x<0时“Z函数”的图象，并写出这个函数的性质(两条即可)；
③过点(3,2)作一条直线，与这个“Z函数”图象仅有一个交点，求该交点的横坐标．
答案和解析

1.【答案】C 
【解析】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意；
故选：C．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可完全重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分完全重合．

2.【答案】B 
【解析】解：A、了解大运河被污染情况，最适合抽样调查，故A不符合题意；
B、了解一个班学生一分钟跳绳成绩，最适合全面调查，故B符合题意；
C、调查一批灯泡的使用寿命，最适合抽样调查，故C不符合题意；
D、了解全国中小学生书面作业总量，最适合抽样调查，故D不符合题意；
故选：B．
根据全面调查与抽样调查的特点，逐一判断即可解答．
本题考查了全面调查与抽样调查，熟练掌握全面调查与抽样调查的特点是解题的关键．

3.【答案】D 
【解析】解：A． 12= 4×3=2 3，所以A选项不符合题意；
B. 2与 3不能合并，所以B选项不符合题意；
C. 62为最简二次根式，所以C选项不符合题意；
D.( 2)2=2，所以D选项符合题意．
故选：D．
根据二次根式的性质对A选项、C选项和D选项进行判断；根据二次根式的加法运算对B选项进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则是解决问题的关键．

4.【答案】A 
【解析】解：由题意得：|x|−1=0，且x−1≠0，
解得：x=−1，
故选：A．
根据分式值为零的条件可得：|x|−1=0，且x−1≠0，再解即可．
此题主要考查了分式值为零的条件，关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．
注意：“分母不为零”这个条件不能少．

5.【答案】C 
【解析】解：根据题意，知
点A与B关于原点对称，
∵点A的坐标是(1,2)，
∴B点的坐标为(−1,−2)．
故选：C．
反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．
本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性．关于原点对称的两点的横、纵坐标分别互为相反数．

6.【答案】D 
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，∠B=∠D=58°，
∴∠DAE=∠BEA，
∵AE平分∠BAD且交BC于点E，
∴∠DAE=∠BAE，
∴∠BEA=∠BAE=12×(180°−58°)=61°，
∴∠AEC=180°−∠BEA=180°−61°=119°，
故选：D．
由平行四边形的性质得AD//BC，∠B=∠D=58°，则∠DAE=∠BEA，而∠DAE=∠BAE，所以∠BEA=∠BAE=12×(180°−58°)=61°，则∠AEC=180°−∠BEA=119°，于是得到问题的答案．
此题重点考查平行四边形的性质、平行线的性质、三角形内角和定理等知识，证明∠BEA=∠BAE是解题的关键．

7.【答案】B 
【解析】解：∵442=1936，452=2025，
1936<2022<2025，
∴44< 2022<45，
∵n为整数且n< 2022 ∴n的值为：44，
故选：B．
根据题意可知n与n+1是两个连续整数，再估算出 2022的值即可．
本题考查了估算无理数的大小，根据题意判断n与n+1是两个连续整数，再估算出 2022的值是解题的关键．

8.【答案】A 
【解析】解：延长AC交x轴于点F，延长CA交y轴于点G，连接OC，过C作CH⊥OF于H，
设AC，BD交于点E，如图，

∵AC，BD是菱形ABCD的两条对角线，
∴BD⊥AC，AE=EC= 2．
∵反比例函数y=kx(x>0)的图象关于直线BD对称，
∴直线BD经过原点O，且BD垂直平分线段GF．
∴OA=OC，OG=OF，∠OGF=∠OFG=45°．
∵tan∠OAC=3，
∴OEAE=3．
∴OE=3AE=3 2．
∴EF=EG=OE=3 2．
∴CF=EF−EC=2 2．
∵CH⊥HF，∠CFH=45°，
∴CH= 22CF=2．
∵OC=OA= OE2+AE2=2 5．
∴OH= OC2−CH2=4．
∴C(4,2)．
∵C在反比例函数y=kx(x>0)的图象上，
∴k=2×4=8．
故选：A．
延长AC交x轴于点F，延长CA交y轴于点G，连接OC，过C作CH⊥OF于H，由AC，BD是菱形ABCD的两条对角线，可得BD⊥AC，AE=EC= 2，延长DB，由反比例函数y=kx(x>0)的图象关于直线BD对称，可得直线BD经过原点O，且BD垂直平分线段GF，所以OG=OF，∠OGF=∠OFG=45°；利用tan∠OAC=3，求得OE，再分别求得线段CH，OH，点C坐标可得，k的值可求．
本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，菱形的性质，轴对称，解直角三角形，勾股定理，特殊角的三角函数值，待定系数法．利用点的坐标表示出相应线段的长度和由线段的长度得到相应点的坐标是解题的关键．

9.【答案】a≥−2 
【解析】解：由题意得，a+2≥0，
解得a≥−2．
故答案为：a≥−2．
根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．
本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．

10.【答案】1 
【解析】解：原式=a−1+1a=1．
故答案为：1．
根据同分母的分式加减法则进行计算即可．
本题考查的是分式的加减法，即同分母分式加减法法则：同分母的分式想加减，分母不变，把分子相加减．

11.【答案】3+2 2 
【解析】解：( 2+1)2
=2+2 2+1
=3+2 2．
故答案为：3+2 2．
利用完全平方公式进行运算较简便．
本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．

12.【答案】随机 
【解析】解：“任意画一个三角形，它是等腰三角形”是随机事件，
故答案为：随机．
根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，即可解答．
本题考查了随时事件，等腰三角形的性质，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．

13.【答案】y1 【解析】解：∵反比例函数y=6x中，k=6>0，
∴此函数在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵点A(−1,y1)和点B(−4,y2)在反比例函数y=6x的图象上，−1>−4，
∴y1 故答案为y1 根据反比例函数的性质可以判断y1与y2的大小关系，从而可以解答本题．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确反比例函数的性质，利用反比例函数的性质解答．

14.【答案】AB⊥BC 
【解析】解：∵D，E，F分别是AB，BC和AC边的中点，
∴DF、EF都是△ABC的中位线，
∴DF//BC，EF//AB，
∴四边形BEFD为平行四边形，
当AB⊥BC时，∠B=90°，
∴平行四边形BEFD为矩形，
故答案为：AB⊥BC．
本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质以及三角形中位线定理等知识；熟练掌握三角形中位线定理，证明四边形BEFD为平行四边形是解题的关键．

15.【答案】2 
【解析】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠MDO=∠NCO=45°，OD=OC，∠DOC=90°，
∴∠DON+∠CON=90°，
∵ON⊥OM，
∴∠MON=90°，
∴∠DON+∠DOM=90°，
∴∠DOM=∠CON，
在△DOM和△CON中，
∠DOM=∠CONOD=OC∠MDO=∠NCO，
∴△DOM≌△CON(ASA)，
∵四边形MOND的面积是1，四边形MOND的面积=△DOM的面积+△DON的面积，
∴四边形MOND的面积=△CON的面积+△DON的面积=△DOC的面积，
∴△DOC的面积是1，
∴正方形ABCD的面积是4，
∴AB2=4，
∴AB=2，
故答案为：2．
根据正方形的性质，可以得到△DOM≌△CON，然后即可发现四边形MOND的面积等于△DOC的面积，从而可以求得正方形ABCD的面积，从而可以求得AB的长．
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是发现四边形MOND的面积等于△DOC的面积，利用数形结合的思想解答．

16.【答案】12 
【解析】解：设OC=a，OE=b，OB=c，
∵△BEC的面积是12BC⋅OE=6，
∴12b(a+c)=6，
即b(a+c)=12，
∴D是AB的中点，△ABC是Rt△，
∴CD=AD=BD，
∴∠ECO=∠ABC，
∴∠ACB=∠EOC=90°，
∴△ACB∽△EOC，
∴OCCB=EOAC，
即aa+c=bAC，
∴AC=b(a+c)a=12a，
∴点A(a,12a)，
∵点A(a,12a)在反比例函数y=kx的图象上，
∴k=xy=a×12a=12，
故答案为：12．
设OC=a，OE=b，OB=c，由△BEC的面积是6，可得b(a+c)=12，再根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得CD=AD=BD，由等腰三角形的性质可得∠ECO=∠ABC，进而看得出△ACB∽△EOC，由对应边成比例可求出AC=12a，进而表示出点A的坐标，代入函数关系式可求出k的值．
本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数与一次函数图象的交点，用代数式表示出点A的坐标是解决问题的关键．

17.【答案】解：(1)两边都乘以(x+2)(x−2)，得：2(x−2)=3(x+2)，
解得：x=−10，
检验：当x=−10时，(x+2)(x−2)=96≠0，
所以原分式方程的解为x=−10；

(2)方程两边都乘以x−4，得：−3+2(x−4)=1−x，
解得：x=4，
检验：当x=4时，x−4=0，
所以x=4是分式方程的增根，
故分式方程无解． 
【解析】(1)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
(2)分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．

18.【答案】解：(1) 8− 12+3 2
=2 2− 22+3 22
=3 2；
(2)(2 12−3 13)× 6
=2 12× 6−3 13× 6
=12 2−3 2
=9 2． 
【解析】(1)先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答；
(2)利用二次根式的乘法法则进行计算，即可解答．
本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，准确熟练地进行计算是解题的关键．

19.【答案】解：(1)原式=a−1a÷a2−1a
=a−1a⋅a(a+1)(a−1)
=1a+1；
(2)原式=2x(x+2)(x−2)−x(x+2)(x+2)(x−2)
=2x−x2−2x(x+2)(x−2)
=−x2(x+2)(x−2)． 
【解析】(1)先算括号里面的，再算除法即可；
(2)先通分，再把分子相减即可．
本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解题的关键．

20.【答案】20  1  18 
【解析】解：(1)本次抽样调查，共调查了11.6÷58%=20(万人)，
故答案为：20；
(2)m=20−(4.7+11.6+2.7)=1，
扇形统计图中“C”对应的圆心角度数是360°×120=18°，
故答案为：1，18；
(3)600×1+2.720=111(万人)，
答：估计全市现有60岁及以上的人数为111万人．
(1)由B类别人数及其所占百分比可得总人数；
(2)根据四个类别人数之和等于总人数可得m的值，用360°乘以C类别人数所占比例即可；
(3)用总人数乘以样本中C、D类别人数和所占比例即可得出答案．
本题考查频数分布表、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

21.【答案】解：设第一次每件的进价为x元，则第二次进价为(1+20%)x，
根据题意得：3000x−3000(1+20%)x=10，
解得：x=50，
经检验：x=50是方程的解，且符合题意，
答：第一次每件的进价为50元． 
【解析】设第一次每件的进价为x元，则第二次进价为(1+20%)x，根据题意，第二次比第一次少了10件，列出分式方程，解方程即可求解．
本题考查了分式方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．

22.【答案】解：(1)如图1，线段EF和线段GH即为所求；

(2)如图2，线段MN和线段PQ即为所求．
 
【解析】本题考查了作图−应用与设计作图，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
(1)根据题意画出线段即可；
(2)根据题意画出线段即可．

23.【答案】(1)证明：在△AOE和△COD中，
∠EAO=∠DCOAO=CO∠AOE=∠COD，
∴△AOE≌△COD(ASA)，
∴OD=OE，
又∵AO=CO，
∴四边形AECD是平行四边形；
(2)解：∵AB=BC，AO=CO，
∴OB⊥AC，
∴平行四边形AECD是菱形，
∵AC=8，
∴CO=12AC=4，
在Rt△COD中，由勾股定理得：OD= CD2−CO2= 52−42=3，
∴DE=2OD=6，
∴菱形AECD的面积=12AC×DE=12×8×6=24． 
【解析】本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解此题的关键．
(1)证△AOE≌△COD(ASA)，得OD=OE，再由AO=CO，即可得出结论；
(2)由等腰三角形的性质得OB⊥AC，则平行四边形AECD是菱形，再由勾股定理求出OD=3，则DE=6，即可得出答案．

24.【答案】解：(1)设当20≤x≤40时，反比例函数的解析式为y=kx，将C(20,48)代入得：48=k20，
解得k=960，
∴反比例函数的解析式为y=960x，
当x=40时，y=96040=24，
∴D(40,24)，
∴A(0,24)，
即A对应的指标值为24；
(2)张老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32，
理由如下：
设当0≤x<10时，AB的解析式为y=mx+n，将A(0,24)、B(10,48)代入得24=n48=10m+n，
解得m=125n=24，
∴AB的解析式为y=125x+24，
当y≥32时，125x+24≥32，
解得x≥103，
由(1)得反比例函数的解析式为y=960x，
当y≥32时，960x≥32，
解得x≤30，
∴103≤x≤30时，注意力指标都不低于32，
而30−103=803>15，
∴张老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32． 
【解析】(1)设反比例函数的解析式为y=kx，由C(20,48)求出k，可得D坐标，从而求出A的指标值；
(2)求出AB解析式，得到y≥32时，x≥103，由反比例函数y=960x，可得y≥32时，x≤30，根据30−103=803>15，即可得到答案．
本题考查函数图象的应用，涉及一次函数、反比例函数及不等式等知识，解题的关键是求出0≤x<10和20≤x≤40时的解析式．

25.【答案】4 
【解析】解：(1)连接OB，
∵A(1,t)，点B(5,3)，
∴OA 12+t2，OB= 32+52= 34，
∵将线段AO绕点A逆时针方向旋转90°到AB，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴OB= 2OA，
∴2(1+t2)=34，
解得t=4(负值舍去)，
∴A(1,4)，
∴k=4；
故答案为：4；

(2)①如图，过A作AD⊥x轴于D，过B作BC⊥AD于C，
则△AOD≌△BAC(AAS)，
∴AC=OD=x，
∴A(x,z+x)，
∴x(z+x)=4，
∴z=4x−x；

②图象如图所示．

性质1：x>0时，z随x的增大而减小．
性质2：图象是中心对称图形．

③设直线的解析式为z=kx+b，
把(3,2)代入得到，2=3k+b，
∴b=2−3k，
∴直线的解析式为z=kx+2−3k，
由z=kx+2−3kz=4x−x，消去z得到，(k+1)x2+(2−3k)x−4=0，
当k≠−1时，当Δ=0时，(2−3k)2+4(k+1)×4=0，
此方程无实数根；
当k=−1时．方程的解为x=45，符合题意，
另外直线x=3，也符合题意，此时交点的横坐标为3，
综上所述，满足条件的交点的横坐标为45或3．
(1)求出点A的坐标，利用待定系数法求出k即可．
(2)①求出点A的坐标，再代入反比例函数的解析式即可．
②利用描点法画出图象，根据函数图象可得结论(答案不唯一)．
③由题意可知直线的解析式为z=kx+2−3k，构建方程组，利用Δ=0，求出k可得结论，另外直线x=3也符合题意．
本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，一元二次方程等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会把问题转化为方程组，再利用一元二次方程的根的判别式解决问题，属于中考压轴题．