数学人教A版 (2019)2.3 直线的交点坐标与距离公式精品学案设计

这是一份数学人教A版 (2019)2.3 直线的交点坐标与距离公式精品学案设计，共8页。学案主要包含了学习目标，自主学习，小试牛刀，经典例题，跟踪训练，当堂达标，参考答案等内容，欢迎下载使用。

2.3.3 点到直线的距离公式
2.3.4 两条平行线间距离
【学习目标】
课程标准
学科素养
1.了解点到直线距离公式的推导方法．(重点)
2.掌握点到直线距离公式，并能灵活应用于求平行线间的距离等问题．(难点)
3.初步掌握用解析法研究几何问题．(重点、难点)
1、数学抽象
2、数学运算
3、数学建模
【自主学习】
点到直线的距离、两条平行线间的距离

点到直线的距离
两条平行直线间的距离
定义
点到直线的 的长度
夹在两条平行直线间 的长
图示


公式
点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝
两条平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0之间的距离d＝
思考1：点P(x0，y0)到直线x＝a和直线y＝b的距离怎样计算？

思考2：在应用两条平行线间的距离公式时对直线方程有什么要求？

【小试牛刀】
1.思辨解析(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)点P(x0，y0)到与x轴平行的直线y＝b(b≠0)的距离d＝y0－b.(　　)
(2)点P(x0，y0)到与y轴平行的直线x＝a(a≠0)的距离d＝|x0－a|.(　　)
(3)两直线x＋y＝m与x＋y＝2n的距离为.(　　)
2.原点到直线x＋2y－5＝0的距离为(　　)
A．1　 　B. C．2 D.
3.两条平行线l1：3x＋4y－7＝0和l2：3x＋4y－12＝0的距离为(　　)
A．3 B．2 C．1 D．
【经典例题】
题型一　点到直线的距离
点拨：应用点到直线的距离公式应注意的三个问题
1.直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式．
2.点P在直线l上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用．
3.直线方程Ax＋By＋C＝0中，A＝0或B＝0公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．
例1 求点P(3，－2)到下列直线的距离：
(1)y＝x＋； (2)y＝6； (3)x＝4.



【跟踪训练】1 已知点(a，2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a＝(　　)
A. B．2－ C.－1 D.＋1
题型二　两平行线间的距离
点拨：求两条平行直线间的距离的两种思路
1.利用“化归”思想将两条平行直线间的距离转化为求其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离．由于这种求法与点的选择无关，因此，选点时，常选取一个特殊点，如直线与坐标轴的交点等，以便于运算．
2.利用两条平行直线间的距离公式求解．但必须注意两直线方程中x，y的系数对应相等．
例2 两直线3x＋y－3＝0和6x＋my－1＝0平行，则它们之间的距离为________．


【跟踪训练】2 求与直线l：5x－12y＋6＝0平行且与直线l距离为3的直线方程．




题型三　距离公式的综合应用
例3 已知正方形的中心为直线2x－y＋2＝0，x＋y＋1＝0的交点，正方形一边所在的直线l的方程为x＋3y－5＝0，求正方形其他三边所在直线的方程．




【跟踪训练】3
(1)若P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，则x2＋y2的最小值是(　　)
A．8 B．2 C． D．16
(2)若P(x，y)在直线x＋y－4＝0上，则的最小值为多少？



【当堂达标】
1.点(5，－3)到直线x＋2＝0的距离等于(　　)
A.7 B.5　　 　C.3　　 D.2
2.两条平行线l1：3x＋4y－2＝0，l2：9x＋12y－10＝0间的距离等于(　　)
A. B. C. D.
3.已知O为原点，点P在直线x＋y－1＝0上运动，那么|OP|的最小值为(　　)
A． B．1 C． D．2
4.(多选)若直线l1与直线l：3x－4y－20＝0平行且距离为3，则直线l1的方程为（ ）
A．3x－4y－5＝0 B．3x－4y－35＝0
C．3x－4y－23＝0 D．3x－4y－17＝0
5.已知两点A(－3，－2)和B(－1，4)到直线x＋ay＋1＝0的距离相等，则实数a为________．
6.已知直线l经过点(－2，3)，且原点到直线l的距离等于2，求直线l的方程．



【参考答案】
【自主学习】
垂足 公垂线段
思考1：P(x0，y0)到x＝a的距离d＝|a－x0|；P(x0，y0)到y＝b的距离d＝|b－y0|．
思考2：两条平行直线的方程都是一般式，且x, y对应的系数应分别相等．
【小试牛刀】
1.(1)×　(2)√　(3)√
2. D 解析：利用点到直线的距离公式可得：原点到直线x＋2y－5＝0的距离d＝＝.
3. C 解析：d＝＝1.
【经典例题】
例1 解：(1)把方程y＝x＋写成3x－4y＋1＝0，由点到直线的距离公式得d＝＝.
(2)法一：把方程y＝6写成0·x＋y－6＝0,由点到直线的距离公式得d＝＝8.
法二：因为直线y＝6平行于x轴，所以d＝|6－(－2)|＝8.
(3)因为直线x＝4平行于y轴，所以d＝|4－3|＝1.
【跟踪训练】1 C 解析：由点到直线的距离公式得：＝＝1，∴|a＋1|＝.
∵a>0， ∴a＝－1.故选C.
例2 解析：由题意，得＝，∴m＝2，将直线3x＋y－3＝0化为6x＋2y－6＝0，
由两平行线间距离公式，得＝＝.
【跟踪训练】2 解：∵与l平行的直线方程为5x－12y＋b＝0，
根据两平行直线间的距离公式得＝3，解得b＝45或b＝－33.
所以所求直线方程为：5x－12y＋45＝0，或5x－12y－33＝0.
例3 解　设与直线l：x＋3y－5＝0平行的边所在的直线方程为l1：x＋3y＋c＝0(c≠－5)．
由得正方形的中心坐标为P(－1，0)，
由点P到两直线l，l1的距离相等，得＝，得c＝7或c＝－5(舍去)．∴l1：x＋3y＋7＝0.
又正方形另两边所在直线与l垂直，
∴设另两边所在直线的方程分别为3x－y＋a＝0，3x－y＋b＝0.
∵正方形中心到四条边的距离相等，
∴＝，得a＝9或a＝－3，
∴另两条边所在的直线方程分别为3x－y＋9＝0，3x－y－3＝0.
∴另三边所在的直线方程分别为3x－y＋9＝0，x＋3y＋7＝0，3x－y－3＝0.
【跟踪训练】3
(1)A 解析：x2＋y2＝(x－0)2＋(y－0)2表示点(x，y)与原点(0,0)的距离的平方， 故等价于原点(0,0)到直线x＋y－4＝0的距离的平方，即d＝＝2，∴d2＝8，故选A．
(2) 解：＝，表示直线上的点(x，y)与点(1,2)的距离，其最小值即点(1,2)到直线x＋y－4＝0的距离，故最小值为＝．
【当堂达标】
1. A 解析：直线x＋2＝0，即x＝－2为平行于y轴的直线，所以点(5，－3)到x＝－2的距离d＝|5－(－2)|＝7.
2. C 解析：l1的方程可化为9x＋12y－6＝0，由平行线间的距离公式得d＝＝.
3.A 解析：最小值即为O到直线x＋y－1＝0的距离，即d＝＝，选A．
4.AB 解析：设l1的方程为3x－4y＋m＝0.由题意得＝3，解得m＝－5或m＝－35，
所以l1的方程为3x－4y－5＝0或3x－4y－35＝0．故选：AB.
5. 1或－ 解析：∵两点A(－3，－2)，B(－1，4)到直线l：x＋ay＋1＝0的距离相等，
∴＝，化为|2a＋2|＝|4a|.∴2a＋2＝±4a，解得a＝1或－.
6. 解：当直线l的斜率不存在时，直线的方程为x＝－2，符合原点到直线l的距离等于2.
当直线l的斜率存在时，
设所求直线l的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0，由d＝＝2，
得k＝－，即直线l的方程为5x＋12y－26＝0.
综上，直线的方程为x＝－2或5x＋12y－26＝0.